Двоичная шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления: Двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления. Арифметика в указанных системах счисления

Содержание

Информатик БУ — Кратко о системах счисления

Система счисления – это способ записи чисел с помощью символов. Мы все привыкли использовать десять различных знаков для записи чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такая система счисления называется десятичной. Один знак числа называется цифрой.

Основание системы счисления – это количество знаков, используемых для записи числа в этой системе. Основанием системы счислений, как правило, может являться любое натуральное число (например, шумеры использовали шестидесятеричную систему счисления), но сегодня наиболее распространены (кроме десятичной) двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Основание системы счисления указывается подстрочным знаком после числа, например 1012.

Разряд числа – это место цифры в числе. В зависимости от количества разрядов мы называем числа двузначными, трёхзначными, четырёхзначными и т.д.


Двоичная система счисления

Популярность двоичной системы в информатике обусловлена тем, что для записи чисел используется всего две цифры: 0 и 1. Это соответствует значению одного бита, который тоже может принимать значения 0 и 1. Поэтому во многих случаях один разряд двоичного числа называют битом. А так как в вычислительной технике информация передаётся в битах, то и числа удобнее передавать в виде двоичного (бинарного) кода.

Простой пример. IP-адрес компьютера состоит из четырёх байт, разделенных точками, к примеру:

192.168.0.1

Почему байты записаны в виде чисел? Если перевести байты этого IP-адреса в биты (двоичную систему), мы получим четыре восьмизначных двоичных числа:

11000000. 10101000.00000000.00000001

Двоичные числа состоят из восьми разрядов, а байт равен восьми битам.


Восьмеричная система счисления

Двоичная система счисления удобна для компьютера, но не очень удобна для людей, так как числа, записанные в ней, получаются очень большими по размеру. Представьте, десятичное число 10000000 в двоичной системе выглядит как 100110001001011010000000, не очень удобно, согласитесь?

Поэтому была введена восьмеричная система счисления. Восьмеричная система отличается от десятичной тем, что двоичные числа очень удобно приводить к основанию 8, а восьмеричные – к основанию 2. С десятичной всё немного сложнее. Для перевода используется таблица триад (в правом нижнем углу сайта есть кнопочка, можете посмотреть, а почитать про правила перевода можно здесь).


Шестнадцатеричная система счисления

Помните, что один разряд двоичной системы – это один бит? А два разряда шестнадцатеричной системы – это один байт. В современных компьютерах информация кодируется в байтах, поэтому во многих случаях удобно использовать шестнадцатеричную систему.

В шестнадцатеричной системе шестнадцать разрядов: цифры от 0 до 9, и буквы от A до F (где буквы от A до F – десятичные числа от 10 до 15 соответственно).

Шестнадцатеричную систему используют в низкоуровневом программировании, в компьютерном дизайне широко используются шестнадцатеричные коды цвета, в некоторых кодировках символы кодируются именно с помощью шестнадцатеричной системы… В общем, штука полезная:).

Одно из заданий ЕГЭ предыдущих лет было как раз на знание шестнадцатеричных цветовых кодов.

 

Пример: нужно определить, какой цвет зашифрован кодом #00FF00 в палитре RGB.

Решение: Данный код является кодом цвета в палитре RGB, то есть первые два разряда – Red, вторые два разряда – Green, третьи два разряда – Blue:

#00FF00

Получается, что красного цвета — 0, синего цвета – 0, а зелёного – FF, то есть 255 в десятичной системе счисления (максимальное двузначное шестнадцатеричное число). То есть это код чистого зелёного цвета.

 

Подобные коды вы можете встретить, к примеру, в палитре цветов Adobe Photoshop, или при разработке внешнего вида сайта, когда для различных элементов дизайна необходимо указать код цвета.

 

Восьмеричная система счисления — Программирование на C, C# и Java

Оглавление:
Перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную
Перевод из восьмеричной системы счисления в десятичную
Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную
Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную
Перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и из шестнадцатеричной системы в восьмеричную
Применение восьмеричной системы счисления

Восьмеричная система – одна из основных систем счислений наряду с двоичной, десятичной и шестнадцатеричной, применяемая в информационных технологиях.

Как мы знаем, компьютеры «воспринимают» лишь двоичную систему счисления, состоящую только из нулей и единиц. Однако человеку довольно непривычно и неудобно работать с такими числами. Например, привычное нам десятичное число 2 143 в двоичной системе будет выглядеть как 100001011111.  Переводить числа из двоичной системы в десятеричную также не очень удобно и бывает довольно муторно.

В итоге было решено использовать альтернативные и более простые системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. Числа 8 и 16 являются степенями двойки (2 в третьей и 2 в четвёртой степени соответственно), поэтому выполнять преобразования из двоичной системы и наоборот гораздо легче, чем при десятичной системе счисления, которая не может похвастаться своей причастностью к степеням числа 2.

Кроме того, числа в восьмеричной системе как минимум более приятны глазу и гораздо короче, чем их аналоги в двоичной системе. Так, например, в восьмеричной системе то же число 2 143 будет записываться как 4137.

В восьмеричной системе счисления, как уже можно было догадаться, основанием является цифра 8 и, соответственно, она вмещает в себя только восемь цифр: от 0 до 7. Поэтому числа в восьмеричной системе счисления очень похожи на десятичные, в отличие от шестнадцатеричных, где присутствуют буквы латинского алфавита или двоичных, состоящих только из двух цифр. Отличают эти две системы тем, что в восьмеричной отсутствуют цифры 8 и 9, а также, очевидно, нижними индексами: у числа в десятичной системе прибавляют нижний индекс с цифрой 10, а к числам в восьмеричной системе приписывают цифру 8, например:

 Теперь давайте научимся переводу чисел в восьмеричную систему счисления и наоборот.

Перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную

Давайте попробуем изучить перевод десятичного числа в восьмеричное на примере. После этого примера вы без проблем сможете переводить любые числа в эту систему.

Возьмём десятичное число 15 450 и попробуем перевести его в восьмеричную систему счисления.

Для начала нам необходимо разделить исходное число на основание системы, в которую мы хотим это число перевести. Для восьмеричной системы это число 8. То есть мы делим 15 450 на 8.

Происходит деление в столбик, но, в отличие от стандартного деления, мы не находим неполные частные, а делим сразу всё делимое на 8. Наибольшим числом, при котором 15 450 делится без остатка на 8 будет число 1 931. 1931 * 8 = 15 448. Теперь мы вычитаем из 15 450 полученное число 15 448, у нас получился остаток 2. Выделяем эту двойку, так как это уже кусочек нашего числа в восьмеричной системе.
Продолжаем: теперь делим полученное на предыдущем шаге частное на 8:

Всё точно так же: наибольшим числом, при котором 1 931 делится без остатка на 8 будет число 241. При умножении 241 на 8 получается число 1 928. Ищем разность между 1 931 и 1928 – получается 3. Выделяем её. Далее делим 241 на 8.

Получается число 30, умножив его на 8, получаем 240. Вычитаем из 241 это число, получается 1. Выделяем единицу.
Продолжаем деление до тех пор, пока частное не станет меньше 8!

Итак, делим 30 на 8, получается 3,75, отбрасываем дробную часть, получается 3. Умножаем 3 на 8, получается 24. 30 – 24 = 6. Выделяем шестёрку. Мы закончили деление так как 3 меньше 8. Обязательно выделяем последнее частное тоже (у нас это цифра 3).

Выделенные красным цифры – это и есть наше число в восьмеричной системе, НО они написаны наоборот. То есть, чтобы правильно прочитать число в восьмеричной системе, необходимо сделать это справа налево.

Таким образом, десятичное число 15 45010 в восьмеричной системе будет выглядеть как 36 1328.

Итого, алгоритм перевода чисел из десятичной системы в восьмеричную следующий:

  1. Разделить исходное число на 8. Найти максимальное частное и убрать дробную часть от него. Например, исходное число 20 : 8 = 2,5. Значит в частное мы записываем число 2.
  2. Умножить полученное частное на 8. Записать его под исходным числом.
  3. Найти остаток между этими числами и выделить его – это кусочек переведённого в восьмеричную систему числа.
  4. Затем разделить в столбик полученное частное на 8, записать ответ и проделать шаги 2 и 3.
  5. Производить деление до тех пор, пока делимое не станет меньше 8. Выделить это делимое тоже.
  6. Выписать все выделенные числа справа налево (т.е. последнее делимое будет на первом месте, затем идёт остаток, найденный на последнем шаге, затем остаток, найденный на предпоследнем шаге и т.д.). Полученное при такой записи число и будет нашим искомым восьмеричным.

Теперь перейдём к переводу восьмеричного числа в десятичную систему счисления.

Перевод из восьмеричной системы счисления в десятичную

Перевести восьмеричное число в десятичное даже проще, чем наоборот. Давайте рассмотрим пример: переведём восьмеричное число 36078 в десятичное.

Для начала мы делаем такую запись: с конца берём каждую цифру нашего исходного числа, каждое из них умножаем на 8, и все в целом складываем. Должно получиться примерно так:

Однако, это ещё не всё! После того, как мы сделали подобную запись, ко всем числам 8, на которые умножаются цифры исходного числа, необходимо добавить степени в порядке возрастания: 0, 1, 2 и т.д. Обязательно необходимо начинать с нулевой степени!

Всё, что остаётся после этого – просто посчитать. В итоге у нас получилось число 1927 в десятичной системе.

Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную – довольно необычное дело для тех, кто никогда с этим не сталкивался. Однако на деле всё не так пугающе, как может показаться с первого раза.

Давайте попробуем. Допустим, у нас есть двоичное число 1010010001011101100.

Для начала нам необходимо разбить это число на триады – группы из трёх цифр. Почему именно три цифры? Как мы знаем, у систем счислений имеются основания. И у двоичной системы основание – 2. Нам необходимо перевести двоичное число в восьмеричную систему с основанием 8. Математически это можно записать так:

Найти i, пожалуй, не составит труда: i = 3, то есть, для записи одного восьмеричного числа в двоичной системе необходимо 3 бита или, говоря иначе – 3 двоичные цифры. Поэтому мы и будем разбивать двоичное число на триады. Однако надо запомнить, что делать это надо с младшего бита. Бит – это одна цифра в двоичном числе. Чем дальше бит от начала числа, тем он младше. Самый младший бит – это последняя цифра двоичного числа. Иными словами, мы разбиваем число на триады, начиная с конца.

Внимание: если старшая триада не заполнена, до конца, перед ней необходимо дописать столько нулей, чтобы получилась полноценная триада.

Теперь всё, что нам остаётся – это перевести каждую из этих триад из двоичной системы счисления в восьмеричную. Это можно сделать самостоятельно:

Для этого в каждой отдельной триаде (начиная с первой) нужно каждую цифру (начиная с последней) умножить на 2, возведённую в степени от 0 до 2, и сложить полученные три числа.

Затем, полученные результаты по каждой отдельной триаде надо выписать, начиная с самой первой. Записанное число и будет нашим конечным результатом в восьмеричной системой счисления.

Однако можно сильно облегчить себе задачу, не высчитывая все триады числа, а просто сверяя каждую из них по таблице соответствия двоичных чисел восьмеричным, например, по такой:

Теперь можно просто смотреть на триаду, сверять её с таблицей и записывать число, соответствующее ей в восьмеричной системе.

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную

Самым удобным способом перевода из восьмеричной системы счисления в двоичную является использование таблицы соответствий. Итак, допустим, мы хотим перевести восьмеричное число 36702 в двоичную систему. Что же нам делать? Мы берём первую цифру нашего исходного числа – 3. Ищем её по таблице соответствия – в двоичной системе это 011. Берём следующую цифру – 6 и ищем её в таблице, находим 110, и так далее. Продолжаем, пока не переведём все восьмеричные цифры в триады. В итоге у нас получится необходимое двоичное число.

Внимание: Если в старших битах (то есть в самом начале двоичного числа) имеются нули, необходимо убрать их до первой единицы. Например, как на изображении ниже. В старшем бите у нас получился ноль при переводе восьмеричной тройки, и мы убрали его. Это делается для удобства, потому что зачем хранить и писать незначащие цифры.

Перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и из шестнадцатеричной системы в восьмеричную

К сожалению, несмотря на то, что эти системы счисления близки друг к другу, напрямую перевести друг в друга нельзя. Легче всего при переводе этих двух систем друг в друга воспользоваться посредничеством двоичной системы. То есть, перевести восьмеричную систему счисления в двоичную, разделив число на триады и воспользовавшись таблицей соответствий, а затем перевести это число из двоичной системы в шестнадцатеричную с помощью тетрад. И наоборот: перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную, а затем уже из двоичной системы в восьмеричную описанными выше способами.

Применение восьмеричной системы счисления

В прошлом веке выпускались компьютеры, в которых использовались 12-ти, 24-х и 36-битные слова. Это, например, модель ICT 1900 (1964 год), а также PDP-8, выпущенная в 1965 году – это коммерчески довольно успешная модель миникомпьютера в своё время. Кроме того, некоторые мейнфреймы от компании IBM использовали восьмеричную систему. В компьютерах, размер машинного которых кратен тройке, очень удобно использовать систему с основанием восемь, поскольку всегда все биты из слова можно представить в виде целого количества цифр в восьмеричной системе. Например, слово из 24-х бит, можно записать в виде 8-ми восьмеричных чисел.

Если говорить про использование восьмеричной системы в жизни людей, то известно, что в индейских языках Юки (Калифорния) и Паме (Мексика) использовалась данная система. Индейцы считали предметы не по количеству пальцев на руках, а по количеству промежутков между ними.

 

Восьмеричная система счисления

5 (100%) 12 votes


Поделиться в соц. сетях:

Восьмеричная система счисления

При описании двоичной системы счисления было упомянуто, почему современное «железо» понимает только двоичную систему. Однако человеку трудно воспринимать длинные записи нулей и единиц, а переводить числа из двоичной в десятичную систему и обратно трудоемко.

Поэтому в программировании иногда используют другие системы счисления – восьмеричную и шестнадцатеричную. Поскольку 8 и 16 являются степенями двойки,

8 = 23, 16 = 24

преобразование двоичного числа в эти системы, также как обратная операция, выполняются просто.

В восьмеричной системе счисления используется восемь знаков-цифр (от 0 до 7). Каждой цифре соответствует число из трех цифр в двоичной системе счисления:

000 – 0
001 – 1
010 – 2
011 – 3
100 – 4
101 – 5
110 – 6
111 – 7

Для преобразования двоичного числа в восьмеричное надо разбить его на тройки цифр и заменить каждую тройку соответствующей ей одной цифрой из восьмеричной системы счисления. Разбивать двоичное число на тройки следует с конца, а вместо недостающих цифр в начале можно записать нули.

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

В примере число 1011101 в двоичной системе приводится к числу 135 в восьмеричной системе счисления.

10111012 = 1358

Обратный перевод, когда восьмеричное число переводится в двоичное, выполняется аналогично. Только здесь на место восьмеричных цифр подставляются двоичные числа, состоящие из трех цифр.

135 = 001 011 101

Как перевести восьмеричное число в десятичное? Здесь действует тот же алгоритм, как при преобразовании двоичного числа в десятичное. Вспомним его:

11012 = 1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310

Однако в случае восьмеричного числа за основание степени берется десятичное число 8:

1358 = 1 * 82 + 3 * 81 + 5 * 80 = 64 + 24 + 5 = 9310

Преобразование десятичного числа в восьмеричное также похоже на перевод в двоичное, за исключением того, что делить надо на 8:

93 / 8 = 11, остаток 5
11 / 8 =  1, остаток 3
 1 / 8 =  0, остаток 1

Собираем остатки с конца и получаем число 135 в восьмеричной системе счисления.

Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная — 8 КЛАСС ► Информатика в школе и дома

Урок: Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная

Общие сведения о системах счисления

С древних времен в практической деятельности человека часто возникала потребность счета и измерения. Результаты счета предметов выражались вначале весьма примитивно: зарубки на палочках, узелки на веревках и др. С развитием письменности человек начал отображать с помощью знаков (записывать) информацию о количестве предметов на подручных материалах: глиняных табличках, папирусе, бересте и др. Таким образом, для обозначения чисел стали использовать знаки. 

Способ записи чисел с помощью письменных знаков называют системой счисления. Знаки, с помощью которых записываются числа, называют цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Одной из наиболее древних являлась египетская иероглифическая система счисления. В ней числа представлялись в виде отдельных знаков, например:

Так, число   означало:

100+10+10+1+1+1=123. 

Существовали системы счисления, в которых для записи чисел использовались буквы алфавита, например старославянская система счисления.

Десятичная система счисления зародилась в Индии приблизительно в 5 в., затем она появилась в арабских рукописях. Из арабских рукописей эта система пришла в Европу в 9-12 вв. Поэтому современную десятичную систему счисления называют арабской.

В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

Пример:

У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловые числа — это 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно  I, V, X, L, C, D, M.

Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:

  • унарная система;
  • непозиционные системы;
  • позиционные системы.

Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления.

В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта.

Унарную систему ещё называют системой бирок.

Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждый знак (цифра) в записи любого числа имеет одно и то же значение и не зависит от своего расположения в числе.

В большинстве непозиционных систем счисления числа образуются путём сложения узловых чисел.

В непозиционной римской системе счисления для обозначения чисел используются следующие знаки:

Например, число записанное в римской системе счисления, в десятичной системе счисления означает: 10+10+5+1+1+1=28.

Древнеегипетская и старославянская система также являются непозиционными.

Позиционными называют такие системы счисления, в которых значение каждого знака (цифры) в записи любого числа зависит от расположения (позиции) этого знака в числе. Количество цифр, используемых для записи чисел в позиционной системе счисления, называется ее основанием. 

Мы используем позиционную десятичную систему счисления. Основанием этой системы является число 10.

Для записи любого числа в десятичной системе счисления используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Комбинируя эти цифры, можно записывать любые числа.

Например, цифры числа 737 в десятичной системе счисления являются коэффициентами его записи в виде суммы степеней числа 10:

737=7⋅102+3⋅101+7⋅100=7⋅100+3⋅10+7⋅1

Из этого примера  видно, что цифра 7 в зависимости от своей позиции в этом числе означает и 7 сотен, и 7 единиц, а цифра 3 означает три десятка.

Пример:

Рассмотрим десятичное число 13456,7. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развернутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:

1⋅104+3⋅103+4⋅102+5⋅101+6⋅100+7⋅10−1. 

Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная

Для кодирования информации в компьютере вместо привычной десятичной системы счисления используется двоичная система счисления.

Двоичной системой счисления люди начали пользоваться очень давно. Древние племена Австралии и островов Полинезии использовали эту систему в быту. Так, полинезийцы передавали необходимую  информацию, выполняя два вида ударов по барабану: звонкий и глухой. Это было примитивное представление двоичной системы счисления.

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2.

Для записи чисел в ней использовали только две цифры:  0 и 1.

Для обозначения системы счисления, в которой представляется число, используют нижний индекс, указывающий основание системы. Например, 110112 —  число в двоичной системе счисления.

Цифры в двоичном числе являются коэффициентами его представления в виде суммы степеней с основанием 2, например:

1012=1⋅22+0⋅21+1⋅20.

В десятичной системе счисления это число будет выглядеть так:

1012=4+0+1=5.

Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём десятичное число 13 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

Получили 1310=11012.

Пример:

Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

22410=111000002.

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8.

 

Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в восьмеричной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём восьмеричное число  154368 в десятичную систему счисления.

154368=1⋅84+5⋅83+4⋅82+3⋅81+6⋅80=694210

Пример:

Переведём десятичное число 94 в восьмеричную систему счисления.

9410=1368

Шестнадцатеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 16.

 

Для записи чисел в шестнадцатеричной системе счисления используются цифры:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и латинские буквы A, B, C, D, E, F. Буквы A, B, C, D, E, F имеют значения 1010, 1110, 1210, 1310, 1410, 1510.

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Для перевода целого десятичного числа в шестнадцатеричную  систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 16 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём шестнадцатеричное число 2A7 в десятичное. В соответствии с вышеуказанными правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

2A716=2⋅162+10⋅161+7⋅160=512+160+7=679.

Пример:

Переведём десятичное число 158 в шестнадцатеричную систему счисления.

15810=9E16.

Для перевода числа из любой позиционной системы счисления в десятичную необходима использовать развернутую формулу числа, заменяя, если это необходимо, буквенные обозначения соответствующими цифрами.

Для перевода целых чисел десятичной системы счисления в число любой системы счисления последовательно выполняют деление нацело на основание системы счисления, пока не получат нуль. Числа, которые возникают как остаток от деления на основание системы счисление, представляют собой последовательную запись разрядов числа в выбранной системе счисления от младшего разряда к старшему. Поэтому для записи самого числа остатки от деления записывают в обратном порядке.

Рекомендованный список литературы

Босова Л.Л. Информатика —  Учебник для 8 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний

Таблица перевода двоичных, восьмеричных, десятичных (от 1 до 255) и шестнадцатеричных чисел.

Binary, Octal and Hexadecimal Numbers vs Decimal Numbers























0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F
000

001

002

003

004

005

006

007

010

011

012

013

014

015

016

017
00000000

00000001

00000010

00000011

00000100

00000101

00000110

00000111

00001000

00001001

00001010

00001011

00001100

00001101

00001110

00001111
16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31
10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A

1B

1C

1D

1E

1F
020

021

022

023

024

025

026

027

030

031

032

033

034

035

036

037
00010000

00010001

00010010

00010011

00010100

00010101

00010110

00010111

00011000

00011001

00011010

00011011

00011100

00011101

00011110

00011111
Десятичное

Dec
Шестнадцатеричное

Hex
Восьмеричное

Oct
Двоичное

Bin
32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47
20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

2A

2B

2C

2D

2E

2F
040

041

042

043

044

045

046

047

050

051

052

053

054

055

056

057
00100000

00100001

00100010

00100011

00100100

00100101

00100110

00100111

00101000

00101001

00101010

00101011

00101100

00101101

00101110

00101111
48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63
30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

3A

3B

3C

3D

3E

3F
060

061

062

063

064

065

066

067

070

071

072

073

074

075

076

077
00110000

00110001

00110010

00110011

00110100

00110101

00110110

00110111

00111000

00111001

00111010

00111011

00111100

00111101

00111110

00111111
Десятичное

Dec
Шестнадцатеричное

Hex
Восьмеричное

Oct
Двоичное

Bin
64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79
40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

4A

4B

4C

4D

4E

4F
100

101

102

103

104

105

106

107

110

111

112

113

114

115

116

117
01000000

01000001

01000010

01000011

01000100

01000101

01000110

01000111

01001000

01001001

01001010

01001011

01001100

01001101

01001110

01001111
80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95
50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

5A

5B

5C

5D

5E

5F
120

121

122

123

124

125

126

127

130

131

132

133

134

135

136

137
01010000

01010001

01010010

01010011

01010100

01010101

01010110

01010111

01011000

01011001

01011010

01011011

01011100

01011101

01011110

01011111
96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111
60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

6A

6B

6C

6D

6E

6F
140

141

142

143

144

145

146

147

150

151

152

153

154

155

156

157
01100000

01100001

01100010

01100011

01100100

01100101

01100110

01100111

01101000

01101001

01101010

01101011

01101100

01101101

01101110

01101111
Десятичное

Dec
Шестнадцатеричное

Hex
Восьмеричное

Oct
Двоичное

Bin
112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127
70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

7A

7B

7C

7D

7E

7F
160

161

162

163

164

165

166

167

170

171

172

173

174

175

176

177
01110000

01110001

01110010

01110011

01110100

01110101

01110110

01110111

01111000

01111001

01111010

01111011

01111100

01111101

01111110

01111111
128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143
80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

8A

8B

8C

8D

8E

8F
200

201

202

203

204

205

206

207

210

211

212

213

214

215

216

217
10000000

10000001

10000010

10000011

10000100

10000101

10000110

10000111

10001000

10001001

10001010

10001011

10001100

10001101

10001110

10001111
144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159
90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

9A

9B

9C

9D

9E

9F
220

221

222

223

224

225

226

227

230

231

232

233

234

235

236

237
10010000

10010001

10010010

10010011

10010100

10010101

10010110

10010111

10011000

10011001

10011010

10011011

10011100

10011101

10011110

10011111
Десятичное

Dec
Шестнадцатеричное

Hex
Восьмеричное

Oct
Двоичное

Bin
160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175
A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

AA

AB

AC

AD

AE

AF
240

241

242

243

244

245

246

247

250

251

252

253

254

255

256

257
10100000

10100001

10100010

10100011

10100100

10100101

10100110

10100111

10101000

10101001

10101010

10101011

10101100

10101101

10101110

10101111
176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191
B0

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

BA

BB

BC

BD

BE

BF
260

261

262

263

264

265

266

267

270

271

272

273

274

275

276

277
10110000

10110001

10110010

10110011

10110100

10110101

10110110

10110111

10111000

10111001

10111010

10111011

10111100

10111101

10111110

10111111
Десятичное

Dec
Шестнадцатеричное

Hex
Восьмеричное

Oct
Двоичное

Bin
192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207
C0

C1

C2

C3

C4

C5

C6

C7

C8

C9

CA

CB

CC

CD

CE

CF
300

301

302

303

304

305

306

307

310

311

312

313

314

315

316

317
11000000

11000001

11000010

11000011

11000100

11000101

11000110

11000111

11001000

11001001

11001010

11001011

11001100

11001101

11001110

11001111
208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223
D0

D1

D2

D3

D4

D5

D6

D7

D8

D9

DA

DB

DC

DD

DE

DF
320

321

322

323

324

325

326

327

330

331

332

333

334

335

336

337
11010000

11010001

11010010

11010011

11010100

11010101

11010110

11010111

11011000

11011001

11011010

11011011

11011100

11011101

11011110

11011111
224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239
E0

E1

E2

E3

E4

E5

E6

E7

E8

E9

EA

EB

EC

ED

EE

EF
340

341

342

343

344

345

346

347

350

351

352

353

354

355

356

357
11100000

11100001

11100010

11100011

11100100

11100101

11100110

11100111

11101000

11101001

11101010

11101011

11101100

11101101

11101110

11101111
Десятичное

Dec
Шестнадцатеричное

Hex
Восьмеричное

Oct
Двоичное

Bin
240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255
F0

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F9

FA

FB

FC

FD

FE

FF
360

361

362

363

364

365

366

367

370

371

372

373

374

375

376

377
11110000

11110001

11110010

11110011

11110100

11110101

11110110

11110111

11111000

11111001

11111010

11111011

11111100

11111101

11111110

11111111

Конспект урока: » Системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую «.

Урок 2

Учитель: Асылбекова Л. С. Класс: 8 Дата: ______________

Тема урока: » Системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую «.

Цель урока: дать первичное представление о структуре компьютерной памяти, системах счисления.

Задачи:

  • актуализация изученных ранее в курсе математики подходы к представлению числовой информации;

  • развитие эмоционально-эстетической отзывчивости учащихся средствами комплексного воздействия информационных технологий;

  • воспитание интерес к историческим сведениям.

Ход урока:

Изучение нового материала

  1. Общие сведения о системах счисления

Под системой счисления принято понимать совокупность приемов записи чисел. Условные знаки, которые при этом применяются, называют цифрами. В некоторых системах счисления кроме цифр могут использоваться специальные символы. Таким образом, в системах счислениях числа записываются как последовательность цифр или специальных символов. Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

В непозиционной системе счисления значение цифры не зависит от ее положения в записи числа. К непозиционной системе счисления относится, так называемая, Римская система счисления. Например, возьмем число ХХХ из Римской системы счисления. В данном числе цифра Х в любом месте означает число десять.

В позиционных системах счисления значение каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число. Например, в числе 999 (десятичная система счисления) первая справа цифра 9 означает количество единиц, содержащихся в числе, вторая – количество десятков, третья – количество сотен. Принимая за основание системы различные числа можно получить соответствующие системы счисления. Число Р единиц одного разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления, а сама система называется Р-ичной. Поэтому для записи произвольного числа в какой-либо позиционной системе счисления достаточно иметь Р различных цифр. Таким образом, любая позиционная система с любым целым основанием Р (при Р1) использует Р различных цифр а, которые обозначают последовательный ряд чисел от 0 и кончая числом Р-1. Эти цифры называются базисными.

Число записывается в виде последовательности Р-ичных цифр, которая разделена точкой на целую и дробную части. Если каждый из символов означает некоторую Р-ичную цифру, то запись числа имеет вид . Каждой цифре из этой последовательности принято определенное значение. Цифра, стоящая в некотором разряде, имеет значение в Р раз больше того, которое она имела бы в разряде с номером, меньшим на 1. И наоборот, в Р раз меньшее того, которое она имела бы в разряде с номером, большим на 1.

2. Позиционные системы счисления

Как было сказано, количество различных цифр, применяемых в позиционной системе счисления, называют ее основанием. Принимая за основание системы различные числа можно получить соответствующие системы счисления. К позиционным системам счисления, получившим наибольшее распространение, относятся десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Для того, чтобы отличать в какой системе представлено то или иное число, в дальнейшем будем записывать число с указанием используемой системы счисления. Например, — число 375 в десятичной системе счисления, а число — число 375 в восьмеричной системе счисления.

2.1. Десятичная система счисления

Это наиболее широко распространенная система счисления, которая использует 10 различных базисных цифр для представления любой величины. При записи чисел в десятичной системе счисления используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Несмотря на простоту и привычность десятичной системы счисления использование ее при передачи информации в вычислительных машинах представляется неудобной и технически не экономичной. Поэтому при организации вычислительных процессов в ЭВМ используются системы счисления с другими основаниями.

2.2. Двоичная система счисления

Большинство элементов, из которых строится ЭВМ, по своей физической природе могут находиться лишь в одном из двух состояний. Такие элементы называются двухпозиционными. Одно из устойчивых состояний элемента принимается за изображение цифры 0, а другое за изображение цифры 1. С помощью двухпозиционных элементов легко изображаются разряды двоичного числа. Поэтому двоичная система счисления имеет преимущества, и она оказывается очень удобной для применения в ЭВМ. Двоичная система счисления имеет только две цифры: 0 и 1. Это минимальное количество цифр, которое может быть принято в системе счисления.

Как и в десятичной системе счисления, в двоичной системе для отделения дробной части от целой используется точка, а перед отрицательным числом ставится минус (-):

2.3 Восьмеричная система счисления

В цифровых схемах и в электронных системах получила распространение восьмеричная система счисления. Данная система удобна тем, что восьмеричная запись какого-либо числа в три раза короче его двоичной записи. В данной системе счисления коэффициенты а принимают восемь различных значений — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Поскольку , то каждый восьмеричный символ может быть представлен трехбитовым числом. Этих чисел восемь, как и символов в восьмеричной системе счисления. Как и в рассмотренных системах счисления, в восьмеричной системе используются дробные и отрицательные числа:

2.4. Шестнадцатеричная система счисления

Для систем счисления с основанием больше “10”, арабских цифр для представления чисел не хватит. Поэтому в этих случаях дополнительно вводят специальные символы. К таким системам счисления относится шестнадцатеричная система счисления.

В шестнадцатеричной системе счисления используются 16 базисных символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F. Выбор шестнадцатеричной системы счисления обуславливается тем, что , т.е. эту систему можно использовать как средство сокращенной записи четырехразрядного двоичного числа.

Следует помнить, что шестнадцатеричные и восьмеричные числа – это только способ представления двоичных чисел.

Для представления дробных и отрицательных шестнадцатеричных чисел используется, соответственно, точка и знак минуса (-):

3. Перевод чисел в позиционных системах счисления

3.1. Перевод из десятичной системы счисления

Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо разделить исходное число на основание системы счисления в которое оно переводится. При этом надо определять остатки деления. Остаток первого деления является значением младшего разряда. Затем полученное частное делится на выбранное основание. Процедуру деления продолжают до тех пор пока не станет меньше делителя, т.е. основания системы счисления, в которую осуществляется перевод. Значение последнего частного будет наибольшим разрядом, т.е. запись нового числа производится в обратном порядке: от частного к первому остатку, используя все промежуточные остатки.

При переводе в шестнадцатеричную систему счисления остатки, значения которых больше 9, необходимо заменить соответствующим буквенным эквивалентом: 10-А, 11-В, 12-С, 13-D, 14-E, 15-F.

Пример перевода целого десятичного числа 95:

а) в двоичную систему счисления

95 2

94 47 2

1 46 23 2

1 22 11 2

1 10 5 2

1 4 2 2

1 2 1

0 Место для формулы.

б) в восьмеричную систему счисления

95 8

88 11 8

7 8 1

3

в) в шестнадцатеричную систему счисления

95 16

80 5

15

При переводе правильных десятичных дробей, необходимо умножить значение этой дроби на основание системы счисления, в которую осуществляется перевод. Значение целой части результата первого умножения присваивается старшему разряду дробной части. Затем целая часть не рассматривается и производится следующее умножение дробной части. Процедуру умножения повторяют до тех пор, пока результат умножения не будет равен целому числу и этот результат будет младшим разрядом, либо не будет достигнута требуемая точность.

Примеры перевода правильной десятичной дроби 0.36:

а) в двоичную

*0.36

2

*0.72

2

*1.44

2

*0.88

2

1.76

0.3610 = 0.01012

б) в восьмеричную

*0.36

8

*2.88

8

*7.04

8

*0.32

8

2.56

0.3610 = 0.27028

в) в шестнадцатеричную

*0.36

16

*5.76

16

*12.16

16

*2.56

16

8.96

0.3610 = 0.5C281

Для перевода неправильной десятичной дроби, необходимо перевести отдельно дробную и целую часть, а полученные результаты сложить.

Например, перевести в двоичную систему счисления неправильную десятичную дробь 14.375.

1410 = 11102 0.37510 = 0.0112 14.37510 = 1110.0112

    1. Перевод в десятичную систему счисления

Для перевода из любой позиционной системы счисления в десятичную систему счисления необходимо записать это число в виде суммы:

где Р – основание системы из которой осуществляется перевод; a – число, соответствующее базисной цифре Р-ичной системы счисления; n – число цифр в целой части; m – число цифр в дробной части.

Например, перевести число 110.101 из двоичной системы счисления в десятичную:

110.1012 = 1*22 + 1*21 + 0*20 + 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3 = 6.62510

Для удобства расчета в табл. 1 приведены значения степеней позиционных систем счисления.

Таблица 1.

Значения степеней позиционных систем счисления

Степень

Основание

4

3

2

1

-1

-2

-3

2

16

8

4

2

0.5

0.25

0.125

8

4096

512

64

8

0.125

0.0156

0.002

16

65536

4096

256

16

0.0625

0.004

0.0002

    1. Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную

Основания восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления (q) являются степенью основания двоичной системы (p) : q = pk , где k – целое число, равное 3 для восьмеричной системы счисления и 4 для шестнадцатеричной. Поэтому перевод из двоичной системы осуществляется разбиением двоичного числа на группы по три цифры в каждой для восьмеричной и по четыре для шестнадцатеричной. Отчет ведется от точки разделяющей целую часть от дробной в обе стороны. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой из соответствующих систем счисления (см. табл. 2 и 3). Недостающие биты двоичного числа дополняются нулями: впереди – для целой части и в конце – для дробной части. Например, необходимо перевести двоичное число 1010001110.00111 в восьмеричное и шестнадцатеричное число:

а) в восьмеричное

1010001100.001112 = 001 010 001 100.001 1102 = 1214.168

б) в шестнадцатеричное

1010001100.001112 = 0010 1000 1100.0011 10002 = 28С.3816

Таблица 2. Таблица 3.

Двоичные – восьмеричные Двоичные – шестнадцатеричные

000 – 0  001 – 1  010 – 2  011 – 3

100 – 4 101 – 5 110 – 6 111 — 7

0000 – 0 0001 – 1 0010 – 2 0011 – 3

0100 – 4 0101 – 5 0110 – 6 0111 – 7

1000 – 8 1001 – 9 1010 – А 1011 – В

1100 – С 1101 – D 1110 – E 1111 — F

    1. Перевод в двоичную систему счисления

из восьмеричной и шестнадцатеричной

Для перевода в двоичную систему из восьмеричной или шестнадцатеричной систем счисления необходимо каждое число заменить двоичным эквивалентом (см. табл.2 и 3). Например: 34.58 = 011 100.1012 ; A3.E16 = 1010 0011.11102.

    1. Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную

Для перевода из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления необходимо представить это число в виде двоичного числа. Затем объединить в группы по 4 бита и заменить соответствующим числом из шестнадцатеричной системы счисления (см. табл.2 и 3). Например: 3458 = 011 100 1012 = 0111001012 = Е516

    1. Перевод из шестнадцатеричной системы в восьмеричную

Для перевода шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную необходимо представить это число в виде двоичного числа. Затем объединить в группы по 3 бита и заменить соответствующим числом из восьмеричной системы счисления (см. табл.2 и 3). Например: В516 = 1011 01012 = 010 110 1012 = 2658

Вопросы учащихся.

Подведение итогов. Выставление оценок.

Домашнее задание п.2-3 стр 7-13 ПЗ в учебнике

5

Как перевести число из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную

  • Главная
  • Справочник
  • Информатика
  • Основы
  • Как перевести число из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную или четвертичную и наоборот часто требуется для решения задач по теме Системы счисления. Чтобы перевести число из одной системы в другую, нужно использовать таблицу перевода чисел.

Таблица перевода чисел


















Десятичная СС Двоичная СС Четвертичная СС Восьмеричная СС Шестнадцатеричная СС
1 1 1 1 1
2 10 2 2 2
3 11 3 3 3
4 100 10 4 4
5 101 11 5 5
6 110 12 6 6
7 111 13 7 7
8 1000 20 10 8
9 1001 21 11 9
10 1010 22 12 A
11 1011 23 13 B
12 1100 30 14 C
13 1101 31 15 D
14 1110 32 16 E
15 1111 33 17 F
16 10000 100 20 10

Как перевести число из двоичной системы счисления

Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в четвертичную, восьмеричную или шестнадцатеричную систему, нужно воспользоваться алгоритмом перевода:

  • Разбить двоичное число справа налево на группы по 2 (для четвертичной СС), 3 (для восьмеричной СС) или 4 (для шестнадцатеричной СС) цифры. Если слева не будет хватать цифр для полной группы, нужно дописать необходимое количество незначащих нулей.
  • Заменить каждую группу цифр на ее аналог в соответствующей системе счисления.

Как перевести число в двоичную систему счисления

Чтобы перевести число из четвертичной, восьмеричной или шестнадцатеричной системы счисления в двоичную, нужно воспользоваться алгоритмом перевода:

  • Заменить каждую цифру на двоичный аналог, состоящий из 2 (для четвертичной), 3 (для восьмеричной) или 4 (для шестнадцатеричной) цифр. Если нужно, число дополняется нулями слева.
  • Вычеркнуть из числа незначащие нули.

Онлайн калькулятор перевода чисел из одной системы счисления в любую другую

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Больше интересного в телеграм @calcsbox

Системы счисления — десятичные, двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные | Рукшани Атхапату | Coder’s Corner

Изображение предоставлено: Pexels

Давайте рассмотрим несколько различных систем счисления, которые используются сегодня, и посмотрим, как с помощью трех простых правил мы можем построить любую систему счисления, какую захотим.

В математике «основание» или «основание» — это количество различных цифр или комбинации цифр и букв, которые система счета использует для представления чисел. ~ Wiki ~

Например,

  • Base 10 ( Decimal) — Представляет любое число, используя 10 цифр [0–9]
  • Base 2 ( Binary ) — Представляет любое число, используя 2 цифры [0 –1]
  • Base 8 ( Octal ) — представляет любое число, используя 8 цифр [0–7]
  • Base 16 (Hexadecimal) — Представляет любое число, используя 10 цифр и 6 символов [0–9, A, B, C, D, E, F]

В любой из упомянутых выше систем счисления ноль очень важен как значение места.Возьмем число 1005. Как нам записать это число, чтобы знать, что в нем нет десятков и сотен? Мы не можем записать его как 15, потому что это другое число, а как записать миллион (1000000) или миллиард (1000000000) без нулей? Вы понимаете это значение?

Сначала мы увидим, как построена десятичная система счисления, а затем мы будем использовать те же правила и для других систем счисления.

Мы все умеем писать числа до 9, не так ли? Что тогда? Что ж, это действительно просто.Когда вы израсходуете все свои символы, вы сделаете

  • , вы добавите еще одну цифру слева и сделаете правую цифру 0.
  • Затем снова поднимитесь до, пока не закончите все символы с правой стороны. и когда вы нажмете последний символ, увеличьте цифру слева на 1.
  • Когда вы израсходуете все символы как на правой, так и на левой цифре, сделайте оба из них 0 и добавьте еще 1 слева, и это продолжится. и тому подобное.

Если вы используете 3 приведенных выше правила в десятичной системе,

  • Запишите числа 0–9.
  • Как только вы дойдете до 9, сделайте крайнюю правую цифру 0 и прибавьте 1 к левой, что означает 10.
  • Затем на правой цифре мы продвинемся до 9, а когда мы достигнем 19, мы используем 0 на правой цифре и добавим 1 к слева, поэтому мы получаем 20.
  • Точно так же, когда мы достигаем 99, мы используем 0 в местах обеих этих цифр и добавляем 1 слева, что дает нам 100.

Итак, вы видите, когда у нас есть десять разных символов, когда мы добавляем цифры в левую часть числа, каждая позиция будет стоить в 10 раз больше, чем предыдущая.

Возьмем ту же десятичную систему счисления. На самом деле есть только два правила.

  • У вас есть символ для представления количества [0–9]
  • Затем значение цифры в зависимости от ее положения — давайте это немного проясним.

Возьмем однозначное число «8». Это просто означает 8, другими словами, это именно то, что, как написано, представляет. А как насчет 24? В случае двух цифр правая цифра говорит то, что она означает, а левая цифра означает в десять раз больше, чем она говорит.То есть 4 равно 4, 2 равно 20. Всего получается 24.

Если мы возьмем трехзначное число, крайняя правая цифра означает то, что оно говорит, средняя цифра в десять раз больше того, что она говорит, а крайняя левая цифра в 100 раз больше того, что она говорит. Просто, если мы возьмем число 546, это означает 6 + (10 * 4) + (5 * 100) = 546.

В двоичном формате у нас есть только две цифры для представления числа, 0 и 1, и у нас уже закончились символы. . Так что же нам делать? Давайте применим те же правила, которые мы использовали для десятичной системы счисления.

Делаем правую цифру 0 и прибавляем 1 к левой, то есть наше следующее число — «10».Затем мы поднимаемся вверх, пока не израсходовали все наши символы с правой стороны. Итак, следующее число в строке — 11.

После «11» мы ставим 0 в обоих этих местах и ​​прибавляем 1 слева, и получаем 100.

Затем 101, 110, 111, затем 1000…

Эта двоичная система счисления основана на двух цифрах, и каждая позиция стоит в два раза больше, чем предыдущая позиция.

Чтение двоичного числа почти такое же, как чтение десятичного. Правая цифра означает, что это означает, следующая означает два раза предыдущую, после этого 4 раза и т. Д.

Итак, 101 означает 5 в десятичной системе счисления.

Эти же правила применяются также к восьмеричной и шестнадцатеричной системам счисления. В восьмеричном формате у нас есть только 8 цифр для представления чисел, поэтому, как только мы дойдем до 7, следующим числом будет 10, а в шестнадцатеричном формате у нас будет 10 цифр и 6 букв для представления чисел. В этом случае, когда мы дойдем до 9, следующая цифра будет представлена ​​буквой «А». Следующая буква «Б». Точно так же мы поднимаемся до буквы «F», а после «F» идет «10».

Я просто перечислю несколько чисел в этих 4 различных системах счисления и посмотрю, сможете ли вы применить правила, которые мы обсуждали выше, чтобы получить следующее число.

Чтобы понять, как компьютеры представляют положительные и отрицательные числа, прочтите это, а дополнительные сведения о шестнадцатеричном формате можно найти здесь.

Ссылки

Двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления

Двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная системы относятся к разным системам счисления. Тот, который мы обычно используем, называется десятичным. Эти системы счисления относятся к количеству символов, используемых для представления чисел. В десятичной системе мы используем десять разных символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.С помощью этих десяти символов мы можем обозначить любое количество. Например, если мы видим 2, значит, мы знаем, что есть два чего-то. Например, в конце этого предложения две точки.

Когда у нас заканчиваются символы, мы переходим к размещению следующей цифры. Чтобы представить единицу больше 9, мы используем 10, что означает одну единицу из десяти и ноль единиц. Это может показаться элементарным, но очень важно понимать нашу систему счисления по умолчанию, если вы хотите понимать другие системы счисления.

Например, когда мы рассматриваем двоичную систему, в которой используются только два символа, 0 и 1, когда у нас заканчиваются символы, нам нужно перейти к размещению следующей цифры.Итак, мы будем считать в двоичном формате 0, 1, 10, 11, 100, 101 и так далее.

В этой статье более подробно рассматриваются двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления и объясняется их использование.

Системы счисления используются для описания количества чего-либо или представления определенной информации. В связи с этим могу сказать, что слово «калькулятор» состоит из десяти букв. Наша система счисления, десятичная система, использует десять символов. Следовательно, десятичным считается Base Ten . Описывая системы с помощью оснований, мы можем понять, как работает эта конкретная система.

Когда мы считаем по системе Base Ten, мы считаем, начиная с нуля и заканчивая девятью по порядку.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…

Как только мы дойдем до последнего символа, мы создадим новое размещение перед первым и посчитаем его.

8, 9, 1 0, 11, 12,…, 19, 2 0,…

Это продолжается, когда у нас заканчиваются символы для этого места размещения. Итак, после 99 мы переходим к 100.

Размещение символа указывает, сколько он стоит.Каждое дополнительное размещение дает дополнительную степень 10. Рассмотрим число 2853. Мы знаем, что это число довольно велико, например, если оно относится к количеству яблок в корзине. Это много яблок. Как мы узнаем, что он большой? Смотрим количество цифр.

Каждое дополнительное размещение — это дополнительная степень 10, как указано выше. Рассмотрим эту диаграмму.

10 3 10 2 10 1 10 0
цифра цифра цифра цифра
* 1000 * 100 * 10 * 1

Каждая дополнительная цифра представляет все большее и большее количество.Это применимо как для Base 10, так и для других баз. Знание этого поможет вам лучше понять другие основы.

двоичный

Binary — это еще один способ сказать Base Two. Итак, в двоичной системе счисления для представления чисел используются только два символа: 0 и 1. Когда мы считаем с нуля в двоичной системе счисления, символы заканчиваются гораздо чаще.

Отсюда больше нет символов. Мы не переходим к 2, потому что в двоичном формате 2 не существует. Вместо этого мы используем 10.В двоичной системе 10 равно 2 в десятичной системе счисления.

Мы можем считать дальше.

Двоичный 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010
Десятичное число 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Как и в десятичной системе счисления, мы знаем, что чем больше цифр, тем больше число.Однако в двоичном формате мы используем степени двойки. В двоичном числе 1001101 мы можем создать диаграмму, чтобы узнать, что это на самом деле означает.

2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0
1 0 0 1 1 0 1
64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1
77

Поскольку это основание два, числа не становятся такими большими, как в десятичном.Тем не менее, двоичное число из 10 цифр будет больше 1000 в десятичном.


Двоичная система используется в информатике и электротехнике. Транзисторы работают от двоичной системы, и транзисторы можно найти практически во всех электронных устройствах. 0 означает отсутствие тока, а 1 означает разрешение тока. Когда различные транзисторы включаются и выключаются, сигналы и электричество отправляются для выполнения различных действий, например для совершения звонков или вывода этих букв на экран.

Компьютеры и электроника работают с байтами или восьмизначными двоичными числами. Каждый байт содержит закодированную информацию, которую компьютер способен понять. Многие байты объединяются в цепочки для формирования цифровых данных, которые можно сохранить для дальнейшего использования.

восьмеричный

Восьмеричная система счисления — это еще одна система счисления, в которой используется меньше символов, чем в нашей традиционной системе счисления. Восьмеричный формат является модным для Base Eight, что означает, что восемь символов используются для представления всех величин. Это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.Когда мы считаем единицу из 7, нам нужно новое размещение, чтобы представить то, что мы называем 8, поскольку 8 не существует в Octal. Итак, после 7 будет 10.

восьмеричный 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12… 17 20… 30… 77 100
Десятичное число 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10… 15 16… 24… 63 64

Так же, как мы использовали степень десяти в десятичной системе и степень двойки в двоичной системе, для определения значения числа мы будем использовать степень восьмерки, поскольку это основание восемь.Рассмотрим число 3623 по основанию восемь.

8 3 8 2 8 1 8 0
3 6 2 3
1536 + 384 + 16 + 3
1939

Каждое дополнительное размещение слева имеет большую ценность, чем в двоичном формате. Третья цифра справа в двоичном формате представляет только 2 3-1 , то есть 4.В восьмеричном формате это 8 3-1 , что равно 64.

Шестнадцатеричный

Шестнадцатеричная система счисления — основание шестнадцати. Как следует из основания, эта система счисления использует шестнадцать символов для представления чисел. В отличие от двоичного и восьмеричного, шестнадцатеричный имеет шесть дополнительных символов, которые он использует помимо обычных, найденных в десятичном. Но что будет после 9? 10 — это не одна цифра, а две … К счастью, по соглашению, когда необходимы дополнительные символы помимо обычных десяти, должны использоваться буквы.Итак, в шестнадцатеричном формате общий список используемых символов составляет 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F. На цифровом дисплее , числа B и D строчные.

При шестнадцатеричном счете вы считаете 0, 1, 2 и так далее. Однако, когда вы достигнете 9, вы перейдете прямо к A. Затем вы считаете B, C, D, E и F. Но что дальше? У нас закончились символы! Когда у нас заканчиваются символы, мы создаем новое расположение цифр и идем дальше. Таким образом, после F будет 10. Вы продолжаете считать, пока не дойдете до 19. После 19 следующее число — 1A.Это продолжается вечно.

Шестнадцатеричный 9 А В С D E F 10 11… 19 1С… 9F A0
Десятичное число 9 10 11 12 13 14 15 16 17 25 26 27 28 159 160

Цифры объясняются степенью 16.Рассмотрим шестнадцатеричное число 2DB7.

16 3 16 2 16 1 16 0
2 D В 7
8192 + 3328 + 176 + 7
11703

Как видите, размещение в шестнадцатеричной системе счисления намного дороже, чем в любой из трех других систем счисления.

Важно знать, что 364 в восьмеричной системе счисления — это , а не , равное обычному 364.Это похоже на то, как 10 в двоичном формате определенно не является 10 в десятичном. 10 в двоичном формате (с этого момента будет записываться как 10 2 ) равно 2. 10 8 равно 8. Откуда мы это знаем? Что такое 20C.38F 16 и как нам узнать?

Вот почему важно понимать, как работают системы счисления. Используя нашу степень основного числа, становится возможным преобразовать любое число в десятичное, а из десятичного в любое.

Десятичное основание

Итак, мы знаем, что 364 8 не равно десятичному числу 364.{p-1} + … + v_1B + v_0 \ end {формула}

Где V 10 — десятичное значение, v — цифра в расположении, p — это размещение справа от числа, предполагая, что крайнее правое размещение равно 0, а B — начальная база. Не пугайтесь формулы! Мы собираемся пройти через это шаг за шагом.

Итак, допустим, у нас есть простое шестнадцатеричное число 2B. Мы хотим знать, что это за число в десятичной системе, чтобы лучше понять его. как нам это сделать?

Воспользуемся формулой выше.Сначала определите каждую переменную. Мы хотим найти V 10 , так что это неизвестно. Число 2B 16 имеет две позиции, так как оно состоит из двух цифр. Следовательно, p на единицу меньше этого значения, поэтому p равно 1. Число в базе 16, поэтому B равно 16. Наконец, мы хотим знать, что такое v, но есть несколько v. У вас v 1 и v 0 . Это относится к значению цифры в позиции индекса. v 1 относится к цифре в первой позиции (вторая цифра справа).0) \\ V_ {10} = 2 (16) +11 (1) \\ V_ {10} = 32 + 11 \ V_ {10} = 43 \\ \ end {align}

Следовательно, 2B 16 равно 43.

Теперь позвольте мне объяснить, как это работает. Помните, как расположение цифр влияет на фактическое значение? Например, в десятичном числе 123 «1» представляет 100, что составляет 1 * 10 2 . «2» — это 20 или 2 * 10 1 . Аналогично, в числе 2B 16 цифра «2» — это 2 * 16 1 , а буква B — 11 * 16 0 .

Таким образом мы можем определить значение чисел.Для числа 364 8 мы создадим диаграмму, которая показывает десятичное значение каждой отдельной цифры. Затем мы можем сложить их, чтобы получить целое. Число состоит из трех цифр, поэтому, начиная справа, у нас есть позиция 0, позиция 1 и позиция 2. Поскольку это основание восемь, мы будем использовать степень 8.

Теперь 8 2 равно 64. 8 1 равно 8. 8 0 равно 1. Что дальше?

Помните, что мы сделали с десятичным числом 123? Мы взяли значение цифры , умноженное на соответствующей мощности.Итак, учитывая это дальше…

Теперь мы складываем значения вместе, чтобы получить 244. Следовательно, 364 8 равно 244 10 .

Точно так же, как для 123, мы говорим, что есть одна группа по 100, две группы по 10 и три группы по 1, для восьмеричной системы и числа 364 существуют три группы по 64, шесть групп по 8 и четыре группы по 1.

от десятичной дроби к основанию

Так же, как мы можем преобразовать из любого основания в десятичное, можно преобразовать десятичное в любое основание.p \\ (4) \ hspace {6pt} Повторяйте шаги \ hspace {4pt} с \ hspace {4pt} 1 \ hspace {4pt} через \ hspace {4pt} 3 \ hspace {4pt}, пока \ hspace {4pt} p = 0 \\ \ end {align}

Сначала этот алгоритм может показаться запутанным, но давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как его можно использовать. Мы хотим представить 236 в двоичном, восьмеричном и шестнадцатеричном формате. Итак, давайте сначала попробуем преобразовать его в двоичный код.

Первый шаг — сделать p равным $ \ operatorname {int} (\ sqrt [B] {V}) $. B — это база, в которую мы хотим преобразовать 2.V — это число, которое мы хотим преобразовать, 236. По сути, мы извлекаем квадратный корень из 236 и игнорируем десятичную часть. В результате p становится равным 7.

Шаг второй говорит, что пусть v равно нашему числу V, деленному на B p . B p равно 2 7 , или 128, а целая часть 236, деленная на 128, равна 1. Следовательно, наша первая цифра слева равна 1. Теперь мы фактически меняем V, чтобы стать V минус цифра, умноженная на В стр . Итак, V теперь будет 236-128 или 108.

Мы просто повторяем процесс до тех пор, пока p не станет равным нулю. Когда p становится равным нулю, мы завершаем шаги в последний раз, а затем заканчиваем.

Итак, поскольку V теперь равно 108, p становится 6. P \ end {уравнение}

На человеческом языке: значение шифра в числе равно значению самого шифра, умноженному на основание системы счисления в степень позиции шифра слева направо в числе, начиная с при 0.Прочтите это несколько раз и попытайтесь понять.

Таким образом, значение цифры в двоичном формате удваивается каждый раз, когда мы перемещаемся влево. (см. таблицу ниже)

Из этого следует, что каждый шестнадцатеричный шифр можно разбить на 4 двоичных разряда. На компьютерном языке: кусочек. Теперь взгляните на следующую таблицу:

Двоичные числа
8 4 2 1 Шестнадцатеричное значение Десятичное значение
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1
0 0 1 0 2 2
0 0 1 1 3 3
0 1 0 0 4 4
0 1 0 1 5 5
0 1 1 0 6 6
0 1 1 1 7 7
1 0 0 0 8 8
1 0 0 1 9 9
1 0 1 0 А 10
1 0 1 1 В 11
1 1 0 0 С 12
1 1 0 1 D 13
1 1 1 0 E 14
1 1 1 1 F 15

Еще один интересный момент: посмотрите на значение в верхней части столбца.Тогда посмотрите на значения. Вы понимаете, о чем я? Да, ты прав! Биты включаются и выключаются в зависимости от своего значения. Значение первой цифры (начиная справа) выглядит следующим образом: 0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,… Вторая цифра: 0,0,1,1,0 , 0,1,1,0,0,1,1,0,0… Третья цифра (значение = 4): 0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0 , 1,1,1,1,… И так далее…

А как насчет больших чисел? Поэтому нам понадобится дополнительная цифра. (но я думаю, вы догадались сами). Для значений начиная с 16 наша таблица выглядит так:

Двоичные числа
16 8 4 2 1 Шестнадцатеричное значение Десятичное значение
1 0 0 0 0 10 16
1 0 0 0 1 11 17
1 0 0 1 0 12 18
1 0 0 1 1 13 19
1 0 1 0 0 14 20
1 0 1 0 1 15 21
1 0 1 1 0 16 22
1 0 1 1 1 17 23
1 1 0 0 0 18 24
1 1 0 0 1 19 25
1 1 0 1 0 26
1 1 0 1 1 27
1 1 1 0 0 28
1 1 1 0 1 1D 29
1 1 1 1 0 1E 30
1 1 1 1 1 1 этаж 31

Для восьмеричных чисел это аналогично, с той лишь разницей, что нам нужно всего 3 цифры для выражения значений 1-> 7.Наша таблица выглядит так:

Двоичные числа
4 2 1 Восьмеричное значение Десятичное значение
0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 2 2
0 1 1 3 3
1 0 0 4 4
1 0 1 5 5
1 1 0 6 6
1 1 1 7 7

В последней теме я объяснил логику двоичной, шестнадцатеричной и восьмеричной систем счисления.Теперь я объясню кое-что более практичное. Если вы полностью поняли предыдущее, можете пропустить эту тему.

Из десятичного числа в двоичное

  • Шаг 1. Убедитесь, что ваш номер нечетный или четный.
  • Шаг 2: Если четный, напишите 0 (двигаясь в обратном направлении, добавляя двоичные цифры слева от результата).
  • Шаг 3: В противном случае, если он нечетный, напишите 1 (таким же образом).
  • Шаг 4: Разделите ваше число на 2 (отбрасывая любую дробь) и вернитесь к шагу 1. Повторяйте, пока ваше исходное число не станет 0.

Пример:
Преобразование 68 в двоичное:

  • 68 четное, поэтому пишем 0.
  • Разделив 68 на 2, получим 34.
  • 34 тоже четное, поэтому пишем 0 (пока результат — 00)
  • Разделив 34 на 2, получим 17.
  • 17 нечетно, поэтому пишем 1 (результат пока — 100 — не забудьте добавить слева)
  • Разделив 17 на 2, мы получим 8,5, или всего 8.
  • 8 четное, поэтому пишем 0 (пока результат — 0100)
  • Разделив 8 на 2, получим 4.
  • 4 четное, поэтому пишем 0 (пока результат — 00100)
  • Разделив 4 на 2, получим 2.
  • 2 чётно, поэтому пишем 0 (результат пока — 000100)
  • Разделив 2 на 2, получим 1.
  • 1 нечетное, поэтому пишем 1 (пока результат — 1000100)
  • Разделив на 2, мы получим 0,5 или просто 0, так что все готово.
  • Конечный результат: 1000100

Из двоичного в десятичный

  • Запишите значения в таблицу, как показано выше. (или мысленно)
  • Добавьте значение в заголовке столбца к своему номеру, если цифра включена (1).
  • Пропустить, если значение в заголовке столбца выключено (0).
  • Переходите к следующей цифре, пока не закончите все.

Пример:
Преобразование 101100 в десятичное:

  • Старшая цифра значения: 32. Текущий номер: 32
  • Пропустите цифру «16», ее значение равно 0. Текущий номер: 32
  • Добавить 8. Текущий номер: 40
  • Добавить 4. Текущий номер: 44
  • Пропустите цифры «2» и «1», так как их значение равно 0.
  • Окончательный ответ: 44

Из десятичного в шестнадцатеричный.

ЭТО ТОЛЬКО ОДИН ИЗ МНОГИХ СПОСОБОВ!

  • Преобразуйте десятичное число в двоичное
  • Разделить на 4 полубайта, начиная с конца
  • Посмотрите на первую таблицу на этой странице и напишите правильный номер вместо полубайта

(вы можете добавить нули в начале, если количество битов не делится на 4, потому что, как и в десятичном, это не имеет значения)

Пример:
Преобразование 39 в шестнадцатеричное:

  • Сначала преобразуем в двоичный (см. Выше).Результат: 100111
  • Затем мы разбиваем его на полубайты: 0010/0111 (Примечание: я добавил два нуля, чтобы прояснить тот факт, что это полубайты)
  • После этого преобразуем полубайты отдельно.
  • Конечный результат: 27

Из шестнадцатеричного в десятичный

* Проверьте формулу в первом абзаце и используйте ее для шифров в шестнадцатеричном числе. (это действительно работает для любого преобразования в десятичную систему счисления)

Пример:
Преобразование 1AB в десятичное:

  • Значение B = 16 0 × 11.Это дает 11, очевидно,
  • Значение A = 16 1 × 10. Это дает 160. Наш текущий результат — 171.
  • Значение 1 = 16 2 × 1. Это дает 256.
  • Конечный результат: 427

От десятичной системы к восьмеричной

  • Преобразовать в двоичный.
  • Разбивается на части по 3 цифры, начиная справа.
  • Преобразует каждую часть в восьмеричное значение от 0 до 7

Пример: преобразовать 25 в восьмеричное

  • Сначала преобразуем в двоичный.Результат: 11001
  • Далее разделились: 011/001
  • Преобразование в восьмеричное: 31

Из восьмеричного в десятичный

Снова применим формулу сверху

Пример: преобразовать 42 в десятичное

  • Значение 2 = 8 0 × 2 = 2
  • Значение 4 = 8 1 × 4 = 32
  • Результат: 34

Хорошо, это может быть не на 100% «забавным», но тем не менее интересно.

  • Вы склонны видеть числа, начинающиеся с 0x? Это обычная нотация для указания шестнадцатеричных чисел, поэтому вы можете увидеть что-то вроде:
  0x000000
0x000002
0x000004 
 

Эта нотация чаще всего используется для перечисления адресов компьютеров, а это совсем другая история.

  • Это довольно очевидно, но вы можете «писать» слова, используя шестнадцатеричные числа. Например:
    • CAB = 3243 в десятичной системе счисления.

Вы все поняли? Если вы так думаете, проверьте себя:

Корзина декабрь шестигранник
3A
76
101110
88
1011110
47

Сделайте несколько упражнений самостоятельно, если хотите еще.

Двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные | Введение в математику колледжа

В современных вычислениях и цифровой электронике наиболее часто используются десятичные системы счисления (основание 10), двоичные (основание 2), восьмеричные (основание 8) и шестнадцатеричные (основание 16). Если мы конвертируем между двумя основаниями, отличными от десятичной, нам обычно нужно сначала преобразовать число в основание 10, а затем преобразовать это число во второе основание. Однако мы можем легко преобразовать двоичное в восьмеричное и наоборот, а также из двоичного в шестнадцатеричное и наоборот.

Это видео дает общее представление об этих преобразованиях:

Другое описание, это больше похоже на лекцию по математике:

Для дальнейшего пояснения напомним, что числа от 0 до 7 могут быть представлены до трех цифр с основанием два. В восьмерке эти числа представлены одной цифрой.

Основание 2 (двоичное) число Эквивалент по основанию 10 (десятичный) База 8 (восьмеричное) число
000 0 0
001 1 1
010 2 2
011 3 3
100 4 4
101 5 5
110 6 6
111 7 7

Теперь, когда мы дойдем до числа 8, нам понадобятся четыре цифры в базе 2 и две цифры в базе 8.Фактически, числа от 8 до 63 могут быть представлены двумя цифрами в базе 8. Нам нужны четыре, пять или шесть цифр в базе 2, чтобы представить эти же числа:

База 2 номер Эквивалент Base 10 База 8 номер
1000 8 10 = 1 × 8 + 0 × 1
1001 9 11 = 1 × 8 + 1 × 1
1010 10 12 = 1 × 8 + 2 × 1
111100 60 74 = 7 × 8 + 4 × 1
111101 61 75 = 7 × 8 + 5 × 1
111110 62 76 = 7 × 8 + 6 × 1
111111 63 77 = 7 × 8 + 7 × 1

Число 64 в базе 8 представлено как 100 8 = 1 × 8 2 + 0 × 8 1 + 0 × 8 0 = 1 × 64 + 0 × 8 + 0 × 1 .В базе 2 это будет 1000000 2 . Вы видите здесь закономерность? Для одной цифры в базе 8 нам нужно до трех цифр в базе 2. Для двух цифр в базе 8 нам нужно 4, 5 или 6 цифр в базе 2. Для трех цифр в базе 8 нам нужно 7, 8 , или 9 цифр в базе 2. Для каждой дополнительной цифры в базе 8 нам нужно до трех пробелов, чтобы представить ее в базе 2. Вот способ запомнить это: 2 3 = 8, поэтому нам нужно три пробела.

Здесь поможет пара примеров.

  1. Преобразуем число 6157 8 в основание 2. Мы разделяем каждую цифру в базе 8 на три цифры в базе 2, используя эквивалент из трех цифр в базе 2, поэтому 6 8 = 110 2 , 1 8 = 001 2 и т. Д.
  2. Преобразуйте число 10111011001010 2 в основание 8. Разделите это число на наборы по три, , начиная с самой правой цифры , затем преобразуйте каждый набор из трех в эквивалент в базе 8.

В шестнадцатеричном формате (с основанием 16) нам нужно до четырех цифр в двоичном формате для представления каждой отдельной цифры.Вспомните это, вспомнив, что 2 4 = 16, поэтому нам нужно четыре цифры.

Вы можете распечатать копии этих рабочих листов, чтобы помочь вам с преобразованием между двоичным и восьмеричным или шестнадцатеричным числами:

Если вы хотите задать себе вопрос о преобразовании чисел от 0 до 255 в двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные (и между этими основаниями), вот ссылка на представления этих чисел: двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа.

систем представления чисел — десятичные, двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные — x-engineering.org

В этой статье мы обсудим различные системы представления чисел, где они используются и почему они полезны. Вкратце мы рассмотрим представление чисел в десятичном формате , в двоичном формате , в восьмеричном формате и в шестнадцатеричном формате.

Десятичное (основание 10)

Наиболее распространенной системой представления чисел является десятичная система . Все используют это. Это настолько распространено, что большинство людей не может поверить в то, что это единственное. Его используют в финансах, инженерии и биологии почти везде, где мы видим и используем числа.

Если кто-то просит вас думать над числом, вы наверняка будете думать над десятичным числом. Если вы думаете в двоичном или шестнадцатеричном формате, вы должны иметь сильную страсть к арифметике или программному обеспечению / программированию.

Как следует из названия, десятичная система счисления использует 10 символов / знаков. В латинском языке 10 — это «decem», поэтому десятичное число может быть связано с латинским словом.

Десятичные символы
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Как видите 9 10 символов от 0 до 9 .0 \]
N 100000 10000 1000 100 10 1

В приведенном ниже примере десятичное число разбито на десятичное число 670. с номерами от 0 до 9 . Это просто, чтобы показать, что любое число в десятичной системе может быть разложено на сумму членов, состоящих из произведения степени 10 и символов 0… 9 .0 \\
& = 60000 & + 7000 & + 0 & + 40 & + 9
\ end {split} \ end {формула *} \]

Тот же метод будет применен к двоичному файлу, восьмеричная и шестнадцатеричная системы, являющиеся по сути способом преобразования числа из десятичной системы в другой формат (основание).

Мы можем иметь в виду следующие характеристики десятичной системы счисления:

  • использует 10 символов
  • можно разложить на множители, содержащие степени 10
  • это наиболее распространенная система представления чисел
двоичная (основание 2)

Давайте теперь перейдем на сторону компьютерных фанатов.

Другая система представления чисел - это двоичная . Как следует из названия и по аналогии с десятичной системой, мы можем сказать, что двоичная система использует только 2 символа / символа:

В двоичном представлении мы используем только 0 (нули) и 1 (единицы) для представления числа.

Двоичная система используется везде, где требуется хранить информацию в электронном формате. Все компьютеры, которые вы знаете, интеллектуальные устройства, все, что связано с электроникой и микроконтроллерами, используют двоичную систему.

В электронике (цифровой) все операции выполняются с использованием двух уровней напряжения: высокого и низкого. Каждому уровню напряжения присваивается значение / символ: HIGH для 1 и LOW для 0. Для микроконтроллера, на который подается напряжение + 5 В, 1 (высокий) будет представлен как +5 В, а 0 (низкий). ) на 0 В.

Примерно можно сказать, что используется двоичная система, потому что она может быть переведена в электронный сигнал.

Все десятичные числа, которые мы можем придумать, можно представить в виде двоичных символов.0 \\
& = 128 & + 0 & + 0 & + 16 & + 0 & + 4 & + 0 & + 1
\ end {split} \ end {формула *} \]

Как вы можете см. десятичное число 149 представлено в двоичной системе последовательностью нулей и единиц ( 10010101 ). Обычно, чтобы различать десятичное и двоичное число, мы должны указать основание, на которое мы ссылаемся. Основание описывается как нижний индекс после последнего символа числа

Пример:

Десятичное (основание 10) Двоичное (основание 2)
\ [149_ {10} \] \ [10010101_ {2} \]

Указав основание числа, мы исключаем вероятность путаницы, потому что одно и то же представление (например,грамм. 11) может означать разные вещи для разных баз.

Другой способ избежать путаницы - использовать специальную нотацию (префикс) для двоичных чисел. Это потому, что 1100 может представлять одиннадцать сотен в десятичной системе или десятичные двенадцать в двоичной системе. Поэтому, если нужно указать двоичное число, мы используем префикс 0b . Пример: 0b1100 .

Вкратце характеристики двоичной системы:

  • в ней используются 2 символа
  • можно разложить на множители, содержащие степени 2
  • используется в компьютерах, микроконтроллерах
Восьмеричная система (с основанием 8)

Все числа в восьмеричной системе представлены с использованием 8 символов / знаков, от 0 до 7 . 0 \\
& = 65535 & + 0 & + 1024 & + 448 & + 40 & + 1
\ end {split} \ end {формула *} \]

Шестнадцатеричное (основание 16)

Шестнадцатеричная система представления чисел использует 16 символов / знаков для определения чисел.Он используется в информатике в основном потому, что может представлять большие десятичные числа с меньшим количеством символов.

Шестнадцатеричные символы
0 1 2 3 4 5 6 7 9014 9014 9014 9014 9014 9014 9014 9014 9014 9014 D E F

По сравнению с десятичной системой, здесь также используются цифровые символы от 0 до 9.0 \\
& = 65536 & + 0 & + 1280 & + 224 & + 9
\ end {split} \ end {формула *} \]

Представление десятичного числа 67049 в шестнадцатеричном формате это 105E9 . Подобно двоичной системе, обычно используется префикс « 0x » для отличия от десятичной системы счисления. Пример: 0x105E9 .

Кратко характеристики системы представления шестнадцатеричных чисел:

  • в ней используются 16 символов
  • можно разложить на множители, содержащие степени 16
  • Используется в компьютерах, микроконтроллерах

В таблице ниже приведены характеристики вышеупомянутые системы представления чисел.

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Система Количество символов Символы Префикс Пример
Десятичный 3 10 5, 6, 7, 8, 9 Нет 147
Двоичный 2 0, 1 0b 0b10010011
Шестнадцатеричный 0144 0x 0x93

Системы представления восьмеричных и шестнадцатеричных чисел связаны с компьютерной системой , в основном с процессорами и микроконтроллерами.Например, если микропроцессор использует 8-битные данные, тогда восьмеричная система подходит для интерфейса данных. Если микропроцессор использует 16 бит, то для представления данных подходит шестнадцатеричная система.

Преобразование между двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системами счисления

Есть бесконечное количество способов представить число.
Четыре, которые обычно ассоциируются с современными компьютерами и цифровой электроникой: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Десятичное число (основание 10) - это способ представления чисел большинством людей.Десятичная дробь иногда сокращается до десятичной дроби.

Идет десятичный счет:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 и т. Д.

Двоичный код (основание 2) - это естественный способ представления чисел и управления числами в большинстве цифровых схем.
(Обычные орфографические ошибки - «bianary», «bienary» или «binery».)
Двоичные числа иногда представляются предшествующим значением "0b", как в 0b1011.
Двоичный файл иногда обозначается сокращенно как bin.

Идет двоичный счет:
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001 и т. Д.

Восьмеричное число (с основанием 8) ранее было популярным выбором для представления номеров цифровых схем в более компактной форме, чем двоичная.
Octal иногда сокращается до oct.

Идет восьмеричный счет:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21 и так далее.

Шестнадцатеричное (основание 16) в настоящее время является наиболее популярным выбором для представления номеров цифровых схем в более компактной форме, чем двоичная.(Распространенными ошибками являются «шестнадцатеричный», «шестнадцатеричный», «шестнадцатеричный» или «шестнадцатеричный».)
Шестнадцатеричные числа иногда представлены значением '0x' перед значением, как в 0x1B84.
Шестнадцатеричный код иногда сокращается как шестнадцатеричный.

Шестнадцатеричный счет идет:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11 и т. Д.

Все четыре системы счисления одинаково способны представлять любое число.
Кроме того, число может быть идеально преобразовано между различными системами счисления без потери числового значения.

На первый взгляд кажется, что использование любой другой системы счисления, кроме ориентированной на человека, является сложной и ненужной.
Однако, поскольку работа инженеров-электриков и программистов заключается в работе с цифровыми схемами, инженерам требуются системы счисления, которые могут наилучшим образом передавать информацию между миром людей и миром цифровых схем.

Оказывается, способ представления числа может помочь инженеру понять значение числа в применении к цифровой схеме.Другими словами, соответствующая система счисления действительно может упростить задачу.

Элемент основной информации цифровых схем

Практически все современные цифровые схемы построены на двухпозиционных переключателях.
Переключатели либо включены, либо выключены.
Не имеет значения, являются ли переключатели на самом деле физическими переключателями, электронными лампами, реле или транзисторами.
И не имеет значения, представлено ли состояние «включено» цифрой 1.8 В на новейшем ядре ЦП, -12 В на микросхеме интерфейса RS-232 или 5 В на микросхеме классической логики TTL.

Поскольку основной информационный элемент цифровых схем имеет два состояния, он наиболее естественно представлен системой счисления, в которой каждая отдельная цифра имеет два состояния: двоичное.

Например, переключатели, которые находятся в состоянии «включено», представлены цифрой «1», а переключатели, находящиеся в состоянии «выключено», представлены цифрой «0».
Легко мгновенно понять значения 8 переключателей, представленных в двоичном виде как 10001101.Также легко построить схему для отображения каждого состояния переключателя в двоичном формате, имея светодиод (горит или не горит) для каждой двоичной цифры.

Делаем ценности более компактными

«Двоичная цифра» немного громоздко повторять снова и снова, поэтому термин был сокращен до «бит».
Не только термин «двоичная цифра» немного громоздок, но и длина двоичного числа, поскольку каждая цифра может представлять только один переключатель.
По мере того, как цифровые схемы становились более сложными, возникла необходимость в более компактной форме представления информации о схемах.

Восьмеричное число (основание 8) может составлять до 1/3 длины двоичного числа (основание 2).
8 - это целая степень двойки (2 3 = 8).
Это означает, что три двоичных цифры аккуратно преобразуются в одну восьмеричную цифру.

Шестнадцатеричное число (основание 16) может составлять до 1/4 длины двоичного числа.
16 - это целая степень двойки (2 4 = 16).
Это означает, что четыре двоичных цифры аккуратно преобразуются в одну шестнадцатеричную цифру.

К сожалению, десятичная дробь (основание 10) - это не целая степень двойки.Таким образом, невозможно просто разбить группы двоичных цифр на части для преобразования необработанного состояния цифровой схемы в формат, ориентированный на человека.

Давайте посмотрим, как преобразовать число из двоичного ...

Что такое двоичное, восьмеричное и шестнадцатеричное представление?

Этот контент был заархивирован и больше не поддерживается Университетом Индианы. Информация здесь может быть неточной, а ссылки могут быть недоступны или надежны.

Двоичная запись

Все данные в современных компьютерах хранятся в виде серий битов. Немного
является двоичной цифрой и может иметь одно из двух значений; два значения обычно
представлены числами 0 и 1. Самая основная форма представления
компьютерные данные, таким образом, должны представлять часть данных в виде строки из единиц и нулей,
по одному на каждый бит. В итоге вы получите двоичное число или число с основанием 2; это
двоичная запись. Например, число 42 в двоичном формате будет представлено как:

 101010 

Интерпретация двоичной системы счисления

В обычном десятичном представлении (с основанием 10) каждая цифра, переходящая справа
слева представляет собой возрастающий порядок величины (или степень десяти).В десятичной системе счисления вклад каждой следующей цифры равен десяти.
раз больше, чем предыдущая цифра. Увеличение первой цифры на
один увеличивает число, представленное на единицу, увеличивая второе
цифра на единицу увеличивает число на десять, третья цифра увеличивает
число на 100 и так далее. Число 111 на единицу меньше 112, десять
меньше 121, и сто меньше 211.

Принцип тот же самый с двоичной записью, за исключением того, что каждая цифра
представляет собой степень двойки, превышающую предыдущую цифру, а не степень
довольно часто.Вместо цифр 1, 10, 100 и 1000 используются двоичные числа
есть 1, 2, 4 и 8. Таким образом, число два в двоичном формате будет
представлен в виде 0 в разряде единиц и 1 в разряде двойки, т. е.
10. Тройка будет 11, 1 в разряде единиц и 1 в разрядах двоек.
место. В двоичной системе счисления никогда не используется цифра больше 1.

Восьмеричное и шестнадцатеричное представление

Поскольку двоичная запись может быть громоздкой, две более компактные записи
Часто используются восьмеричные и шестнадцатеричные. Восьмеричная запись представляет данные
как числа с основанием 8.Каждая цифра восьмеричного числа представляет три
биты. Точно так же в шестнадцатеричном представлении используются числа с основанием 16,
представляющие четыре бита с каждой цифрой. Восьмеричные числа используют только
цифры 0-7, в то время как шестнадцатеричные числа используют все десять цифр по основанию 10 (0-9)
и буквы a-f (представляющие числа 10-15). Число 42 - это
записывается в восьмеричном виде:

 52 

В шестнадцатеричном формате число 42 записывается как:

Знание того, представлены ли данные в восьмеричном или шестнадцатеричном формате,
иногда сложно (особенно если шестнадцатеричное число не использует одно из
цифры a-f), поэтому для их различения часто используется одно соглашение:
ставить «0x» перед шестнадцатеричными числами.Так вы могли бы увидеть, например:

 0x2a 

Это менее двусмысленный способ представления числа 42 в шестнадцатеричном формате.
Вы можете увидеть пример этого использования в АРХИВИРОВАННОЙ: диаграмме сравнения наборов символов.
.

Примечание: Термин «двоичный», когда он используется в таких фразах, как
"двоичный файл" или "двоичное вложение" имеет связанный, но
немного другое значение, чем обсуждаемое здесь. Для большего
информацию см. В АРХИВИРОВАНИИ: Что такое двоичный файл?

Преобразование чисел

- Двоичное восьмеричное шестнадцатеричное - Преобразование - DYclassroom

В этом уроке по преобразованию чисел мы учимся преобразовывать числа между тремя обычно используемыми системами счисления: двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной.

В этом руководстве мы увидим шесть примеров:
1. Преобразование из двоичного в восьмеричное
2. Восьмеричное преобразование в двоичное
3. Преобразование из двоичного в шестнадцатеричное
4. Преобразование из шестнадцатеричного в двоичное
5. Восьмеричное преобразование в шестнадцатеричное
6. Шестнадцатеричное преобразование в Восьмеричное преобразование

Прежде чем мы начнем, давайте немного поговорим о системе счисления, которую мы собираемся рассмотреть в этом руководстве.

Десятичная система счисления

В десятичной системе счисления мы используем десять цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.Десятичная дробь подразумевает основание 10.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления мы используем две цифры 0 и 1. Двоичная означает основание 2.

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления мы используем восемь цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Восьмеричная система исчисления подразумевает основание 8.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления мы используем десять цифр и шесть букв английского алфавита 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F.
10 обозначается так как A
11 обозначается как B
12 обозначается как C
13 обозначается как D
14 обозначается как E
15 обозначается как F
Шестнадцатеричная система подразумевает основание 16.

Таблица преобразования

Ниже приводится таблица преобразования, которую мы будем использовать в качестве справочной информации для выполнения операций преобразования.

ДЕСЯТИЧНЫЙ ДВОИЧНЫЙ Восьмеричный ШЕСТИГРАННЫЙ
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 А
11 1011 13 В
12 1100 14 С
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

1.Преобразование двоичного числа в восьмеричное

Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, выполните следующие действия.
1. Разделите двоичные цифры на группы по 3 цифры, начиная справа.
2. Преобразуйте каждую группу из 3 двоичных цифр в 1 восьмеричную цифру.

Преобразование двоичного числа 100101

2 в восьмеричную форму

  Шаг 1. Сгруппируйте по 3 цифры справа

100101  2 

Группы: 100  2  101  2 

Шаг 2. Преобразуйте каждую группу из 3 цифр в 1 восьмеричную цифру.

101  2  = 5  8 
100  2  = 4  8 

Итак, 100101  2  = 45  8   

2.Восьмеричное преобразование в двоичное

Чтобы преобразовать восьмеричное число в двоичное, выполните следующие шаги
1. Преобразуйте каждую восьмеричную цифру в трехзначную двоичную группу
2. Объедините группы

Преобразование восьмеричного числа 45

8 в двоичную форму

  Шаг 1. Преобразуйте каждую восьмеричную цифру в трехзначную двоичную группу.

45  8 

Группы: 4  8  5  8 

5  8  = 101  2 
4  8  = 100  2 

Шаг 2.Объедините группы

Итак, 45  8  = 100101  2   

3. Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное

Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, выполните указанные шаги.
1. Разделите двоичные цифры на группы по 4 цифры, начиная справа.
2. Преобразуйте каждую группу из 4 двоичных цифр в 1 шестнадцатеричную цифру.

Преобразование двоичного числа 10100101

2 в шестнадцатеричную форму

  Шаг 1. Составьте группы по 4 цифры справа

10100101  2 

Группы: 1010  2  0101  2 

0101  2  = 5  16 
1010  2  = 4  16 

Шаг 2.Объедините группы

Итак, 10100101  2  = 45  16   

4. Преобразование шестнадцатеричного числа в двоичное

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в двоичное, выполните указанные шаги.
1. Преобразуйте каждую шестнадцатеричную цифру в группу из 4-х цифр двоичного кода
2. Объедините группы

Преобразование шестнадцатеричного числа A5

16 в двоичную форму

  Шаг 1. Преобразуйте каждую шестнадцатеричную цифру в группу из 4-х цифр двоичного кода.

A5  16 

Группы: A  16  5  16 

5  16  = 0101  2 
А  16  = 1010  2 

Шаг 2.Объедините группы

Итак, A5  16  = 10100101  2   

5. Преобразование восьмеричной системы в шестнадцатеричную

Чтобы преобразовать восьмеричное число в шестнадцатеричное, выполните указанные шаги
1. Преобразуйте каждую восьмеричную цифру в группы из 3-х цифр в двоичном формате
2. Объедините группы из шага 1
3. Разделите двоичные цифры из шага 2 на группы по 4 цифры , начиная справа
4. Преобразуйте каждую группу из 4 двоичных цифр в 1 шестнадцатеричную цифру.

Преобразование восьмеричного числа 25

8 в шестнадцатеричную форму

  Шаг 1.Преобразуйте каждую восьмеричную цифру в группы из 3-х двоичных цифр

25  8 

Группы: 2  8  5  8 

5  8  = 101  2 
2  8  = 010  2 

Шаг 2. Объедините группы

Итак, 25  8  = 010101  2 

Шаг 3. Разделите двоичные цифры из шага 2 на группы по 4 цифры, начиная справа.

Группы: 0001  2  0101  2 

Шаг 4. Преобразуйте каждую группу из 4 двоичных цифр в 1 шестнадцатеричную цифру.

0101  2  = 5  16 
0001  2  = 1  16 

Итак, 25  8  = 15  16   

6.Преобразование шестнадцатеричного числа в восьмеричное

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в восьмеричное, выполните указанные шаги
1. Преобразуйте каждую шестнадцатеричную цифру в группы из 4-х значных двоичных
2. Объедините группы из шага 1
3. Разделите двоичные цифры из шага 2 на группы по 3 цифры , начиная справа
4. Преобразуйте каждую группу из 3 двоичных цифр в 1 восьмеричную цифру.

Преобразование шестнадцатеричного числа 15

16 в восьмеричное

  Шаг 1. Преобразуйте каждую шестнадцатеричную цифру в группы из 4-х значных двоичных чисел.

15  16 

Группы: 1  16  5  16 

5  16  = 0101  2 
1  16  = 0001  2 

Шаг 2.Объедините группы

Итак, 15  16  = 00010101  2 

Шаг 3. Разделите двоичные цифры из шага 2 на группы по 3 цифры, начиная справа.

Группы: 000  2  010  2  101  2 

Шаг 4. Преобразуйте каждую группу из 3 двоичных цифр в 1 восьмеричную цифру.

101  2  = 5  8 
010  2  = 2  8 
000  2  = 0  8 

Итак, 15  16  = 025  8  = 25  8   

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *