Машинные системы счисления: Calaméo — Машинные системы исчисления

Системы счисления

«Системы счисления» 10 класс

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

• ДВОИЧНАЯ
• ВОСЬМЕРИЧНАЯ
• ШЕСТНАДЦАТИРИЧНАЯ

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

ПЕРЕВОД В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ:

• ЦЕЛЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ;
• ДРОБНЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ;

ПЕРЕВОД ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ОБРАТНО:

• В ВОСЬМЕРИЧНУЮ;
• В ШЕСТНАДЦАТИРИЧНУЮ;

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ.

ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

ПЕРЕВОД В ВОСЬМЕРИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ:

• ЦЕЛЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ;
• ДРОБНЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ;

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ВОСЬМЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ.

ШЕСТНАДЦАТИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

ПЕРЕВОД В ШЕСТНАДЦАТИРИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ:

• ЦЕЛЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ;
• ДРОБНЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ;

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ.

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

АЛГОРИТМ:

• Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.
• Получить искомое двоичное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности.

Пример:

235 10 = ? 2 235 10 = 11101011 2

235 1

3 1

0

ПЕРЕВОД дробных ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

АЛГОРИТМ:

• Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробей на 2 до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.
• Получить искомую двоичную дробь, записав полученные целые части произведения в прямой последовательности.

Пример:

0,65625 10 = ? 2 0,65625 10 = 0,10101 2

0, 65625

2

1, 3125

2

0, 625

2

1, 25

2

0, 5

2

1, 0

ПЕРЕВОД ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО

ПЕРЕВОД целых чисел

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное, двоичное число нужно разбить на группы по три цифры, справа налево; если в последней левой группе окажется меньше чем три разряда, то необходимо ее дополнить слева нулями. Затем надо преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру по таблице, приведенной ниже.

Пример:

101001 2 = 51 8 ; 0 10010 2 = 22 8 .

ПЕРЕВОД дробей

Осуществляется точно так же, как и целые числа, только число

разбиваем на группы не справа налево, а слева направо и при

необходимости дополняем нулями справа.

Пример:

0,110101 2 = 0,65 8 0,01011 0 2 = 0,26 8

Обратно перевод чисел происходит по этой же таблице. Каждую

цифру восьмеричного числа заменяем группой из трех двоичных

разрядов.

Пример:

53 8 = 101011 2 0,47 8 = 0,100111 2

2с.с.

000

8с.с.

0

001

010

1

2

011

100

3

4

101

110

5

6

111

7

ПЕРЕВОД ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В шестнадцатеричную И ОБРАТНО

ПЕРЕВОД целых чисел

Для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное, двоичное число нужно разбить на группы по четыре цифры, начиная справа; если в последней левой группе окажется меньше разрядов, надо дополнить ее слева нулями.

ПЕРЕВОД дробей

Осуществляется точно так же, как и целые числа, только число разбиваем на группы слева направо и при необходимости дополняем нулями справа.

Обратно перевод чисел происходит по этой же таблице. Каждую цифру восьмеричного числа заменяем группой из трех двоичных разрядов.

Пример:

00 101001 2 = 29 16 0,110101 00 2 = 0,D4 16 A17 16 = 101000010111 2

2с.с.

16с.с

0000

0001

0

0010

1

2

0011

3

0100

4

0101

5

0110

6

0111

7

1000

1001

8

9

1010

A

1011

B

1100

C

1101

D

1110

E

1111

F

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

Правила:

сложения; вычитания; умножения.

0 + 0 = 0 0 — 0 = 0 0 * 0 = 0

0 + 1 = 1 1 – 0 = 1 0 * 1 = 0

1 + 0 = 1 1 – 1 = 0 1 * 0 = 0

1 + 1 = 10 1 * 1 = 1

При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд.

Пример:

1 1

1 1

1 1

110 2 110 2 110 2 110 2 11 2

11 2 11 2 11 2 11 10 2

1001 2 11 2 110 0

110

10010 2

Проверь себя!

1.Перевести в двоичную систему счисления:

156 10 ; 3679 10 ; 19,25 10 .

156 8 ; 76 8 ; 34,15 8 .

АЕ5 16 ; 67 16 ; 0,В2 16 .

2.Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

110101001 2 ; 10101101 2 ; 1111101001 2 .

3.Выполнить арифметические операции:

1000101 2 + 1111101 2 ; 101 2 * 11 2 ;

111 2 + 101 2 ; 111 2 * 111 2 ;

11101 2 – 101 2 ; 11011 2 / 1001 2 ;

10101 2 – 111 2 ; 10010001 2 / 101 2 .

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

АЛГОРИТМ:

• Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.
• Получить искомое восьмеричное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности.

Пример:

216 10 = ? 8 216 10 = 330 8

216 0

0

ПЕРЕВОД ДРОБНЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

АЛГОРИТМ:

• Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробей на 8 до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.
• Получить искомую двоичную дробь, записав полученные целые части произведения в прямой последовательности.

Пример:

0,65625 10 = ? 8 0,65625 10 = 0,52 8

0, 65625

8

5, 25

8

2, 0

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ВОСЬМЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

При выполнении действий сложения и вычитания в восьмеричной системе счисления нужно помнить:

В записи результатов сложения и вычитания могут быть использованы только цифры восьмеричного алфавита.

Десяток восьмеричной системы счисления равен 8, т. е. переполнение разряда наступает, когда результат сложения больше или равен 8. В этом случае для записи результата надо вычесть 8, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения.

Если при вычитании приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде восьми единиц.

Пример:

8 8

524 8

1 1

56 8

446 8

524 8

56 8

602 8

Проверь себя!

1.Перевести в восьмеричную систему счисления:

169 10 ; 25891 10 ; 845 10 ; 365 10 .

2.Выполнить арифметические операции:

715 8 + 375 8 ; 715 8 — 375 8 ;

3437 8 + 357 8 ; 77751 8 – 156 8 ;

2627 8 + 36 8 . 3751 8 – 134 8.

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В шестнадцатеричную СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

АЛГОРИТМ:

• Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа на 16 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.
• Получить искомое восьмеричное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности.

Пример:

19 10 = ? 16 19 10 = 13 16

0

ПЕРЕВОД ДРОБНЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В шестнадцатеричную СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

АЛГОРИТМ:

• Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробей на 16 до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.
• Получить искомую двоичную дробь, записав полученные целые части произведения в прямой последовательности.

Пример:

0,65625 10 = ? 16 0,65625 10 = А8 16

0, 65625

16

10, 5

16

8, 0

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В шестнадцатеричной СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

При выполнении действий сложения и вычитания в восьмеричной системе счисления нужно помнить:

При записи результатов сложения и вычитания следует использовать цифры шестнадцатеричного алфавита.

Цифры, обозначающие числа от 10 до 15 записываются латинскими буквами, поэтому, если результат является числом из этого промежутка, его надо записать соответствующей латинской буквой.

Десяток шестнадцатеричной системы счисления равен 16, т. е. переполнение разряда наступает, если результат сложения больше или равен 16, и в этом случае для записи результата надо вычесть 16, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения.

Если приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший в виде шестнадцати единиц.

Пример:

16

BE19 16

BA3 16

B266 16

FFFF 16

1 16

10000 16

Проверь себя!

1.Перевести в шестнадцатеричную систему счисления:

512 10 ; 21985 10 ; 953 10 ; 437 10 .

2.Выполнить арифметические операции:

А19 16 + 37С 16 ; FOB 16 — 371 16 ;

19ВВ 16 + 4А2 16 ; 777FA 16 – ABC 16 ;

2FAC 16 + 3DA 16 . 6D1 16 – 4 16.

Машинные системы счисления — Мегаобучалка

С развитием вычислительной техники появились и получили свое развитие машинные системы счисления. Машинные системы счисления основаны на двоичной системе счисления, о которой первые упоминания появились в 1801 году, когда Жозеф Мари Жаккар разработал ткацкий станок, в котором вышиваемый узор определялся перфокартами. Перфокарта представляла собой карточку из плотной бумаги, в которой особым образом были пробиты дырочки.

Двоичная система счисления проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом «работал» полинезийский телеграф. В телеграфе в Х1Х-ХХ веках информация передавалась с помощью азбуки Морзе — в виде последовательности из точек и тире. Часто мы договариваемся открывать входную дверь только по «условному сигналу» — комбинации коротких и длинных звонков. Двоичная система используется для решения головоломок и построения выигрышных стратегий в некоторых играх.

В конце XX века, века компьютеризации, человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде. Каким же образом осуществляется это хранение? Каждый регистр арифметического устройства ЭВМ, каждая ячейка памяти представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Каждый такой элемент способен находиться в нескольких состояниях и служит для изображения одного из разрядов числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом. Нумерацию разрядов в ячейке принято вести справа налево, самый левый разряд имеет порядковый номер 0. Если при записи чисел в ЭВМ мы хотим использовать обычную десятичную систему счисления, то мы должны получать 10 устойчивых состояний для каждого разряда, как на счетах при помощи костяшек. Такие машины существуют. Однако конструкция элементов такой машины чрезвычайно сложна. Наиболее надежным и дешевым является устройство, каждый разряд которого может принимать два состояния: есть сигнал – нет сигнала, включено – выключено, намагничено — не намагничено, высокое напряжение — низкое напряжение и т.д. В современной электронике развитие аппаратной базы ЭВМ идет именно в этом направлении. Следовательно, использование двоичной системы счисления в качестве внутренней системы представления информации вызвано конструктивными особенностями элементов вычислительных машин.

Преимущества двоичной системы счисления:

Ø легко реализуется технически;

Ø двоичное представление информации максимально надежно и помехоустойчиво при передаче между различными устройствами электронно-вычислительной техники;

Ø просто выполняются арифметические действия;

Недостаток двоичной системы счисления: быстрый рост числа разрядов в записи, представляющей двоичное число.

Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера. В этой системе счисления используются цифры: 0, 1.Над числами в двоичной системе счисления можно выполнять арифметические действия.

Для представления двоичных чисел вне компьютера используют более компактные по длине восьмеричную (для записи кодов чисел и машинных команд) и шестнадцатеричную (для записи адреса команд) системы счисления.

Из истории известен курьезный случай с восьмеричной системой счисления. Шведский король Карл XII в 1717 году увлекался восьмеричной системой счисления, считал её более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским приказом ввести её как общепринятую. Неожиданная смерть помешала королю осуществить столь необычное намерение.

Рассмотрим восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления более подробно:

Вопросы и задания

1. Когда и как появились машинные системы счисления?

2. Почему двоичная СС стала стандартом при построении ЭВМ? Каковы ее преимущества и недостатки?

3. Что такое двоичная триада и двоичная тетрада?

4. Представьте десятичные числа 17, 18, 19 и 20 в двоичной СС.

Системы счисления

Перед математиками и
конструкторами в 50-х годах XX столетия встала
задача найти такие системы счисления, которые бы
отвечали требованиям разработчиков ЭВМ и
программного обеспечения. В результате были
созданы “машинные” системы счисления:

— двоичная;

— восьмеричная;

— шестнадцатеричная.

Каждая из этих систем использует определенный
набор символов языка, которыми записываются
данные — символы алфавита.

В двоичной системе счисления их всего два: 0 и
1.

В восьмеричной системе их восемь:
0,1,2,3,4,5,6,7.

В шестнадцатеричной — шестнадцать: арабские
цифры 0-9, и символы латинского алфавита от А до
F. Причем символ А соответствует 10, В =11 и т.д
, F=15.

Каждая система счисления из
машинной группы применяется в различных случаях,
а именно, двоичная – для организации
преобразования информации, восьмеричная и
шестнадцатеричная – для представления машинных
кодов в удобном виде.

Десятичная система применяется для ввода данных
и вывода на устройства печати и на экран
дисплея.

Двоичная система счисления

Обработка информации в ПК основа
на обмене электрическими сигналами между
различными устройствами компьютера. Эти сигналы
возникают в определенной последовательности. ПК
“различает” два уровня этих сигналов – высокий
(1) и низкий (0). Таким образом, любая
информация в вычислительной технике
представляется как набор (код) двух символов 0 и
1. Каждый такой набор нулей и единиц называется
двоичным кодом. Количество информации,
кодируемое двоичной цифрой – 0 или 1 –
называется битом. Бит является единицей
измерения информации.

Двоичная система счисления
обладает такими же свойствами, что и десятичная,
только для представления чисел используется не
10 цифр, а всего 2. Эта система счисления тоже
является позиционной.

Официальное рождение двоичной
арифметики связано с именем Г.В. Лейбница,
опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он
рассмотрел правила выполнения арифметических
действий над двоичными числами.

Из истории известен курьезный случай с
восьмеричной системой счисления. Шведский король
Карл XII в 1717 году увлекался восьмеричной
системой счисления, считал ее более удобной, чем
десятичная, и намеревался королевским приказом
ввести ее как общепринятую. Неожиданная смерть
короля помешала осуществить столь необычное
намерение.

Восьмеричная и шестнадцатиричная
системы счисления

Двоичные числа – длинные
последовательности 0 и 1 – очень неудобны для
восприятия. В связи с этим двоичные числа стали
разбивать на группы по три (триада) или четыре
(тетрада) разряда. Из трех нулей и единиц можно
составить восемь различных двоичных чисел, а из
четырех – шестнадцать. Для кодирования 3 бит
требуется 8 цифр, и поэтому взяли цифры от 0 до
7, т.е. в соответствии с определением получили
алфавит 8-ной системы счисления.

Для кодирования 4 бит необходимо
16 знаков, для чего используются 10 цифр
десятичной системы и 6 первых букв латинского
алфавита.

Представление чисел в различных
системах счисления

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ N-РИЧНОЙ
СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ

Перевод чисел из одной системы счисления в
другую выполняет компьютер. Эти операции
выполняются по определенным правилам.

Перевод числа из двоичной системы
счисления в десятеричную:

1) пронумеровать двоичный код начиная с младшего
разряда (его номер равен 0) к старшему;

2) записать двоичное число как сумму
произведений веса каждого разряда на основание
системы счисления исходного числа (2) в степени,
соответствующей номеру разряда;

3) выполнить вычисление произведений и суммы.

Например,

1010112 = 1*2⁵+0*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰
= 32+0+8+0+2+1=4310

Перевод числа из любой n-ричной системы
счисления в десятеричную выполняется с описанным
выше правилом (следует учесть, что для каждой
системы счисления основание системы свое).

Задание:

Выполните перевод следующих чисел в десятичную:

123708 — ?10

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ
СИСТЕМЫ В N-РИЧНУЮ

Перевод числа из десятеричной в
двоичную систему счисления:

1) выполнить последовательное
деление десятичного числа, а затем получаемых
целых частных на основание системы счисления, в
которую переводится число (2). Деление
выполняется в записью целого частного и целого
остатка от деления до тех пор, пока целое
частное не будет равно 0.

2) записать код числа, записывая остатки от
деления, начиная с последнего из целых остатков
(в обратном порядке) символами алфавита
требуемой системы счисления.

Перевод числа из десятеричной в
n-ричную систему счисления:

1) выполнить последовательное
деление десятичного числа, а затем получаемых
целых частных на основание системы счисления, в
которую переводится число (n). Деление
выполняется в записью целого частного и целого
остатка от деления до тех пор, пока целое
частное не будет равно 0.

2) записать код числа, записывая остатки от
деления, начиная с последнего из целых остатков
(в обратном порядке) символами алфавита
требуемой системы счисления.

Задание:

выполните перевод десятичных чисел 54 и 782

в 8-ричную и 16-ричную системы счисления каждое.

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ
В ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ

Правило перевода чисел из
двоичной системы счисления в восьмеричную:

влево и вправо от запятой
двоичное число разбивается на двоичные триады,
при необходимости крайние группы дополняются
нулями; каждая триада заменяется соответствующей
цифрой восьмеричного алфавита (см. таблицу).

Правило перевода чисел из
двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:

влево и вправо от запятой
двоичное число разбивается на двоичные тетрады,
при необходимости крайние группы дополняются
нулями; каждая тетрада заменяется
соответствующей цифрой шестнадцатеричного
алфавита (см. таблицу).

При переводе чисел из
восьмеричной и шестнадцатеричной систем
счисления в двоичную достаточно заменить каждую
цифру соответственно двоичной триадой или
тетрадой. При этом незначащие нули
отбрасываются.

Примеры: 324,7₈ — ? ₂

3 2 4, 7₈ = 11010100,111₂

Е4А1, В5₁₆ — ?₂

Е 4 А 1, В 5₁₆ =
1110010010100001,10110101₂

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ВОСЬМЕРИЧНОЙ И
ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДВОИЧНУЮ

При переводе чисел из
восьмеричной и шестнадцатеричной систем
счисления в двоичную достаточно заменить каждую
цифру соответственно двоичной триадой или
тетрадой. При этом незначащие нули
отбрасываются.

Примеры:

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В
ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ

С цифрами двоичного числа можно
выполнять арифметические операции. При этом
выполняются правила двоичной арифметики:

Все арифметические операции над
двоичными числами можно свести к 2-м операциям:
сложению и сдвигу кодов. Это позволяет
технически реализовать четыре арифметических
действия в одном арифметико-логическом
устройстве, используя одни и те же электронные
схемы. Впрочем, и в десятичной арифметике в
конечном итоге выполняются те же действия –
сложение и сдвиг.

Cложение двоичных чисел

Выполним сложение двух двоичных
чисел 11001₂ и 10001₂

Задание:

Самостоятельно выполните сложение двоичных
чисел:

11100₂ и 10011111₂

Вычитание двоичных чисел

Вычитание – обратная операция
сложению так же может быть представлена в виде
сложения, но только с отрицательным числом.

Выполним вычитание двух двоичных чисел 11001₂
и 10001₂

Задание:

выполните вычитание двух чисел 101110₂
и 1001₂

Умножение и деление двоичных
чисел

Умножение и деление производится
поразрядно и сводятся к двум операциям: сложению
и сдвигу.

Выполним умножение двоичных чисел 110012 и 10012

Задание:

самостоятельно перемножьте числа 1110₂
и 10001₂

Деление так же можно представить
как выполнение операций сложения и сдвига.

Задание:

выполните самостоятельно деление двоичного числа
1100110 на двоичное число 110

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В
ВОСЬМЕТИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СИСТЕМЕ

Сложение и вычитание в 8-ной и
16-ной системах счисления

При выполнении действий сложения
и вычитания в 8-ной системе счисления необходимо
помнить:

в записи результатов сложения и вычитания могут
быть использованы только цифры восьмеричного
алфавита;

основание восьмеричной системы счисления равен
8, т.е. переполнение наступает, когда результат
сложения больше или равен 8. В этом случае для
записи результата надо вычесть 8, записать
остаток, а к старшему разряду прибавить единицу
переполнения;

если при вычитании приходится занимать единицу в
старшем разряде, эта единица переносится в
младший разряд в виде 8 единиц.

Примеры.

Сложить восьмеричные числа 770₈ и 236₈
.

Примеры на закрепление: выполнить
действия в восьмеричной системе счисления.

715₈ + 373₈

524₈ + 57₈

Выполнить вычитание восьмеричных
чисел 750₈ и 236₈.

Примеры на закрепление: выполнить
действия в восьмеричной системе счисления.

137₈ — 72,3₈

436₈ — 257₈

При выполнении действий сложения
и вычитания в 16-ной системе счисления
необходимо помнить:

в записи результатов сложения и вычитания могут
быть использованы только цифры
шестнадцатеричного алфавита (0-9, A-F)

Основание шестнадцатеричной системы счисления
равно 16, т.е. переполнение наступает, когда
результат сложения больше или равен 16. В этом
случае для записи результата надо вычесть 16,
записать остаток, а к старшему разряду прибавить
единицу переполнения;

если при вычитании приходится занимать единицу в
старшем разряде, эта единица переносится в
младший разряд в виде 16 единиц.

Примеры.

Сложить шестнадцатеричные числа B09₁₆
и EFA₁₆

Примеры на закрепление: выполнить
действия в шестнадцатеричной системе счисления.

A13₁₆ + 1CF₁₆

F0B,8₁₆ + 1DA,C1₁₆

Выполнить вычитание
шестнадцатеричных чисел B09₁₆ и 7FA₁₆.

Примеры на закрепление: выполнить
действия в шестнадцатеричной системе счисления.

A13₁₆ — 1CF₁₆

DFA,B8₁₆ — 1AE,94₁₆

Системы счисления

Кодирование информации — представление информации в той или иной стандартной форме.

Например, письменность и арифметика — кодирование речи и числовой информации, музыку кодируют с помощью нот.

Чтобы использовать числа их нужно как-то записывать и называть.

Самые первые системы нумерации возникли в древнем Египте и Месопотамии — применяли иероглифы.

Системы счисления — способы кодирования числовой информации, то есть способ записи чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют цифрами.

В древнем Вавилоне делили час на 60 минут, угол на 360 градусов, англосаксы начали делить год на 12 месяцев, сутки на два периода по 12 часов, продолжительность года 360 суток. 

В Риме семь чисел обозначают буквами. 1-I, 5-V, 10-X, 50- L,100-C, 500-D, 1000-M.

IV (4=5-1)

VI (6=5+1)

Значение числа определяется как сумма или разность цифр числа. Это непозиционная система счисления.

Славяне числа кодировали буквами А=1, В=2, Г=3; чтобы избежать путаницы ставился специальный знак ~  титло. Алфавитная система счисления. Славянская нумерация сохранялась до конца XVII века.

При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация. Славянская нумерация сохранилась в богослужебных книгах.

Самой популярной системой кодирования чисел оказалась позиционная, десятичная. Используются десять цифр. Значение каждой определяется той позицией, которую цифра занимает в записи числа.

Эта система пришла из Индии, где она появилась не позднее VI века, европейцы заимствовали ее у арабов, назвав ее арабской. Из арабского языка заимствовано слово «цифра». Причина ее возникновения анатомическая — 10 пальцев. Анатомическая система счисления (существовали пятеричные, двадцатеричные системы счисления).

Например, 23 — три единицы, два десятка 32 — две единицы, три десятка 400 — 4 сотни, два 0 вклад в число не дают, нужны для того, чтобы указывать позицию 4. 

В десятичной позиционной системе особую роль играет число 10 и его степени, например, 1996 — 6 единиц, 9 десятков, 9 сотен 1 тысяча или 1996=6+9*10+9*100+1*1000, т.к.1000=10³, 100=10², 10=10¹, таким образом, 1996=1*10³ + 9*10² + 9*10¹ +6*10^0.

Любое число в нулевой степени равно единице 0,1⁰ = 1

То есть любое 4-х значное число можно записать в следующем виде:

N=a₃*10³+a₂*10²+a₁*10¹+a₀*10⁰

a₃, a_2, a₁, a₀-десятичные цифры, от 1 до 9 или коэффициенты 3 2 1 0 — разряды, степени числа 10 со степенями называют основанием системы счисления.

Но основанием системы может быть не обязательно число 10, мы можем записать число в р-ичной системе, где основанием будут степени числа р. Любое число N в р-ичной системе мы можем представить в виде формулы:

N=a_n*Pⁿ+a_n-1*P^n-1+…+a₁*P¹+a₀*P⁰

Если взять за основание 60, то придется использовать 60 разных цифр. Такая система была в Древнем Вавилоне. Если основанием возьмем 2, получим систему всего с двумя цифрами 0 и 1. К сожалению, в этой системе даже небольшие числа записываются слишком длинно, так 1995 в двоичной системе записывается 1995₁₀=11111001011₂

Система счисления, где 2 является основанием системы называется двоичной системой счисления, относится к машинной системе счисления, к машинным системам счисления относятся и восьмеричная и шестнадцатеричная. Таким образом существуют следующие системы счисления: вавилонская, римская, алфавитные, анатомические, машинные.

Системы счисления делятся также на позиционные и непозиционные. 

Перевод из двоичной системы счисления в десятичную.

Как узнать чему равно девятизначное двоичное число N=111110100₂

Подпишем сверху каждый разряд

87654321010 — 1 разряды (степени двойки)

111110100₂

В двоичной системе особую роль играет двойка и ее степени.

Таким образом:

111110100=1*2₈ +1*2₇ +1*2₆ +1*2₅ +1*2₄ +0*2₃ +1*2₂ +0*2₁ +0*2₀ =1*256+1*128+1*64 +1*32 +1*16 +0*8 +1*4 +0*2 +0*1=256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 +0 =500

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную.

Пусть нужно перевести в двоичную систему число 234. Будем делить 234 последовательно на 2 и запоминать остатки, не забывая про нулевые.

Выписав все остатки, начиная с последнего 3 в обратном порядке, получим двоичное разложение числа.

234₁₀ = 11101010₂

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Запись числа в двоичной системе удобна для компьютера, но громоздка для человека. На помощь приходят системы, родственные двоичной восьмеричная система счисления использует 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Единица, записанная в самом младшем разряде означает просто единицу (1*8 в нулевой степени), та же единица в следующем разряде обозначает 8 (1*8 в первой степени), в следующем 64 (1*8 во второй степени) и так далее.

2 1 0 1 — разряды (степени восьмерки)

100₈ = 1*8² + 0*8¹ + 0*8⁰ = 1*64 + 0 + 0 = 64₁₀

8 — это 2 в третьей степени. При переводе в восьмеричную систему двоичное число из трех цифр записывается одной цифрой.

Для перевода  из двоичной в восьмеричную число, записанное в двоичной системе делим на триады справа налево

Например, 11011100011=11 011 100 011 и заменить каждую группу одной восьмеричной цифрой 2 2 4 2 и получим 2242₈

Для перевода числа из восьмеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную систему, представив каждую цифру в виде триады (1 в двоичной системе 1 добавляем до триады впереди 00)

Еще компактней выглядит запись двоичного числа в шестнадцатеричной системе счисления.

Для первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр используются привычные цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, а для остальных используют первые буквы латинского алфавита

A-10 D-13

B-11 E-14

C-12 F-15

Цифра 1 в самом младшем разряде означает 1, в следующем разряде означает 16 (в первой степени), в следующем разряде 16*16 (16²)=256, в следующем разряде 1*16³ и так далее.

100¹⁶ =256¹⁰

Цифра F, записанная в самом младшем разряде означает 15 в десятичной системе, F в следующем разряде означает 15*16 в первой степени в десятичной системе и т.д.

2 1 0 — 1 разряды (степени числа 16)

Число 210₁₆=10*16²+15*16¹+0*16⁰

210₁₆=10*256+240+0*1=2560+240+0=2800₁₀

2 1 0

BAD₁₆=11*16₂+1 0*16₁+13*1 6₀ = 11 * 256+10 *16+13*1=2816+160+13=2989₁₀

16 — это 2 в четвертой степени. При переводе из двоичной системы в шестнадцатеричную число двоичное число из 4-х цифр кодируется числом из одной цифры в шестнадцатеричной системе.

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную, представив каждую цифру в виде сочетания четырех 1 и 0

Как осуществить перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную? Необходимо разбить число, записанное в двоичной системе на группы по 4 разряда справа налево, заменив каждую группу одной шестнадцатеричной цифрой.

Системы счисления | Методическая разработка по информатике и икт (9 класс) по теме:

Системы счисления

Раздел программы: «Системы счисления».

Тема урока: «Системы счисления».

Время проведения: первый урок по теме «Системы счисления».

Оборудование к уроку: мультимедиа проектор,компьютер

Цели урока:

1. Обучающая цель: создать условия для формирования первичного представления о системах счисления: позиционных, непозиционных, машинных.
2. Развивающая цель: развивать познавательный интерес школьников, уверенность в себе и своих знаниях; развивать память, внимательность.
3. Воспитательная цель: развитие познавательного интереса.
4. Подготовка к уроку

1. Учащимся предлагается заранее (до урока) подготовить сообщения:

– Римская система счисления

– Древнеегипетская система счисления

– Индийская система счисления

– Пятеричная система счисления

– Двадцатеричная система счисления

2. Презентация «Системы счисления»

Ход урока

1. Организационный момент.

Учитель проверяет явку учащихся, их внешний вид (соответствует ли технике безопасности).

Приветствие.

2. Постановка целей урока.

Учитель. Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень и очень далеко). Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10 – 11 тысяч лет до н.э.).

«Всё есть число», – говорили древнегреческие философы, ученики Пифагора, подчёркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Известно множество способов представления чисел.

Тема нашего урока: «Системы счисления» (учащиеся записывают тему урока в тетрадях) (Слайд 1).

3. Объяснение темы урока.

Учитель. Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами (Слайд 2). 

Цифры – это знаки, используемые при записи чисел. Сами знаки составляют алфавит системы счисления.

Самый первый способ записи чисел ученые назвали единичной («палочной») системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков – «палочка». Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Можно предположить, что для облегчения счета люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. Таким образом, возникли более удобные системы счисления.

Все системы счисления делятся на два класса (Слайд 3):

– позиционные – величина, обозначаемая цифрой, зависит от места (позиции) цифры в числе (например, в десятичной системе счисления число 222; первая слева направо цифра 2 – показывает количество сотен, следующая – количество десятков и последняя – количество единиц).

– непозиционные – величина числа определяется как сумма или разность цифр в числе (например, римская система счисления: число IV вычисляется как 5-1=4).

Системы счисления можно разделить на следующие группы (Слайд 4):

На сегодняшнем уроке мы с вами познакомимся с этими системами счисления. Слушая ваших товарищей, вам предстоит ответить на вопрос:

– какая древняя система счисления появилась первой?

Итак, мы начинаем свое путешествие в историю систем счисления!

Рассмотрим системы счисления анатомического происхождения. И задумаемся – почему эту группу так назвали?

Учитель вызывает ученика, который рассказывает о пятеричной системе счисления. На экране демонстрируется слайд презентации (переход по ссылке (слово Пятеричная)) и так продолжаем по всем системам счисления. Для учеников регламент – 2-3 минуты на выступление.

Учитель. Кто из вас готов ответить: какая из систем счисления, рассмотренных сегодня на уроке, самая древняя? (единичная)

Последняя группа – это машинные системы счисления. Относятся они к позиционным системам счисления. Но не стоит думать, что появились они вместе с развитием электронно-вычислительной техники. Специалисты выделили так называемую «машинную» группу счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы.

К «машинной» группе систем счисления относятся: двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г.В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 году статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.

Вся информация, обрабатываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде.

Преимущества двоичной системы счисления:

• простота совершаемых операций;

• возможность осуществлять автоматическую обработку информации, реализуя только два состояния элементов компьютера.

Недостаток двоичной системы счисления:

быстрый рост числа разрядов в записи, представляющей двоичное число.

Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера. В этой системе счисления используются цифры: 0, 1. Над числами в двоичной системе счисления можно выполнять арифметические действия.

Как уже было отмечено, недостатком двоичной системы счисления являются длинные записи чисел (с ростом разрядов). Поэтому были введены восьмеричная система счисления (запись числа уменьшается в 3 раза) и шестнадцатеричная (запись числа уменьшается в 4 раза). Причем восьмеричную систему счисления используют для записи кодов чисел и машинных команд, а шестнадцатеричную – для записи адреса команд.

Учитель. В корзине лежало 100 фруктов: 10 яблок и 10 груш. Может ли такое быть?

Конечно же, может, если числа записаны в двоичной системе счисления.

 Сегодня на уроке мы с вами разберем как перевести число из десятичной системы счисления в двоичную и наоборот: из двоичной системы счисления в десятичную.

Учитель. Ребята, посмотрите внимательно на таблицу, записанную на доске. Эта таблица будет помогать нам в работе. Назовите мне самое маленькое значение n в этой таблице.

Ответ: 0.

Учитель. А что означает запись 2n?

Ученики: Означает, что надо умножить число 2 само на себя n раз.

Учитель. (Слайд 15) Задача. На столе лежат монеты достоинством 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 копейки. Вам нужно набрать сумму — 35 копеек, при условии, что с каждым ходом вы берете копейку максимального достоинства, учитывая сумму, которую вам нужно набрать. Какие монеты вы возьмете?

Ученики: 32, 2, 1

(Слайд 17): 1) демонстрация монет;

               2) Учитель: Сопоставим монетам, которые берем 1, а которые не берем – 0. Получим:

(Слайд 18)

Таким образом, мы получили:

3510=1000112

Учитель: Заполним таблицу степеней двойки (2n, где n=0,1,2,3,4,5,6) (Слайд 5) и расположим эту таблицу горизонтально (без названий). (Слайд 6)

Учитель записывает таблицу на доске, а учащиеся — в тетрадях.

Учитель (Слайд19): Используя таблицу, переведите числа из десятичной системы счисления в двоичную.

17, 28, 54, 63

Учащиеся делают на доске, учитель демонстрирует в презентации ответы.

Учитель: А теперь вернемся к задаче: «В корзине лежало 100 фруктов: 10 яблок и 10 груш. Может ли такое быть?»

Учащиеся отвечают, что может, если числа записаны в двоичной системе счисления. Учитель предлагает перевести числа в десятичную систему счисления и по-новому озвучить текст задачи.

Ученики: «В корзине лежало 4 фрукта: 2 яблока и 2 груши».

Учащиеся выполняют задание на доске, а ответ сверяют с презентацией.

4.Этап обобщения, систематизации знаний и закрепление изученного

Учитель. Давайте еще раз повторим алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему и применим его для перевода чисел из десятичной системы в другие системы счисления.

Перевести из десятичной системы в 2-ичную, 8-ричную, 16-ричную и проверить вычисления на инженерном калькуляторе на компьютере:

1. 345
2. 456
3. 1024
4. 512
5. 845

4. Подведение итогов, домашнее задание.

Учитель оценивает деятельность учащихся на уроке, называет учащихся отличившихся на уроке.

Домашнее задание

1. Перевести из десятичной системы в 2-ичную, 8-ричную, 16-ричную системы счислений.

1. 625
2. 333
3. 66

2. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.
3. В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.

6.Рефлексия. Отправьте по электронной почте [email protected] письмо с таким содержанием или оцените урок в свободной форме.

Практическая часть

Системы счисления, используемые в ЭВМ.

От того, какая система счисления будет использована в ЭВМ, зависят скорость
вычислений, емкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций.

Дело в том, что для физического представления (изображения) чисел необходимы элементы,
способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний
должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет
представлять соостветствующую цифру из алфавита данной системы счисления.

Десятичная система счисления, привычная для нас, не является наилучшей для использования
в ЭВМ. Для изображения любого числа в десятичной системе счисления требуется десять
различных символов. При реализации в ЭВМ этой системы счисления необходимы функциональные
элементы, имеющие ровно десять устойчивых состояний. Так, в арифмометрах используются
вращающиеся шестеренки, в которых фиксируется десять устойчивых положений. Но арифмометр
и другие подобные механические устройства имеют серьезный недостаток- низкое быстродействие.

Создание электронных элиментов, имеющих много устойчивых состояний, затруднено.
Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются так называемые
двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний,
например:
—электромагнитные реле замкнуто или разомкнуто;
—ферромагнитная поверхность намагничена или размагничена;
—магнитный сердечник намагничен в одном направлении или в противоположном;
—транзисторный ключ находится в проводящем состоянии или запертом и т.д.

Одно из этих устойчивих состояний может представляться с цифрой 0, другое- цифрой 1.
С двоичной системой связаны и другие существенные приемущества. Она обеспечивает
максимальную устойчивость в процессе передачи информации как между отдельными узлами
автоматического устройства, так и на большие расстояния. В ней предельно просто
выполняются арифметические действия и возможно применения аппарата булевой алгебры
для выполнения логических преобразований.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

Большое применение в ЭВМ нашли также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
Обмен информацией между устройствами большинства ЭВМ осуществляется путем передачи
двоичных чисел. Пользоваться такими числами из-за их большой длины и зрительной
однородности человеку не удобно. Поэтому специалисты(программисты, инженеры) как
на этапах составления программ для ЭВМ, их отладки, ручного ввода/вывода данных, так и
на этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют коды машинных
команд, адреса и операнды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной
системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза
соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.
Таким образом, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления выступают в качестве
простейшего языка обшения человека с ЭВМ, достаточно близкого как к превычной для человека
десятичной системе счисления, так и к двоичному»языку» машины.

Как правило, пользователь ЭВМ вводит исходную информацию и получает результат решения
задачи в десятичной системе счисления.

При вводе информации в ЭВМ каждая десятичная цифра заменяется ее двоичным эквивалентном
в виде тетрады (четыре двоичных разряда). Десятичное число требует для своего изображения
стольких тетрад, сколько имеется десятичных разрядов в числе. Таким образом, десятичные
цифры представляются в двоичной системе счисления, а все разряды без изменения —
в десятичной системе счисления. Это позволяет выполнять арифметические операции в
десятичной системе счисления, используя двоичные элементы для хранения и переработки
числовой информации. Такая форма представления данных называется двоично-десятичной.
Говорят о двоично-десятичном коде (ДДК) или смешанной двоично-десятичной системе счисления.

Перед матиматиками и конструкторами в 50-х гг. встала проблема отыскания таких систем
счисления, которые отвечали бы требованиям как разработчиков ЭВМ, так и создателей
программного обеспечения. Одним из итогов этих исследований стало значительное изменение
представлений о системах счисления и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический
счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться,
подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно.

Специалисты выделили так называемую «машинную» группу систем счисления и разработали
способы преобразования чисел этой группы. К «машинной» группе систем счисления относятся:
— двоичная;
— восьмеричная;
— шестнадцатеричная.

Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г.В.Лейбница, опубликовавшего
в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над
двоичными числами.

Из истории известен курьезный случай с восьмеричной системой счисления. Шведский король
Карл XII в 1717 г. увлекался восьмеричной системой счисления, считал ее более удобной,
чем десятичная, и намеревался королевским приказом ввести ее как общепринятую.
Неожиданная смерть помешала королю осуществить столь необычное намерение.

Десятичная система счисления

Для изображения чисел используются цифры:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Для изображения чисел больших
9 применяется позиционный способ записи числа. Значение цифры зависит от ее положения в
числе.

Например, число 1998. Девятка на третьей позиции справа меньше чем единица на четвертой
позиции справа, 900<100

Это число можно представить как сумму:

1998 = 1000 + 900 + 90 + 8, или
1998 = 1·10³ + 9·10² + 9·10¹ + 8·10⁰

Дробные числа могут быть записаны следующим образом:
70,25 = 7·10¹ + 0·10⁰ + 2·10^-1 + 5·10^-2

В качестве коэффициентов у степени десятки выступают цифры:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Арифметические действия сложения, вычитания, умножения и деления многократно проверены
в школе. Выполняются!

Двоичная система счисления

Для изображения чисел используются цифры:0,1. Для изображения чисел больших 1
применяется позиционный способ записи числа,.

Двоичные числа можно представить в виде суммы ряда степеней двойки, аналогично десятичной
системе счисления. Основанием будут служить степени 2, а коэффициентами числа: 0,1.

…+ k·2³ + k·2² + k·2¹ +
k·2⁰, где
k — коэффициент

Возведем основание в степень. Получим ряд чисел:
…+ 8 + 4 + 2 + 1

Предлагается прием записи двоичных чисел:
Например, нам надо изобразить число 5
смотрим на строку 8 + 4 + 2 + 1 и складываем цифры так, чтобы получиловь требуемое
десятичное число. Если цифра входит в сумму то на ее позиции
ставим 1, если не входит, то ставим 0. Для получения 5 нам нужны числа 4 и 1, значит число будет
выглядеть так:
0101
Первый 0 можно не записывать, получаем
101
Читается: один нуль один (сто один — не верно)

Запомним:
Единица на первой позиции справа играет роль 1;
Единица на второй позиции играет роль 2;
Единица на третьей позиции играет роль 4;
Единица на четвертой позиции играет роль 8 и т.д.
А нуль, он и в Африке нуль.

Составим таблицу перевода десятичных чисел в двоичные:

Полезно запомнить ряд степеней двойки:
128+64+32+16+8+4+2+1

Это замечательный ряд. Компьютер работает с ним постоянно. Каждый раз когда вы нажимаете
любую клавишу, компьютер складывает этот ряд, определяет код символа и печатает его
на экране. 8 бит (нулей или единиц) образуют байт. Предлагаем Вам поработать с байтом.
Байт

Арифметические действия в двоичной системе счисления

Двоичное сложение предельно просто. Только в одном случае, когда производится
сложение 1+1, происходит перенос единицы в старший разряд.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенными
таблицами сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

Попробуйте свои силы в испытателе сложения двоичных чисел.

Двоичное вычитание рассмотрим на примере.

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенными
таблицами вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов.

Попробуйте свои силы в испытателе вычитания двоичных чисел.

Перевод целых десятичных чисел в двоичные.

Для того, чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы счисления в двоичную,
необходимо:

шаг 1: разделить делимое на 2; зафиксировать остаток (0 или 1) и частное;

шаг 2: сравнить частное с единицей: если частное не равно единице, то продолжить действия —
вернуться к шагу 1, предварительно отправив частное на место делимого; если частное
равно единице, то перейти к шагу 3;

шаг 3: Зафиксированные в процессе выполнения предыдущих шагов остатки записать в
обратном порядке в виде двоичного числа.

Полученная таким образом последовательность нулей и единиц дает представление десятичного
числа в системе счисления с основанием 2.

Попробуйте свои силы в испытателе перевода целых десятичных чисел двоичные числа.

Перевод десятичных дробей в двоичные.

Рассмотрим пральные десятичные дробие. Это дроби вида:
0,48 = 0·10⁰ + 4·10^-1 + 8·10^-2
0,169 = 0·10⁰ + 1·10^-1 + 6·10^-2+ 9·10^-3

Как будет выглядеть десятичная дробь 0,125₁₀ = ?₂ в форме
двоичного числа?

шаг 1: умножим дробную часть на 2;

шаг 2: отделить целую часть произведения (0 или 1), записать дробную часть произведения;
действия продолжать до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю.
Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется
до заданной точности.

шаг 3: Зафиксированные в процессе выполнения предыдущих шагов целые части записать
сверху вниз в виде двоичного числа.

таким образом получаем:
0,125₁₀ = 0,001₂

Попробуйте свои силы в испытателе перевода десятичных дробей в двоичные.

Восьмеричная система счисления

Для изображения чисел используются цифры:0,1,2,3,4,5,6,7. Для изображения чисел больших
7 применяется позиционный способ записи числа. Значение цифры зависит от ее положения в
числе.

Восьмеричные числа можно представить в виде суммы ряда степеней восьмерки, аналогично десятичной
системе счисления. Основанием будут служить степени 8, а коэффициентами числа: 0,1,2,3,4,5,6,7.

…+ k·8³ + k·8² + k·8¹ +
k·8⁰, где
k — коэффициент

Сложение чисел в этой и других системах счисления можно выполнить в
испытателе.

Вычитанием чисел можно поупражняться
здесь

Шестнадцатеричная система счисления

Для изображения чисел используются символы:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f.

Для изображения чисел больших 15 применяется позиционный способ записи числа.

Шестнадцатеричная числа можно представить в виде суммы ряда степеней 16,
аналогично десятичной системе счисления. Основанием будут служить степени 16,
а коэффициентами числа: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f.

…+ k·16³ + k·16² + k·16¹ +
k·8⁰, где
k — коэффициент

Сложение чисел в этой и других системах счисления можно выполнить в
испытателе.

Вычитанием чисел можно поупражняться
здесь.

Системы счисления — javatpoint

Язык, который мы используем для общения друг с другом, состоит из слов и символов. Мы понимаем числа, символы и слова. Но этот тип данных не подходит для компьютеров. Компьютеры понимают только числа.

Итак, когда мы вводим данные, они преобразуются в электронный импульс. Каждый импульс идентифицируется как код, и код преобразуется в числовой формат с помощью ASCII. Он дает каждому числу, символу и символу числовое значение (число), понятное компьютеру.Итак, чтобы понять язык компьютеров, нужно знать системы счисления.

В компьютерах используются следующие системы счисления:

• Двоичная система счисления
• Восьмеричная система счисления
• Десятичная система счисления
• Шестнадцатеричная система счисления

Двоичная система счисления

Он имеет только две цифры «0» и «1», поэтому его основание — 2. Соответственно, в этой системе счисления есть только два типа электронных импульсов; отсутствие электронного импульса, представляющего «0», и наличие электронного импульса, представляющего «1».Каждая цифра называется битом. Группа из четырех битов (1101) называется полубайтом, а группа из восьми битов (11001010) называется байтом. Положение каждой цифры в двоичном числе представляет собой определенную степень основания (2) системы счисления.

Восьмеричная система счисления

Он состоит из восьми цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), поэтому его основание — 8. Каждая цифра восьмеричного числа представляет собой определенную степень его основания (8). Поскольку существует только восемь цифр, три бита (23 = 8) двоичной системы счисления могут преобразовать любое восьмеричное число в двоичное число.Эта система счисления также используется для сокращения длинных двоичных чисел. Три двоичные цифры могут быть представлены одной восьмеричной цифрой.

Десятичная система счисления

В этой системе счисления десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), поэтому ее основание — 10. В этой системе счисления максимальное значение цифры равно 9, а минимальное. значение цифры 0. Положение каждой цифры в десятичном числе представляет собой определенную степень основания (10) системы счисления. Эта система счисления широко используется в нашей повседневной жизни.Он может представлять любое числовое значение.

Шестнадцатеричная система счисления

В этой системе счисления 16 цифр от 0 до 9 и от A до F. Итак, ее основание — 16. Алфавиты от A до F представляют от 10 до 15 десятичных чисел. Положение каждой цифры в шестнадцатеричном числе представляет собой определенную степень основания (16) системы счисления. Поскольку имеется только шестнадцать цифр, четыре бита (24 = 16) двоичной системы счисления могут преобразовать любое шестнадцатеричное число в двоичное число. Она также известна как буквенно-цифровая система счисления, поскольку в ней используются как цифровые цифры, так и алфавиты.

Понимание компьютерных систем счисления | Журнал iC0dE

Система счисления — это просто система, которую мы используем для представления чисел определенного типа. Мы используем системы счисления, чтобы отслеживать «вещи» в различных сценариях. Примеры систем счисления включают римскую систему счисления [I, II, III, IV,…], десятичную систему счисления [1, 2, 3, 4, 5,…] и двоичную систему [10, 101, 1101 , …] назвать несколько. Римская система счисления может использоваться для подсчета или отслеживания некоторой задачи.Точно так же десятичная система счисления может использоваться для того же, что и римская система счисления, и многое другое. Двоичный файл можно использовать для хранения буквенных символов на компьютере и данных.

Микропроцессор — это то, что выполняет все инструкции от пользователей, эти инструкции должны быть на языке, понятном компьютеру. Двоичные системы идеально подходят для компьютера, так как не имеют большого количества символов для представления данных. Он имеет только два, 0 и 1 (называемые двоичными цифрами или битами ), 0 представляет состояние выключения, а 1 представляет состояние включения .Затем эти биты группируются вместе, чтобы представить важные для нас вещи.

Существует много типов систем счисления. Наиболее распространенной для нас является десятичная система счисления, известная как основание 10. Мы, люди, используем ее, десятичную систему счисления, но компьютеры используют в дополнение к десятичной системе счисления двоичную систему счисления, известную как основание 2, и шестнадцатеричную, известную как основание. 16 систем счисления.

Некоторые варианты использования различных систем счисления в компьютерах включают запись значений и инструкций в ЦП, которые выполняются двоичной системой.Шестнадцатеричные числа используются для определения ячеек памяти, для определения цветов HTML и CSS и для представления MAC-адресов, которые используются для уникальной идентификации вашего компьютера.

В этой статье мы рассмотрим двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Мы увидим, как выглядит каждая система счисления и как мы переводим десятичные числа в каждую систему счисления соответственно, что по сути является тем, что делает компьютер для представления данных в понятном нам виде.

Десятичное

Это числа, которые мы видим каждый день i.е. 1, 2, 3, 4, 5… Десятичная система счисления также известна как основание 10, вероятно, потому, что у людей 10 пальцев, и мы используем их для счета. База 10 включает числа от 0 до 9, а это означает, что любое число может быть представлено с помощью чисел от 0 до 9 . Все десятичные числа представляют собой комбинацию чисел от 0 до 9.

Если мы попробуем представить число 723 в десятичном виде, используя приведенную ниже таблицу, вы увидите, что нам нужно 7 сотен , 2 десятков и 3 единицы .0) .

Также следует отметить, что это число пишется слева направо, как мы обычно пишем числа и как будут записываться все другие представления системы счисления. В приведенном выше примере показана методология всех преобразований. Ниже мы увидим больше примеров.

Двоичный

Двоичная система счисления также известна как основание 2. В ней для представления используются 2 цифры, 0 и 1.

Представим числа 23 и 109 в двоичном формате.

1. Первый шаг — несколько раз разделить каждое число на 2 и принять к сведению остатки .

2.Как только вы это сделаете, вы напишете двоичный файл как все ваши остатки снизу вверх.

Итак, 23 в двоичном формате будет 10111 , а 109 — это 1101101 . Чтобы подтвердить это, мы можем использовать метод, который мы использовали выше с десятичными знаками.

(1 * 2 ⁰ ) + (1 * 2 ¹ ) + (1 * 2 ² ) + (0 * 2 ³ ) + (1 * 2 ⁴ ) = 23

(1 * 2 ⁰ ) + (0 * 2 ¹ ) + (1 * 2 ² ) + (1 * 2 ³ ) + (0 * 2 ⁴ ) + (1 * 2 ⁵ ) + (1 * 2 ⁶ ) = 109

Восьмеричный

Восьмеричная система счисления также известна как основание 8. Для представления используются числа от 0 до 7. Давайте попробуем представить 456 в восьмеричной системе. Методология точно такая же, как и в двоичной системе, за исключением того, что вместо деления на 2 вы будете делить на 8 .

456% 8 = 57 rem 0

57% 8 = 7 rem 1

7% 8 = 0 остатков 0

0% 8 = 0

456 в восьмеричном виде это 010 .

Шестнадцатеричный

Шестнадцатеричное число также известно как основание 16. Эта система счисления состоит из 16 символов, то есть от 0 до 9 и букв A — F . В шестнадцатеричном формате есть дополнительные символы, потому что иногда, когда вы делите десятичное число, которое вы пытаетесь преобразовать в шестнадцатеричное, вы получаете остаток, который больше, чем числа от 0 до 9. Когда это происходит, вы используете один из символов для представления числа остаток. A = 10 , B = 11 , C = 12 , D = 13 , E = 14 и F = 15 .

Представим тогда число 277 в шестнадцатеричном формате. Опять же, здесь также применяется метод, применяемый к двоичным и восьмеричным числам.

277% 16 = 17 rem 5

17% 16 = 1 ост. 1

1% 16 = 0 остатков 1

277 в шестнадцатеричном формате — это 115 . Мы можем подтвердить это, используя нашу таблицу ниже.

Давайте рассмотрим еще один пример, где у нас есть буквы в нашей шестнадцатеричной цифре: 423 .

423% 16 = 26 rem 7

26% 16 = 1 rem 10 (10 эквивалентно A)

1% 16 = 0 остатков 1

423 в шестнадцатеричном формате — это 1A7 .

Помимо чисел, компьютеры должны обрабатывать и понимать алфавит, знаки препинания, операторы и т. Д.Поскольку компьютеры понимают только числа, все эти другие символы имеют буквенно-цифровой код , который является числовым эквивалентом всех символов и алфавитов. Для такого перевода используются разные типы буквенно-цифровых кодов. Наиболее широко используется ASCII (Американский стандартный код для обмена информацией). Другие виды буквенно-цифровых кодов включают ISCII (Индийский стандартный код для обмена информацией), который был создан для поддержки языков в Индии.Другой — Unicode, который был создан для работы с любыми языками.

Системы счисления

Системы счисления

Структуры данных и системы счисления
© Авторские права Брайан Браун, 1984–1999. Все права
зарезервированный.

В этом учебном курсе используются расширения HTML 3.0

Введение

Система счисления определяет набор значений, используемых для представления
количество.Мы говорим о количестве людей, посещающих занятия,
количество модулей, взятых на одного студента, а также используйте числа для
представляют собой оценки, полученные учащимися на тестах.

Количественная оценка значений и предметов по отношению друг к другу является
помогает нам разобраться в окружающей среде. Мы делаем это в
ранний возраст; выясняя, есть ли у нас еще игрушки, с которыми можно поиграть, еще
подарки, еще леденцы и так далее.

Изучение систем счисления не ограничивается только компьютерами.Мы применяем числа каждый день, и зная, как работают числа, мы
дать нам представление о том, как компьютер манипулирует и хранит
числа.

Человечество на протяжении веков использовало знаки и символы для
представляют собой числа. Ранние формы были прямыми линиями или группами
линий, как в фильме Робинзон Крузо ,
где группа из шести вертикальных линий с диагональной линией поперек
представлена ​​одна неделя.

Сложно представить большие или очень маленькие числа с помощью
такой графический подход.Уже в 3400 г. до н.э. в Египте и в 3000 г. до н.э.
в Месопотамии они разработали символ, представляющий единицу 10.
Это было большим достижением, поскольку уменьшило количество
обязательные символы. Например, 12 можно представить как 10
и два юнита (три символа вместо 12, что требовалось
ранее).

Римляне изобрели систему счисления, которая могла представлять все
числа от 1 до 1000000 с использованием всего семи символов

• I = 1
• В = 5
• Х = 10
• L = 50
• С = 100
• D = 500
• M = 1000

Маленькая полоса над символом указывает на то, что номер
умножить на 1000.

В настоящее время наиболее часто используется система счисления на арабском языке
система. Впервые он был разработан индусами и использовался как
еще в 3 веке до нашей эры. Введение символа 0,
используется для обозначения позиционного значения цифр, было очень
важный. Таким образом, мы познакомились с концепцией групп
единиц, десятков единиц, сотен единиц, тысяч единиц и
скоро.

В системах счисления часто полезно думать о повторяющихся
устанавливает , где набор значений повторяется снова и снова.

В десятичной системе счисления имеет набор значений.
диапазон от 0 до 9. Этот базовый набор повторяется снова и снова.
над, создавая большие числа.

Обратите внимание, как повторяется набор значений от 0 до 9, и для каждого
повторить, столбец слева увеличивается (от 0 до 1, затем
2).

Каждое увеличение значения происходит до значения наибольшего
число в наборе (9), на этом этапе следующее значение
является наименьшим в наборе (0), и новое значение создается в
левый столбец (т. е. следующее значение после 9 — 10).

09, 10 - 19, 20 - 29, 30 - 39 и т. Д.

 

Мы всегда записываем цифру с наибольшим значением на
слева от номера

База
Значения
Базовое значение системы счисления — это количество различных
значения, которые имеет набор до повторения. Например, десятичный
имеет базу из десяти значений от 0 до 9.

• Двоичный = 2 (0, 1)
• Восьмеричное число = 8 (0-7)
• Десятичный = 10 (0-9)
• Двенадцатеричный = 12 (использовался для некоторых целей римлянами)
• Шестнадцатеричный = 16 (0-9, A-F)
• Vigesimal = 20 (используется майя)
• Шестидесятеричный = 60 (используется вавилонянами)

Взвешивание
Фактор
Весовой коэффициент — это значение множителя, применяемое к каждому
положение столбца номера.Например, десятичное число имеет
весовой коэффициент TEN в каждом столбце слева
указывает на увеличение значения умножения на 10 по сравнению с предыдущим
столбец справа, т.е. каждый столбец перемещается влево увеличивается
с коэффициентом умножения 10.

200 =
----- 0 * 10  0  = 0 * 1 = 0
------ 0 * 10  1  = 0 * 10 = 0
------- 2 * 10  2  = 2 * 100 = 200
-----
200 (суммируя)
-----

 

Рассмотрим еще один пример десятичного числа 312.

312 =
----- 2 * 10  0  = 2 * 1 = 2
------ 1 * 10  1  = 1 * 10 = 10
------- 3 * 10  2  = 3 * 100 = 300
-----
312 (суммируя)
-----

 

десятичный
Система счисления [Base-10]
В этой системе счисления используется ДЕСЯТЬ.
разные символы для представления значений.Установленные значения, используемые в
десятичный —

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 

, где 0 имеет наименьшее значение, а девять — наибольшее.
значение. Цифра или столбец слева имеет наибольшее значение,
в то время как цифра справа имеет наименьшее значение.

Если при вычислении высшая цифра (9)
превышено, происходит перенос, который переносится в следующий столбец
(Слева).

  Пример добавления и превышения диапазона базовой настройки 

8 + 4

8
9 +1
10 +2 Примечание 1:
11 +3
12 +4

Примечание 1: при превышении 9 мы возвращаемся к началу набора (0),
и перенесите значение 1 в следующий столбец слева. Другой пример добавления и превышения диапазона базовой установки 

198 + 4

198
199 +1
200 +2 Примечание 2:
201 +3
202 +4

Примечание 2: при превышении 9 мы возвращаемся к началу набора (0),
и перенесите значение 1 в следующий столбец слева. Таким образом
в средний столбец (9) добавлен 1, следующее значение в наборе - 0, и
мы переносим 1 (потому что набор был превышен) в следующий левый столбец.Добавление
значение переноса от 1 до 1 в крайнем левом столбце дает.


 

Позиционные значения [единицы, десятки, сотни, тысячи и т. Д.
Колонны]
Наверное, в школе нас учили позиционным ценностям,
столбцы представляют степень 10. Это выражается нам как
столбцы единиц (0-9), десятков (группы по 10), сотен (группы
100) и так далее.

 237 = (2 группы по 100) + (3 группы по 10) + (7 групп по 1)
= (100 + 100) + (10 + 10 + 10) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= (200) + (30) + (7)
= 237

 

Каждый столбец, перемещаемый влево, в 10 раз превышает предыдущее значение.

двоичный
Система счисления [База-2]
В двоичной системе счисления используются ДВА
значения для представления чисел. Значения:

, где 0 имеет наименьшее значение, а 1 — наибольшее.
значение. Столбцы используются так же, как и в
десятичная система, в которой крайний левый
столбец используется для представления наибольшего значения.

Как мы видели в десятичной системе счисления,
значения в наборе (0 и 1) повторяются как по вертикали, так и по
горизонтальные направления.

0
1
10 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
11
100 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
101
110 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
111

 

. В компьютере двоичная переменная, способная хранить двоичные данные.
значение (0 или 1) называется BIT.

В десятичной системе столбцы представляют умножение.
значения 10.Это произошло потому, что было 10 значений (0–9) в
набор. В этой двоичной системе всего два значения (0 — 1)
в наборе, поэтому столбцы представляют собой значения умножения 2.

1011 =
---- 1 * 2  0  = 1
----- 1 * 2  1  = 2
------ 0 * 2  2  = 0
------- 1 * 2  3  = 8
----
11 (в десятичной системе)



 

Числовые диапазоны в двоичном формате с использованием указанного количества бит
Сколько разных значений может быть представлено определенным числом
бит?

количество различных значений = 2  n 

где  n  - количество бит

например.2  8 
= 256 разных значений

 

Правила сложения двоичных файлов

1011 + 101 =
1011
101

1.Начните с самого правого столбца и примените правила.
2. 1 + 1 равно 0 и переносит 1 в следующий столбец слева.

1011
101
------
0 и нести 1

что действительно похоже

1011
111
------
0

3. Теперь займитесь вторым столбцом.
4. 1 + 1 равно 0, перенесите 1 в следующий столбец слева.

1011
111
------
00 и нести 1

что действительно похоже

1011
111
1
------
00

5.Теперь сделайте третий столбец
6. 1 + 1 равно 0, перенесите 1 в следующий столбец слева.

1011
111
1
------
000 и нести 1

что действительно похоже

1011
111
1
------
000

7. Теперь займитесь последней колонкой слева.
8. 1 + 1 равно 0 и переносится 1 слева.

1011
101
------
10000

 

Правила двоичного вычитания

Правила двоичного умножения

Примеры задач для двоичного сложения
и вычитание

Преобразование
Десятичное в двоичное
Существует несколько способов преобразования между десятичным и двоичным числами.Начнем с преобразования десятичного значения 254 в
двоичный.

Метод 1: Разделите число на 2, а затем разделите то, что
осталось на 2 и так далее, пока ничего не останется (0). Записывать
остаток (который равен 0 или 1) на каждом этапе деления.
Как только делений больше нет, перечислите оставшиеся значения в
обратный порядок. Это двоичный эквивалент.

254/2, что дает 127 с остатком 0
127/2, что дает 63 с остатком 1
63/2 получается 31 с остатком 1
31/2 получается 15 с остатком 1
15/2 получается 7 с остатком 1
7/2 дает 3 с остатком 1
3/2 дает 1 с остатком 1
1/2 дает 0 с остатком 1

таким образом, двоичный эквивалент  11111110 

 Другой пример, 132 десятичное число 
132/2, что дает 66 с остатком 0
66/2, что дает 33 с остатком 0
33/2, что дает 16 с остатком 1
16/2 - 8 с остатком 0
8/2 - 4 с остатком 0
4/2 дает 2 с остатком 0
2/2 дает 1 с остатком 0
1/2 дает 0 с остатком 1

таким образом, двоичный эквивалент  10000100 

 

Метод 2: Каждый столбец представляет степень двойки, поэтому используйте
это как основа для расчета числа.Иногда бывает
называется подходом 8: 4: 2: 1.
Запишите двоичное число. Где 1 появляется в
столбца, добавьте значение столбца как степень двойки к итоговому значению.

Примеры задач для преобразования десятичных чисел в двоичные
Преобразование

Двоичные числа — это

• громоздко записывать
• длинный
• не имеет большого значения для обычного пользователя
• понимаются компьютерами

O кталл
Система счисления [База-8]
В восьмеричной системе счисления используется ВОСЕМЬ
значения для представления чисел.Значения:

 0 1 2 3 4 5 6 7
 

, где 0 имеет наименьшее значение, а семь — наибольшее.
значение. Столбцы используются так же, как и в десятичной системе, в этом крайнем левом столбце
используется для представления наибольшего значения.

Как мы видели в десятичной системе счисления,
значения в наборе (0 и 1) повторяются как по вертикали, так и по
горизонтальные направления.

0-7, 10-17, 20-27, 30-37......

 

Задача: Преобразовать восьмеричное число 176 в десятичное.

Каждый столбец представляет степень 8,

176 =
---- 6 * 8  0  = 6
----- 7 * 8  1  = 56
------ 1 * 8  2  = 64
----
126

 

Octal широко использовался в ранних мэйнфреймах.
системы.

Шестнадцатеричный
Система счисления [Base-16]
В шестнадцатеричной системе счисления используется ШЕСТНАДЦАТЬ.
значения для представления чисел.Значения:

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А Б В Г Д Е Ф
 

, где 0 имеет наименьшее значение, а F — наибольшее значение.
Столбцы используются так же, как и в десятичной системе счисления.
система, в которой крайний левый столбец используется для представления
наибольшая ценность.

Как мы видели в десятичной системе счисления,
значения в наборе (0 и 1) повторяются как по вертикали, так и по
горизонтальные направления.

0 - F, 10 - 1 этаж, 20 - 2 этаж, 30 - 3 этаж......

 

Шестнадцатеричный формат часто используется для представления значений [числа и
адреса памяти] в компьютерных системах.

Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное
Задача: Преобразование 176 из шестнадцатеричного числа в десятичное.

Каждый столбец представляет степень 16,

176 =
---- 6 * 16  0  = 6
----- 7 * 16  1  = 112
------ 1 * 16  2  = 256
----
374

 

Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное
Проблема: Преобразование 10110 в шестнадцатеричное.

Каждая шестнадцатеричная цифра представляет 4 двоичных бита. Разделить двоичное число
на группы по 4 бита, начиная справа.1 0110
= 1 = 6
= 16 в шестнадцатеричной системе счисления

 

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное
Задача: Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное число.

Используйте тот же метод, который использовался ранее, чтобы разделить десятичную дробь на
двоичный, но разделить на 16.

232/16 = 14 с остатком  8 
14/16 = 0 с остатком  E  (14 в десятичной системе = E)

=  E8    16   

Во избежание путаницы мы часто добавляем
суффикс для обозначения основания номера

162  h  h означает шестнадцатеричный
162  16  16 означает основание 16

162  d  d означает десятичное
162  10  10 означает основание 10

162  o  o означает восьмеричное
162  8  8 означает базу 8

101  b  b означает двоичный
101  2  2 означает основание 2

 

Примеры задач для шестнадцатеричной системы
Преобразование

Представляя положительные и
отрицательные числа в двоичном формате
Когда для хранения значений используется определенное количество битов, наиболее
значащий бит [бит с наибольшим значением в
крайний левый столбец] используется для хранения знака [положительный или
отрицательный] числа.Остальные биты содержат фактические
значение.

Если число отрицательное, знак будет 1 , а для
положительные числа, знак 0 .

Вопрос: Что такое
диапазон чисел, доступных при использовании 8 бит.

Для 8 бит один бит предназначен для знака, 7 - для числа, поэтому диапазон значений равен

2  7  = 127 комбинаций

 

Из-за проблем с сложением и вычитанием отрицательный
числа обычно хранятся в формате, отличном от положительного
числа.

Дополнительная информация
о представлении чисел

Единицы Дополнение
Дополнение 1 — это метод хранения отрицательных значений. Это просто
инвертирует все 0 в 1 и все 1 в 0.

Дополнение до двоек
Дополнение до 2 — это еще один метод хранения отрицательных значений.Это
получается добавлением 1 к значению дополнения 1.

Другой способ создания дополнительного числа до 2 — начать
наименьший значащий бит и скопируйте все 0 до
достигается первая 1.Скопируйте первую 1, затем инвертируйте все
оставшиеся биты.

В следующей таблице показаны как единицы, так и двойки.
дополнить, используя диапазон 4 бита.

Примечание: Посмотрите, как в случае дополнения до 1
есть два представления для 0

Серый Код
Это циклический взвешенный код .Это значит, что он устроен так
что каждый переход от одного значения к следующему включает
только изменение одного бита .

Код Грея иногда называют отраженным двоичным кодом ,
потому что первые восемь значений сравниваются с последними 8
значения, но в обратном порядке.

Код Грея часто используется в механических приложениях, таких как
энкодеры вала.

Арифметика по модулю 2
Это двоичное сложение, но перенос игнорируется.

Преобразование серого в двоичное

1. запишите число серым кодом
2. старший бит двоичного числа является самым старшим
   значащий бит кода Грея
3. добавить (по модулю 2) следующий значащий бит
   двоичное число до следующего значащего бита серого
   закодированное число для получения следующего двоичного бита
4. повторяйте шаг 3, пока все биты серого закодированного числа не будут
   добавлено по модулю 2
5. результирующее число является двоичным эквивалентом серого
   число

 Пример, преобразование 1101101 кода Грея в двоичный 

Серый двоичный
1.1101101
2.  1  101101 1 копия вниз MSB
3. 1  1  1101  1  0 1 по модулю 2 1 = 0
4. 11  0  1101 1  0  0 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 110  1 101 10  0  1 0 по модулю 2 1 = 1
3/4 1101  1  01100  1  0 1 по модулю 2 1 = 0
3/4 11011  0  1 1001  0  0 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 110110  1  10010  0  1 0 по модулю 2 1 = 1

Ответ: 1001001

 

Преобразование двоичного изображения в серый

1. запишите число в двоичном коде
2. старший бит серого числа является самым старшим
   значащий бит двоичного кода
3. добавить (по модулю 2) следующий значащий бит
   двоичное число до следующего значащего бита двоичного
   число для получения следующего бита с кодом серого
4. повторяйте шаг 3 до тех пор, пока все биты двоичного числа не закодированы.
   были добавлены по модулю 2
5. , результирующее число является серым эквивалентом
   двоичное число

 Пример преобразования двоичного кода 1001001 в код Грея 

Бинарный серый
1.1001001
2.  1  001001 1 копировать вниз MSB
3.  10  01001 11 1 по модулю 2 0 = 1
4. 1  00  1001110 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 10  01 001 1101 0 по модулю 2 1 = 1
3/4 100  10  01 11011 1 по модулю 2 0 = 1
3/4 1001  00  1 110110 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 10010  01  1101101 0 по модулю 2 1 = 1

Ответ 1101101

 

Превышение 3 Серый код
Во многих приложениях желательно иметь код, который является двоично-десятичным кодом, а также единицей расстояния.Установка
код расстояния получил свое название от того факта, что существует
изменение только одного бита между двумя последовательными числами. Превышение 3
Код Грея является таким кодом, значения для нуля и девяти различаются
только 1 бит, как и все значения для последовательных чисел.

Выходы линейных устройств или угловых энкодеров могут кодироваться
более 3 кодов Грея для получения многозначных чисел BCD.

Главная |
Другие курсы |
Обратная связь |
Примечания |
Тесты

© Copyright B Brown / Peter Henry.1984–1999 годы.
Все права защищены.

Системы счисления в компьютере — DataFlair

Система счисления — это то, что мы используем каждый день для выполнения наших задач и повседневных дел. Для этого у нас есть система с уникальными символами и конкретными значениями. Эта система становится тем, что мы называем системой счисления, помогающей нам все рассчитывать.

Основными характеристиками системы счисления являются — уникальные символы, последовательность, сопоставимые результаты значений и простота воспроизведения.Десятичная система остается самой базовой системой, используемой людьми, с базовой степенью 10, но то же самое нельзя сказать и о машинах.

Машины интерпретируют числа иначе, чем люди, поэтому для этого нужна совершенно другая система. Когда мы что-то печатаем на устройстве, эти буквы преобразуются в определенные числа, понятные только компьютеру. Позиционная система счисления — это то, что нужно устройству, где есть цифры и разные значения, составляющие целое число. Каждая цифра имеет свое уникальное положение и символ.Значение каждой цифры может быть определено: цифрой, положением цифры в числе и основанием числа.

Компьютер поддерживает четыре системы счисления. Их —

1. двоичный
2. восьмеричное
3. Десятичное
4. Шестнадцатеричный

1. Десятичная система счисления

Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, которую мы используем в повседневной жизни. В этой системе счисления всего 10 цифр, так как в ней используются числа от 0 до 9. Все цифры имеют свое собственное разрядное значение в соответствии с их положением.

При каждом движении справа налево числовое значение увеличивается на 10. Позиция слева от десятичной дроби соответствует десяткам, сотням, тысячам и т. Д. Единицам.

Например — Десятичное число 4567 состоит из 7 в позиции единицы, 6 в позиции десятков, 2 в позиции сотен и 1 в позиции тысяч.

(4 x 1000) + (5 x 100) + (6 x 10) + (7 x l)
4000 + 500 + 60 + 7
4567

2. Двоичная система счисления

Самая основная единица хранения в устройстве представлена ​​битом. Компьютер использует бит для отображения любой информации. Транзисторы — важная часть компьютерной системы, позволяющая току течь в устройстве.Он может быть включен или выключен.

Каждое число, которое мы видим на компьютере, представляет собой электрический сигнал, который ранее был представлен включением и выключением, создающим двоичный переключатель. Включенное и выключенное состояние использует 1 и 0 для представления ситуации, когда двоичная система счисления становится основанием 2.

Только эти два символа представляют каждое число. 0 для более низкой скорости, а 1 для более высокой скорости. Числа здесь не как отдельные единицы, а состоят из групп единиц и нулей. Каждая двоичная цифра представляет собой бит, а значения разряда представляют собой возрастающие степени двойки слева направо.Наименее значимый бит находится справа, а старший разряд — слева. Например — 11010

При преобразовании в десятичную систему —
= 11010
= 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20
= 16 + 8 + 0 + 2 + 0
= 2610

Таблица преобразования долота —

• 1 байт (B) = 8 бит
• 1 килобайт (КБ) = 1024 байта
• 1 мегабайт (МБ) = 1024 КБ
• 1 гигабайт (ГБ) = 1024 МБ
• 1 терабайт (ТБ) = 1024 ГБ
• 1 эксабайт (ЭБ) = 1024 ПБ
• 1 зеттабайт = 1024 EB
• 1 йоттабайт (YB) = 1024 ZB

Преобразовать десятичное в двоичное

1. Разделите десятичное число на 2
2. Оставить целое частное для следующей итерации
3. Оставить остаток для двоичной цифры
4. Повторяйте эти шаги, пока не получите 0 в качестве частного

Пример —

3.Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления, как следует из названия, есть основание из восьми чисел. Используемые цифры — 0,1,2,3,4,5,6,7. Каждая позиция восьмеричного числа имеет нулевую степень основания.

Последняя цифра восьмеричного числа имеет степень x основания. Эта система счисления не очень распространена и используется в основном, когда количество битов кратно 3. Система UNIX и числа UTF8 используют ее как сокращение для представления файлов.

Целью разработки этой системы было сделать двоичный файл более компактным.Он объединяет двоичные цифры в группу из трех вместо четырех. Основная восьмерка происходит только от десятичной системы счисления. Например — 125708
При переводе в десятичную систему —

125708
= ((1 x 84) + (2 x 83) + (5 x 82) + (7 x 81) + (0 x 80)) 10
= (4096 + 1024 + 320 + 56 + 0) 10
= 549610

Конвертировать двоичное в восьмеричное

1. Первый шаг — сгруппировать двоичные цифры в набор из 3 цифр.
2. Умножьте каждую группу, добавив нули, чтобы она делилась на 3.
3. Напишите восьмеричный символ для каждой группы внизу.
4. Это даст вам восьмеричное число, полученное из двоичного числа.
5. Если поменять местами последние два шага, вместо восьмеричного будет получено двоичное число.

Пример — 1010111100
= (1010111100) 2
= (001010 111 100) 2
= (1 2 7 4) 8
= (1274) 8

4. Шестнадцатеричная система счисления

Компьютеры легко понимают двоичную систему счисления, и это не относится к людям.Особенно при работе с большим числом только двоичные файлы становятся более подверженными ошибкам и ошибкам.

Чтобы решить эту проблему, в шестнадцатеричной системе счисления двоичные числа были объединены в группу из четырех битов. Это компактный подход к представлению чисел на компьютере, поскольку для него требуется всего 4 бита. Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16, что означает, что в ней всего 16 символов.

В этой системе 10 чисел десятичной системы и A, B, C, D, E и F в качестве дополнительных символов.Эти буквы просто представляют числа, которые идут после 10. Каждое разрядное значение в числе обозначает степень основания 0, в то время как последние цифры имеют степень z основания. Например — 27FB

При переводе в десятичную систему —

27FB × 16 = 2 × 16 3 + 7 × 16 2 + 15 × 16 1 + 10 × 16

= 8192 + 1792 + 240 +10

= 1023410

Преобразовать двоичное в шестнадцатеричное

1. Первый шаг — сгруппировать двоичные цифры в набор из 4 цифр.
2. И затем каждый квартет заменяется шестнадцатеричным представлением.
3. Это даст вам шестнадцатеричное число, полученное из двоичного числа.

Пример — 1010101101001

= (1010101101001) 2
= (1 0101 0110 1001) 2
= (0001 0101 0110 1001) 2
= (1 5 6 9) 16
= (1569) 16

Взаимосвязь между системой номеров

ASCII

Алфавиты, знаки препинания, символы и т. Д. Также являются важной частью компьютерного языка, с которым ему нужно работать.Набор английского языка, который использует компьютер, имеет буквенно-цифровые коды, числовой эквивалент каждого алфавита, который включает —

• 26 заглавных букв
• 26 строчных букв
• 10 цифр
• 7 знаков препинания
• От 20 до 40 специальных символов

Американский стандартный код для обмена информацией (ASCII) — это общий цифровой код, используемый во всем мире и имеющий 128 возможных кодов.

Код ASCII

ISCII

Индийский сценарий обмена информацией предназначен для поддержки индийских языков на устройствах, включая деванагари, тамильский, бангла, телугу и т. Д.Правительство было наиболее частым пользователем этого языка, но вскоре Unicode заменил его.

Юникод

Международная система кодирования с разными языковыми сценариями — Unicode. Для каждого символа существует уникальное числовое значение, и каждый скрипт также имеет систему кодирования. Идея состоит в том, чтобы гарантировать, что для каждого символа на каждом языке существует уникальный номер.

Заключение

Система счисления является неотъемлемой частью компьютерных технологий, позволяя компьютерам выполнять все функции всего за несколько секунд.

В

«Компьютерные способности для начинающих» эта тема является частью основных принципов, которые появляются на многих конкурсных экзаменах в Индии. Такие экзамены, как Bank PO, экзамены IBPS, экзамены SBI и железнодорожные экзамены, включают в себя компьютерные навыки как часть их учебной программы. Это делает очень важным, чтобы все кандидаты внимательно прочитали тему.

Система счисления

и преобразование базы

Электронные и цифровые системы

могут использовать множество различных систем счисления (например, десятичную, шестнадцатеричную, восьмеричную, двоичную).

Число N в основании или системе счисления b можно записать как:

 (N)  b  = d  n-1  d  n-2  - - - - d  1  d  0 . d -1  d -2  - - - - d  -m  

В приведенном выше примере d _n-1 до d ₀ — это целая часть, затем следует точка счисления , а затем от d _-1 до d _-m — дробная часть.

d _n-1 = Старший бит (MSB)
d _-m = Младший бит (LSB)

Как преобразовать число из одного основания в другое?

Следуйте примерам иллюстраций:

1.Десятичное в двоичное

(10,25) ₁₀

Примечание: Продолжайте умножать дробную часть на 2, пока не будет получена десятичная часть 0,00.
(0,25) ₁₀ = (0,01) ₂

Ответ: (10,25) ₁₀ = (1010,01) ₂

2. Двоичное в десятичное

 (1010,01)  2 
1x2  3  + 0x2  2  + 1x2  1  + 0x2  0  + 0x2 -1  + 1x2 -2  = 8 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0.25 = 10,25
(1010,01)  2  = (10,25)  10  

3. Десятичное в восьмеричное

 (10,25)  10 
(10)  10  = (12)  8 
Дробная часть:
0,25 x 8 = 2,00 

Примечание: Продолжайте умножать дробную часть на 8, пока не будет получена десятичная часть .00.
(0,25) ₁₀ = (0,2) ₈

Ответ: (10,25) ₁₀ = (12,2) ₈

4. Восьмеричное в десятичное

 (12.2)  8 
1 x 8  1  + 2 x 8  0  +2 x 8 -1  = 8 + 2 + 0,25 = 10,25
(12.2)  8  = (10.25)  10  

5. Шестнадцатеричное в двоичное

Для преобразования из шестнадцатеричного в двоичное запишите 4-битный двоичный эквивалент шестнадцатеричного.

(3A) ₁₆ = (00111010) ₂

6. Двоичное в шестнадцатеричное

Чтобы преобразовать двоичное в шестнадцатеричное, начните сгруппировать биты в группы по 4 с правого конца и запишите эквивалентный шестнадцатеричный для 4-битного двоичного файла.Добавьте дополнительные 0 слева, чтобы настроить группы.

 1111011011
  0011   1101   1011 
(001111011011)  2  = (3DB)  16  

Автор статьи: Kriti Kushwaha .

Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или если вы хотите поделиться дополнительной информацией по теме, обсуждаемой выше.

Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас. Освойте все важные концепции DSA с помощью самостоятельного курса DSA Self Paced Course по приемлемой для студентов цене и будьте готовы к работе в отрасли.Чтобы завершить подготовку от изучения языка к DS Algo и многому другому, см. Полный курс подготовки к собеседованию .

Если вы хотите посетить живые классы с экспертами, обратитесь к DSA Live Classes для работающих профессионалов и Конкурсное программирование в прямом эфире для студентов .

страница не найдена — Williams College

4 Основные типы систем счисления

Эта статья проливает свет на четыре основных типа систем счисления.Типы: 1. Десятичная система 2. Двоичная система 3. Восьмеричная система 4. Шестнадцатеричная система.

Тип # 1. Десятичная система :

В десятичной системе основание (или основание) равно 10, так как любая позиция может содержать одну из десяти цифр, см. (3) выше. Таким образом, система имеет коэффициент передачи 10, и каждая цифра указывает значение, которое зависит, например, от занимаемой позиции;

В 6421 цифра 6 означает 6 x 1000

В 4621 цифра 6 означает 6 x 100

В 4261 цифра 6 означает 6 x 10

, а в 4216 цифра 6 означает 6

В десятичной системе используется десять цифры для записи номера.Десять цифр — это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, и любое число (используемое) основано на степени 10.

Например, 5281 состоит из:

(5 x 10 ³ ) + (2 x 10 ² ) + (8 x 10 ¹ ) + (1 x 10 ⁰ )

= 5000 + 200 + 80 + 1 = 5281.

Тип # 2. Двоичная система:

В то время как десятичная система использует десять цифр для записи числа, двоичная система использует только две цифры (для записи числа), то есть 0 и 1, а его основание — 2 (тогда как десятичная система счисления — 10).Хотя в повседневной жизни люди обычно используют десятичную систему счисления для счета, в компьютере удобнее использовать двоичную систему счисления, потому что электронные компоненты обычно находятся в одном из двух состояний, которые могут использоваться для обозначения 0 и 1, т.е. две цифры в двоичной системе счисления.

Для дальнейшего уточнения:

Компьютер не имеет большого количества символов для представления данных. Он имеет только два, 0 и 1 (называемые двоичными цифрами или битами). Они соответствуют двум электронным или магнитным состояниям, используемым в компьютерных схемах и накопителях.

Например, если в компьютере используется перфорированная бумажная лента, отверстие в ленте может позволить установить электрический контакт (ВКЛ.), А отсутствие отверстия на ленте не позволяет установить электрический контакт (ВЫКЛ.) . Следовательно, дыра может представлять 1, а никакая дыра не может представлять 0. Двоичная система более компактна, чем десятичная система кодирования, поскольку последняя потребует большого размера носителя информации и относительной сложности считывающего устройства.

Ниже приведена таблица построения двоичных чисел:

Преобразование десятичного числа в двоичный эквивалент:

(a) Пусть десятичное число будет 217.

Чтобы найти двоичный эквивалент, выполните следующие действия:

Начните двоичное число с последней цифры. Следовательно, двоичный эквивалент 217 — 11011001.

(b) Преобразуйте 0,8125 в двоичное число.

(c) Преобразование десятичного числа 217,8125 в двоичное

Из приведенных выше (a) и (b) =

Тип # 3. Восьмеричная система :

Восьмеричная система (основание 8) и шестнадцатеричная система (основание 16) важны, потому что их можно использовать как сокращение для двоичных чисел.Это связано с тем, что три двоичные цифры могут быть представлены числами от 0 до 7, т. Е. Восьмеричным диапазоном, а четыре двоичные цифры могут быть представлены числами от 0 до 9 и от A до F.

(a ) Преобразование восьмеричного числа в десятичный эквивалент

Пусть восьмеричное число будет (235) ₈

Следовательно (235) ₈ = (157) ₁₀

(b) Преобразование десятичного числа в восьмеричный эквивалент

Пусть десятичное число будет 692.625

(c) Преобразование (413.2) ₈ в десятичный эквивалент

Тип # 4. Шестнадцатеричная система :

Шестнадцатеричная система имеет основание 16 и цифры 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и буквы A, B, C, D, E, F. Буквы A, B, C, D, E и F представляют десятичные числа 10, 11, 12, 13, 14 и 15 соответственно.

(a) Преобразование десятичного числа (259,8125) ₁₀ в шестнадцатеричную форму

(b) Преобразование шестнадцатеричного числа B2F.