Какие понятия равносильны понятию алгоритма: Теория алгоритмов | СГУ — Саратовский государственный университет

Содержание

Теория алгоритмов | СГУ — Саратовский государственный университет

Цель: освоение понятия алгоритма, теории вычислимости и рекурсивных функций, основ теории формальных языков, теории сложности.

Содержание:

Определение алгоритма. Интуитивное понятие алгоритма. Свойства алгоритма. Необходимость уточнения интуитивного алгоритма. Уточнение алгоритм по Тьюрингу. Описание машины Тьюринга. Применение машин Тьюринга к словам. Конструирование машин Тьюринга. Вычислимые по Тьюрингу функции. Тезис А. Тьюринга.

Теория вычислимости и рекурсивных функций. Понятие вычислимой функции. Разрешимые и перечислимые множества. График вычислимой функции. Операторы минимизации, примитивной рекурсии и суперпозиции. Элементарные функции, примитивно рекурсивные функции, общерекурсивные функции, частично-рекурсивные функции. Тезис А. Чёрча.

Нормальные алгоритмы Маркова. Вычислимые по Маркову функции. Равносильность уточнений понятия алгоритма.

Понятие программы. Эффективная нумерация программ. Теорема о параметризации. Существование универсальной программы. Компьютер фон Неймана.

Массовые проблемы. Неразрешимые алгоритмические проблемы. Алгоритмическая сводимость проблем. Примеры алгоритмически неразрешимых проблем в математике и информатике. Эффективные операции над вычислимыми функциями. Диагональный метод. Пример невычислимой функции. Проблема останова.

Формальные языки и грамматики. Общее понятие исчисления. Грамматики. Языки, иерархия языков по Хомскому.

Введение в теорию сложности вычислений. Основные меры сложности вычисления. Основы теории NP-полноты. Применение теории NP – полноты для анализа сложности проблем. Приложения теории алгоритмов в информатике.

Требования к освоению дисциплины

Знать:

основные понятия и методы вычислительных процессов на компьютере.

Уметь:

использовать алгоритмы и программы автоматических рассуждений интеллектуального и лингвистического анализа данных,

строить математические модели и алгоритмы интеллектуального анализа данных,

проводить оценку вычислительных процессов по сложности или времени выполнения алгоритмов.

Владеть:

знаниями и навыками для разработки алгоритмов и программ в области интеллектуального анализа данных, интеллектуальных и информационных систем.

§ 3. Уточнение понятия алгоритма

В
истории
математики накопилось много случаев
длительных и часто безрезультатных
поисков тех или иных алгоритмов. При
этом естественно возникало сомнение в
существовании алгоритма.

Одним
из ярких примеров такого случая является
история решения десятой проблемы Д.
Гильберта.

В
1900 году на втором международном
математическом конгрессе в Париже
немецкий математик Давид Гильберт
огласил список 23 трудных проблем, на
важность решения которых он обращал
внимание математической общественности.
Среди них была и следующая 10-ая проблема
Гильберта: требуется выработать алгоритм,
позволяющий для любого диофантова
уравнения выяснить, имеет ли оно
целочисленное решение.

Рассмотрим
всевозможные диофантовы уравнения,
т.е. уравнения вида Р = 0, где Р является
многочленом с целочисленными
коэффициентами. Такими будут, например,
уравнения:

х²
+ у²
— 2хz
= 0,

10x⁵
+ 7x²
+ 5 = 0,

из которых первое
с тремя неизвестными, а второе с одним
неизвестным. В общем случае рассматривают
уравнения с любым числом неизвестных.
Такие уравнения могут иметь целочисленные
решения, а могут и не иметь.

Так,
уравнение х²+у²-2xz=0
имеет бесконечное множество целочисленных
решений, а уравнение 10x⁵
+ 7x²
+ 5 = 0 таких
решений не имеет.

Для
частного случая диофантова уравнения
с одним неизвестным давно известен
алгоритм, позволяющий найти все его
целочисленные решения. Установлено,
что если уравнение

с
целочисленными коэффициентами имеет
целый корень, то он обязательно является
делителем а.
В связи с
этим можно предложить такой алгоритм:

Найти
все делители числа a_n:
d₁,
d₂,
,.., d_n
.
Вычислить
Р_п(х)
для каждого
из делителей числа а.

3) Если
при некотором i
из совокупности
1,2,…,k
P_n(d_i)
⁼0,
то d_i — корень
уравнения. Если при всех i
= l,2,…,k
P_n(d_i)

0, то
уравнение не имеет целочисленных
решений.

Поиски
решения десятой проблемы Гильберта
привлекли
внимание многих математиков и длились
около 70 лет. Только в 1968 году молодым
математиком Ю. Матиясевичем было
доказано, что нет алгоритма, дающего
решение поставленной задачи.

Интуитивное
определение алгоритма хотя и не строгое,
но настолько ясное, что не дает оснований
для сомнений в тех случаях, когда речь
идет о найденном алгоритме решения
конкретной задачи.

Положение
существенно меняется, когда возникает
алгоритмическая проблема, решение
которой не найдено, и требуется установить,
имеет ли она решение.

Действительно,
в этом случае нужно либо доказать
существование алгоритма, либо доказать
его отсутствие.

В
первом случае достаточно дать описание
фактического процесса, решающего задачу.
В этом случае достаточно и интуитивного
понятия алгоритма, чтобы удостовериться
в том, что описанный процесс есть
алгоритм.

Во
втором случае нужно доказать несуществование
алгоритма, а для этого нужно точно знать,
что такое алгоритм. Между тем для общего
понятия алгоритма точного определения
до тридцатых годов XX
века не было, и поэтому выработка такого
определения стала одной из важных задач
современной математики. При формулировке
этого определения пришлось преодолеть
многие трудности.

Во-первых,
такое определение должно было правильно
отражать
сущность интуитивного определения
алгоритма.

Во-вторых,
оно должно было быть совершенным с точки
зрения формальной точности.

И
наконец, различные исследователи этой
проблемы исходили из разных технических
и логических соображений, и вследствие
этого было выработано несколько
определений алгоритма. Однако со временем
выяснилось, что все эти определения
равносильны, т.е. определяют одно и то
же понятие. Это и есть современное
понятие алгоритма.

В
подходах к определению понятия алгоритма
можно выделить три
основных направления.

Первое
направление связано
с уточнением понятия эффективно
вычислимой функции. Этим занимались А.
Черч, К. Гедель, С. Клини. В результате
был выделен класс так называемых частично
рекурсивных функций, имеющих строгое
математическое определение. Анализ
идей, приведших к этому классу функций,
дал им возможность высказать гипотезу
о том, что класс эффективно вычислимых
функций совпадает с классом частично
рекурсивных функций.

Второе
направление связано
с машинной математикой. Здесь сущность
понятия алгоритма раскрывается путем
рассмотрения процессов, осуществляемых
в машине. Впервые это было сделано
Тьюрингом, который предложил самую
общую и вместе с тем самую простую
концепцию вычислительной машины. Ее
описание было дано Тьюрингом в 1937 году.
При этом Тьюринг исходил лишь из общей
идеи работы машины как работы вычислителя,
оперирующего в соответствии с некоторым
строгим предписанием.

Третье
направление связано
с понятием нормальных алгоритмов,
введенным и разработанным российским
математиком А. А. Марковым.

Математическая логика и теория алгоритмов учебное пособие. Математическая логика и теория алгоритмов

Автор: Гуц А.К.
Издательство: О.: Наследие
Год издания: 2003
Страницы: 108
ISBN 5-8239-0126-7
Читать:

Скачать:
matematicheskayalogika2003.djvu

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК КАФЕДРА

КИБЕРНЕТИКИ

А.К. Гуц

Математическая логика и теория алгоритмов

Омск 2003

ВВК 60 УДК 53:630.11

Гуц А.К. Математическая логика и теория алгоритмов: Учебное пособие. —

Омск: Издательство Наследие. Диалог-Сибирь, 2003. — 108 с.

ISBN 5 — 8239 — 0126 — 7

Учебное пособие посвящено изложению основ математической логики и теории

алгоритмов. Основу пособия составляют конспекты лекций, которые читались

студентам второго курса отделения компьютерных наук Омского

государственного университета в 2002 году.

Для студентов, обучающихся по специальности 075200 — «Компьютерная

безопасность» и по специальности 220100 — «Вычислительные машины,

комплексы, системы и сети».

ISBN 5 — 8239 — 0126 — 7

(c) Омский госуниверситет, 2003

Оглавление

I Логика 7

1 Классическая логика 8

1.1. Логика высказываний…………………………. 8

1.1.1. Высказывания………………………… 8

1.1.2. Основные законы логики……………….. 9

1.1.3. Логический парадокс Рассела…………… 10

1.1.4. Алгебра (логика) высказываний…………. 11

1.1.5. Релейно-контактные схемы……………… 12

1.1.6. Равносильные формулы…………………. 14

1.1.7. Алгебра Буля………………………… 15

1.1.8. Истинные и общезначимые формулы……….. 15

1.1.9. Проблема разрешимости………………… 15

1.1.10. Логическое следствие…………………. 16

1.1.11. Силлогизмы………………………….. 17

1.2. Логика предикатов…………………………… 17

1.2.1. Предикаты и формулы………………….. 18

1.2.2. Интерпретации……………………….. 19

1.2.3. Истинность и выполнимость формул. Модели,

общезначимость, логическое следствие…….. 20

1.2.4. Готлоб Фреге………………………… 21

1.2.5. Сколемовские функции

и сколемизация формул………………….. 22

1.3. Метод резолюций…………………………….. 25

1.3.1. Метод резолюций в логике

высказываний………………………….. 25

1.3.2. Метод резолюций в логике

предикатов……………………………. 29

3

4

Оглавление

2 Формальные теории (исчисления) 31

2.1. Определение формальной теории, или исчисления. . 32

2.1.1. Доказательство. Непротиворечивость теории.

Полнота теории…………………………. 32

2.2. Исчисление высказываний………………………. 33

2.2.1. Язык и правила вывода исчисления высказываний

……………………………………… 33

2.2.2. Пример доказательства теоремы…………… 35

2.2.3. Полнота и непротиворечивость

исчисления высказываний…………………. 36

2.3. Исчисление предикатов………………………… 37

2.3.1. Язык и правила вывода исчисления предикатов 37

2.3.2. Полнота и непротиворечивость

исчисления предикатов…………………… 39

2.4. Формальная арифметика………………………… 39

2.4.1. Эгалитарные теории……………………. 39

2.4.2. Язык и правила вывода формальной арифметики

………………………………………. 39

2.4.3. Непротиворечивость формальной

арифметики. Теорема Генцена……………… 40

2.4.4. Теорема Гёделя о неполноте……………… 41

2.4.5. Курт Гёдель…………………………… 42

2.5. Автоматический вывод теорем………………….. 43

2.5.1. С.Ю. Маслов…………………………… 43

2.6. Логическое программирование………………….. 45

2.6.1. Логическая программа…………………… 46

2.6.2. Языки логического программирования…. 49

3 Неклассические логики 50

3.1. Интуиционистская логика………………………. 50

3.2. Нечеткая логика……………………………… 51

3.2.1. Нечеткие подмножества………………….. 51

3.2.2. Операции над нечеткими

подмножествами…………………………. 52

3.2.3. Свойства множества нечетких

подмножеств……………………………. 53

3.2.4. Нечеткая логика высказываний……………. 54

3.2.5. Нечеткие релейно-контактные схемы……….. 56

3.3. Модальные логики……………………………. 56

3.3.1. Типы модальности………………………. 57

Оглавление

5

3.3.2. Исчисления 1 и Т (Фейса-фон Вригта)…….. 57

3.3.3. Исчисления S4, S5

и исчисление Брауэра…………………… 58

3.3.4. Означивание формул……………………. 59

3.3.5. Семантика Крипке……………………… 60

3.3.6. Другие интерпретации модальных

знаков……………………………….. 62

3.4. Георг фон Вригт…………………………….. 62

3.5. Временные логики……………………………. 62

3.5.1. Временная логика Прайора………………. 63

3.5.2. Временная логика Леммона………………. 64

3.5.3. Временная логика фон Вригта…………… 64

3.5.4. Приложение временных логик

к программированию……………………. 65

3.5.5. Временная логика Пнуели……………….. 67

3.6. Алгоритмические логики………………………. 70

3.6.1. Принципы построения

1 >

Федеральное
агентство по образованию

ТОМСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра
автоматизации обработки информации

Утверждаю:

Зав. каф. АОИ

профессор

Ю.П. Ехлаков

«__» _____________2007 г.

Методические
указания

к
выполнению практических работ по
дисциплине

для студентов
специальности 230102 –

«Автоматизированные
системы обработки информации и управления»

Разработчики:

ст. преподаватель
каф. АОИ

Т.О. Перемитина

Томск
– 2007

Практическое
занятие № 1 «Формулы алгебры высказываний» 3

Практическое
занятие № 2 «Равносильные преобразования
формул алгебры высказываний» 10

Практическое
занятие № 3 «Нормальные формы формул» 12

Практическое
занятие № 4 «Логические рассуждения» 14

Практическое
занятие № 5 «Формулы логики предикатов» 18

Практическое
занятие № 6 «Булевы функции» 23

Практическое
занятие № 7 «Частично рекурсивные
функции» 28

Практическое
занятие № 8 «Машины Тьюринга» 34

Практическое занятие № 1 «Формулы алгебры высказываний»

Учение о высказываниях
– алгебра высказываний, или алгебра
логики, – является простейшей логической
теорией. Атомарным понятием алгебры
высказываний является высказывание

– повествовательное предложение, в
отношении которого имеет смысл утверждение
об его истинности или ложности.

Пример истинного
высказывания: «Земля вращается вокруг
Солнца». Пример ложного высказывания:
«3 > 5». Не всякое предложение
является высказыванием, к высказываниям
не относятся вопросительные и
восклицательные предложения. Не является
высказыванием предложение: «Каша –
вкусное блюдо», так как не может быть
единого мнения о том, истинно оно или
ложно. Предложение «Есть жизнь на Марсе»
следует считать высказыванием, так как
объективно оно либо истинно, либо ложно,
хотя никто пока не знает, какое именно.

Поскольку предметом
изучения логики являются только значения
истинности высказываний, для них вводят
буквенные обозначения A, B, … или X,Y…

Считается, что
каждое высказывание либо истинно, либо
ложно. Для краткости, будем вместо
значения истинно писать 1, а вместо
значения ложно – 0. Например, X= «Земля вращается вокруг Солнца»
иY= «3 > 5», причемX=1 иY= 0.
Высказывание не может быть одновременно
истинным и ложным.

Высказывания могут
быть простыми и составными. Высказывания
«Земля вращается вокруг Солнца» и
«3 > 5» являются простыми. Составные
высказывания образуются из простых с
помощью связок естественного (русского)
языка НЕ, И, ИЛИ, ЕСЛИ-ТО, ТОГДА-И-ТОЛЬКО-ТОГДА.
При использовании буквенных обозначений
для высказываний эти связки заменяются
специальными математическими символами,
которые можно рассматривать как символы
логических операций.

Ниже, в таблице 1
приведены варианты символов для
обозначения связок и названия
соответствующих логических операций.

Отрицанием

(инверсией) высказыванияX
называется высказывание, истинное тогда
и только тогда, когдаX
ложно (обозначаетсяили,
читается “неX
” или
“неверно, чтоX
”).

Конъюнкцией

двух высказываний называется высказывание,
истинное тогда и только тогда, когда
истинны оба высказыванияX
иY
. Эта логическая
операция соответствует соединению
высказываний союзом ”и”.

Дизъюнкцией

двух высказыванийX
иY
называется
высказывание ложное в том и только в
том случае, когда оба высказыванияX
иY
ложны. В разговорной
речи этой логической операции соответствует
союз “или” (не исключающее “или”).

Импликацией

двух высказыванийX

и
Y
называется
высказывание, ложное тогда и только
тогда, когдаX
истинно,
аY
– ложно (обозначается
;
читается “X
влечетY
”, “еслиX
,
тоY
”). Операнды этой
операции имеют специальные названия:X
– посылка,Y
– заключение.

Эквиваленцией

двух высказыванийX
иY
называется
высказывание, истинное тогда и только
тогда, когда истинностные значенияX
иY
одинаковы
(обозначение:
).

Таблица
1.
Логические операции

Операнды логических
операций могут принимать только два
значения: 1 или 0. Поэтому каждую логическую
операцию , &,,,легко задать с помощью таблицы, указав
значение результата операции в зависимости
от значений операндов. Такая таблица
называется таблицей истинности

(табл. 2).

Таблица 2. Таблица
истинности логических операций

С
помощью логических операций, определенных
выше, можно из простых высказываний
строить формулы
логики высказываний

,
представляющие различные составные
высказывания. Логическое значение
составного высказывания зависит от
структуры высказывания, выраженной
формулой, и логических значений образующих
его элементарных высказываний.

Для
систематического изучения формул,
выражающих высказывания, вводят
переменные высказывания P,
P
1 ,
P
2 ,
…, P
N
,
принимающие значения из множества {0,
1}.

Формула
логики высказываний F

(P
1 ,
P
2 ,…,
P
N
)
называется тавтологией или тождественно
истинной

,
если ее значение для любых значений P
1 ,
P
2 ,…,
P
N

есть 1 (истина). Формулы, принимающие
значение “истина” хотя бы при одном
наборе списка переменных, называются
выполнимыми

.
Формулы, принимающие значение “ложь”
при любых значениях переменных, называются
противоречиями

(тождественно ложными, невыполнимыми).

Предлагаемое учебное пособие (2-ое изд., стереотип.) составляет основу комплекта по курсу математической логики и теории алгоритмов, в который также входит сборник задач (Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов).

Подробно изложены основы теории, показаны направления проникновения логики в основания алгебры, анализа, геометрии, привлечен материал школьного курса математики для его логического анализа, охарактеризованы взаимосвязи математической логики с компьютерами, информатикой, системами искусственного интеллекта.

Введение. Математическая логика в системе современного образования.
Логика и интуиция. Логика традиционная и математическая логика. Немного истории. Математическая логика — логика или математика? Математическая логика в обучении математике. Математическая логика и современные ЭВМ.
Глава I. Алгебра высказываний.

§ 1. Высказывания и операции над ними.
Понятие высказывания. Отрицание высказывания. Конъюнкция двух высказываний. Дизъюнкция двух высказываний. Импликация двух высказываний. Эквивалентность двух высказываний. Союзы языка и логические операции (язык и логика). Общий взгляд на логические операции.
§2. Формулы алгебры высказываний.
Конструирование сложных высказываний. Понятие формулы алгебры высказываний. Логическое значение составного высказывания. Составление таблиц истинности для формул. Классификация формул алгебры высказываний. Мышление и математическая логика
§ 3. Тавтологии алгебры высказываний.
О значении тавтологий. Основные тавтологии. Основные правила получения тавтологии.
§ 4. Логическая равносильность формул.
Понятие равносильности формул. Признак равносильности формул. Примеры равносильных формул. Равносильные преобразования формул. Равносильности в логике и тождества в алгебре.
§ 5. Нормальные формы для формул алгебры высказываний.
Понятие нормальных форм. Совершенные нормальные формы. Представление формул алгебры высказываний совершенными дизъюнктивными нормальными (СДН) формами. Представление формул алгебры высказываний совершенными конъюнктивными нормальными (СКН) формами. Два способа приведения формулы алгебры высказываний к совершенной нормальной форме
§ 6. Логическое следование формул.
Понятие логического следствия. Признаки логического следствия. Два свойства логического следования. Следование и равносильность формул. Правила логических умозаключений. Еще один способ проверки логического следования. Нахождение следствий из данных посылок. Нахождение посылок для данного следствия.
§ 7. Приложение алгебры высказываний к логико-математической практике.
Прямая и обратная теоремы. Необходимые и достаточные условия. Противоположная и обратная противоположной теоремы. Закон контрапозиции. Модификация структуры математической теоремы. Методы доказательства математических теорем. Дедуктивные и индуктивные умозаключения. Правильные и неправильные дедуктивные умозаключения. Решение логических задач. Принцип полной дизъюнкции. Одно обобщение принципа полной дизъюнкции.
Глава II. Булевы функции.

§8. Множества, отношения, функции.
Понятие множества. Включение и равенство множеств. Операции над множествами. Бинарные отношения и функции. Понятие ларного отношения.
§ 9. Булевы функции от одного и двух аргументов.
Происхождение булевых функций. Булевы функции от одного аргумента. Булевы функции от двух аргументов. Свойства дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Свойства эквивалентности, импликации и отрицания. Выражение одних булевых функций через другие
§ 10. Булевы функции от п аргументов.
Понятие булевой функции. Число булевых функций. Выражение булевых функций через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Булевы функции и формулы алгебры высказываний. Нормальные формы булевых функций.
§ 11. Системы булевых функций.
Полные системы булевых функций. Специальные классы булевых функций. Теорема Поста о полноте системы булевых функций
§ 12. Применение булевых функций к релейно-контактным схемам.
Идея применения. Две основные задачи теории релейно-контактных схем.
§ 13. Релейно-контактные схемы в ЭВМ.
Двоичный полусумматор. Одноразрядный двоичный сумматор. Шифратор и дешифратор.
§ 14. О некоторых других приложениях теории булевых функций.
Диагностика (распознавание) заболеваний. Распознавание образов.
Глава III. Формализованное исчисление высказываний.

§ 15. Система аксиом и теория формального вывода.
Начало аксиоматической теории высказываний: первоначальные понятия, система аксиом, правило вывода. Понятие вывода и его свойства. Теорема о дедукции и следствия из неё. Применение теоремы о дедукции. Производные правила вывода
§ 16. Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний
Доказуемость формулы и ее тождественная истинность (синтаксис и семантика). Лемма о выводимости. Полнота формализованного исчисления высказываний. Теорема адекватности. Непротиворечивость формализованного исчисления высказываний. Разрешимость формализованного исчисления высказываний
§ 17. Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний.
Понятие независимости. Независимость аксиомы (А1). Независимость аксиомы (А2). Независимость аксиомы (A3). Независимость системы аксиом
Глава IV. Логика предикатов.

§ 18. Основные понятия, связанные с предикатами.
Понятие предиката. Классификация предикатов. Множество истинности предиката. Равносильность и следование предикатов
§ 19. Логические операции над предикатами.
Отрицание предиката. Конъюнкция двух предикатов. Дизай перейти на страницу дикатов. Свойства отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Импликация и эквивалентность двух предикатов.
§ 20. Кванторные операции над предикатами.
Квантор общности. Квантор существования. Численные кванторы. Ограниченные кванторы. Логический квадрат
§ 21. Формулы логики предикатов.
Понятие формулы логики предикатов. Классификация формул логики предикатов. Тавтологии логики предикатов
§ 22. Равносильные преобразования формул и логическое следование формул логики предикатов
Понятие равносильности формул. Приведенная форма для формул логики предикатов. Предваренная нормальная форма для формул логики предикатов. Логическое следование формул логики предикатов
§ 23. Проблемы разрешения для обще значимости и выполнимости формул.
Постановка проблемы и ее неразрешимость в общем виде. Решение проблемы для формул на конечных множествах. Пример формулы, выполнимой на бесконечном множестве и невыполнимой ни на каком конечном множестве. Проблема разрешения выполнимости: влияние мощности множества и структуры формулы. Решение проблемы для формул, содержащих только одноместные предикатные переменные. Проблема разрешения общезначимости и мощность множества, на котором рассматривается формула. Решение проблемы для V-формул и 3-формул
§ 24. Применение логики предикатов к логико-математической практике.
Запись на языке логики предикатов различных предложении. Сравнение логики предикатов и логики высказываний. Строение математических теорем. Методы рассуждений: аристотелева силлогистика. Аристотелева силлогистика и логика предикатов. Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики. О других методах рассуждений. Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме. Метод (полной) математической индукции Необходимые и достаточные условия. Логика предикатов и алгебра множеств.
§ 25. Формализованное исчисление предикатов.
Первоначальные понятия (язык формализованного исчисления предикатов). Система аксиом исчисления предикатов. Правила вывода. Теория формального вывода.
Глава V. Неформальные аксиоматические теории.

§ 26. Аксиоматический метод в математике и аксиоматические теории.
Понятие аксиоматической теории. Как возникают аксиоматические теории. Примеры аксиоматических теорий. Интерпретации и модели аксиоматической теории.
§ 27. Свойства аксиоматических теорий.
Непротиворечивость. Категоричность. Независимость системы аксиом. Полнота.
Глава VI. Формальные аксиоматические теории.

§ 28. О формальных аксиоматических теориях.
Об истории идеи формальной аксиоматической теории. Понятие формальной аксиоматической теории. Язык и метаязык, теоремы и метатеоремы формальной теории. Интерпретации и модели формальной теории. Семантическая выводимость. Метаматематика (свойства формальных аксиоматических теорий) . Формализованное исчисление высказываний как формальная аксиоматическая теория.Формализация теории аристотелевых силлогизмов.
§ 29. Свойства формализованного исчисления предикатов.
Оправданность аксиоматизации.Непротиворечивость формализованного исчисления предикатов. Теорема Гёделя о существовании модели. Полнота и адекватность формализованного исчисления предикатов. Неполнота формализованного исчисления предикатов в абсолютном и узком смыслах.Теорема компактности.
§ 30. Формальные теории первого порядка.
Теории первого порядка с равенством. О формальных теориях множеств. О формальной арифметике. О формальных теориях числовых систем.О формальной геометрии. О формальном математическом анализе. Обший взгляд на процесс формализации математической теории.О границах аксиоматического метода, метода формализации и логики.
Глава VII. Элементы теории алгоритмов.

§31. Интуитивное представление об алгоритмах.
Алгоритмы вокруг нас. Неформальное понятие алгоритма. Необходимость уточнения понятия алгоритма.
§ 32. Машины Тьюринга.
Определение машины Тьюринга.Применение машин Тьюринга к словам. Конструирование машин Тьюринга. Вычислимые по Тьюрингу функции. Правильная вычислимость функций на машине Тьюринга. Композиция машин Тьюринга. Тезис Тьюринга (основная гипотеза теории алгоритмов) . Машины Тьюринга и современные электронно-вычислительные машины.
§ 33. Рекурсивные функции.
Происхождение рекурсивных функций. Основные понятия теории рекурсивных функций и тезис Черча. Примитивно рекурсивные функции. Примитивная рекурсивность предикатов. Вычислимость по Тьюрингу примитивно рекурсивных функций. Функции Аккермана. Оператор минимизации. Общерекурсивные и частично рекурсивные функции. Вычислимость по Тьюрингу частично рекурсивных функций. Частичная рекурсивность функций, вычислимых по Тьюрингу.
§34. Нормальные алгоритмы Маркова.
Марковские подстановки. Нормальные алгоритмы и их применение к словам. Нормально вычислимые функции и принцип нормализации Маркова. Совпадение класса всех нормально вычислимых функций с классом всех функций, вычислимых по Тьюрингу. Эквивалентность различных теорий алгоритмов.
§ 35. Разрешимость и перечислимость множеств.
§ 36. Неразрешимые алгоритмические проблемы.
Нумерация алгоритмов. Нумерация машин Тьюринга. Существование невычислимых по Тьюрингу функций. Проблемы распознавания самоприменимости и применимости. Алгоритмически неразрешимые проблемы в обшей теории алгоритмов. Теорема Раиса. Другие примеры алгоритмической неразрешимости.
§ 37. Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики.
Формальные аксиоматические теории и натуральные числа. Формальная арифметика и ее свойства. Теорема Гёделя о неполноте. Гёдель и его роль в математической логике XX в. .
Глава VIII. Математическая логика и компьютеры, информатика, искусственный интеллект.

* § 38. Математическая логика и программное обеспечение компьютеров.
Теория алгоритмов и математическая логика — фундаментальная основа программирования. Описание компьютерных программ с помощью математической логики. Описание программирования и анализ его концепций с помощью математической логики. Верификация (доказательство правильности) программ с помощью математической логики.
§ 39. Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики.
Программа «Логик-теоретик» и программы, близкие к ней. Метод резолюций для доказательства теорем исчисления высказываний и исчисления предикатов.
§ 40. От математической логики к логическому программированию.
Возникновение языка ПРОЛОГ и его развитие. Общая характеристика языка ПРОЛОГ. Краткое описание языка ПРОЛОГ и примеры. Сферы применения языка ПРОЛОГ.
§41. Математическая логика и информатика.
Общее понятие о базе данных. Реляционная база данных и логика запросов в ней.
§ 42. Математическая логика и системы искусственного интеллекта История развития и предмет искусственного интеллекта как науки. Представление знаний в системах искусственного интеллекта. Экспертные системы. Язык ПРОЛОГ в системах искусственного интеллекта. Может ли машина мыслить.
Заключение: Всесильна ли логика в познании законов мышления?
Список литературы.

Логика и интуиция.

Мыслительная деятельность человека представляет собой сложный и многогранный процесс, происходящий как на сознательном, так и на бессознательном (подсознательном) уровнях. Это высшая ступень человеческого познания, способность к адекватному отражению предметов и явлений действительности, т.е. к нахождению истины.

Логика и интуиция -два противоположных и неразрывно связанных между собой свойства человеческого мышления. Логическое (дедуктивное) мышление отличается тем, что оно от истинных посылок всегда приводит к истинному заключению, не опираясь при этом на опыт, интуицию и другие внешние факторы. Интуиция (от лат. intuitio — «пристальное всматривание») представляет собой способность постижения истины путем прямого ее усмотрения без обоснования с помощью логически строгого доказательства. Таким образом, интуиция является своего рода антиподом, противовесом логики и строгости.

Логическая часть мыслительного процесса протекает на уровне сознания, интуитивная — на подсознательном уровне.
Развитие науки и особенно математики немыслимо без интуиции. Различают два вида интуиции в научном познании1: интуицию-суждение и интуицию-догадку. Интуиция-суждение (или философская интуиция-суждение) характеризуется тем, что в этом случае прямое усмотрение истины, объективной связи вещей осуществляется не просто без логически строгого доказательства, но такого доказательства для данной истины не существует и не может существовать в принципе. Интуиция-суждение осуществляется как единый (единовременный) синтетический целостный акт обобщающего характера. Именно такой характер логически недоказуемых утверждений носят рассматриваемые в теории алгоритмов тезисы Тьюринга, Чёрча и Маркова.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:

Скачать книгу Математическая логика и теория алгоритмов, Игошин В.И., 2008 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

11.1. Понятие об алгоритме и теории алгоритмов

Интуитивно
под алгоритмом понимается процесс
последовательного решения задачи,
протекающей в дискретном времени так,
что в каждый следующий момент времени
система объектов алгоритма получается
по определённому закону из системы
объектов, имевшихся в предыдущий момент
времени . Интуитивно потому, что,
строго говоря, понятие алгоритма сродни
понятию множества, которое неопределимо.

В
соответствии с ГОСТ 19781-74 «Машины
вычислительные. Программное обеспечение.
Термины и определения» алгоритм

– это точное предписание, определяющее
вычислительный процесс, ведущий от
варьируемых начальных данных к искомому
результату. При этом предполагается
наличие исполнителя алгоритма – такого
объекта, который «умеет» выполнять эти
действия.

Слово
«алгоритм» происходит, как предполагают,
от имени среднеазиатского (узбекского)
математика XIII
века Аль Хорезми (Абу Абдалла Мухаммед
ибн Муса ал Хорезми ал Меджуси) –
«Algorithmi»
в латинской транскрипции, впервые
сформулировавшего правила (процедуру)
выполнения четырех арифметических
действий в десятичной системе счисления.

Пока
вычисления были несложными, особой
необходимости в алгоритмах не было.
Когда появилась потребность в многократных
пошаговых процедурах, тогда и появилась
теория алгоритмов. Но при еще большем
усложнении задач, оказалось, что часть
из них невозможно решать алгоритмическим
путем. Таковы, например, многие задачи,
решаемые «бортовым компьютером» человека
– головным мозгом. Решение таких задач
основывается на иных принципах – эти
принципы использует новая наука –
нейроматематика и соответствующие
технические средства – нейрокомпьютеры.
В этом случае применяются процессы
обучения, проб и ошибок – то есть то,
чем мы сейчас и занимаемся.

Качество
алгоритма определяется его свойствами
(характеристиками). К основным свойствам
алгоритма относятся :

1.
Массовость
.
Предполагается, что алгоритм может быть
пригоден для решения всех задач данного
типа. Например, алгоритм для решения
системы линейных алгебраических
уравнений должен быть применим к системе,
состоящей из произвольного числа
уравнений.

2.
Результативность
.
Это свойство означает, что алгоритм
должен приводить к получению результата
за конечное число шагов.

3.
Определенность
.
Предписания, входящие в алгоритм, должны
быть точными и понятными. Эта характеристика
обеспечивает однозначность результата
вычислительного процесса при заданных
исходных данных.

4.
Дискретность
.
Это свойство означает, что описываемый
алгоритмом процесс и сам алгоритм могут
быть разбиты на отдельные элементарные
этапы, возможность выполнения которых
на ЭВМ у пользователя не вызывает
сомнений.

Сегодня
на дворе «цифровое тысячелетие» и может
создастся впечатление, что алгоритмам
подвластны любые задачи. Оказывается,
многие задачи не могут быть решены
алгоритмически. Это так называемые
алгоритмически неразрешимые задачи.

Для
доказательства алгоритмической
разрешимости или неразрешимости задач
необходимы математически строгие и
точные средства. В середине 30-х годов
прошлого века были предприняты попытки
формализовать понятие алгоритма и были
предложены различные модели алгоритмов
: рекурсивные функции; «машины» –
Тьюринга, Поста; нормальные алгорифмы
Маркова.

Впоследствии
было установлено, что эти и другие модели
эквивалентны в том смысле, что классы
решаемых ими задач совпадают . Этот
факт носит название тезиса Черча. Сейчас
это общепризнанно. Формальное определение
понятия алгоритма создало предпосылки
для разработки теории алгоритма ещё до
разработки первых ЭВМ. Прогресс
вычислительной техники стимулировал
дальнейшее развитие теории алгоритмов.
Помимо установления алгоритмической
разрешимости задач, теория алгоритмов
занимается еще и оценкой сложности
алгоритмов в смысле числа шагов (временная
сложность) и требуемой памяти
(пространственная сложность), а также
занимается разработкой эффективных в
этом смысле алгоритмов.

Для
реализации некоторых алгоритмов при
любых разумных с точки зрения физики
предположениях о скорости выполнения
элементарных шагов, может потребоваться
больше времени, чем по современным
воззрениям существует Вселенная, или
больше ячеек памяти, чем атомов,
составляющих планету Земля .

Поэтому
еще одна задача теории алгоритмов –
решение вопроса исключения перебора
вариантов в комбинаторных алгоритмах.
Оценка сложности алгоритмов и создания
так называемых эффективных алгоритмов
– одна из важнейших задач современной
теории алгоритмов.

Контрольные по математике | Интуитивное понятие алгоритма. алгоритмы в математике

Интуитивное понятие алгоритма. Алгоритмы в математике.

1. Термин «алгоритм» появился в связи с…

A. – разработкой программ для ЭВМ

B. + обозначением процесса цифровых вычислений десятичной позиционной арифметики

C. – поиском решений задач математической логики

D. – изучением проблемы сложности вычислений

2. Термин «алгоритм» происходит от …

A. + имени средневекового узбекского математика Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми

B. – описанной Евклидом последовательности действий для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел

C. – понятии «нормальный алгорифм», введенного А. А. Марковым

D. – первого языка программирования

3. Термин «алгоритм» появился в …

A. – VIII веке

B. + IX веке

C. – XVIII веке

D. – XIX веке

4. Задача формального определения понятия алгоритма решена в …

A. – 1830-х годах

B. + 1930-х годах

C. – 1940-х годах

D. – 1950-х годах

5. Развитие прикладного направления теории алгоритмов началось в …

A. – 1830-х годах

B. – 1930-х годах

C. + 1940-х годах

D. – 1950-х годах

6. Выберите наиболее правильное интуитивное определение алгоритма

A. + Алгоритм – это точное и полное предписание о последовательности выполнения конечного числа действий, необходимых для решения любой задачи из некоторого класса

B. – Под алгоритмом понимается всякое предписание, которое задаёт вычислительный процесс

C. – Алгоритм – это инструкция для выполнения последовательности действий, которая задается исходным набором данных

D. – Под алгоритмом понимается любая совокупность правил

7. Алгоритмы, в соответствии с которыми решение поставленных задач сводится к арифметическим действиям, называются (численными) алгоритмами.

8. Алгоритмы, в соответствии с которыми решение поставленных задач сводится к логическим действиям, называются (логическими) алгоритмами.

9. Примерами численных алгоритмов являются алгоритмы

A. + нахождения НОД

B. + решения систем линейных уравнений методом Гаусса

C. – поиска минимального числа

D. – поиска пути из вершины хо в вершину хn для графа

10. Примерами логических алгоритмов являются алгоритмы

A. – умножения матрицы на вектор

B. – алгоритм вычисления членов последовательности

C. + поиска равных чисел в последовательности

D. + поиска пути в лабиринте

Свойства алгоритма.

11. Разбиение выполнения алгоритмана на последовательность законченных действий называется свойством…

A. + дискретности

B. – детерминированности

C. – конечности

D. – результативности

12. Свойство, требующее, чтобы на каждом шаге алгоритма было известно и очевидно, как и какую команду надо выполнить следующей называется…

A. – дискретность

B. – детерминированности

C. + понятность

D. – результативности

13. Свойство, недопускающее произвола действий исполнителя и требующее, чтобы команда могла быть понята и выполнена однозначно называют свойством…

A. – дискретности

B. – детерминированности

C. – понятности

D. + определенности

14. Требование, чтобы закон получения последующей системы величин из предыдущей был простым и локальным называется…

A. + элементарность команд

B. – понятность

C. – определенность

D. – конечность

15. Свойство алгоритма, обеспечивающее при точном исполнении его команд прекращения процесса за конечное число шагов с выдачей результатов называется свойством…

A. – дискретности

B. – детерминированности

C. – понятности

D. + результативности

16. Свойство алгоритма быть применимым для решения любой задачи из некоторого класса называется свойством…

A. – определенности

B. + массовости

C. – результативности

D. – детерминированности

Способы записи алгоритма.

17. Способ записи алгоритмов, представляющий собой описание на естественном языке последовательных этапов обработки данных, называется…

A. — табличным

B. + словесным

C. — логичным

D. — простым

18. Способ записи алгоритмов, представляющий собой описание последовательных этапов обработки данных в виде таблицы, называется …

A. +табличным

B. -словесным

C. -схематичным

D. -красивым

19. Способ записи алгоритмов, представляющий совокупность буквенных обозначений, чисел, знаков арифметических операций, элементарных функций и знака «равно», называется…

A. — знаковым

B. — буквенным

C. — алгоритмическим

D. +формульным

20. Способ записи алгоритмов, представляющий собой специальную систему обозначений и правил, предназначенную для единообразной записи алгоритмов, называется…

A. + алгоритмическим

B. — правильным

C. — формульным

D. — знаковым

21. Способ записи алгоритмов, представленный в виде последовательности связанных между собой изображений (функциональных блоков), каждое из которых соответствует выполнению одного или нескольких действий, называется …

A. — формульным

B. — посталгоритмическим

C. — алгоритмическим

D. + графическим

22. Ориентированный граф, указывающий порядок исполнения команд алгоритма, изображенных специальными блоками в виде геометрических фигур, называется…

A. — геометрическим

B. + блок-схема

C. — фигурным

D. — схематическим

23. Блочный символ используемый в блок-схеме для обозначения начала или конца алгоритма.

A. –

B. –

C. –

D. +

24. Блочный символ используемый в блок-схеме для обозначения вычислительных действий.

A. +

B. –

C. –

D. –

25. Блочный символ используемый в блок-схеме для обозначения проверки условий.

A. –

B. +

C. –

D. –

26. Блочный символ используемый в блок-схеме для обозначения для обозначения ввода и вывода данных.

A. –

B. –

C. +

D. –

27. Выберите блок-схемы соответствующие алгоритмической конструкции «ветвлению».

A. +

B. +

C. –

D. –

28. Выберите блок-схемы соответствующие алгоритмической конструкции «цикл».

A. –

B. +

C. +

D. –

29. Выберите блок-схему соответствующую алгоритмической конструкции «следование»

A. –

B. –

C. –

D. +

Необходимость уточнения понятия алгоритма. Алгоритмические модели

30. Алгоритмическая модель, связывающая понятие алгоритма с процедурами вычисления значений числовых функций построена…

A. – Э. Постом

B. – А. Тьюрингом

C. – А. А. Марковым

D. + С. К. Клини

31. Алгоритмическая модель, связывающая понятие алгоритма с описанием точно очерченных процессов, выполняемых неким устройством построена …

A. – С. К. Клини

B. + А. Тьюрингом

C. – А. А. Марковым

D. – А. Чёрчем

32. Как особое соответствие между словами в том или ином абстрактном алфавите алгоритм определяется в модели …

A. – Э. Поста

B. – А. Тьюринга

C. + А. А. Маркова

D. – А. Чёрча

33. Формальное определение алгоритма необходимо при …

A. – вычислении числовых функций и исчислении предикатов

B. – доказательстве возможности его построения

C. + доказательстве неразрешимости задач

D. – определении эффективности конкретного алгоритма

Понятие вычислимой функции.

34. Частичной функцией называется закон, устанавливающий в соответствие …

A. + некоторым или всем элементам множества X однозначно определенные элементы множества Y

B. – каждому элементу множества X однозначно определенные элементы множества Y

C. – некоторым элементам множества X элементы множества Y

D. – каждому элементу множества X все элементы множества Y

35. Всюду определенной функцией называется закон, устанавливающий в соответствие …

A. – некоторым или всем элементам множества X однозначно определенные элементы множества Y

B. + каждому элементу множества X однозначно определенные элементы множества Y

C. – некоторым элементам множества X элементы множества Y

D. – каждому элементу множества X все элементы множества Y

36. Пусть даны два множества X, Y и частичная функция <D(f), f > из X в Y, где D(f) Í X, f : D(f)→Y и f(x) – значение f на данном x. Тогда D(f) называется …

A. + областью определения f

B. – множеством значений f

C. – образом множества X при функции f

D. + прообразом множества X при функции f

37. Пусть даны два множества X, Y и частичная функция <D(f), f > из X в Y, где D(f) Í X, f : D(f)→Y и f(x) – значение f на данном x. Тогда множество {f(x) / xÎD(f)} называется …

A. – областью определения f

B. + множеством значений f

C. + образом множества X при функции f

D. – прообразом множества X при функции f

38. Пусть даны два множества X, Y и частичная функция <D(f), f > из X в Y, где D(f) Í X, f : D(f)→Y. Если D(f) пустое, то f называется …

A. – частичной

B. – всюдуопределенной

C. + нигде не определенной

D. – инъективной

39. Частичная функция <D(f), f > из (N0)m в (N0)n, где D(f) Í (N0)m, f : D(f)→ (N0)n называется вычислимой (интуитивно вычислимой), если существует такая «программа» (алгоритм), что …

A. + при подаче на ее вход вектора х Î (N0)m мы получим на выходе f(x), если х Î D (f), а иначе некоторое c Ï (N0)n

B. – при подаче на ее вход вектора х Î (N0)m мы получим на выходе f(x), если х Î D (f), а если х Ï D (f), то на выходе получим некоторое c Ï (N0)n или же программа работает бесконечно долго

C. – печатает все элементы множества (N0)m и только их, через равные промежутки времени.

D. – по любому n из (N0)m определяет, принадлежит ли f(n) множеству (N0)n и выводит сообщение о принадлежности данного элемента.

40. Частичная функция <D(f), f > из (N0)m в (N0)n, где D(f) Í (N0)m, f : D(f)→ (N0)n называется полувычислимой, если существует такая «программа» (алгоритм), что …

A. – при подаче на ее вход вектора х Î (N0)m мы получим на выходе f(x), если х Î D (f), а иначе некоторое c Ï (N0)n

B. + при подаче на ее вход вектора х Î (N0)m мы получим на выходе f(x), если х Î D (f), а если х Ï D (f), то на выходе получим некоторое c Ï (N0)n или же программа работает бесконечно долго

C. – печатает все элементы множества (N0)m и только их, через равные промежутки времени.

41. Отметьте истинные высказывания:

A. + вычислимые функции полувычислимы

B. – полувычислимые функции вычислимы

C. + всюду определенные полувычислимые функции вычислимы

D. + нигде не определенные функции вычислимы

42. Отметьте все истинные высказывания о вычислимой функции:

A. + функция вычислима <=> ее D(f) является перечислимым множеством

B. + существуют невычислимые функции

C. – частично определенная функция не вычислима

D. – функция вычислима <=> она всюду определена

43. Пусть X Í Y – два множества. Характеристической функцией подмножества X в У называется такая функция c x что …

A. c x (n)=( if n Î Y then 0 else c Ï X)

B. c x (n)=( if n Î X then 0 else не определено)

C. + c x (n)=( if n Î X then 0 else 1)

D. – c x (n)=( if n Î X then f(x) else не определено)

44. Пусть X Í Y – два множества. Полуарактеристической функцией подмножества X в У называется такая функция c x что …

A.– c x (n)=( if n Î Y then 0 else c Ï X)

B.+ c x (n)=( if n Î X then 0 else не определено)

C.– c x (n)=( if n Î X then 0 else 1)

D.- c x (n)=( if n Î X then f(x) else не определено)

45. Если существует синтаксическое выражение и соответствующая интерпретация его как функции f, и если это выражение определяет алгоритм, которй реализуют данную функцию, то функцию f называют …

A. – интуитивно вычислимой

B. – полувычислимой

C. + эффективно вычислимой

D. – невычислимой

Понятие разрешимого множества.

46. Множество X называется разрешимым, если существует такая «программа» (алгоритм), что …

A. – при подаче на ее вход вектора х Î X мы получим на выходе f(x), если х Î D (f), а иначе некоторое c Ï X

B. – при подаче на ее вход вектора х Î X мы получим на выходе f(x), если х Î D (f), а если х Ï D (f), то на выходе получим некоторое c Ï X или же программа работает бесконечно долго

C. – печатает все элементы множества X и только их, через различные промежутки времени

D. + по любому n из (N0)m определяет, принадлежит ли n множеству X и выводит сообщение о принадлежности данного элемента

47. Отметьте все истинные высказывания о разрешимом множестве:

A. + пересечение разрешимых множеств – разрешимо

B. + разность разрешимых множеств – разрешимое множество

C. – множество X разрешимо тогда и только тогда, когда оно конечно

D. + объединение разрешимых множеств – разрешимо

48. Укажите правильную формулировку теоремы Поста:

A. + Всякое разрешимое множество – перечислимо. Если множество X и его дополнение до множества N перечислимы, то X разрешимо.

B. – Всякое перечислимое множество – разрешимо. Если множество X и его дополнение до множества N разрешимы, то X перечислимо.

C. – Если множество X перечислимо, то X разрешимо.

D. – Всякое перечислимое множество – разрешимо и всякое разрешимое множество –перечеслимо.

49. Укажите неверное высказывание:

A. + существует разрешимое неперечислимое множество

B. – существует перечислимое разрешимое множество

C. – существует разрешимое перечислимое множество

D. – существует перечислимое неразрешимое множество

Понятие перечислимого множества.

50. Множество X называется перечеслимым, если существует такая «программа» (алгоритм), что …

A. – при подаче на ее вход вектора х Î X мы получим на выходе f(x), если х Î D (f), а иначе некоторое c Ï X

C. + печатает все элементы множества X и только их, через различные промежутки времени

D. – по любому n из (N0)m определяет, принадлежит ли n множеству X и выводит сообщение о принадлежности данного элемента

51. Отметьте все истинные высказывания о перечислимом множестве:

A. + множество перечислимо <=> оно является областью определения вычислимой функции

B. – разность перечислимых множеств – перечислима

C. + пересечение перечислимых множеств – перечислимо

D. + объединение перечислимых множеств – перечислимо

Частично рекурсивные функции и рекурсивные предикаты. Класс частично рекурсивных функций. Исходные функции.

52. Рекурсией называется …

A. + способ задания функции, при котором значение определяемой функции для произвольных значений аргументов выражается известным образом через значения определяемой функции для меньших значений аргументов

B. – способ задания функции, при котором каждое значение определяемой функции для произвольных значений аргументов выражается через другие известные функции

C. – вычисление функции через базовые функции с помощью известных алгоритмов

D. – способ задания функции, при котором значения определяемой функции для произвольных значений аргументов на разных промежутках области определения выражается через различные известные функции

53. Отметьте все элементарные (исходные, базовые) функции для построения класса частично рекурсивных функций:

A. + нуль-функция: O(x)=0;

B. + функция следования: S(x)=x+1;

C. + функция проецирования (выбора): Inm(x1,x2,…,xn)=xm, 1£m£n.

D. – функция – константа Cqn(x1,x2,…,xn)=q, nÎN, qÎ N

54. Укажите истинные высказывания:

A. + множество частично рекурсивных функций – счетно

B. + классы частично рекурсивных функций, функций вычислимых по Тьюрингу и по Маркову эквивалентны

C. – не существует нигде не определенной вычислимой функции

D. – множество функций счетно

55. Выберите истинное всказывание:

A. – класс примитивно-рекурсивных функций шире класса частично рекурсивных функций

B. + класс частично рекурсивных функций включает класс примитивно-рекурсивных функций

C. – класс частично рекурсивных функций совпадает с классом примитивно-рекурсивных функций

D. – пересечение класса частично рекурсивных функций и класса примитивно-рекурсивных функций пусто

56. Функция f называется частично рекурсивной относительно множества простейших функций из базового набора, если она строится

A. + из простейших вычислимых функций конечным числом применения операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации

B. – из простейших вычислимых функций конечным числом применения оператора суперпозиции

C. – из простейших вычислимых функций конечным числом применения операторов суперпозиции и примитивной рекурсии

D. – из нуль-функции и функции следования конечным числом применения операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации

57. Функция f называется примитивно-рекурсивной относительно множества простейших функций из базового набора, если она строится

A. – из простейших вычислимых функций конечным числом применения операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации

B. – из простейших вычислимых функций конечным числом применения оператора примитивной рекурсии

C. + из простейших вычислимых функций конечным числом применения операторов суперпозиции и примитивной рекурсии

58. Выберите истинные всказывания:

A. + всякая примитивно-рекурсивная функция всюду определена

B. + если функция f получена из примитивно-рекурсивных функций с применением операций подстановки или примитивной рекурсии, то функция f является примитивно-рекурсивной функцией

C. + все примитивно-рекурсивные функции интуитивно вычислимы

D. – все частично рекурсивные функции являются примитивно-рекурсивными

59. Возвратной рекурсией (рекурсией пробега) называется такая рекурсия, при которой

A. + значение f(x1,…,xn, y+1) зависит от x1, …, xn, y, а также от некоторых и возможно всех f(x1,…,xn, u), где u£y

B. – значение f(x1,…,xn, y+1) зависит от x1, …, xn, y, а также от f(x1,…,xn, y)

C. – значение f(x1,…,xn, y+1) зависит от f(x1,…,xn, y)

D. – значение f(x1,…,xn, y+1) зависит от x1, …, xn, y, а также от некоторых и возможно всех f(x1,…,xn, u), где u³y

60. Функции f1n+1,…,fkn+1 определены с помощью совместной рекурсии, если для всех 1£i£k имеет место следующая система равенств:

A. –

B. +

C. –

D. –

61. n-местным предикатом Pn, заданным на множестве M, называется …

A. – отображение Pn: Mn® N0

B. – отображение Pn:M ®{0,1}

C. – логическое высказывание

D. + отображение Pn:Mn®{0,1}

62. Характеристической (представляющей) функцией предиката Pn называется такая функция c Pn что …

A. cPn ()=( if Pn() – истинно then 0 else Pn())

B. – c Pn ()=( if Pn()– истинно then 0 else не определено)

C. + c Pn ()=( if Pn()– истинно then 0 else 1)

D. – c Pn ()=( if Pn()– истинно then Pn() else не определено)

63. Предикат Pn называется примитивно-рекурсивным, если …

A. + его характеристическая функция примитивно-рекурсивна

B. – его характеристическая функция частично рекурсивна

C. – его характеристическая функция вычислима

D. – существует алгоритм его вычисляющий

Оператор суперпозиции (подстановки).

64. Из совокупностей функциональных термов выберите ту, которая представляет операцию суперпозиции

A. +

B. –

C. –

65. Суперпозиция σ(S, 0) равна …

A. + 1

B. – 0

C. – x

D. – x+1

66. Суперпозиция σ(S, σ(S, x)) равна …

A. – x+1

B. – 2

C. + x+2

D. – 1

67. Суперпозиция σ(S, σ(S, 0)) равна …

A. – 1

B. – x+1

C. – x+2

D. + 2

68. Суперпозиция σ(0, σ(S, 0)) равна

A. + 0

B. – 1

C. – x+1

D. – x

69. Суперпозиция σ(S, σ(S, I22)) равна

A. + x2 + 2

B. – x2

C. – x1+1

D. – x1+2

70. Функция fn(x1, x2, …, xn) получена из функций fm0, fn1, fn2, …, fnm с помощью операции суперпозиции (подстановки), если …

A. – fn(x1, x2, …, xn)=fn1(fm0(x1, x2, …, xn), …, fnm(x1, x2, …, xn))

B. –

C. + fn(x1, x2, …, xn)=fm0(fn1(x1, x2, …, xn), …, fnm(x1, x2, …, xn))

D. –

Оператор примитивной рекурсии.

71. Из совокупностей функциональных термов выберите ту, которая представляет операцию примитивной рекурсии

A. –

B. +

C. –

72. Функция задана схемой примитивной рекурсии с помощю функций g(x)=2x и h(x,y,z)=zx. Задайте функцию аналитически.

A. –

B. –

C. –

D. +

73. Функция заданя соотношениями

f(x,0)=0;

f(x,y+1)=f(x,y)+x.

Вычислите f(5,2)

A. – 5

B. – 7

C. – 25

D. + 10

74. Выберите из предложенных функций, функцию f, полученную с помощью примитивной рекурсии из g и h, где g(x)=1, h(x, y,z)=z+x

A.+ f(x, y)=xy+1

B.– f(x, y)=1+x

C.– f(x, y)=x+y

D.– f(x, y)=1+y

75. Выберите из предложенных функций, функцию f, полученную с помощью примитивной рекурсии из g и h, где g(x)=x, h(x, y,z)=zx.

A.– f(x, y)=xy

B.– f(x, y)=zx

C.+ f(x, y)=xy+1

D.– f(x, y)=xy

76. Выберите из предложенных функций, функцию f, полученную с помощью примитивной рекурсии из g и h, где g(x)=x, h(x, y,z)=yz.

A.– f(x, y)=y×x!

B.+ f(x, y)=y! ×x

C.– f(x, y)=у×z

D.- f(x, y)=x×y

77. Функция f(x) получается из функции g(x) с помощью итерации если выполняется схема …

A. +

B. –

C. –

D. –

78. Функция f(x, y) получается из функции g(x) с помощью примитивной рекурсии если выполняется схема …

A. –

B. –

C. –

D. +

Оператор минимизации.

79. Из совокупностей функциональных термов выберите ту, которая представляет операцию минимизации

A. –

B. –

C. +

80. Найдите g-1(x), если известно, что g(x)=Sg и D(g)=N0

A. – g-1(x)=x

B. + g-1(x)=x при x=0 и x=1, иначе не определена

C. – g-1(x)=x при x=0, иначе не определена

D. – g-1(x)=x при x=1, иначе не определена

81. Найдите m x[Sg x=1]

A. – x

B. – 0

C. – не определено

D. + 1

82. Минимизируйте функцию f(x1,x2)= x1 — x2, по переменной x1, учитывая D(f)ÍN02

A. – x1+ x2

B. – x2 – x1

C. + 0 при x1 =0 и x2=0, иначе не определено

D. – x1 + x2 при x1 ³ x2, иначе не определено

83. Минимизируйте по x функцию f(x)= 10

A. – 10

B. + 0 при x=10, иначе не определено

C. – 10 при x=10, иначе не определено

D. – x

84. f(x1,…,xn) получена из функции g(x1,…,xn, y) в результате применения операции минимизации (m-операции) по y, если …

A. +

B. +

C. –

D. –

85. Будем говорить, что функция f(x) получена из функции g(x) в результате операции обращения, и обозначать f(x)«g-1(x), если …

A. f(x)=my[g(y)=0]

B. g(x)=my[f(y)=x]

C. + f(x)=my[g(y)=x]

D. f(x)=1/g(x)

86. Минимизируйте функцию f(x)= x1 + x2, по переменной x2, учитывая D(f)ÍN02

A. – x1 – x2 при x1 ³ x2, иначе не определено

B. + x2 – x1 при x2 ³ x1, иначе не определено

C. – 0 при x1 =0 и x2=0, иначе не определено

D. – x1 + x2 при x1 ³ x2, иначе не определено

Машины Тьюринга. Тезис Черча-Тьюринга.

87. За начальное состояние машины Тьюринга отвечает символ внутреннего алфавита …

A. – qn

B. – R

C. – q0

D. + q1

88. За конечное состояние машины Тьюринга отвечает символ внутреннего алфавита …

A. – qn

B. – S

C. + q0

D. – q1

89. Внешним алфавитом машины Тьюринга является …

A.+ A={ a0,a1,…,an}

B.– Q={q0,q1,…,qn}

C.– {R, L,S}

D.– {a, b, …}

90. Работа машины Тьюринга продолжается до тех пор, …

A. – пока команда сдвига не будет обозначать отсутствие сдвига – S

B. + пока машина Тьюринга не придёт в состояние q0

C. – не будет получен результат вычисления

D. – не будут пройдены все непустые ячейки ленты

91. Лента машины Тьюринга …

A. – ограничена слева

B. – ограничена справа

C. – ограничена с обеих сторон

D. – не ограничена ни с одной стороны

92. Внутренним для машины Тьюринга является алфавит

A. A={ a0,a1,…,an}

B. + Q={q0,q1,…,qn}

C. – {R, L,S}

D. – {a, b, …}

93. Алфавитом сдвигов для машины Тьюринга является алфавит

A. A={ a0,a1,…,an}

B. Q={q0,q1,…,qn}

C. + {R, L,S}

D. – {a, b, …}

94. Минимальным элементом памяти машины Тьюринга является (ячейка)

95. В ячейке ленты машины Тьюринга может храниться…

A. + только одна буква внешнего алфавита

B. – только одна буква внутреннего алфавита

C. – произвольное количество букв внешнего алфавита

D. – произвольное количество букв внутреннего алфавита

96. Управляющая головка Машины тьюринга в каждый момент времени «умеет» …

A. + обозревать, считывать и записывать символ в одной ячейке ленты

B. – обозревать, считывать и записывать символы в нескольких ячейках ленты, идущих подряд

C. – обозревать и записывать символ в одной ячейке ленты

D. – обозревать и считывать символ в одной ячейке ленты

97. Дана функциональная схема. На ленте машины Тьюринга изначально записано слово 10100. Головка машины находится в конфигурации стандартного начала (первый символ слова). Укажите, что будет записано на ленте после выполнения данной функциональной схемы.

A. – 10101

B. – 10110

C. + 10011

D. – 11001

98. Дана функциональная схема. На ленте записано слово 1011. Головка машины Тьюринга находится в конфигурации стандартного начала (первый символ слова). Укажите первое действие, которое выполнит головка машины Тьюринга.

A. – сдвинется вправо на ноль в состоянии q1, заменив 1 на 0

B. – сдвинется влево, изменит состояние на q2 и заменит 1 на 0

C. + сдвинется вправо на ноль в состоянии q1, ничего не меняя

D. – сдвинется влево, изменит состояние на q2 и сотрет 1

99. Дана функциональная схема машины Тьюринга. На ленте записано слово 13201. При выполнении функциональной схемы головка на ленте машины дошла до конца вправо и встала на пустой символ. Укажите следующее действие, которое выполнит головка.

A. – поставит вместо пустого символа единицу, сдвинется влево и перейдет в состояние q3

B. + сдвинется влево не внося изменений в ячейку и встанет на последний символ слова (1), перейдя в состояние q2

C. – сдвинется вправо в состояние q0, стерев последний символ

D. – не произведя сдвига на ячейку поставит вместо пустого символа единицу и перейдет в состояние q0

100. Укажите, какую функцию вычисляет данная функциональная схема машины Тьюринга в четверичной системе счисления.

A. – x-4

B. – 3*x

C. – x+y

D. + x+4

101. Укажите, какую функцию вычисляет данная функциональная схема машины Тьюринга

A. –

B. +

C. –

D. –

102. Укажите, какую функцию вычисляет данная функциональная схема машины Тьюринга.

A. f(x, y)=x+y

B. + f(x)=1+x

C. f(x)=x-1

D. – f(x, y)=x-y

103. Дана функциональная схема машины Тьюринга. Головка машины находится в конфигурации стандартного начала. На ленте записано слово 3210221. Введите слово, которое будет записано на ленте машины после выполнения работы (ответ вводится с клавиатуры без пробела).

(ответ: 1)

104. Дана функциональная схема машины Тьюринга. На ленте записано слово 30121. Головка машины Тьюринга находится на последнем символе слова (1). Введите, слово, которое будет записано на ленте машины после выполнения следующего шага работы (ответ вводится с клавиатуры без пробела).

(ответ: 30123)

105. Дана функциональная схема машины Тьюринга. Головка машины находится в конфигурации стандартного начала (первый символ слова). На ленте записано слово 1231. Введите, слово, которое будет записано на ленте машины после выполнения работы (ответ вводится с клавиатуры без пробела).

(ответ: 1301)

106. В модели машины Тьюринга внешняя память представлена в виде…, разделенной на секции одинакового размера – ячейки памяти.

A. – конечной ленты

B. – бесконечной вправо ленты

C. + есконечной в обе стороны ленты

D. – конечной влево ленты

107. Конечное число символов, с помощью которых кодируется информация, подаваемая в машину, и информация, которая вырабатывается в процессе её работы, называется…

A. + внешним алфавитом

B. – внутренним алфавитом

C. – совокупностью

D. – алфавитом

108. В модели машины Тьюринга нет элементарной команды …

A. + B (Назад)

B. – R (Вправо)

C. – L (Влево)

D. – S (На месте)

109. Унарная запись натурального числа n — это набор, состоящий из…

A. – (n-1)-ого символа «|»

B. + (n+1)-ого символа «|»

C.RQ0

Какой алгоритм реализует данная машина Тьюринга?

A. + сложения двух унарных чисел

B. – вычитания двух унарных чисел

C. – сложения двух унарных чисел и вычитания из результата тройки

D. – вычитания тройки из первого числа

Нормальные алгорифмы Маркова

114. Пусть m принадлежит N, A={а0,а1,…,аm} — алфавит, не содержащий в качестве букв символов «—>» и «.». P, Q принадлежат A*. Простой формулой подстановок (или простой продукцией) в алфавите A называется слово вида: …

A. – P —> .Q

B. + P —> Q

C. – P. —> Q

D. – P. —> .Q

115. Пусть S — нормальная схема в алфавите A, а Р, R принадлежат A*. Факт того, что нормальная схема S заключительно переводит слово P в слово R, обозначается…

A. S:Р|-.R

B. S:Р|=> R

C. S:Р|- R

D. + S:Р|=>.R

116. Пусть A, B — конечные алфавиты, не содержащие в качестве букв символов «—>» и «.», причём A содержится в B. Нормальный алгорифм над алфавитом A задаётся…

A.—>#

Указанный нормальный алгорифм, преобразует унарное число m*n в…

A. + число 3(m+n)

B. – целую часть числа 3(m+n)

C. – целую часть числа (3m-n)/2

D. – число 3(m-n)

123. Пусть для слова в алфавите А={a, b,c, d} задана следующая схема подстановок

dac->acd

cb->ad

Результатом применения ее к слову dacacbabc будет…

A. + acacdbabc

B. – acdaadabc

C. – acdacbabc

D. – acdaadabc

124. Пусть m принадлежит N, A={а0,а1, …, аm} — алфавит, не содержащий в качестве букв символов «—>» и «.». P, Q принадлежат A*. Заключительной формулой подстановок в алфавите A называется слово вида: …

A. – P —> Q

B. + P —> .Q

C. – P. —> Q

D. – P. —>. Q

Нумерация.

125. Множество X счетно, если …

A. + существует биекция f: X —> N

B. – существует инъекция f: X —> N

C. – существует сюръекция f: X —> N

D. – установлено соответствие f между X и N

126. Множество X эффективно счетно, если существует …

A. – биекция f: X—>N

B. – инъекция f: X —> N, такая, что функции f и f-1 эффективно вычислимы

C. – сюръекция f: X —> N, такая, что функции f и f-1 эффективно вычислимы

D. + биекция f: X—>N, такая, что функции f и f-1 эффективно вычислимы

127. Перечислением (нумерацией) множества X называется …

A. – отображение g: N —> X

B. + сюръективное отображение g: N —> X

C. – сюръективное отображение g: X —> N

D. – инъективное отображение g: X —> N

128. Говорят о перечислении (нумерации) множества X без повторений, если задано …

A. + биективное отображение g: N —> X

B. – сюръективное отображение g: N —> X

C. – инъективное отображение g: N —> X

D. – инъективное отображение g: X —> N

129. Не является эффективно счетным множество …

A. – N x N

B. – N0 x N0 x N0

C. – Uk>0Nk, множество всех конечных последовательностей натуральных чисел

D. + N0 x R

130. Не является эффективно счетным множество …

A. – вычислимых n-местных функций

B. – программ

C. + всех функций

D. – всюду определенных вычислимых функций

Логика предикатов

131. Чем отличается логика предикатов от логики высказываний.

A. — ничем

B. + язык логики предикатов вводит рассмотрение утверждения, отнесённые к предметам, т. е. производится более детальный анализ предложений.

C. – только названием

D. – нет правильного варианта ответа.

132.

Найдите квантор всеобщности

A. +

B. — ∃

C. — X

D. – F

133.

Найдите квантор существования

A. —

B. + ∃

C. — X

D. – F

134.

Квантор существования называется … к квантору всеобщности

— соседским

— двойным

— обратным

+ двойственным

135.

Формула называется … в данной интерпретации, если она принимает значение И для всех возможных значений её свободных переменных (если они есть)

A. — Бинарной

B. — Ложной

C. + Истинной

D. — Существующей

136.

Формула называется … в данной интерпретации, если она принимает значение Л для всех возможных значений её свободных переменных (если они есть)

A. — Бинарной

B. + Ложной

C. — Истинной

D. — Существующей

137.

Формула А логически ведет формулу В тогда и только тогда, когда формула … логически общезначима.

A. + А→В

B. – А+В

C. — ┐А

D. — ┐В

138.

Формулы А и В … тогда и только тогда, когда формула АВ логически общезначима

A. + Равносильны

B. — неравны

C. — противоположны

D. — нет правильного варианта ответа

139.

Формула А логически ведет формулу В и А истинно в данной интерпретации, то В в данной интерпретации …

A. — Бинарно

B. — Ложно

C. + Истинно

D. — Существует

140.

Отрицание формулы, начинающейся с кванторов, … формуле, полученной заменой каждого квантора на двойственной и перенесением знака за кванторы.

A. + Равносильно

B. — неравно

C. — противоположно

D. — нет правильного варианта ответа

Придумать по 3 примера линейных алгоритмов, с ветвлением и с повторением алгоритмов и представить данные алгоритмы в трех случаях. надо заранее

Другие вопросы по Информатике

Проанализируйте вычислительную и пространственную сложности алгоритмов умножения чисел. на основе анализа проведите сравнение данных алгоритмов….

Информатика

24.04.2019 16:12

Разгадайте кроссворд «алгоритмы и исполнители». вопросы: совокупность всех команд, которые могут быть выполнены некоторым исполнителем. (3 буквы) разработчик алгоритмов; работой…

Информатика

08.06.2019 01:50

Информатика

08.06.2019 02:00

Алгоритмы по теории: 1. определение алгоритма 2. свойства алгоритмов 3. способы записи алгоритмов 4. основные алгоритмические структуры, определения (линейный алгоритм, алгоритм…

Информатика

22.06.2019 12:10

Выберете правильный ответ. что не является разновидностью алгоритмов? а. линейные б. адгоритмы с повторением в. алгоритмы с ветвлением г. сложные алгоритмы…

Информатика

28.07.2019 23:00

Понятие алгоритма. способы записи алгоритмов: словесное описание, блок-схема, программа. типы алгоритмов. примеры….

Информатика

30.07.2019 04:00

1. перечислите автоматические устройства, которые можно рассматривать как исполнители алгоритмов. 2. какие понятия равносильны понятию алгоритма? 3. в чём заключается свойства пон…

Информатика

01.08.2019 23:00

1. какие невозможно решить с линейных алгоритмов? 2. как вы думаете, хватит ли линейных алгоритмов и ветвлений для разработки любой про-граммы? 3. почему нельзя выполнить об…

Информатика

20.08.2019 16:00

Примеры алгоритмов с ветвлением и повторением…

Информатика

23.08.2019 11:10

100 за правильное решение. нужно составить 5 линейных алгоритмов, 5 разветвленных алгоритмов, 5 цикличных алгоритмов….

Информатика

07.09.2019 18:50

«программирование алгоритмов с ветвлением»? !…

Информатика

24.09.2019 19:50

Составить блок-схемы линейных и разветвляющихся алгоритмов с обоснованием и исполнением алгоритмов: 1. найдите периметр прямоугольника abcd, если биссектриса из угла а делить стор…

Информатика

06.10.2019 08:10

Равносильность и следствие. Определение равносильности и следствия в математике

Равносильность и следствие. Определение равносильности и следствия

Пусть даны два уравнения:

Уравнения (1) и (2) называются равносильными, если каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (2) и, наоборот, каждое решение уравнения (2) является решением уравнения (1). Обозначение:

Иными словами, два уравнения равносильны, если множества их решений совпадают. Два уравнения, не имеющие решений, принято считать равносильными. Если одно уравнение не имеет решений, а другое имеет хотя бы одно решение, то в этом случае иногда считают, что второе уравнение является следствием первого (существуют и другие точки зрения на последний из указанных фактов [25]). Замена уравнения равносильным ему уравнением называется равносильным переходом.

Существует понятие равносильности на множестве. При этом уравнения могут не быть равносильными, но быть равносильными на некотором множестве. Например, уравнения и равносильны на множестве положительных чисел, а уравнения равносильны на множестве рациональных чисел.

Если все решения уравнения (1) являются решениями уравнения (2), то последнее уравнение называют следствием уравнения (1) и обозначают:

Следствие помимо корней исходного уравнения содержит обычно и другие (посторонние) решения. Поэтому если в процессе решения был осуществлен переход к следствию, то в конце решения задачи необходимо сделать проверку найденных значений неизвестной x для исключения посторонних корней. Используя понятие следствия, можно сформулировать определение равносильности уравнений (1) и (2) следующим образом: уравнения (1) и (2) равносильны, если

Заметим, что приведённые выше определения равносильности и следствия можно распространить на случай неравенств, а также систем и совокупностей.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Важность алгоритмов

Обсудите эту статью на форумах

Введение

Первый шаг к пониманию того, почему изучение и знание алгоритмов так важны, — это точно определить, что мы подразумеваем под алгоритмом. Согласно популярному учебнику по алгоритмам Введение в алгоритмы (второе издание Томаса Х. Кормена, Чарльза Э. Лейзерсона, Рональда Л. Ривеста, Клиффорда Стейна), «алгоритм — это любая четко определенная вычислительная процедура, которая принимает некоторое значение или набор values в качестве входных данных и производит некоторое значение или набор значений в качестве выходных.Другими словами, алгоритмы подобны дорожным картам для выполнения данной четко определенной задачи. Итак, фрагмент кода, который вычисляет члены последовательности Фибоначчи, является реализацией определенного алгоритма. Даже простая функция сложения двух чисел — это в некотором смысле алгоритм, хотя и простой.

Некоторые алгоритмы, например те, которые вычисляют последовательности Фибоначчи, интуитивно понятны и могут быть встроены в наше логическое мышление и навыки решения проблем. Однако для большинства из нас сложные алгоритмы лучше всего изучены, поэтому мы можем использовать их в качестве строительных блоков для более эффективного решения логических задач в будущем.Фактически, вы можете быть удивлены, узнав, сколько сложных алгоритмов люди используют каждый день, когда проверяют свою электронную почту или слушают музыку на своих компьютерах. В этой статье будут представлены некоторые основные идеи, связанные с анализом алгоритмов, а затем они будут реализованы на практике с помощью нескольких примеров, иллюстрирующих, почему так важно знать об алгоритмах.

Анализ времени выполнения

Одним из наиболее важных аспектов алгоритма является его скорость. Часто легко придумать алгоритм для решения проблемы, но если алгоритм слишком медленный, он возвращается к чертежной доске.Поскольку точная скорость алгоритма зависит от того, где выполняется алгоритм, а также от точных деталей его реализации, компьютерные ученые обычно говорят о времени выполнения относительно размера входных данных. Например, если входные данные состоят из N целых чисел, время выполнения алгоритма может быть пропорционально N ², представленное как O (N ²). Это означает, что если бы вы запускали реализацию алгоритма на своем компьютере с вводом размера N, это заняло бы C * N ² секунд, где C — некоторая константа, которая не меняется с размером ввода. .

Однако время выполнения многих сложных алгоритмов может варьироваться из-за факторов, отличных от размера входных данных. Например, алгоритм сортировки может работать намного быстрее, если задан набор уже отсортированных целых чисел, чем при задании того же набора целых чисел в случайном порядке. В результате вы часто слышите, как люди говорят о времени выполнения в наихудшем или среднем случае. В худшем случае время выполнения — это время, которое потребовалось бы для выполнения алгоритма, если бы ему были даны самые коварные из всех возможных входных данных.Среднее время выполнения — это среднее время, которое потребовалось бы для выполнения алгоритма, если бы ему были даны все возможные входные данные. Из этих двух часто легче рассуждать о наихудшем случае, и поэтому он чаще используется в качестве эталона для данного алгоритма. Процесс определения наихудшего и среднего времени выполнения для данного алгоритма может быть сложным, поскольку обычно невозможно запустить алгоритм для всех возможных входов. Есть много хороших онлайн-ресурсов, которые могут помочь вам оценить эти значения.

Приблизительное время выполнения алгоритмов, N = 100

O (Log (N))	10-7 секунд
O (N)	10-6 секунд
O (Н * Лог (Н))	10-5 секунд
O (N ²)	10-4 секунды
O (N6)	3 минуты
O (2N )	1014 лет
O (N!)	10142 года

Сортировка

Сортировка представляет собой хороший пример алгоритма, который очень часто используется компьютерными учеными.Самый простой способ отсортировать группу элементов — начать с удаления самого маленького элемента из группы и поместить его первым. Затем удалите следующий самый маленький и поставьте его следующим и так далее. К сожалению, этот алгоритм O (N ²), что означает, что количество времени, которое он занимает, пропорционально количеству элементов в квадрате. Если бы вам пришлось отсортировать миллиард вещей, этот алгоритм потребовал бы около 1018 операций. Для сравнения: настольный ПК может выполнять чуть более 109 операций в секунду, и понадобятся годы, чтобы таким образом завершить сортировку миллиарда вещей.

К счастью, существует ряд лучших алгоритмов (например, быстрая сортировка, динамическая сортировка и сортировка слиянием), которые были разработаны на протяжении многих лет, многие из которых имеют время выполнения O (N * Log (N)). Это сокращает количество операций, необходимых для сортировки миллиарда элементов, до разумного числа, которое может выполнить даже дешевый настольный компьютер. Вместо миллиарда операций в квадрате (1018) эти алгоритмы требуют всего около 10 миллиардов операций (1010), что в 100 миллионов раз быстрее.

Кратчайший путь

Алгоритмы поиска кратчайшего пути от одной точки к другой изучались годами.Приложений предостаточно, но давайте все упростим, сказав, что мы хотим найти кратчайший путь из точки A в точку B в городе с несколькими улицами и перекрестками. Для решения таких проблем было разработано довольно много разных алгоритмов, все с разными преимуществами и недостатками. Однако, прежде чем мы углубимся в них, давайте посмотрим, сколько времени займет выполнение наивного алгоритма, который пробует все мыслимые варианты. Если бы алгоритм рассмотрел все возможные пути от A до B (которые не проходили по кругу), он не закончился бы в наших жизнях, даже если бы A и B были в маленьком городке.Время выполнения этого алгоритма экспоненциально зависит от размера входных данных, что означает, что оно составляет O (CN) для некоторого C. Даже для малых значений C CN становится астрономическим, когда N становится даже умеренно большим.

Один из самых быстрых алгоритмов решения этой проблемы имеет время выполнения O (E V Log (V)), где E — количество участков дороги, а V — количество перекрестков. Чтобы представить это в перспективе, алгоритму потребуется около 2 секунд, чтобы найти кратчайший путь в городе с 10 000 перекрестков и 20 000 отрезков дороги (обычно на перекрестке приходится около 2 отрезков дороги).Алгоритм, известный как алгоритм Джикстры, довольно сложен и требует использования структуры данных, известной как приоритетная очередь. Однако в некоторых приложениях даже эта среда выполнения слишком медленная (подумайте о поиске кратчайшего пути из Нью-Йорка в Сан-Франциско — в США миллионы пересечений), и программисты пытаются добиться большего, используя так называемые эвристики. Эвристика — это приближение того, что имеет отношение к проблеме, и часто вычисляется с помощью собственного алгоритма.Например, в задаче кратчайшего пути полезно знать приблизительно, как далеко точка находится от пункта назначения. Знание этого позволяет разрабатывать более быстрые алгоритмы (такие как A *, алгоритм, который иногда может работать значительно быстрее, чем алгоритм Джикстры), и поэтому программисты придумывают эвристики для приближения этого значения. Это не всегда улучшает время выполнения алгоритма в худшем случае, но делает алгоритм быстрее в большинстве реальных приложений.

Приблизительные алгоритмы

Иногда, однако, даже самый продвинутый алгоритм с самой продвинутой эвристикой на самых быстрых компьютерах оказывается слишком медленным.В этом случае нужно пойти на жертвы, которые касаются правильности результата. Вместо того, чтобы пытаться найти кратчайший путь, программист может быть удовлетворен, найдя путь, который не более чем на 10% длиннее кратчайшего пути.

На самом деле существует довольно много важных проблем, для которых наиболее известный алгоритм, дающий оптимальный ответ, недостаточно медленен для большинства целей. Самая известная группа этих проблем называется NP, что означает недетерминированный полином (не беспокойтесь о том, что это означает).Когда проблема называется NP-полной или NP-сложной, это означает, что никто не знает хорошего способа ее оптимального решения. Более того, если бы кто-то действительно нашел эффективный алгоритм для одной NP-полной задачи, этот алгоритм был бы применим ко всем NP-полным задачам.

Хорошим примером NP-сложной задачи является знаменитая задача коммивояжера. Продавец хочет посетить N городов, и он знает, сколько времени нужно, чтобы добраться из одного города в другой. Вопрос в том, «как быстро он сможет посетить все города?» Поскольку самый быстрый из известных алгоритмов для решения этой проблемы слишком медленный — и многие считают, что так будет всегда, — программисты ищут достаточно быстрые алгоритмы, которые дают хорошие, но не оптимальные решения.

Случайные алгоритмы

Еще один подход к некоторым проблемам состоит в том, чтобы каким-то образом рандомизировать алгоритм. Хотя это не улучшает алгоритм в худшем случае, в среднем он часто дает очень хорошие алгоритмы. Быстрая сортировка — хороший пример алгоритма, в котором часто используется рандомизация. В худшем случае быстрая сортировка сортирует группу элементов за O (N ²), где N — количество элементов. Однако, если в алгоритм включена рандомизация, шансы на то, что наихудший случай действительно произойдет, становятся все меньше и меньше, и в среднем время выполнения быстрой сортировки составляет O (N Log (N)).Другие алгоритмы гарантируют время выполнения O (N Log (N)) даже в худшем случае, но в среднем они медленнее. Несмотря на то, что оба алгоритма имеют время выполнения, пропорциональное N Log (N), быстрая сортировка имеет меньший постоянный коэффициент, то есть требует операций C N Log (N), в то время как другие алгоритмы требуют больше, например 2 C N Log (N) операций.

Другой алгоритм, использующий случайные числа, находит медиану группы чисел со средним временем выполнения O (N).Это значительное улучшение по сравнению с сортировкой чисел и взятием среднего, для которого требуется O (N * Log (N)). Кроме того, хотя существуют детерминированные (неслучайные) алгоритмы для поиска медианы со временем выполнения O (N), случайный алгоритм привлекательно прост и часто быстрее, чем детерминированные алгоритмы.

Основная идея алгоритма медианы состоит в том, чтобы выбрать одно из чисел в группе наугад и подсчитать, сколько чисел в группе меньше этого числа. Допустим, есть N чисел, и K из них меньше или равно числу, которое мы выбрали наугад.Если K меньше половины N, то мы знаем, что медиана — это (N / 2-K) -е число, которое больше, чем выбранное нами случайное число, поэтому мы отбрасываем K чисел, меньших или равных случайному числу. . Теперь мы хотим найти (N / 2-K)-е наименьшее число вместо медианы. Однако алгоритм тот же, и мы просто выбираем наугад другое число и повторяем вышеуказанные шаги.

Сжатие

Другой класс алгоритмов работает с такими ситуациями, как сжатие данных. Этот тип алгоритма не дает ожидаемого результата (например, алгоритм сортировки), но вместо этого пытается оптимизировать некоторые другие критерии.В случае сжатия данных алгоритм (например, LZW) пытается заставить данные использовать как можно меньше байтов таким образом, чтобы их можно было распаковать до исходной формы. В некоторых случаях этот тип алгоритма будет использовать те же методы, что и другие алгоритмы, что приведет к хорошему, но потенциально неоптимальному результату. Например, сжатие JPG и MP3 сжимают данные таким образом, что качество конечного результата несколько ниже, чем у оригинала, но при этом создаются файлы гораздо меньшего размера.Сжатие MP3 не сохраняет все особенности исходного файла песни, но пытается сохранить достаточно деталей для получения большей части качества, в то же время обеспечивая значительно уменьшенный размер файла, который мы все знаем и любим. Формат файла изображения JPG следует тому же принципу, но детали значительно отличаются, поскольку целью является сжатие изображения, а не звука.

Важность знания алгоритмов

Как специалисту по информатике, важно понимать все эти типы алгоритмов, чтобы можно было правильно их использовать.Если вы работаете над важным программным обеспечением, вам, вероятно, потребуется оценить, насколько быстро оно будет работать. Такая оценка будет менее точной без понимания анализа времени выполнения. Кроме того, вам необходимо понимать детали задействованных алгоритмов, чтобы вы могли предсказать, есть ли особые случаи, в которых программное обеспечение не будет работать быстро, или будут ли они давать неприемлемые результаты.

Конечно, бывают случаи, когда вы сталкиваетесь с проблемой, которая ранее не изучалась.В этих случаях вам нужно придумать новый алгоритм или применить старый алгоритм по-новому. Чем больше вы знаете об алгоритмах в этом случае, тем больше у вас шансов найти хороший способ решения проблемы. Во многих случаях новая проблема может быть сведена к старой без особых усилий, но для этого вам потребуется фундаментальное понимание старой проблемы.

В качестве примера давайте рассмотрим, что делает коммутатор в Интернете. Коммутатор имеет N кабелей, подключенных к нему, и принимает пакеты данных, поступающие от кабелей.Коммутатор должен сначала проанализировать пакеты, а затем отправить их обратно по правильным кабелям. Коммутатор, как и компьютер, управляется часами с дискретными шагами — пакеты отправляются с дискретными интервалами, а не непрерывно. При быстром переключении мы хотим отправлять как можно больше пакетов в течение каждого интервала, чтобы они не складывались и не сбрасывались. Цель алгоритма, который мы хотим разработать, — отправлять как можно больше пакетов в течение каждого интервала, а также отправлять их так, чтобы те, которые пришли раньше, отправлялись раньше.В этом случае оказывается, что алгоритм для проблемы, известный как «стабильное сопоставление», напрямую применим к нашей задаче, хотя на первый взгляд эта взаимосвязь кажется маловероятной. Только с помощью уже существующих алгоритмических знаний и понимания можно обнаружить такую взаимосвязь.

Другие примеры из реальной жизни

Существует множество других примеров реальных проблем с решениями, требующими продвинутых алгоритмов. Практически все, что вы делаете с компьютером, так или иначе зависит от алгоритма, над которым кто-то очень упорно трудился.Даже простейшее приложение на современном компьютере было бы невозможно без скрытых алгоритмов управления памятью и загрузки данных с жесткого диска.

Существуют десятки приложений сложных алгоритмов, но я собираюсь обсудить две проблемы, которые требуют тех же навыков, что и некоторые прошлые проблемы TopCoder. Первая известна как проблема максимального потока, а вторая связана с динамическим программированием, методом, который часто решает, казалось бы, невозможные проблемы с невероятной скоростью.

Максимальный поток

Проблема максимального потока связана с определением наилучшего способа доставки какого-либо материала из одного места в другое через какую-то сеть. Говоря более конкретно, проблема впервые возникла в отношении железнодорожных сетей Советского Союза в 1950-х годах. США хотели знать, как быстро Советский Союз сможет доставить поставки через свою железнодорожную сеть в государства-сателлиты в Восточной Европе.

Кроме того, США хотели знать, какие рельсы они могут легче всего разрушить, чтобы отрезать государства-сателлиты от остальной части Советского Союза.Оказалось, что эти две проблемы были тесно связаны, и что решение проблемы максимального потока также решает проблему минимального сокращения, заключающуюся в выяснении самого дешевого способа отрезать Советский Союз от его сателлитов.

Первый эффективный алгоритм нахождения максимального потока был разработан двумя учеными-компьютерщиками по имени Форд и Фулкерсон. Впоследствии алгоритм был назван алгоритмом Форда-Фулкерсона и является одним из самых известных алгоритмов в компьютерных науках. За последние 50 лет в алгоритм Форда-Фулкерсона был внесен ряд улучшений, чтобы сделать его более быстрым, некоторые из которых устрашающе сложны.

С тех пор, как проблема была поставлена впервые, было обнаружено множество дополнительных приложений. Алгоритм имеет очевидное отношение к Интернету, где важно получить как можно больше данных из одной точки в другую. Он также встречается во многих бизнес-средах и является важной частью исследования операций. Например, если у вас есть N сотрудников и N заданий, которые необходимо выполнить, но не каждый сотрудник может выполнять все задания, алгоритм максимального потока скажет вам, как распределить ваших N сотрудников по заданиям таким образом, чтобы каждая работа выполнялась. при условии, что это возможно.Выход из SRM 200 — хороший пример проблемы TopCoder, которую можно решить с помощью максимального потока.

Сравнение последовательностей

Многие программисты делают всю свою карьеру, даже не имея необходимости реализовывать алгоритм, использующий динамическое программирование. Однако динамическое программирование появляется в ряде важных алгоритмов. Один алгоритм, который, вероятно, использовали большинство программистов, даже если они, возможно, не знали об этом, обнаруживает различия между двумя последовательностями. В частности, он вычисляет минимальное количество вставок, удалений и изменений, необходимых для преобразования последовательности A в последовательность B.

Например, давайте рассмотрим две последовательности букв: «AABAA» и «AAAB». Чтобы преобразовать первую последовательность во вторую, самое простое — удалить букву B в середине и заменить последнюю A на B. Этот алгоритм имеет множество применений, включая некоторые проблемы с ДНК и обнаружение плагиата. Однако форма, в которой его используют многие программисты, — это сравнение двух версий одного и того же файла с исходным кодом. Если элементы последовательности являются строками в файле, то этот алгоритм может сообщить программисту, какие строки кода были удалены, какие были вставлены, а какие были изменены для перехода от одной версии к другой.

Без динамического программирования нам пришлось бы рассматривать — как вы уже догадались — экспоненциальное количество преобразований, чтобы перейти от одной последовательности к другой. Тем не менее, динамическое программирование создает алгоритм со временем выполнения только O (N * M), где N и M — количество элементов в двух последовательностях.

Заключение

Различные алгоритмы, которые изучают люди, столь же разнообразны, как и задачи, которые они решают. Однако велика вероятность, что проблема, которую вы пытаетесь решить, в некоторых отношениях похожа на другую проблему.Развивая хорошее понимание большого количества алгоритмов, вы сможете выбрать подходящий для проблемы и правильно его применить. Кроме того, решение задач, подобных тем, которые встречаются в соревнованиях TopCoder, поможет вам отточить свои навыки в этом отношении. Многие проблемы, хотя они могут показаться нереальными, требуют того же набора алгоритмических знаний, которые возникают каждый день в реальном мире.

Щелкните, чтобы показать предпочтения! Щелкните, чтобы показать предпочтения!

(PDF) Когда два алгоритма одинаковы?

24 АНДРЕАС БЛАСС, НАХУМ ДЕРШОВИЧ И ЮРИЙ ГУРЕВИЧ

Доказательства эквивалентности могут быть весьма нетривиальными, часто более сложными

(из-за слабости базовой теории), чем обычные доказательства

(в сильных теориях). подобно теории множеств Цермело-Френкеля) самих теорем

.Действительно, большая часть очарования обратной математики

проистекает из эквивалентности теорем из самых разных областей

математики, теорем, которые поначалу кажутся не имеющими ничего общего

друг с другом. Другой способ взглянуть на грубость понятия эквивалентности

, даваемого обратной математикой, состоит в том, что она рассматривает только один аспект теорем

, а именно предположения о существовании множества, лежащие в основе

их, тогда как интуитивное понятие эквивалентности выглядело бы скорее на

(интуитивное) содержание теорем.

Мы надеемся, что читатель сможет расширить этот список примеров.

Ссылки

[1] Альфред Ахо, Джон Хопкрофт и Джерей Ульман, Разработка и анализ компьютерных алгоритмов

, Аддисон-Уэсли (1974).

[2] Андреас Бласс и Юрий Гуревич, «Обычные интерактивные алгоритмы малых шагов

ритмов», A.C.M. Пер. Вычислительная логика, часть I, 7 (2006) 363–419;

Части II и III, в печати. (Предварительная версия частей II и III — это отчет Mi-

crosoft Research Tech MSR-TR-2004-88.)

[3] Николя Бурбаки, El´ements de Math´ematique XVII, Premi’ere partie: Les

Structures fondamentales de l’analyse. Ливр I. Теория ансамблей, Her-

mann & Cie (1954). Английский перевод Теория множеств Германа и Аддисона —

Wesley (1968), перепечатано Springer-Verlag (2004).

[4] Николаас де Брюйн, «Нотация лямбда-исчисления с безымянными макетами, инструмент

для автоматического манипулирования формулами, с приложением к теореме Черча-Россера

», Недерл.Акад. Wetensch. Proc. Сер. A 75 = Indag. Математика. 34 (1972)

381–392.

[5] Сэмюэл Басс, Александр Кечрис, Ананд Пиллэй и Ричард Шор, «Перспективы

математической логики в двадцать первом веке», Бюлл. Символический

Логика 7 (2001) 169–196.

[6] Начум Дершовиц и Юрий Гуревич, «Естественная аксиоматизация вероятности предположения

и доказательство тезиса Черча», Бюл. Символическая логика 14 (2008) 299–

350.

[7] «Алгоритм Евклида», Википедия, веб-сайт,

http: // www.answers.com/topic/euclidean-algorithm?cat=technology

(просмотрено 27 января 2008 г.) (2008 г.).

[8] Харви Фридман, «Некоторые системы арифметики второго порядка и их использование»,

Proc. Международный конгресс математиков, Ванкувер, 1974, т. I (1975)

235–242.

[9] Жан-Ив Жирар, «Линейная логика», ТМФ. Comput. Sci. 50 (1987) 1–101.

[10] Юрий Гуревич, «Развивающиеся алгебры: руководство по Липари», в сб. Спецификация и валидация.

Методы, под ред.Э. Бёргер, Oxford Univ. Press (1995) 9–36.

[11] Юрий Гуревич, «Последовательные абстрактные машины состояний захватывают последовательные алгоритмы

ритмов», A.C.M. Вычислительная логика 1 (2000) 77–111.

КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ И СИСТЕМЫ — TACOMA

TCSS 142 Введение в программирование (5) NW, QSR
Знакомит с проектированием и реализацией процедурных программ. Включает введение в структуру программы, типы данных, массивы, рекурсию и объекты. Ожидается предварительный опыт программирования.Предварительное условие: минимальная оценка 2.0 по TMATH 116, TMATH 120, TMATH 121 или MATH 120, оценка 120–180 на тесте MPT-AS или 2 на экзамене AP Computer Science A. Предлагается: AWSp.
Просмотр сведений о курсе в MyPlan: TCSS 142

TCSS 321 Дискретные структуры I (5) NW, QSR
Вводит определения и инструменты для рассуждений о дискретных математических объектах, полезных для компьютерных профессионалов, включая теорию множеств, утверждения и предикаты, булеву алгебру , последовательности, перечисление, алгоритмы, методы доказательства и отношения.
Просмотрите подробности курса в MyPlan: TCSS 321

TCSS 333 C для системного программирования (5)
Представляет C как язык для изучения низкоуровневых характеристик машин и взаимодействия со службами операционной системы. Включает битовые модели для числовых данных, указатели, массивы и структуры, распределение памяти, разработку программ с несколькими файлами, библиотеки, системные вызовы и инструменты для компиляции и компоновки.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 333

TCSS 342 Структуры данных (5) QSR
Охватывает структуры данных и классические алгоритмы с упором на их реализацию на языках программирования высокого уровня.Включает последовательные и связанные списки, двоичные деревья, кучи, B-деревья, хэш-таблицы, графики и алгоритмы поиска и сортировки. Концентрируется на разработке реализаций, понимании их производительности и оценке их потенциальной эффективности в приложениях. Предпосылка: минимальная оценка 2.0 в TCES 203 или TCSS 305; и TCSS 321.
См. подробности курса в MyPlan: TCSS 342

TCSS 343 Дизайн и анализ алгоритмов (5) NW
Развивает компетенции, связанные с решением проблем, алгоритмами и вычислительными моделями.Исследует анализ и проектирование алгоритмов, а также вычислительную сложность. Включает в себя эффективные алгоритмы, модели вычислений, корректность, временную и пространственную сложность, NP-полные проблемы и неразрешимые проблемы. Предварительное условие: минимальная оценка 2,0 в TCSS 342
См. Подробности курса в MyPlan: TCSS 343

Компьютерная архитектура TCSS 372 (5)
Охватывает уровень микроархитектуры проектирования машины и расширенные функции архитектуры для повышения производительности. Темы включают измерения производительности компьютера, инструкции микроархитектуры, дизайн ЦП (канал данных, конвейеры, блок управления, параллелизм инструкций), иерархию памяти, кэш-память, виртуальную память, параллельную обработку и многоядерные архитектуры.Предварительное условие: минимальная оценка 2.0 в TCSS 371.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 372

TCSS 380 Основы концепций языка программирования (5)
Знакомит с фундаментальными концепциями языка программирования, общими для всех языков программирования, включая механизмы абстракции, типы, область видимости, привязка, поток управления, подпрограммы и параллелизм. Сравнивает императивные и декларативные модели с использованием нескольких языков программирования. Изучает стратегии реализации, модель памяти и среды программирования.Предварительное условие: минимальная оценка 2.0 в TCSS 371.
Подробности курса можно посмотреть в MyPlan: TCSS 380

TCSS 430 Сетевые и распределенные системы (5)
Архитектура компьютерной сети и уровни протокола, включая LAN, MAN и WAN; Протокол OSI TCP / IP, маршрутизация, перегрузка и управление потоком; Сжатие данных; интерфейс между сетью и программой (например, сокеты, порты, почтовые ящики), проблемы безопасности (включая аутентификацию и авторизацию, шифрование), распределенные файловые системы и удаленные вызовы процедур.Предпосылка: минимальная оценка 2.0 по TCSS 360; минимальная оценка 2,0 в TCSS 422.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 430

TCSS 431 Сетевая безопасность (5)
Охватывает криптографические методы, включая алгоритмы с открытым и закрытым ключом. Изучает протоколы, использующие такие методы, как защищенная электронная почта, цифровые подписи, авторизация, электронное голосование и электронные деньги. Включает лабораторный компонент для демонстрации методов безопасности, таких как межсетевые экраны, системы обнаружения вторжений и виртуальные частные сети.Предварительное условие: минимальная оценка 2,0 по TCSS 321 и TCSS 325
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 431

TCSS 435 Искусственный интеллект и получение знаний (5)
Введение в использование теорий, методов и инструментов интеллекта. Базовый материал включает поиск, представление знаний, машинное обучение и планирование. Методы искусственного интеллекта применяются для решения практических задач в таких областях, как системы управления, оптимизация, планирование и классификация.Предварительное условие: минимальная оценка 2,0 в TCSS 342.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 435

Формальные модели TCSS 440 в информатике (5)
Охватывает языки, конечные автоматы, регулярные выражения, контекстно-свободные грамматики и другие автоматы, такие как автоматы магазина с опусканием вниз и машины Тьюринга. Включает модели вычислений, вычислимые и невычислимые функции, недетерминизм, пространственную и временную сложность, поддающиеся обработке и неразрешимые функции, недетерминизм, пространство и время.Предварительное условие: минимальная оценка 2,0 в TCSS 342.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 440

TCSS 452 Взаимодействие человека и компьютера (5)
Изучает проектирование интерактивных систем, ориентированное на человека. Основное внимание уделяется пониманию потребностей пользователей, мозговому штурму, созданию эскизов, выбору альтернативных вариантов дизайна, созданию прототипов, тестированию удобства использования, представлению, общению и критике дизайнов. Предпосылка: минимальная оценка 2.0 по TCSS 325; и либо минимальная оценка 2,0 по TCSS 305, либо минимальная оценка 2.0 в T INST 312.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 452

TCSS 455 Введение в машинное обучение (5)
Представляет методы контролируемого и неконтролируемого машинного обучения, такие как деревья решений, случайные леса, усиленные деревья решений, логистическая регрессия, нейронные сети, глубокое обучение, кластеризация и анализ ассоциативных правил. Предварительное условие: TCSS 343 или разрешение инструктора.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 455

TCSS 456 Введение в обработку естественного языка (5)
Знакомит с основными концепциями и алгоритмами обработки естественного языка (NLP).Включает соответствующие справочные материалы по лингвистике, математике, теории вероятностей и информатике. Аналогично охватывает текст, часть тегов речи, синтаксический анализ, семантику, ответы на вопросы, анализ тональности и резюмирование текста. Предварительное условие: минимальная оценка 2.0 в TCSS 342.
Подробности курса можно посмотреть в MyPlan: TCSS 456

TCSS 458 Компьютерная графика (5) NW
Введение в основные концепции синтеза, моделирования и анимации изображений. Темы включают дисплеи, алгоритмы рисования и визуализации, геометрические преобразования, двух- и трехмерный просмотр, представление объектов и компьютерную анимацию.Предварительное условие: минимальная оценка 2.0 в TCSS 342.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 458

TCSS 460 Клиент-серверное программирование для Интернет-приложений (5)
Изучает языки и методы программирования Интернет-клиент-серверных приложений. Включает такие языки, как CGI, Perl, XML, JavaScript и DHTML, а также такие темы, как сценарии, запросы, формы, доступ к данным, перенаправление, брандмауэры, прокси, гипермедиа, файлы cookie и шлюзы. Условие: минимум 2 балла.0 в TCSS 360.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 460

TCSS 461 Продвинутая разработка программного обеспечения (5)
Анализирует реинжиниринг системы, предметно-ориентированные языки, генеративную разработку, системный дизайн и сервис-ориентированную архитектуру. Также рассматривается, как работать с устаревшими системами, использовать разработку программного обеспечения на основе моделей для автоматизации генерации кода и понимать архитектуры низкого и высокого уровня с помощью методологий разработки программного обеспечения, рефакторинга, UML и среды Eclipse.Предварительное условие: TCSS 360.
Просмотреть подробности курса в MyPlan: TCSS 461

TCSS 465 Программирование встроенных систем реального времени (5)
Изучение конкретной теории и практики в разработке программного обеспечения, встроенного в электронные устройства и контроллеры. Включает часы, потоки, многозадачность, критические секции, мониторы, планирование, взаимодействие на кристалле и с внешними устройствами, связь и отказоустойчивость. Предварительное условие: минимальная оценка 2,0 в TCSS 422.
Подробности курса можно посмотреть в MyPlan: TCSS 465

TCSS 487 Криптография (5)
Охватывает базовые концепции криптографии, включая аутентификацию, криптографию с открытым ключом и цифровые подписи.Кроме того, он охватывает современные определения безопасности, аспекты реализации криптографических схем и их использование в компьютерных сетях и Интернете. Предварительное условие: минимальная оценка 2.0 в TCSS 321, TMATH 300 или TMATH 308.
Подробности курса в MyPlan: TCSS 487

Теория кодирования TCSS 488 (5)
Охватывает электронную связь по шумным каналам и цифровое хранилище на различных типах носителей. Описывает конструкции современных кодов исправления ошибок, включая коды Рида-Соломона, Голея и BCH.Также охватывает вычислительные аспекты, сложность алгоритмов кодирования / декодирования, их реализации и их использование в современных системах связи. Предварительное условие: минимальная оценка 2.0 в TMATH 308 или TCSS 321.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 488

TCSS 501 Анализ алгоритмов и структур данных (3)
Знакомит с методами анализа алгоритмов и структур данных, включая сложность временного пространства. , и обозначение большой буквы О. Представляет фундаментальные структуры данных: списки массивов, связанные списки, очереди, стеки, деревья и хэш-таблицы, а также алгоритмы сортировки, выбора, двоичного поиска и рекурсии с упором на реализацию на языке программирования высокого уровня.Предварительное условие: TCSS 142 и TCSS 143 или эквивалентные.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 501

TCSS 505 Системное программирование (3)
Изучает фундаментальные концепции современных операционных систем и их функционирование. Охватываемые темы включают процессы, потоки, управление памятью, планирование процессов, файловые системы, виртуальные машины и программные контейнеры. Охватывает основы операционной системы Linux, команд bash, сценариев и системного программирования. Предпосылка: TCSS 503 и TCSS 504.
Просмотрите подробности курса в MyPlan: TCSS 505

TCSS 540 Теория вычислений (5)
Охватывает вычислительные модели, включая конечные автоматы, регулярные выражения, контекстно-свободные грамматики, выталкивающие автоматы, машины Тьюринга и методы их анализа. Базовая теория вычислимости и неразрешимости, теория вычислительной сложности и NP-полнота.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 540

TCSS 544 Прикладная линейная алгебра (5)
Изучает математические концепции линейной алгебры и линейного преобразования, а также предметы по сингулярной декомпозиции, преобразования Фурье, вейвлет-преобразования и другие темы.Студенты применяют эти математические концепции и реализуют численные решения проблем в таких областях, как распознавание образов, поиск информации, веб-поиск, обработка изображений, криптография и машинное обучение.
Просмотр сведений о курсе в MyPlan: TCSS 544

TCSS 554 Поиск информации и веб-поиск (5)
Изучены основные принципы и методы, используемые при поиске информации (IR) и веб-поиске, включая поиск по ключевым словам, анализ содержимого (вектор пространственная модель, вероятностные языковые модели), анализ ссылок (PageRank), индексация, классификация текстов, кластеризация документов, агрегированный поиск, взаимодействие пользователя с системой в IR и оценка IR систем.
Просмотрите подробности курса в MyPlan: TCSS 554

TCSS 558 Прикладные распределенные вычисления (5)
Охватывает методы и концепции, связанные с созданием распределенного, надежного, эффективного и расширяемого программного обеспечения; программирование многопоточных приложений, обмен данными между объектами на разных компьютерах, создание сервера, к которому имеют доступ несколько клиентов, использование общих шаблонов проектирования объектов, поиск и настройка компонентов. Недоступно для выборного кредита.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 558

TCSS 559 Services Computing (5)
Охватывает фундаментальные концепции разработки распределенных программных систем, облачных вычислений и моделей предоставления услуг и сервис-ориентированной архитектуры (SOA).Темы включают, помимо прочего, разработку сервисов Simple Object Access Protocol (SOAP) и передачи репрезентативного состояния (REST), микросервисы, шаблоны проектирования SOA, протокол координации сервисов, состав сервисов и управление производительностью.
См. Подробности курса в MyPlan: TCSS 559

TCSS 570 Введение в параллельные вычисления (5)
Охватывает параллельные архитектуры, сети межсоединений и встраивания; основные коммуникационные операции; показатели производительности и масштабируемости; парадигмы параллельного программирования, программирование с передачей сообщений в MPI и программирование с разделяемым адресным пространством в потоках; параллельные алгоритмы сортировки, поиска, матричные задачи, графические задачи и динамическая балансировка нагрузки.Предварительное условие: TCSS 543.
Просмотр сведений о курсе в MyPlan: TCSS 570

TCSS 573 Интернет вещей (5)
Изучит физический дизайн и логический дизайн Интернета вещей, функциональные блоки и архитектуру, протоколы и модели связи, поддерживающие технологии , домены приложений, относящиеся к Интернету вещей, интеллектуальные объекты, инструменты разработки, управление системой, облачные сервисы, безопасность и аналитика данных.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 573

TCSS 578 Виртуальная реальность (5)
Основное внимание уделяется исследованиям взаимодействия человека и компьютера в виртуальной реальности.Охватывает множество тем, связанных с технологией виртуальной реальности, включая 3D-программирование с использованием Unity, прикладные области виртуальной реальности, вопросы проектирования интерфейсов, методы исследования, планы экспериментальных исследований и написание статей об исследованиях взаимодействия человека и компьютера в виртуальной реальности. Рекомендуется: предыдущая курсовая работа по объектно-ориентированному программированию, взаимодействию человека с компьютером и компьютерной графике.
Просмотрите подробности курса в MyPlan: TCSS 578

TCSS 582 Криптографические протоколы (5)
Охватывает сложные темы криптографических протоколов, включая формальные определения безопасности, возможность компоновки, доказательства с нулевым разглашением, схемы обязательств, неявную передачу, безопасную двустороннюю вычислений и безопасных многопользовательских вычислений.Предварительное условие: минимальная оценка 3,0 в TCSS 540, TCSS 543 или TCSS 581.
Подробная информация о курсе в MyPlan: TCSS 582

TCSS 583 Post-Quantum Cryptosystems (5)
Охватывает основы атаки Шора на традиционную криптографию и понятия квантово-устойчивые криптосистемы. Включает в себя основные схемы на основе решеток для шифрования, подписей и гомоморфного шифрования, а также шифрование на основе кода, хэширование и многомерные цифровые подписи. Кроме того, освещаются исследовательские проблемы и вопросы развертывания техники.Предварительное условие: TCSS 543.
Просмотр сведений о курсе в MyPlan: TCSS 583

% PDF-1.4
%
5 0 obj
>
эндобдж
8 0 объект
(Введение и предварительные сведения)
эндобдж
9 0 объект
>
эндобдж
12 0 объект
(Семантическая сеть: Vision, OWL, SPARQL)
эндобдж
13 0 объект
>
эндобдж
16 0 объект
(Описание логики)
эндобдж
17 0 объект
>
эндобдж
20 0 объект
(Проблема обучения в логике описания)
эндобдж
21 0 объект
>
эндобдж
24 0 объект
(Структура DL-Learner)
эндобдж
25 0 объект
>
эндобдж
28 0 объект
(Автоматизированная разработка онтологий)
эндобдж
29 0 объект
>
эндобдж
32 0 объект
(Актуальные проблемы инженерии онтологий)
эндобдж
33 0 объект
>
эндобдж
36 0 объект
(Сценарии использования и требования для поддержки инструментов)
эндобдж
37 0 объект
>
эндобдж
40 0 объект
(Компонент SPARQL)
эндобдж
41 0 объект
>
эндобдж
44 0 объект
(Обход проблемы рассуждений на обширных базах знаний)
эндобдж
45 0 объект
>
эндобдж
48 0 объект
(Подборка релевантной информации)
эндобдж
49 0 объект
>
эндобдж
52 0 объект
(Преобразование результатов SPARQL в OWL DL)
эндобдж
53 0 объект
>
эндобдж
56 0 объект
(Обработка результатов)
эндобдж
57 0 объект
>
эндобдж
60 0 объект
(Полуавтоматическое улучшение базовых знаний)
эндобдж
61 0 объект
>
эндобдж
64 0 объект
(Сравнение алгоритмов обучения)
эндобдж
65 0 объект
>
эндобдж
68 0 объект
(Желаемые свойства алгоритма обучения концепции)
эндобдж
69 0 объект
>
эндобдж
72 0 объект
(Решения в обучающих данных \ (Примеры наборов \))
эндобдж
73 0 объект
>
эндобдж
76 0 объект
(Масштабирование определения усвоенной концепции на тестовых данных)
эндобдж
77 0 объект
>
эндобдж
80 0 объект
(Предубеждения в алгоритмах обучения)
эндобдж
81 0 объект
>
эндобдж
84 0 объект
(Важные особенности учебной программы)
эндобдж
85 0 объект
>
эндобдж
88 0 объект
(Существующие алгоритмы)
эндобдж
89 0 объект
>
эндобдж
92 0 объект
(LCSLearn)
эндобдж
93 0 объект
>
эндобдж
96 0 объект
(Инь Янь)
эндобдж
97 0 объект
>
эндобдж
100 0 объект
(DL-Learner)
эндобдж
101 0 объект
>
эндобдж
104 0 объект
(Сравнение)
эндобдж
105 0 объект
>
эндобдж
108 0 объект
(Проблемы предположения об открытом мире)
эндобдж
109 0 объект
>
эндобдж
112 0 объект
(Ориентиры)
эндобдж
113 0 объект
>
эндобдж
116 0 объект
(Некоторые замечания об экспериментах)
эндобдж
117 0 объект
>
эндобдж
120 0 объект
(Простые сценарии)
эндобдж
121 0 объект
>
эндобдж
124 0 объект
(Определение арок)
эндобдж
125 0 объект
>
эндобдж
128 0 объект
(Поезда)
эндобдж
129 0 объект
>
эндобдж
132 0 объект
(Резюме)
эндобдж
133 0 объект
>
эндобдж
136 0 объект
(Прогнозные сценарии)
эндобдж
137 0 объект
>
эндобдж
140 0 объект
(Моральный разум)
эндобдж
141 0 объект
>
эндобдж
144 0 объект
(Семейный тест)
эндобдж
145 0 объект
>
эндобдж
148 0 объект
(Выводы)
эндобдж
149 0 объект
>
эндобдж
152 0 объект
(Создание образца онтологии с поддержкой обучения)
эндобдж
153 0 объект
>
эндобдж
156 0 объект
(Создание онтологии автомобилей Mercedes Benz)
эндобдж
157 0 объект
>
эндобдж
160 0 объект
(Извлечение экземпляров)
эндобдж
161 0 объект
>
эндобдж
164 0 объект
(Создание иерархии подклассов)
эндобдж
165 0 объект
>
эндобдж
168 0 объект
(Определение непересекающихся классов)
эндобдж
169 0 объект
>
эндобдж
172 0 объект
(Изучение базовых знаний)
эндобдж
173 0 объект
>
эндобдж
176 0 объект
(Выводы)
эндобдж
177 0 объект
>
эндобдж
180 0 объект
(Связанных с работой)
эндобдж
181 0 объект
>
эндобдж
184 0 объект
(Резюме и выводы)
эндобдж
185 0 объект
>
эндобдж
188 0 объект
(Будущая работа)
эндобдж
189 0 объект
>
эндобдж
192 0 объект>
транслировать
xmSM0 + | L ‘݅- t ۢ v8 ǩ: @ 8Λ̼ PF (q1PVP) 19܂ Oo / Y
(б) 8) ӌp

ca
C4͙
Gvj / ~
lC13Uk

Что такое временная сложность и ее алгоритмы?

Прислал: Balabaskar

Определение сложности времени

Сложность времени — это время, необходимое алгоритму для выполнения, как функция длины ввода.Он измеряет время, затрачиваемое на выполнение каждого оператора кода в алгоритме.

Введение в сложность времени

Пространство и Время определяют любой физический объект во Вселенной. Точно так же сложность пространства и времени может определять эффективность алгоритма. Хотя мы знаем, что существует несколько способов решения проблемы в программировании, знание того, как алгоритм работает эффективно, может повысить ценность того, как мы занимаемся программированием. Чтобы определить эффективность программы / алгоритма, знание того, как их оценивать с использованием пространственной и временной сложности, может заставить программу вести себя в требуемых оптимальных условиях, и тем самым сделать нас хорошими программистами.

Пока мы оставляем место для понимания сложности пространства на будущее, давайте сосредоточимся на сложности времени в этом посте. Время — деньги! В этом посте вы найдете краткое введение во временную сложность алгоритма и как оценивать программу на основе временной сложности.

Прежде чем мы углубимся в подробности, если вы хотите изучить курс по науке о данных, ознакомьтесь с нашими курсами по науке о данных, доступными на сайте Great Learning. Любой может ожидать повышения средней заработной платы на человек на 48% от этого курса.Участвуйте в программах ускорения карьеры Great Learning и в программах трудоустройства и получите работу в нашем пуле из 500+ компаний по найму через наши программы.

Прочитав этот пост, вы будете знать:

Почему временная сложность так велика?
Что такое временная сложность?
Какие типы нотации временной сложности используются?
Как оценить алгоритм по временной сложности?
Временная сложность алгоритмов сортировки
Временная сложность алгоритмов поиска
Пространственная сложность
Резюме

Приступим.

Почему временная сложность так велика?

Давайте сначала разберемся, что определяет алгоритм.

Алгоритм в компьютерном программировании — это конечная последовательность четко определенных инструкций, обычно выполняемых на компьютере для решения класса проблем или выполнения общей задачи. Исходя из определения, должна быть последовательность определенных инструкций, которые должны быть даны компьютеру для выполнения алгоритма / выполнения конкретной задачи.В этом контексте изменение может происходить в способе определения инструкций. Может быть любое количество способов, может быть определен конкретный набор инструкций для выполнения одной и той же задачи. Кроме того, с опциями, доступными для выбора любого из доступных языков программирования, инструкции могут принимать любую форму синтаксиса наряду с границами производительности выбранного языка программирования. Мы также указали алгоритм, который будет выполняться на компьютере, который приводит к следующему варианту с точки зрения операционной системы, процессора, оборудования и т. Д.которые используются, также могут влиять на способ выполнения алгоритма.

Теперь, когда мы знаем, что различные факторы могут влиять на результат выполняемого алгоритма, разумно понять, насколько эффективно такие программы используются для выполнения задачи. Чтобы оценить это, нам необходимо оценить как пространственную, так и временную сложность алгоритма.

По определению, пространственная сложность алгоритма количественно определяет объем пространства или памяти, занимаемой алгоритмом для работы, в зависимости от длины входных данных.В то время как временная сложность алгоритма определяет количество времени, затрачиваемого алгоритмом на выполнение, в зависимости от длины входных данных. Теперь, когда мы знаем, почему временная сложность так важна, пришло время понять, что такое временная сложность и как ее оценивать.

Что такое временная сложность?

По определению, временная сложность — это время, необходимое алгоритму для выполнения, как функция длины входных данных. Здесь длина ввода указывает количество операций, которые должен выполнить алгоритм.Это дает четкое представление о том, что именно нам говорит сложность времени. Мы не будем рассматривать общее время выполнения алгоритма. Скорее, он будет предоставлять информацию об изменении (увеличении или уменьшении) времени выполнения при количестве операций (увеличении или уменьшении) в алгоритме. Да, как сказано в определении, количество затраченного времени зависит только от длины ввода.

Чтобы уточнить, временная сложность измеряет время, затрачиваемое на выполнение каждого оператора кода в алгоритме.Если оператор настроен на повторное выполнение, то количество выполнений этого оператора равно N, умноженному на время, необходимое для выполнения этой функции каждый раз.

Например, посмотрите на код ниже:

Первый алгоритм определен для печати выписки только один раз. Время, необходимое для выполнения, показано как 0 наносекунд . В то время как второй алгоритм определен для печати того же оператора, но на этот раз он настроен на запуск одного и того же оператора в цикле FOR 10 раз.Во втором алгоритме время, необходимое для выполнения обеих строк кода — цикла FOR и оператора печати, составляет 2 миллисекунды . И затрачиваемое время увеличивается по мере увеличения значения N, поскольку оператор будет выполняться N раз.

Примечание: Этот код запускается в Python-Jupyter Notebook с 64-разрядной ОС Windows + процессор Intel Core i7 ~ 2,4 ГГц. Приведенное выше значение времени может варьироваться в зависимости от оборудования, ОС и языков программирования, если они используются.

К настоящему времени вы могли бы сделать вывод, что когда алгоритм использует операторы, которые выполняются только один раз, всегда будет требовать одинаковое количество времени, а когда оператор находится в состоянии цикла, необходимое время увеличивается в зависимости от того, сколько раз цикл настроен на запуск. И, когда алгоритм имеет комбинацию как одиночных выполненных операторов, так и операторов LOOP или с вложенными операторами LOOP, время увеличивается пропорционально в зависимости от того, сколько раз каждый оператор был выполнен.

Это заставляет нас задать следующий вопрос о том, как определить взаимосвязь между входными данными и временем с учетом утверждения в алгоритме. Чтобы определить это, мы увидим, как каждый оператор получает порядок обозначений для описания временной сложности, который называется Big O Notation .

Какие используются различные типы обозначений временной сложности?

Как мы видели, временная сложность определяется временем как функцией длины ввода.И существует связь между размером входных данных (n) и количеством выполненных операций (N) по времени. Это отношение обозначается как Порядок роста временной сложности и обозначается O [n], где O — порядок роста, а n — длина входных данных. Его также называют ‘Big O Notation’

Big O Notation выражает время выполнения алгоритма с точки зрения того, насколько быстро он растет относительно входа «n», определяя количество N операций, которые выполняются над ним.3)

и многие другие сложные записи, такие как Экспоненциальное время, квазилинейное время, факториальное время и т. Д. используются в зависимости от типа определенных функций.

Постоянное время — O (1)

Говорят, что алгоритм имеет постоянное время с порядком O (1), когда он не зависит от входного размера n. Независимо от размера ввода n время выполнения всегда будет одинаковым. Пример, как показано:

Приведенный выше код показывает, что независимо от длины массива (n) время выполнения для получения первого элемента в любом массиве любой длины одинаково.Если время выполнения рассматривается как 1 единица времени, то для запуска обоих массивов требуется всего 1 единица времени, независимо от длины. Таким образом, функция попадает в постоянное время с порядком O (1).

Линейное время — O (n)

Говорят, что алгоритм имеет линейную временную сложность, когда время выполнения увеличивается линейно с длиной ввода. Когда функция включает проверку всех значений во входных данных, такая функция имеет временную сложность с этим порядком O (n).Например:

Приведенный выше код показывает, что в зависимости от длины массива (n) время выполнения будет линейно увеличиваться. Если время выполнения рассматривается как 1 единица времени, то для запуска массива требуется всего n раз 1 единицу времени. Таким образом, функция работает линейно с размером ввода, и это идет с порядком O (n).

Логарифмическое время — O (log n)

Говорят, что алгоритм имеет логарифмическую временную сложность, когда он уменьшает размер входных данных на каждом шаге.m), которые называются полиномиальной временной сложностью функций.

Порядок роста для всех временных сложностей указан на графике ниже:

Таким образом, приведенная выше иллюстрация дает ясное представление о том, как каждая функция получает нотацию порядка на основе соотношения между временем выполнения по отношению к количеству входных данных и количеству операций, выполненных с ними.

Как оценить алгоритм на временную сложность?

Мы видели, как нотация порядка дается каждой функции и соотношение между временем выполнения и количеством операций, размером ввода.Теперь пришло время узнать, как оценить временную сложность алгоритма на основе нотации порядка, которую он получает для каждой операции и размера ввода, и вычислить общее время выполнения, необходимое для запуска алгоритма для данного n.

Проиллюстрируем, как оценить временную сложность алгоритма на примере:

Алгоритм определяется как:

1. Даны 2 входные матрицы, которые являются квадратными матрицами порядка n

2. Значения каждого элемента в обеих матрицах выбираются случайным образом с использованием np.случайная функция

3. Первоначально назначена матрица результатов с 0 значениями порядка, равного порядку входной матрицы

4. Каждый элемент X умножается на каждый элемент Y, и результирующее значение сохраняется в матрице результатов

5. Затем матрица результатов преобразуется в список типа

6. Для каждого элемента в списке результатов складывается, чтобы дать окончательный ответ

Предположим, что функция стоимости C соответствует единице времени, затраченной на выполнение функции, в то время как «n» представляет количество раз, которое оператор определен для выполнения в алгоритме.

Например, если время, необходимое для запуска функции печати, составляет, скажем, 1 микросекунду (C) и если алгоритм определен для запуска функции PRINT 1000 раз (n),

, тогда общее время работы = (C * n) = 1 микросекунда * 1000 = 1 миллисекунда

С помощью этого давайте оценим временную сложность для нашего алгоритма:

Время работы для каждой строки определяется по формуле:

Строка 1 = C1 * 1
Строка 2 = C2 * 1
Строка 3,4,5 = (C3 * 1) + (C3 * 1) + (C3 * 1)
Строка 6,7,8 = (C4 * [n + 1]) * (C4 * [n + 1]) * (C4 * [n + 1])
Строка 9 = C4 * [n]
Строка 10 = C5 * 1
Строка 11 = C2 * 1
Строка 12 = C4 * [n + 1]
Строка 13 = C4 * [n]
Строка 14 = C2 * 1
Строка 15 = C6 * 1

Общее время работы = (C1 * 1) + 3 (C2 * 1) + 3 (C3 * 1) + (C4 * [n + 1]) * (C4 * [n + 1]) * (C4 * [n +1]) + (C4 * [n]) + (C5 * 1) + (C4 * [n + 1]) + (C4 * [n]) + (C6 * 1)

Замена всей стоимости на C для оценки порядка обозначений,

Общее время работы

 = C + 3C + 3C + ([n + 1] C * [n + 1] C * [n + 1] C) + nC + C + [n + 1] C + nC + C
                                = 7C + ((n ^ 3) C + 3 (n ^ 2) C + 3nC + C + 3nC + 3C
             Знак равно 12C + (n ^ 3) C + 3 (n ^ 2) C + 6nC
 
             = С (п ^ 3) + С (п ^ 2) + С (п) + С
             = О (п ^ 3) + О (п ^ 2) + О (п) + О (1)

Заменив все функции затрат на C, мы можем получить степень размера входных данных как 3, что указывает порядок временной сложности этого алгоритма.Здесь, из окончательного уравнения, очевидно, что время выполнения изменяется в зависимости от полиномиальной функции входного размера «n», поскольку оно связано с кубической, квадратичной и линейной формой входного размера.

Таким образом оценивается порядок временной сложности для любого заданного алгоритма и оценивается, как он расширяется с точки зрения времени выполнения, если размер входных данных увеличивается или уменьшается. Также обратите внимание, что для простоты все значения стоимости, такие как C1, C2, C3 и т. Д., Заменены на C, чтобы знать порядок обозначений. В режиме реального времени нам нужно знать значение для каждого C, что может дать точное время выполнения алгоритма с учетом входного значения «n».2).

Время сложности сортировки слиянием:

Этот метод сортировки имеет стабильную временную сложность для всех типов случаев. Временная сложность сортировки слиянием в лучшем случае составляет O (nlogn). В худшем случае временная сложность O (nlogn). Это связано с тем, что сортировка слиянием реализует одинаковое количество шагов сортировки для всех видов дел.

Сложность пузырьковой сортировки по времени:

Временная сложность пузырьковой сортировки в лучшем случае составляет O (n).2). Quicksort считается самым быстрым из алгоритмов сортировки из-за его производительности O (nlogn) в лучшем и среднем случаях.

Временная сложность алгоритмов поиска

Давайте теперь погрузимся во временные сложности некоторых поисковых алгоритмов и поймем, какой из них быстрее.

Временная сложность линейного поиска:

Линейный поиск следует за последовательным доступом. Временная сложность линейного поиска в лучшем случае составляет O (1).В худшем случае временная сложность O (n).

Временная сложность двоичного поиска:

Двоичный поиск является более быстрым из двух алгоритмов поиска. Однако для меньших массивов линейный поиск работает лучше. Временная сложность двоичного поиска в лучшем случае составляет O (1). В худшем случае временная сложность равна O (log n).

Космическая сложность — Примечание

Возможно, вы слышали об этом термине «космическая сложность», который часто встречается, когда говорят о временной сложности.Что такое космическая сложность? Ну, это рабочее пространство или хранилище, которое требуется для любого алгоритма. Он прямо зависит или пропорционален количеству входных данных, которые принимает алгоритм. Чтобы рассчитать сложность пространства, все, что вам нужно сделать, это вычислить пространство, занимаемое переменными в алгоритме. Чем меньше места, тем быстрее выполняется алгоритм. Также важно знать, что временная и пространственная сложность не связаны друг с другом.

Сводка

В этом посте мы представили основные концепции временной сложности и важность того, почему нам нужно использовать ее в нашем алгоритме, который мы разрабатываем.Кроме того, мы увидели, какие типы временных сложностей используются для различных видов функций, и, наконец, мы узнали, как назначить порядок обозначений для любого алгоритма на основе функции стоимости и количества раз, когда оператор определяется для бег.

Учитывая состояние мира VUCA и эпоху больших данных, поток данных безоговорочно увеличивается каждую секунду, и разработка эффективного алгоритма для выполнения конкретной задачи необходима в любое время суток.И, зная временную сложность алгоритма с заданным размером входных данных, это может помочь нам планировать наши ресурсы, обрабатывать и предоставлять результаты эффективно и действенно. Таким образом, знание временной сложности вашего алгоритма может помочь вам в этом, а также сделает вас эффективным программистом. Удачного кодирования!

Если вы нашли этот блог полезным и хотите пройти обучение по науке о данных, ознакомьтесь с курсами по науке о данных, предлагаемыми Great Learning, и сделайте свой вклад в вашу карьеру сегодня.

Не стесняйтесь оставлять свои вопросы в комментариях ниже, и мы свяжемся с вами в ближайшее время.

математических стратегий: концептуальное понимание и алгоритмы

Когда я принял свою должность специалиста по математике в старшей школе в моем образце питания, я действительно не знал, чего ожидать. Основываясь на моем опыте в начальной школе, я знал, что ученикам понадобится серьезная поддержка.

К чему я не был готов, так это к отсутствию математических манипуляций. Я имею в виду, в конце концов, в старшей школе такая же демографическая группа учеников, как и у меня в начальной школе в моем пятом классе.Я знаю, что мои пятиклассники боролись с концептуальным пониманием нескольких основных математических понятий. Я определенно ожидал увидеть те же проблемы в старшей школе.

Разница между средней школой и начальной школой заключалась в отсутствии у моих учеников математических манипуляций. Я ходил по школьному кампусу в поисках математических манипуляторов. Ничего такого!

Важность математических манипуляций

Математические манипуляторы — важная часть построения концептуального понимания.Манипулятивные средства не всегда покупаются. Это что-то конкретное, что вы даете студенту, и которое можно изменить, чтобы студенты могли усвоить абстрактную концепцию.

Один из моих коллег всегда говорил, что мозг думает картинками. Это очень верно, особенно когда вы представляете новую концепцию или пытаетесь развеять неправильные представления. Студенты ДОЛЖНЫ иметь якорь, на который можно ссылаться при изучении новых концепций. Обычно в математике, если концепция вводится на предыдущем уровне обучения, эта инструкция будет служить якорем.Если концепция совершенно новая, то учитель должен создать якорь с помощью манипуляторов.

Там, где нет привязки, учащиеся будут пытаться визуализировать математическую концепцию, не имеющую системы отсчета.

Концептуальное понимание и беглость процедур (алгоритмы)

По мнению авторов «Принципов к действию», изучение математики включает в себя развитие пяти взаимосвязанных направлений, которые вместе составляют математическое мастерство (National Research Council 2001):

Концептуальное понимание
Беглость процедур
Стратегическая компетентность
Адаптивное мышление
Продуктивная предрасположенность

Концептуальное понимание (т.д., понимание и связь понятий, операций и отношений) закладывает основу и является необходимым для развития процедурной беглости (то есть осмысленного и гибкого использования процедур для решения проблем).

Если учащийся не имеет четкого концептуального понимания концепции, его способность к процессуальной беглости с помощью алгоритма будет ограничена. В классе это выглядит как ученик, который постоянно ошибается в числовом значении при умножении многозначных чисел.

Как правило, когда учащиеся борются с беглым владением процедурой, это проблема концептуального понимания. Если копнуть немного глубже, вы, скорее всего, обнаружите, что в их концептуальном понимании якоря есть слабость или якоря может не быть вообще!

Стратегии обучения математике

Когда дело доходит до стратегий вмешательства, уровень ученика не имеет значения. Дефицит учащегося определит, какая стратегия обучения интервенции.Например, если ученик девятого и пятого классов борется со смешанными числами (доли больше, чем одно целое), стратегии вмешательства будут такими же, потому что дефицит тот же.

Когда я вижу посты в Facebook, в которых учителя просят разработать стратегии обучения математике до начала занятий в школе, я всегда смущаюсь, потому что дефицит еще не выявлен.

Часто учителя, занимающиеся математическим вмешательством, пытаются слишком быстро перевести учеников на алгоритм, потому что это то, что проверяется.Если студент все еще формирует концептуальное понимание концепции и не готов к использованию алгоритма, а вы все равно вводите алгоритм, вы в основном настраиваете себя на провал.

Учащимся нужно дать время для выработки концептуального понимания, а затем перейти к алгоритму. Алгоритм представляет собой абстрактное понимание концептуального. Например, ученик на фотографии выше смог преобразовать дробь больше целого в смешанное число, используя ТОЛЬКО колеса дроби.К концу года она отучила себя от концептуального до алгоритма, потому что я практиковал концептуальное вместе с алгоритмом. Тем самым он создал естественный переход от концептуального к алгоритму.

В конце концов, сильное концептуальное понимание является ключом к пониманию алгоритмов. Если область дефицита учащегося требует концептуальной учебной стратегии для вмешательства в математику, то как она проверяется, не имеет значения. Меня не волнует, сколько задач по подготовке к экзамену вы выполняете с этим учеником.Когда ученик в пятом классе находится на концептуальном уровне понимания и не готов к работе с алгоритмом, он все равно никогда не сдаст тест.

Чтобы получить больше советов по преподаванию математики, подпишитесь на мою рассылку!

алгоритмов для детей | Важность, примеры и определение кодирования

Хотя поначалу алгоритмы могут показаться сложными и устрашающими, они просты в освоении и легко обнаруживаются в повседневной жизни. Дети всех возрастов могут не только узнать об алгоритмах, но и получить огромные образовательные и карьерные преимущества от их изучения!

Что такое алгоритм?

Алгоритм — это набор руководящих принципов, описывающих, как выполнять задачу.Думайте об алгоритме как о пошаговых инструкциях, которые создают предсказуемый шаблон в виде набора чисел или строк кода. Математики, инженеры и специалисты по информатике разрабатывают и применяют эти «инструкции» для предоставления реальных решений.

Подумайте об этом так: многие вводные уроки представляют алгоритмы как математические «рецепты»; и, как рецепт, алгоритмы содержат четкие шаги, направленные на достижение установленного результата.

Останься со мной здесь …

Вместо того, чтобы обнаруживать конечный результат в конце процесса, алгоритмы должны выполнять шаблон, точно так же, как рецепты создают конкретную еду.Например, следуя рецепту кекса, вы знаете, что в конце процесса выпечки вы получите кексы, а не гуляш!

Из вышесказанного вы можете лучше понять ценность алгоритмов, но давайте глубже рассмотрим, почему алгоритмы важны, несколько примеров и лучшие ресурсы для их изучения.

Почему важны алгоритмы?

Во-первых, алгоритмы существуют уже очень давно. Если вам интересно, кто создал первый алгоритм, нам нужно вернуться в 9 век.Абдулла Мухаммад бин Муса аль-Хорезми, известный как «отец алгебры», написал первый алгоритм.

Мы поняли: математика — не всеобщий любимый предмет. Лучший способ развлечься с математикой — это найти реальные приложения, использовать увлекательные учебные задания для учащихся и добавить забавные математические факты и игры! При изучении алгоритмов все эти ключевые ингредиенты находятся в пределах досягаемости.

С тех пор алгоритмы стали невероятно сложными и имеют множество приложений в различных аспектах повседневной жизни.

Чаще всего внутренняя работа этих новаторских решателей проблем определяется числами и кодом. Эффективные алгоритмы — залог максимальной эффективности, поскольку они экономят программистам и математикам огромное количество времени.

Хорошо спроектированные алгоритмы должны выполнять три задачи: правильно выполнять задачу, эффективно «обрабатывать» имеющуюся информацию и представлять результаты таким образом, чтобы люди могли их понять. Они невероятно важны, потому что революционизируют вычисления и стимулируют инновации в STEM и других отраслях.

Нет никаких сомнений в том, что наш мир сегодня выглядел бы совсем иначе без алгоритмов. Мало того, что Интернет стал бы совершенно другим местом (или, возможно, вообще не существовал бы), ключевые решения, принимаемые больницами, школами и даже общественной безопасностью и транспортом, были бы гораздо более длительным и сложным процессом.

Примеры алгоритмов

Как вы будете объяснять алгоритмы, будет зависеть от интереса и способностей ребенка к сложным математическим и научным темам.(Если ваш специалист в области чисел нуждается в дополнительной мотивации, возможно, вам подойдет математическое соревнование!)

В любом случае, хороший способ продолжить беседу или урок — просто взглянуть на мир вокруг нас — вы можете быть удивлены, обнаружив алгоритмы повсюду.

Google

Самый известный из всех, Google использует алгоритм PageRank, чтобы определить, какие результаты поиска появляются и в каком порядке, обеспечивая первыми показы самых качественных и наиболее заслуживающих доверия веб-сайтов.Это означает, что при каждом поиске запроса во внимание принимаются сотни факторов.

Возвращаясь к вышесказанному, подумайте о том, сколько информации обрабатывается при поиске, и подумайте о скорости, с которой вы можете увидеть результаты!

YouTube

YouTube также известен своим алгоритмом рекомендаций; сложный код, который рекомендует, какое видео будет рекомендовано для следующего просмотра. Цель? Чтобы зрители продолжали потреблять видеоконтент, пытаясь представить им нужное видео в нужное время.

Социальные сети

Вы когда-нибудь замечали, почему на выбранной вами платформе социальных сетей вы, кажется, видите сообщения от одних и тех же людей чаще, чем от других? Это потому, что эти платформы социальных сетей также используют алгоритмы, размещая сообщения перед вами в зависимости от того, насколько они актуальны для вас и ваших потребностей в просмотре. Эта релевантность может определяться тем, как часто вы взаимодействуете с сообщениями определенных людей, или типом контента, который вам нравится.

Онлайн-игры

Часто для объяснения процесса алгоритма используются блок-схемы.Возьмем, к примеру, этот образ; он показывает, как алгоритм онлайн-проверки будет обрабатывать информацию, необходимую для того, чтобы сделать следующий шаг наилучшим образом.

Двоичный поиск

Если вас интересует немного больше технических знаний, есть несколько важных алгоритмов, которые должен знать любой стоящий математик или инженер.

One — это двоичный поиск, который сортирует списки информации, чтобы быстро находить ответы, аналогично поиску слов в словаре.

Сортировка слиянием

Далее, алгоритмы сортировки слиянием разделяют и захватывают несколько списков и полезны для одновременной обработки большого количества данных.

Добавить / Удалить

Наконец, добавление и удаление алгоритмов сокращают информацию, если хотите, освобождая место только для того, что необходимо и полезно.

Преимущества алгоритмов обучения

Готовый ответ на вопрос «а что это мне даст?» вопрос имеет решающее значение для изучения нового навыка, особенно сложного.

У алгоритмов обучения

есть ряд (я могу сказать, что здесь нет каламбура, но это не совсем так) образовательных и интеллектуальных преимуществ.

Фундамент для других областей STEM

Изучение этого предмета — отличный способ «намочить ноги» во многих аспектах STEM. Если вы заинтересованы в карьере в программировании, науке о данных или в какой-либо другой наиболее увлекательной и высокооплачиваемой работе в STEM, знакомство с алгоритмами является обязательным.

Развивает логические навыки и навыки решения проблем

Во многих отношениях алгоритмы решают проблемы с ускорением.Универсальная истина в том, что кодирование может решать мировые проблемы, — одна из многих причин, по которым кодирование так важно.

Впрочем, до этого далеко. Инженеры и компьютерные специалисты проходят множество раундов проб и ошибок, прежде чем прийти к жизнеспособному продукту. Без сомнения, изучая процессы, необходимые для создания, тестирования и реализации алгоритмов, учащиеся укрепят свои логические навыки и навыки решения проблем.

Поощрять междисциплинарное мышление

Возьмем, к примеру, отрасль здравоохранения.За безопасным хранением медицинских записей, визуализацией и даже анализом последовательностей генов стоят алгоритмы.

Это всего лишь один пример того, как алгоритмы революционизируют и обновляют мир вокруг нас. Алгоритмы далеки от абстрактной математической изоляции, они есть повсюду и создают связи и решения в целом ряде отраслей.

Готовы начать? Ознакомьтесь с этими удобными ресурсами, которые помогут вашему ученику погрузиться в алгоритмы!

Лучшие бесплатные ресурсы для обучения детей алгоритмам

Код

.org

На этом веб-сайте есть отличная серия статей «Основы CS отключена» для детей от четырех лет. Каждый урок отлично работает сам по себе, или они могут стать частью обогащающего, долгосрочного проекта по информатике для вашего ребенка!

CodeMonkey.com

Этот увлекательный ресурс легко превратить в быстрое приключение. CodeMonkey создал бесплатную игру, которая не только интерактивна и увлекательна, но и обладает высокой образовательной ценностью. Кроме того, это одна из самых удобных для детей платформ, которые я когда-либо видел.

Оба этих ресурса больше сосредоточены на программировании приложений алгоритмов. Если ваш ученик может найти вдохновение и поддержку в математике, ознакомьтесь с нашим каталогом индивидуальных онлайн-уроков и, в частности, с вариантами репетиторства по математике.

Какие понятия равносильны понятию алгоритма: Теория алгоритмов | СГУ — Саратовский государственный университет

Теория алгоритмов | СГУ — Саратовский государственный университет

§ 3. Уточнение понятия алгоритма

Математическая логика и теория алгоритмов учебное пособие. Математическая логика и теория алгоритмов

Практическое занятие № 1 «Формулы алгебры высказываний»

11.1. Понятие об алгоритме и теории алгоритмов

Контрольные по математике | Интуитивное понятие алгоритма. алгоритмы в математике

Придумать по 3 примера линейных алгоритмов, с ветвлением и с повторением алгоритмов и представить данные алгоритмы в трех случаях. надо заранее

Другие вопросы по Информатике

Равносильность и следствие. Определение равносильности и следствия в математике

Важность алгоритмов

Введение

Анализ времени выполнения

Сортировка

Кратчайший путь

Приблизительные алгоритмы

Случайные алгоритмы

Сжатие

Важность знания алгоритмов

Другие примеры из реальной жизни

Максимальный поток

Сравнение последовательностей

Заключение

(PDF) Когда два алгоритма одинаковы?

КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ И СИСТЕМЫ — TACOMA

Что такое временная сложность и ее алгоритмы?

математических стратегий: концептуальное понимание и алгоритмы

алгоритмов для детей | Важность, примеры и определение кодирования

Что такое алгоритм?

Почему важны алгоритмы?

Примеры алгоритмов

YouTube

Социальные сети

Онлайн-игры

Двоичный поиск

Сортировка слиянием

Добавить / Удалить

Преимущества алгоритмов обучения

Лучшие бесплатные ресурсы для обучения детей алгоритмам

.org

CodeMonkey.com

Добавить комментарий Отменить ответ