Положительные и отрицательные числа правила: § Вычитание отрицательных чисел. Вычитание рациональных чисел

Содержание

Вычитание отрицательных чисел — Kid-mama

Сейчас мы рассмотрим на примерах  вычитание отрицательных чисел, и вы убедитесь, что это очень легко. Нужно просто помнить правило : два минуса, стоящие рядом, дают плюс.

Пример 1. Вычитание отрицательного числа из положительного числа

56 – (–34) = 56 + 34 = 90

Как видим, чтобы вычесть из положительного числа отрицательное число, нужно просто сложить их модули.

Пример 2. Вычитание отрицательного числа из отрицательного числа

– 60 – (– 25) = – 60 + 25 = – 35

– 15 – (– 30) = – 15 + 30 = 15

Таким образом, при вычитании отрицательного числа из отрицательного мы действуем по правилу сложения чисел с разными знаками, и у нас может получиться как положительное, так и отрицательное число.

Существует единое правило, определяющее вычитание любых чисел: как отрицательных, так и положительных, и звучит оно так:

Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
                 a — b = a + (-b)

 

Для того, чтобы избавиться от лишних скобок при вычитании отрицательных чисел, мы можем воспользоваться правилом знаков. Это правило гласит:

Если перед скобками стоит знак «+» , то при раскрытии скобок знак числа не изменяется. Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок знак числа меняется на противоположный.

Например:

5 + (-7) = 5-7 9-(-5) = 9 + 5
-10 + (-6) = -10-6 -4- (-6) = -4 + 6

Правило знаков действует также, если в скобках стоит несколько чисел. При этом,если перед скобками стоит минус,  изменяются знаки у всех чисел:

Примеры:

a+(b-c-d)=a+b-c-d

a-(b-c-d)=a-b+c+d

a+(-b+c-d)=a-b+c-d

a-(-b+c-d)=a+b-c+d

Это правило обычно запоминают так:

Минус на минус дает плюс,
Плюс на минус дает минус

А теперь пройдите тест и проверьте себя!

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Лимит времени: 0

0 из 20 заданий окончено

Вопросы:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5
  6. 6
  7. 7
  8. 8
  9. 9
  10. 10
  11. 11
  12. 12
  13. 13
  14. 14
  15. 15
  16. 16
  17. 17
  18. 18
  19. 19
  20. 20

Информация

Выполните сложение или вычитание и введите ответ. Минус вводите при помощи дефиса (кнопка между «0» и «=» на клавиатуре). Ответ вводите без пробела (например: -3,4)

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5
  6. 6
  7. 7
  8. 8
  9. 9
  10. 10
  11. 11
  12. 12
  13. 13
  14. 14
  15. 15
  16. 16
  17. 17
  18. 18
  19. 19
  20. 20
  1. С ответом

  2. С отметкой о просмотре

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Правило сложения отрицательных чисел

Если вспомнить урок математики и тему «Сложение и вычитание чисел с разными знаками», то для сложения двух отрицательных чисел необходимо:

  • выполнить сложение их модулей;
  • дописать к полученной сумме знак «–».

Согласно правилу сложения можно записать:

$(−a)+(−b)=−(a+b)$.

Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.

Пример 1

Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 \ 789.$

Решение.

Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.

Найдем модули данных чисел:

$|-185|=185$;

$|-23 \ 789|=23 \ 789$.

Выполним сложение полученных чисел:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 \ 974$.

Краткая запись решения: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

Ответ: $−23 \ 974$.

При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.

Пример 2

Сложить отрицательные числа $-\frac{1}{4}$ и $−7,15$.

Решение.

Согласно правилу сложения отрицательных чисел, сначала необходимо найти сумму модулей:

$|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}$;

$|-7,15|=7,15$.

Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:

$\frac{1}{4}=0,25$;

$0,25+7,15=7,40$.

Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.

Краткая запись решения:

$(-\frac{1}{4})+(−7,15)=−( \frac{1}{4}+7,15)=–(0,25+7,15)=−7,4$.

Ответ: $–7,4$.

Как вычитать числа с разными знаками

Правило сложения чисел с противоположными знаками:

Для сложения положительного и отрицательного числа необходимо:

  1. вычислить модули чисел;
  2. выполнить сравнение полученных чисел:

    • если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;
    • если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;
  3. из большего модуля вычесть меньший;

  4. перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.

Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.

Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.

Пример 3

Сложить числа $4$ и $−8$.

Решение.

Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.

Найдем модули данных чисел:

$|4|=4$;

$|-8|=8$.

Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.

Далее от большего модуля отнимем меньший модуль, получим:

$8−4=4$.

Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$

Краткая запись решения:

$4+(–8) = –(8–4) = –4$.

Ответ: $4+(−8)=−4$.

Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.

Вычитание чисел с разными и отрицательными знаками

Правило вычитания отрицательных чисел:

Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.

Согласно правилу вычитания можно записать:

$a−b=a+(−b)$.

Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.

Пример 4

Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.

Решение.

Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.

Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:

$(−28)−(−5)=(−28)+5$.

Выполним сложение чисел с противоположными знаками:

$(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Ответ: $(−28)−(−5)=−23$.

При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.

Сложение и вычитание чисел с разными знаками

Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.

Пример 5

Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.

Решение.

Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.

Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:

$(−11)−7=(–11)+(−7)$.

Выполним сложение отрицательных чисел:

$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.

Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Ответ: $(−11)−7=−18$.

При вычитании дробных чисел с разными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.

Положительные и отрицательные числа

Определение положительных и отрицательных чисел

Для определения положительных и отрицательных чисел воспользуемся координатной прямой, которая располагается горизонтально и направлена слева направо.

Замечание 1

Началу отсчета на координатной прямой соответствует число нуль, которое не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам.

Определение 1

Числа, соответствующие точкам координатной прямой, которые лежат правее от начала отсчета, называются положительными.

Определение 2

Числа, соответствующие точкам координатной прямой, которые лежат левее от начала отсчета, называются отрицательными.

Из данных определений вытекает, что множество всех отрицательных чисел противоположно множеству всех положительных чисел.

Отрицательные числа всегда записывают со знаком «–» (минус).

Пример 1

Примеры положительных чисел:

  • Натуральные числа $3$, $13$, $333$, $578$, $10456$ и т.д.
  • Рациональные числа $\frac{9}{17}$, $4 \frac{11}{23}$, $5,25$, $4,(79)$.
  • Иррациональные числа $π$, $е$, $\sqrt[3]{2}$, бесконечная непериодическая десятичная дробь $103,1012341981…$

Пример 2

Примеры отрицательных чисел:

  • Рациональные числа $-\frac{9}{17}$, $-4 \frac{11}{23}$, $–5,25$, $–4,(79)$.
  • Иррациональные числа$ -\sqrt[3]{2}$, бесконечная непериодическая десятичная дробь $–103,1012341981…$

Для упрощения записи перед положительными числами часто не записывают знак «+» (плюс), а перед отрицательными знак «–» записывают всегда. В подобных случаях необходимо помнить, что запись «$17,4$» равносильна записи «$+17,4$», запись «$\sqrt{5}$» равносильна записи «$+\sqrt{5}$» и т.д.

Таким образом, можно использовать следующее определение положительных и отрицательных чисел:

Определение 3

Числа, записанные со знаком «+», называются положительными, а со знаком «–» – отрицательными.

Используется определение положительных и отрицательных чисел, которое основано на сравнении чисел:

Определение 4

Положительными числами являются числа больше нуля, а отрицательными числами – числа меньше нуля.

Замечание 3

Таким образом, число нуль разделяет положительные и отрицательные числа.

Правила чтения положительных и отрицательных чисел

Замечание 4

При чтении числа со знаком впереди него сначала читается его знак, а затем само число.

Пример 3

Например, «$+17$» читают «плюс семнадцать»,

«$-3 \frac{4}{11}$» читают «минус три целых четыре одиннадцатых».

Замечание 5

Стоит отметить, что названия знаков «плюс» и «минус» не склоняются, в то время как числа могут склоняться.

Пример 4

Например, «$x=-18$» можно читать как «икс равен минус восемнадцать», так и «икс равен минус восемнадцати».

Интерпретация положительных и отрицательных чисел

Положительные числа используются для обозначения увеличения какой-нибудь величины, прихода, прибавки, возрастание значения и т.д.

Отрицательные числа применяют для противоположных понятий – для обозначения уменьшения какой-нибудь величины, расхода, недостатка, долга, снижения значения и т.д.

Рассмотрим примеры.

Читатель взял в библиотеке $4$ книги. Положительное значение числа $4$ показывает число книг, которые есть у читателя. Если ему нужно сдать $2$ книги в библиотеку, можно использовать отрицательное значение $–2$, которое будет указывать на уменьшение числа книг у читателя.

Положительные и отрицательные числа часто используют для описания значений различных величин в измерительных приборах.
Например, термометр для измерения температуры имеет шкалу, на которой отмечены положительные и отрицательные значения.

Похолодание на улице на $3$ градуса, т.е. снижение температуры, можно обозначить значением $–3$, а повышение температуры на $5$ градусов – значением $+5$.

Принято отрицательные числа изображать синим цветом, что символизирует холод, низкую температуру, а положительные числа – красным цветом, что символизирует тепло, высокую температуру. Обозначение положительных и отрицательных чисел с помощью красного и синего цвета используется в различных ситуациях для выделения знака чисел.

Вычитание отрицательных чисел 6 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей


Вычитание


В 7 веке индийский математик и астроном Брахмагупта известной касты брахманов (просвещенных), которая сохранилась и до наших времен, изложил правила сложения и вычитания чисел с разными знаками. Он назвал положительные числа «доход», а отрицательные – «расход».


Брахмагупта излагал свои правила так:


  1. Сумма двух имуществ есть имущество;

  2. Сумма двух долгов есть долг;

  3. Сумма имущества и долга равна их разности.


Если говорить современным математическим языком, то первое правило можно прочесть так: имущество – это положительное число, поэтому сумма двух положительных чисел есть число положительное.


Например, 5+3 = 8.


Долг — это отрицательное число. Поэтому второе правило можно сформулировать так: «Сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное».


Например, (-2)+(-3) = -5.


И сформулируем третье правило: «Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший, и перед полученной разностью поставить знак числа, модуль которого больше».


Например, 5+(-7) = (7-5) = -2; 5+(-3) = 5-3 = 2.


Правило можно дополнить, указав, что же получается: имущество или долг. Если имущество больше долга, то получится имущество. Если имущество меньше долга, то получится долг.


Сумма положительного и отрицательного чисел равна их разности: 3 + (-5) = 3 — 5. Рассмотрим правую часть и заменим разность суммой: 3 — 5 = 3 + (-5). Уменьшаемое оставим без изменения, а вычитаемое напишем с противоположным знаком.


Таким образом, вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и вычитание положительных чисел: по заданной сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое. Чтобы найти искомое слагаемое, можно прибавить к сумме число, противоположное известному слагаемому.


Например, 8-3 = 11 и потому 11-8 = 3, а также 11+(-8) = 3.


Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.


a-b = a+(-b)        a—b = a+b


Например, 4+(-7) = -(7-4) = -3;


13+(-7) = 13-7 = 6;


-13+14 = -13-14 = -412-312 = -112.


Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вычитания, можно рассматривать как сумму.


Например, -18-4 = -18+(-4) = -22;


-8+6-с = -8+6+(-с).


Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого, и отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого. Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю.


Пример 1. Чему равна длина отрезка АВ, если А(-5) и В(6)?


Длина отрезка АВ показывает, на сколько единичных отрезков надо переместить вправо точку А, чтобы она перешла в точку В, т. е. сколько надо прибавить к числу -5, чтобы получилось число 6. Поэтому, если обозначить длину отрезка АВ буквой х, то


-5+х = 6


х = 6-(-5) = 11.


Значит, длина отрезка АВ равна 11 единичным отрезкам.


Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.


Пример 2. Найдем длину отрезка АВ, если А(1), В(4).


АВ = 4-1 = 3.


Пример 3. Найдем длину отрезка АС, если А(-2) и С(4).


АС = 4-(-2) = 4+2 = 6.

Правила отрицательных. Сложение отрицательных чисел, правило, примеры

На действиях с положительными и отрицательными числами основан практически весь курс математики. Ведь как только мы приступаем к изучению координатной прямой, числа со знаками «плюс» и «минус» начинают встречаться нам повсеместно, в каждой новой теме. Нет ничего проще, чем сложить между собой обычные положительные числа, нетрудно и вычесть одно из другого. Даже арифметические действия с двумя отрицательными числами редко становятся проблемой.

Однако многие путаются в сложении и вычитании чисел с разными знаками. Напомним правила, по которым происходят эти действия.

Сложение чисел с разными знаками

Если для решения задачи нам требуется прибавить к некоторому числу «а» отрицательное число «-b», то действовать нужно следующим образом.

  • Возьмем модули обоих чисел — |a| и |b| — и сравним эти абсолютные значения между собой.
  • Отметим, какой из модулей больше, а какой меньше, и вычтем из большего значения меньшее.
  • Поставим перед получившимся числом знак того числа, модуль которого больше.

Это и будет ответом. Можно выразиться проще: если в выражении a + (-b) модуль числа «b» больше, чем модуль «а», то мы отнимаем «а» из «b» и ставим «минус» перед результатом. Если больше модуль «а», то «b» вычитается из «а» — а решение получается со знаком «плюс».

Бывает и так, что модули оказываются равны. Если так, то на этом месте можно остановиться — речь идет о противоположных числах, и их сумма всегда будет равна нулю.

Вычитание чисел с разными знаками

Со сложением мы разобрались, теперь рассмотрим правило для вычитания. Оно тоже довольно простое — и кроме того, полностью повторяет аналогичное правило для вычитания двух отрицательных чисел.

Для того, чтобы вычесть из некоего числа «а» — произвольного, то есть с любым знаком — отрицательное число «с», нужно прибавить к нашему произвольному числу «а» число, противоположное «с». Например:

  • Если «а» — положительное число, а «с» — отрицательное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем так: а – (-с) = а + с.
  • Если «а» — отрицательное число, а «с» — положительное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем следующим образом: (- а)– с = — а+ (-с).

Таким образом, при вычитании чисел с разными знаками в итоге мы возвращаемся к правилам сложения, а при сложении чисел с разными знаками — к правилам вычитания. Запоминание данных правил позволяет решать задачи быстро и без труда.

Отрицательные числа
— это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел
является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее, такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Содержание урока


Это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Здесь показаны числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя
— это любая латинская буква. Координата
— это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2»

и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Здесь A
— это имя точки, 2 — координата точки A.

Пример 2.
Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4»

Здесь B
— это имя точки, 4 — координата точки B.

Пример 3.
Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три»

и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь M
— это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат
принято обозначать большой латинской буквой O

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания, как «чем левее, тем меньше»
и «чем правее, тем больше»
. Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево, число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1.
Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше
, чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше»

. И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5

«Минус пять меньше, чем три»

Правило 2.
Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше
, чем минус единица.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше»

. И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

Минус четыре меньше, чем минус единица

Правило 3.
Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше
, чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше»

. И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

Ноль больше, чем минус три

Правило 4.
Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше
, чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше»

. И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

Ноль меньше, чем четыре

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Правило сложения отрицательных чисел

Если вспомнить урок математики и тему «Сложение и вычитание чисел с разными знаками», то для сложения двух отрицательных чисел необходимо:

  • выполнить сложение их модулей;
  • дописать к полученной сумме знак «–».

Согласно правилу сложения можно записать:

$(−a)+(−b)=−(a+b)$.

Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.

Пример 1

Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 \ 789.$

Решение
.

Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.

Найдем модули данных чисел:

$|-23 \ 789|=23 \ 789$.

Выполним сложение полученных чисел:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 \ 974$.

Краткая запись решения: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

Ответ
: $−23 \ 974$.

При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.

Пример 2

Сложить отрицательные числа $-\frac{1}{4}$ и $−7,15$.

Решение.

Согласно правилу сложения отрицательных чисел, сначала необходимо найти сумму модулей:

$|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}$;

Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:

$\frac{1}{4}=0,25$;

$0,25+7,15=7,40$.

Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.

Краткая запись решения:

$(-\frac{1}{4})+(−7,15)=−(\frac{1}{4}+7,15)=–(0,25+7,15)=−7,4$.

Для сложения положительного и отрицательного числа необходимо:

  1. вычислить модули чисел;
  2. выполнить сравнение полученных чисел:

  • если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;
  • если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;
  • из большего модуля вычесть меньший;

  • перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.
  • Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.

    Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.

    Пример 3

    Сложить числа $4$ и $−8$.

    Решение.

    Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.

    Найдем модули данных чисел:

    Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.

    Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$

    Краткая запись решения:

    $4+(–8) = –(8–4) = –4$.

    Ответ
    : $4+(−8)=−4$.

    Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.

    Вычитание чисел с разными и отрицательными знаками

    Правило вычитания отрицательных чисел:

    Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.

    Согласно правилу вычитания можно записать:

    $a−b=a+(−b)$.

    Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.

    Пример 4

    Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.

    Решение.

    Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.

    Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:

    $(−28)−(−5)=(−28)+5$.

    Выполним сложение чисел с противоположными знаками:

    $(−28)+5=−(28−5)=−23$.

    Ответ
    : $(−28)−(−5)=−23$.

    При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.

    Сложение и вычитание чисел с разными знаками

    Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.

    Пример 5

    Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.

    Решение.

    Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.

    Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:

    $(−11)−7=(–11)+(−7)$.

    Выполним сложение отрицательных чисел:

    $(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.

    Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

    Ответ
    : $(−11)−7=−18$.

    При вычитании дробных чисел с разными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.

    В рамках этого материала мы затронем такую важную тему, как сложение отрицательных чисел. В первом параграфе мы расскажем основное правило для этого действия, а во втором – разберем конкретные примеры решения подобных задач.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Основное правило сложения натуральных чисел

    Перед тем, как вывести правило, вспомним, что мы вообще знаем о положительных и отрицательных числах. Ранее мы условились, что отрицательные числа нужно воспринимать как долг, убыток. Модуль отрицательного числа выражает точные размеры этого убытка. Тогда сложение отрицательных чисел можно представить как сложение двух убытков.

    Воспользовавшись этим рассуждением, сформулируем основное правило сложения отрицательных чисел.

    Определение 1

    Для того чтобы выполнить сложение отрицательных чисел
    , нужно сложить значения их модулей и поставить минус перед полученным результатом. В буквенном виде формула выглядит как (− a) + (− b) = − (a + b) .

    Исходя из этого правила, можно сделать вывод, что сложение отрицательных чисел аналогично сложению положительных, только в итоге у нас обязательно должно получиться отрицательное число, ведь перед суммой модулей надо ставить знак минус.

    Какие можно привести доказательства этого правила? Для этого нам потребуется вспомнить основные свойства действий с действительными числами (или с целыми, или с рациональными –они одинаковы для всех этих типов чисел). Для доказательства нам нужно всего лишь продемонстрировать, что разность левой и правой части равенства (− a) + (− b) = − (a + b) будет равна 0 .

    Вычесть одно число из другого – это то же самое, что и прибавить к нему такое же противоположное число. Следовательно, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Вспомним, что числовые выражения со сложением обладают двумя основными свойствами – сочетательным и переместительным. Тогда мы можем сделать вывод, что (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Поскольку, сложив противоположные числа, мы всегда получаем 0 , то (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 , а 0 + 0 = 0 .Наше равенство можно считать доказанным, значит, и правило сложения отрицательных чисел мы тоже доказали.

    Во втором параграфе мы возьмем конкретные задачи, где нужно складывать отрицательные числа, и попробуем применить в них изученное правило.

    Пример 1

    Найдите сумму двух отрицательных чисел — 304 и — 18 007 .

    Решение

    Выполним действия пошагово. Сначала нам надо найти модули складываемых чисел: — 304 = 304 , — 180007 = 180007 . Далее нам нужно выполнить действие сложения, для чего мы используем метод подсчета столбиком:

    Все, что нам осталось, – это поставить минус перед результатом и получить — 18 311 .

    Ответ:
    — — 18 311 .

    От того, какие у нас числа, зависит, к чему мы можем свести действие сложения: к нахождению суммы натуральных чисел, к сложению обыкновенных или десятичных дробей. Разберем задачу с такими числами.

    Пример N

    Найдите сумму двух отрицательных чисел — 2 5 и − 4 , (12) .

    Решение

    Находим модули искомых чисел и получаем 2 5 и 4 , (12) . У нас получились две разные дроби. Сведем задачу к сложению двух обыкновенных дробей, для чего представим периодическую дробь в виде обыкновенной:

    4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33

    В итоге мы получили дробь, которую будет легко сложить с первым исходным слагаемым (если вы забыли, как правильно складывать дроби с разными знаменателями, повторите соответствующий материал).

    2 5 + 136 33 = 2 · 33 5 · 33 + 136 · 5 33 · 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105

    В итоге мы получили смешанное число, перед которым нам осталось только поставить минус. На этом расчеты завершены.

    Ответ:
    — 4 86 105 .

    Действительные отрицательные числа складываются аналогичным образом. Результат такого действия принято записывать числовым выражением. Его значение можно и не вычислять или ограничиться примерными расчетами. Так, к примеру, если нам надо найти сумму — 3 + (− 5) , то ответ мы записываем как — 3 − 5 . Сложению действительных чисел мы посвятили отдельный материал, в котором можно найти и другие примеры.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Умножение и деление отрицательных чисел

    Мы уже умеем складывать и вычитать отрицательные числа.

    Теперь давайте разберемся с умножением и делением.

    Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?

    Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3х(-4)=-12.

    Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.

    Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом. Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.

    А как перемножить два отрицательных числа?

    К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.

    Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения, сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.

    Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.

    Положение знака при умножении изменяется таким образом:

    • положительное число х положительное число = положительное число;
    • отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
    • положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
    • отрицательное число х отрицательное число = положительное число.

    Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число. Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число.

    Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для деления.

    (+12):(+3)=+4;

    (+12):(-3)=-4;

    (-12):(+3)=-4;

    (-12):(-3)=+4.

    Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения. Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).

    Поскольку скоро зима, то пора уже подумать о том, в что переобуть своего железного коня, что бы не скользить по льду и чувствовать себя уверено на зимних дорогах. Можно, например, взять шины йокогама на сайте: mvo.ru или какие-то другие, главное, что бы качественный, больше информации и цены вы можете узнать на сайте Mvo.ru.

    Материалы по теме:

    Поделиться с друзьями:

    Загрузка…

    Сложение и вычитание целых чисел

    В данном уроке мы изýчим сложение и вычитание целых чисел.

    Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:

    −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

    Положительные числа легко складываются и вычитаются, умножаются и делятся. К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой.

    Примеры сложения и вычитания целых чисел

    Первое чему следует научиться это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа и где положительные.

    Рассмотрим следующее простейшее выражение

    1 + 3

    Значение данного выражения равно 4

    1 + 3 = 4

    Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

    Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что нужно двигаться вправо в сторону увеличения чисел.


    Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3

    Значение данного выражения равно −2

    1 − 3 = −2

    Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

    Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что нужно двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

    Вообще, если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.


    Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4

    Значение данного выражения равно 2

    −2 + 4 = 2

    Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2

    Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.


    Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3

    Значение данного выражения равно −4

    −1 − 3 = −4

    Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4

    Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.


    Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2

    Значение данного выражения равно 0

    −2 + 2 = 0

    Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0

    Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.


    Правила сложения и вычитания целых чисел

    Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Можно воспользоваться готовыми правилами.

    Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.

    Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5

    Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками, потому что −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:

    Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

    Итак, посмотрим какой модуль больше:

    Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

    У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть ответ будет положительным:

    −2 + 5 = 5 − 2 = 3

    Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3


    Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)

    Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3 + −2.

    Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:

    3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

    Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа, модуль которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть ответ положительный.

    Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1


    Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7

    В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:

    Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.

    3 − 7 = 7 − 3 = −4

    В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.

    Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4

    Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.

    Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:

    3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

    В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:

    После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.

    Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:

    3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

    Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:

    a − b = − (b − a)

    Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.

    На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.

    Итак, знакомимся с новым правилом:

    Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

    Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:

    5 − 3 = 2

    Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

    На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:

    5 + (−3)

    А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:

    5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

    Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.

    Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.

    Например, в выражении 3 − 1  знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.

    А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:

    (+3) − (+1)

    Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.

    В выражении (+3) − (+1) вычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).

    Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)

    (+3) − (+1) = (+3) + (−1)

    Дальнейшее вычисление не составит особого труда.

    (+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

    На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.

    Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.

    У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:

    (+3) − (+7)

    Заменим вычитание сложением:

    (+3) − (+7) = (+3) + (−7)

    Дальнейшее вычисление не составляет труда:

    (+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4


    Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5

    Приведём выражение к понятному виду:

    (−4) − (+5)

    Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).

    (−4) − (+5) = (−4) + (−5)

    Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев применяется следующее правило:

    Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

    Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:

    (−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

    Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:

    (−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

    Решение для данного примера можно записать покороче:

    −4 − 5 = −(4 + 5) = −9

    или ещё короче:

    −4 − 5 = −9


    Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9

    Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:

    (−3) − (+5) − (+7) − (+9)

    Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:

    (−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

    Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

    (−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

    = −( |−3| + |−5| + |−7| + |−9| ) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

    Решение данного примера можно записать покороче:

    −3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

    или ещё короче:

    −3 − 5 − 7 − 9 = −24


    Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7

    Приведём выражение к понятному виду:

    (−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

    Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:

    (−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

    Соблюдая порядок действий, выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:

    Первое действие:

    (−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

    Второе действие:

    (−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

    Третье действие:

    (−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

    Четвёртое действие:

    (−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

    Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15

    Примечание. Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.

    Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:

    Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

    Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить минус.

    Вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому такое число, которое противоположно вычитаемому.

    Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.


    Задания для самостоятельного решения

    Задание 1. Найдите значение выражения:

    −50 + 40

    Решение

    −50 + 40 = −10

    Задание 2. Найдите значение выражения:

    25 + (−5)

    Решение

    25 + (−5) = 20

    Задание 3. Найдите значение выражения:

    −20 + 60

    Решение

    −20 + 60 = 40

    Задание 4. Найдите значение выражения:

    20 + (−8)

    Решение

    20 + (−8) = 12

    Задание 5. Найдите значение выражения:

    30 + (−50)

    Решение

    30 + (−50) = −20

    Задание 6. Найдите значение выражения:

    27 + (−19)

    Решение

    27 + (−19) = 8

    Задание 7. Найдите значение выражения:

    −17 + (−12) + (−8)

    Решение

    Задание 8. Найдите значение выражения:

    −6 − 4

    Решение

    −6 − 4 = −6 + (−4) = −10

    Задание 9. Найдите значение выражения:

    −6 − (−4)

    Решение

    −6 − (−4) = −6 + 4 = −2

    Задание 10. Найдите значение выражения:

    −15 − (−15)

    Решение

    −15 − (−15) = −15 + 15 = 0

    Задание 11. Найдите значение выражения:

    −11 − (−14)

    Решение

    −11 − (−14) = −11 + 14 = 3

    Задание 12. Найдите значение выражения:

    −3 + 2 − (−1)

    Решение

    Задание 13. Найдите значение выражения:

    −5 − 6 − 3

    Решение


    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



    Возникло желание поддержать проект?
    Используй кнопку ниже

    Навигация по записям

    Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

    Числа могут быть положительными или отрицательными

    Это числовая строка:

    Отрицательные числа (-) Положительные числа (+)

    «-» — отрицательный знак. «+» — положительный знак

    Отсутствие знака означает положительный результат

    Если число имеет без знака , это обычно означает, что это положительное число .

    Воздушные шары и гири

    Давайте подумаем о числах как о воздушных шарах (положительных) и весах (отрицательных):

    К этой корзине привязаны воздушные шары и гирьки:

    Добавление положительного числа

    Сложение положительных чисел — это просто сложение.

    Мы можем добавить шары (мы добавляем положительное значение )

    корзина тянется вверх (положительно)

    Пример: 2 + 3 = 5

    действительно говорит

    «Положительное 2 плюс Положительное 3 равно Положительное 5»

    Мы могли бы записать это как (+2) + (+3) = (+5)

    Вычитание положительного числа

    Вычитание положительных чисел — это просто вычитание.

    Воздушные шары можно забрать ( вычитаем положительное значение )

    корзина тянется вниз (минус)

    Пример: 6 — 3 = 3

    действительно говорит

    «Положительное 6 минус Положительное 3 равно Положительное 3»

    Мы могли бы записать это как (+6) — (+3) = (+3)

    Добавление отрицательного числа

    Теперь посмотрим, как выглядит сложение и вычитание отрицательных чисел :

    Мы можем добавлять веса (мы добавляем отрицательные значения )

    корзина тянется вниз (минус)

    Пример: 6 + (−3) = 3

    действительно говорит

    «Положительные 6 плюс отрицательные 3 равны положительным 3»

    Мы могли бы записать это как (+6) + (−3) = (+3)

    Последние два примера показали нам, что удаление воздушных шаров (вычитание положительного числа) или прибавление веса (добавление отрицательного числа) заставляет корзину опускаться.

    Значит, результат тот же :

    • (+6) — (+3) = (+3)
    • (+6) + (−3) = (+3)

    Другими словами, вычитание положительного то же самое, что добавление отрицательного .

    Вычитание отрицательного числа

    Наконец, мы можем убрать веса (мы вычитаем отрицательных значений )

    корзина тянется вверх (положительно)

    Пример: Что такое 6 — (−3)?

    6 — (- 3) = 6 + 3 = 9

    Да, действительно! Вычесть отрицание — это то же самое, что и сложить!

    Два отрицания дают положительный результат

    Что мы нашли?

    Добавление положительного числа — это простое сложение…

    Добавление положительного значения Добавление

    Положительное и отрицательное вместе …

    Вычитание положительного
    или
    Добавление отрицательного
    равно
    Вычитание

    Пример: Что такое 6 — (+3)?

    6 — (+ 3) = 6 3 = 3

    Пример: Что такое 5 + (−7)?

    5 + (- 7) = 5 7 = −2

    Вычитание негатива…

    Вычитание отрицательного числа аналогично добавлению

    Пример: Что такое 14 — (−4)?

    14 — (- 4) = 14 + 4 = 18

    Правила:

    Все это можно поместить в два правила :

    Правило Пример
    + (+) Два одинаковых знака превращаются в знак плюс 3 + (+ 2) = 3 + 2 = 5
    — (-) 6 — (- 3) = 6 + 3 = 9
    + (-) Два непохожих знака превращаются в знак минуса 7 + (- 2) = 7 2 = 5
    — (+) 8 — (+ 2) = 8 2 = 6

    Они «как знаки», когда они похожи друг на друга (другими словами: одинаковые).

    Итак, все, что вам нужно запомнить, это:

    Два знака , похожие на , становятся положительным знаком

    Два знака , отличных от , становятся отрицательным знаком

    Пример: Что такое 5 + (- 2)?

    + (-) — это в отличие от знаков (они не совпадают), поэтому они становятся отрицательным знаком .

    5 + (- 2) = 5 2 = 3

    Пример: Что такое 25 — (- 4)?

    — (-) — это , как знак , поэтому они становятся положительным знаком .

    25 — (- 4) = 25 + 4 = 29

    Пример: Что такое −6 + (+ 3)?

    + (+) — это , как и знак , поэтому они становятся положительным знаком .

    −6 + (+ 3) = −6 + 3 = −3

    Начните с −6 на числовой прямой, двигайтесь вперед на 3, и вы получите −3

    А теперь поиграйте!

    Попробуйте сыграть в Casey Runner, вам нужно знать правила положительного и отрицательного, чтобы добиться успеха!

    Объяснение здравого смысла

    И есть объяснение «здравого смысла»:

    Если я скажу «Ешь!» Я призываю вас поесть (положительный результат)

    Если я скажу «Не ешьте!» Я говорю об обратном (отрицательном).

    Теперь, если я скажу: « НЕ, не ешьте!», Я говорю, что не
    хочу, чтобы вы умерли с голоду, поэтому я снова говорю: «Ешь!» (положительный).

    Итак, два отрицания дают положительный результат, и если это вас устраивает, тогда
    вы сделали!

    Другое объяснение здравого смысла

    Друг +, враг —

    .

    + + ⇒ + друг друга мой друг
    + — ⇒ — друг врага — мой враг
    — + ⇒ — враг друга — мой враг
    — — ⇒ + враг врага мой друг

    Пример банка

    Пример. В прошлом году банк по ошибке снял с вашего счета 10 долларов, и они хотят это исправить.

    Итак, банк должен забрать отрицательные 10 долларов.

    Допустим, ваш текущий баланс составляет 80 долларов, поэтому у вас будет:

    80 долларов — (- 10 долларов) = 80 долларов + 10 долларов = 90 долларов

    Итак, вы получаете на свой счет долларов, еще 10 .

    Длинный пример, который вам может понравиться

    Очки союзника

    Элли может быть непослушным или милым. Так родители Элли сказали

    «Если вы будете любезны, мы добавим 3 балла (+3).
    Если вы непослушны, снимаем 3 балла (−3).
    Когда вы набираете 30 очков, вы получаете игрушку ».

    Союзник начинает день с 9 очками: 9
    Мама Элли обнаруживает пролитое молоко: 9 — 3 = 6

    Тогда папа признается, что пролил молоко и пишет «отменить».

    Как «отменить» минус 3?
    Мы добавляем 3 снова!

    Итак, мама считает: 6 — (−3) = 6 + 3 = 9

    Итак, когда мы вычитаем отрицательное, мы получаем
    баллов (т.е.е. так же, как добавление очков).

    Таким образом, вычитание отрицательного числа аналогично добавлению

    Несколько дней спустя. У Элли 12 очков.
    Мама добавляет 3 очка, потому что в комнате Элли чисто. 12 + 3 = 15
    Папа говорит: «Я убрал эту комнату» и пишет «отменить» на диаграмме.Мама считает: 15 — (+3) = 12
    Папа видит, как Элли чистит собаку. Пишет на графике «+3». Мама считает: 12 + (+3) = 15
    Элли бросает камень в окно. Папа пишет на диаграмме «−3».Мама считает: 15 + (−3) = 12

    См .: как « 15 — (+3) », так и « 15 + (−3) » дают 12.

    Итак:

    Неважно, вычтете ли вы положительные
    баллов или добавите отрицательные,
    вы все равно потеряете баллы.

    Таким образом, вычитание положительного
    или
    Добавление отрицательного
    равно
    Вычитание

    Попробуйте эти упражнения…

    Теперь попробуйте этот лист и посмотрите, как у вас дела.

    А еще попробуйте эти вопросы:

    Умножение и деление на целые числа (предварительная алгебра, изучение и понимание целых чисел) — Mathplanet

    Вы также должны обращать внимание на знаки при умножении и делении. Следует помнить два простых правила:

    Когда вы умножаете отрицательное число на положительное, произведение всегда отрицательное.

    Когда вы умножаете два отрицательных числа или два положительных числа, произведение всегда будет положительным.

    Это похоже на правило сложения и вычитания: два знака минус становятся плюсом, а плюс и минус становятся минусом. Однако при умножении и делении вы вычисляете результат, как если бы не было знаков минус, а затем смотрите на знаки, чтобы определить, положительный или отрицательный результат. Два примера быстрого умножения:

    $$ 3 \ cdot (-4) = — 12 $$

    3 умножить на 4 равно 12. Поскольку существует одно положительное и одно отрицательное число, произведение равно отрицательному 12.

    $$ (- 3) \ cdot (-4) = 12 $$

    Теперь у нас есть два отрицательных числа, поэтому результат положительный.

    Переходя к делению, вы можете вспомнить, что вы можете подтвердить полученный ответ, умножив частное на знаменатель. Если вы ответили правильно, то произведение этих двух чисел должно совпадать с числителем. Например,

    $$ \ frac {12} {3} = 4 $$

    Чтобы проверить, является ли 4 правильным ответом, мы умножаем 3 (знаменатель) на 4 (частное):

    $$ 3 \ cdot 4 = 12 $$

    Что произойдет, если разделить два отрицательных числа? Например,

    $$ \ frac {(- 12)} {(- 3)} = \:? $$

    Чтобы знаменатель (-3) стал числителем (-12), вам нужно умножить его на 4, поэтому частное равно 4.

    Итак, частное отрицательного и положительного чисел отрицательно, и, соответственно, частное положительного и отрицательного чисел также отрицательно. Можно сделать вывод, что:

    Когда вы делите отрицательное число на положительное, то частное отрицательное.

    Когда вы делите положительное число на отрицательное, частное также становится отрицательным.

    Когда вы делите два отрицательных числа, получается положительное частное.

    Те же правила верны и для умножения.

    Видеоурок

    Вычислить следующие выражения

    $$ (- 4) \ cdot (-12), \: \: \: \: \ frac {-12} {3} $$

    Правила отрицательных и положительных чисел

    Целые числа, десятичные дроби и дроби могут быть как положительными, так и отрицательными. Отрицательное число — это любое число меньше нуля, а положительное число — любое число больше нуля. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Вы можете складывать, вычитать, умножать и делить как положительные, так и отрицательные числа, комбинируя отрицательные, положительные числа или их комбинацию.

    Сложение чисел

    При добавлении положительного к положительному или отрицательного к отрицательному, сложите их вместе и дайте им одинаковый знак. Например, 5 + 5 равно 10, а -5 + -7 равно -12. При сложении положительного числа и отрицательного числа используйте вычитание, взяв абсолютное значение — числа без знаков — и вычтите меньшее из большего. Затем дайте ответ знак большего числа. Например, -7 + 4 означает, что вы берете 7, вычитаете 4 и даете ответ отрицательный знак, поскольку абсолютное значение -7 больше 4.

    Вычитание

    Для вычитания измените знак вычитаемого числа на противоположный и следуйте правилам сложения. В 12–9 возьмите 9 и преобразуйте его в отрицательное значение, затем сложите их вместе, получив 12 + (-9). Сложите два новых значения вместе, чтобы получить 3. При вычитании отрицательного значения из отрицательного, например -6 ​​- -4, переключите -4 на положительное 4 и сложите значения вместе, чтобы получить -6 + 4, получив -2 после сложения. правила. Чтобы вычесть положительное и отрицательное число, 12 — -9, переключите -9 на 9 и сложите значения, чтобы получить 21.

    Умножение

    При умножении положительного и положительного числа вместе или отрицательного и отрицательного вместе сохраняйте один и тот же знак. Когда вы умножаете положительное и отрицательное число вместе, результат всегда отрицательный. Любое число, умноженное на ноль, становится нулем и не является ни положительным, ни отрицательным.

    Деление

    Правила деления немного отличаются от правил умножения. Положительное число, разделенное на положительное, всегда является положительным, а отрицательное, разделенное на положительное, или наоборот, всегда отрицательным.При делении отрицательного на отрицательный вы делите абсолютные значения друг на друга. На ноль делить нельзя.

    Добавление положительных и отрицательных чисел

    Добавить положительные числа, такие как 2 + 2, очень просто.

    Когда мы добавляем отрицательное число к положительному или к двум отрицательным числам, это иногда может показаться сложным. Однако есть несколько простых правил, которым нужно следовать, и мы их здесь вводим.

    Правило 1. Добавление положительных чисел к положительным — это обычное сложение.

    Например: это то, что вы усвоили с самого начала. 3 + 2 — два положительных числа. Вы можете вычислить эти проблемы так же, как и всегда: 3 + 2 = 5.

    Правило 2. Добавление положительных чисел к отрицательным — считайте добавляемую сумму вперед.

    Здесь становится немного сложнее. Обратите особое внимание на то, где в проблеме находятся отрицательные знаки.

    Например: -6 + 3. Это будет «минус шесть плюс три». Лучший способ подумать об этой проблеме — использовать числовую строку, которая продолжается до отрицательных чисел.

    Вы начинаете с отрицательного числа -6.

    И вы добавляете три к этому числу, что означает, что вы перемещаете три точки вправо.

    class = «green-text»> Ответ -3. -6 + 3 = -3.

    Правило 3. Добавление отрицательных чисел к положительным — считайте в обратном порядке, как если бы вы вычитали.

    Теперь давайте посмотрим на обратное уравнение. Когда вы добавляете отрицательное число к положительному, вы фактически вычитаете второе число из первого.
    Например, возьмите 4 + (-2). Как это выглядит в строке чисел?

    Вы начинаете с 4.

    И затем вы добавляете отрицательное число, что означает, что вы движетесь влево — в отрицательном направлении. Обычно вы вычитаете 2,

    .

    Ответ 2. 4 + (-2) = 2.

    Правило 4: Добавление отрицательных чисел к отрицательным числам — относитесь к проблеме как к вычитанию (обратный счет).

    Когда вы добавляете отрицательное число к отрицательному, это становится вычитанием, когда вы начинаете с отрицательной точки в строке чисел и перемещаетесь влево.

    Например, -3 + (-2). Это читается как «отрицательные три плюс отрицательные 2». Вам нужно игнорировать знак плюса и понимать, что второй минус означает, что вы вычитаете это число.

    Мы начинаем с -3.

    Затем вычитаем 2.

    Ответ -5. -3 + (-2) = -5.

    Вычитание положительных и отрицательных чисел

    Вычесть положительные числа, такие как 4–2, очень просто.Когда мы вычитаем отрицательные числа или вычитаем отрицательные числа из положительных, все становится сложнее.
    Вот несколько простых правил, которым нужно следовать при вычитании отрицательных чисел.

    Правило 1. Вычитание положительного числа из положительного — это обычное вычитание.

    Например: это то, что вы узнали раньше. 6-3 — два положительных числа. Решите это уравнение, как всегда: 6 — 3 = 3.

    Правило 2: Вычитание положительного числа из отрицательного числа — начните с отрицательного числа и отсчитывайте в обратном порядке.

    Например: Допустим, у нас есть задача -2 — 3. Используя числовую линию, давайте начнем с -2.

    Теперь сосчитайте назад на 3 единицы. Так что продолжайте отсчитывать три пробела от -2 в числовой строке.

    Ответ: -2 — 3 = -5.

    Правило 3: вычитание отрицательного числа из отрицательного числа — знак минус, за которым следует отрицательный знак, превращает два знака в знак плюс.

    Итак, вместо того, чтобы вычитать отрицательное, вы добавляете положительное.Обычно — (-4) становится +4, а затем вы складываете числа.

    Например, у нас есть проблема -2 — –4. Это будет выглядеть как «два отрицательных минус 4 отрицательных». Итак, мы меняем два отрицательных знака на положительные, и теперь уравнение принимает вид -2 + 4.

    На числовой строке он начинается с -2.

    Затем продвигаемся на 4 единицы: +4.

    class = «green-text»> Ответ: -2 — (-4) = 2.

    Правило 4: Вычитание отрицательного числа из положительного — превратите знак вычитания, за которым следует отрицательный знак, в знак плюс.

    Итак, вместо того, чтобы вычитать отрицательное, вы добавляете положительное. Таким образом, уравнение превращается в простую задачу сложения.

    Например: допустим, у нас есть проблема 2 — (-3). Это читается как «два минус три минус». — (-3) превращается в +3.

    На числовой прямой мы начинаем с 2.

    Затем продвигаемся на три единицы: 2 + 3.

    Ответ 2 — (-3) = 5.

    правил сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел

    правил сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел

    Правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел

    Вот несколько мыслей о минусах:

    Сначала правила добавления минусов:

    (1) Если вы складываете два положительных числа, просто сложите числа и сохраните положительный знак.
    Пример: +5 + (+4) = +9

    (2) Если вы складываете два отрицательных числа, сложите два числа и сохраните отрицательный знак.
    Пример: -7 + (-8) = -15

    (3) Если вы сложите одно положительное и одно отрицательное число,
    вычтите два числа и сохраните знак большего.
    Примеры:
    -8 + (+6) = -2
    -8 + (+16) = +8

    Имея дело с отрицательными числами, часто легко думать об отрицательном знаке как о «противоположности».

    И вы можете думать о хорошем как о ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ, а о плохом как о ОТРИЦАТЕЛЬНОМ.
    Вы можете думать о победе как о ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ, а о проигрыше как о НЕГАТИВНОМ.
    Вы можете думать о зарабатывании денег как о ПОЛОЖЕНИИ, а о трате денег как о НЕГАТИВНОСТИ.
    Вы можете думать о выигрыше как о ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ, а о проигрышном как о НЕГАТИВНОМ.

    Что противоположно добру? Ответ: Плохо. Итак, — (+3) = -3
    Что противоположно плохому?
    Ответ: Хорошо. Итак, — (-3) = +3

    Что противоположно выигрышу? Ответ: Проигрыш. Итак, — (+3) = -3

    Что противоположно потере 3 ярдов в футболе?
    Ответ: Набрать 3 ярда.
    Итак, — (-3) = +3

    Что противоположно получению 3 ярдов?
    Ответ: Потеря 3 ярда.
    Итак, — (+3) = -3

    Я всегда использовал футбольное поле, чтобы визуализировать сложение чисел со знаком.

    Если вы находитесь на линии 25 ярдов и теряете 7 ярдов, то вы находитесь на линии 18 ярдов:
    25 + (-7) = +18

    Или, если вы находитесь на линии схватки и теряете 6 ярдов, а затем потеряйте еще 7 ярдов,
    вы потеряете 13 ярдов:
    -6 + (-7) = -13

    Или вы можете просто использовать числовую строку для отображения сложений и вычитаний.

    Для сложения вы двигаетесь вправо; для вычитания вы двигаетесь влево.
    Кроме того, если число положительное, вы двигаетесь в указанном выше направлении;
    Но если число отрицательное, вы двигаетесь в противоположном направлении от нормального.

    Пример: 4 — (- 9) = 13.

    Вы вычитаете отрицательное число из положительного.

    Вы начинаете с точки 4 на числовой прямой.
    Вы возвращаетесь отрицательным 9 раз. То есть вы идете вправо 9 раз.
    Это отправит вас в точку 13.

    Пример: 4 + (-9) = -5

    Начните с цифры 4 в числовой строке.
    Затем вы перемещаете 9 единиц влево, потому что добавляете отрицательное число.
    Это ставит вас на -5.

    Подумайте о деньгах:
    ЕСЛИ у вас есть 22 доллара и вы потратите 6 долларов, тогда у вас будет 22 + (- 6) = 22 — (6) = 16
    Если у вас есть 22 доллара и вы потратите 30 долларов, то вы должны занять деньги. совершить сделку.
    22-30 = -8 (вы кому-то должны 8 долларов)

    Вот пример, который, как я слышал, поможет вам запомнить, какой знак будет в ответе при сложении и вычитании отрицательных чисел:

    Прежде всего, положительные числа — это Любовь, а отрицательные числа — это Ненависть.

    Положительный + Положительный = Любовь к Любви = Ответ — Любовь или Положительный (Если я люблю любить, я люблю.)

    Положительный + Отрицательный = Любовь к Ненависти = Ответ Ненависть или Отрицательный (Если я люблю ненавидеть, я ненавижу .)
    (Ваш ответ не всегда может быть отрицательным, но он будет вычитаться и в конечном итоге окажется меньше исходного числа.
    Пример: 5 + (-2) = 5-2 = 3
    Пример: 5 + (- 12) = -7

    Отрицательный + Отрицательный = Ненависть к Ненависти = Ответ — Любовь или Положительный (Если я ненавижу ненавидеть, я люблю.)
    (Опять же, ваш ответ не всегда может быть положительным, но он будет добавляться и в конечном итоге будет больше, чем исходное число.
    Пример: -5 — (-3) = -5 + 3 = -2; -3 — (-5) = -3 + 5 = 2

    Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел — Положительные и отрицательные числа — KS3 Maths Revision

    Для сложения и вычитания чисел всегда начинайте отсчет с нуля.

    Когда складывает положительных чисел, считайте до вправо .

    Когда вычитает положительных чисел, считать до оставшихся .

    Использование числовой строки

    Пример

    Вычислить \ (4-5-3 \).

    Представьте, что вы двигаетесь вверх и вниз по числовой строке, чтобы найти ответ.

    Начиная с нуля, считайте до \ ({4} \). Затем вычтите \ ({5} \). Затем вычтите \ ({3} \). Ответ: \ ({- 4} \).

    Расчет числовой линии

    Расчет 4 — 5 — 3

    Расчет числовой строки

    Начиная с нуля, считайте до 4.

    Расчет числовой строки

    Затем вычтите 5.

    Расчет числовой строки

    Затем вычтите 3.

    Вопрос

    Рассчитайте: \ (- 2 + 9 — 10 + 6 \).

    Показать ответ

    Ответ — \ ({3} \) или \ ({+ 3} \).

    Два знака

    • Когда складывает положительных чисел, считать до справа .
    • Когда складывает отрицательных чисел, считать до осталось .
    • Когда вычитает положительных чисел, считайте до , оставив .
    • Когда вычитает отрицательных чисел, считайте до правого .

    Помните:

    • вычтите , когда два разных знака появляются рядом друг с другом
    • добавьте , когда два одинаковых знака появляются рядом друг с другом

    Пример

    \ [3 + {-5} = 3 — 5 = -2 \]

    \ (3 — {-5} = 3 + 5 = +8 \) (или \ ({8} \))

    Вопрос

    Рассчитать:

    a ) \ (10 ​​+ — 7 \)

    b) \ (4 — — 3 \)

    Показать ответ

    a) \ (10 ​​+ — 7 = 10-7 = 3 \)

    b) \ (4 — -3 = 4 + 3 = 7 \)

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *