Математические функции с: Математические функции в языке Си.

Математические функции — ADO.NET | Microsoft Docs

• 
  03/30/2017
• Чтение занимает 2 мин

В этой статье

Поставщик данных для SQL Server платформы .NET Framework (SqlClient) предоставляет математические функции, производящие вычисления на входящих значениях, предоставляемых в качестве аргументов, и возвращающие результат в виде числовых значений. Эти функции находятся в пространстве имен SqlServer, которое доступно при использовании SqlClient. Свойство пространства имен поставщика позволяет платформе Entity Framework узнать, какой префикс используется поставщиком для конкретных конструкций, таких как типы или функции. В следующей таблице описаны математические функции SqlClient.

ABS (выражение)

Возвращает абсолютное значение.

Аргументы

expression: значение типа Int32, Int64, Double или Decimal.

Возвращаемое значение

Абсолютное значение заданного выражения.

Пример

SqlServer.ABS(-2)

ACOS (выражение)

Возвращает значение арккосинуса указанного выражения.

Аргументы

expression — значение в формате Double.

Возвращаемое значение

Объект Double.

Пример

SqlServer.ACOS(.9)

ASIN (выражение)

Возвращает значение арксинуса указанного выражения.

Аргументы

expression — значение в формате Double.

Возвращаемое значение

Объект Double.

Пример

SqlServer.ASIN(.9)

ATAN (выражение)

Возвращает значение арктангенса указанного числового выражения.

Аргументы

expression — значение в формате Double.

Возвращаемое значение

Объект Double.

Пример

SqlServer.ATAN(9)

ATN2 (выражение, выражение)

Возвращает угол в радианах, тангенс которого находится в диапазоне между двумя заданными числовыми выражениями.

Аргументы

expression — значение в формате Double.

Возвращаемое значение

Объект Double.

Пример

SqlServer.ATN2(9, 8)

CEILING (выражение)

Преобразует указанное выражение в наименьшее целое число, большее или равное данному выражению.

Аргументы

expression: значение типа Int32, Int64, Double или Decimal.

Возвращаемое значение

Int32,, Int64 Double Или Decimal .

Пример

SELECT VALUE product 
FROM AdventureWorksEntities.Products AS product 
WHERE product.ListPrice == 
SqlServer.CEILING(product.ListPrice) 

COS (выражение)

Вычисляет тригонометрический косинус указанного угла в радианах.

Аргументы

expression — значение в формате Double.

Возвращаемое значение

Объект Double.

Пример

SqlServer.COS(45)

COT (выражение)

Вычисляет тригонометрический котангенс указанного угла в радианах.

Аргументы

expression — значение в формате Double.

Возвращаемое значение

Объект Double.

Пример

SqlServer.COT(60)

ГРАДУСы (радианы)

Возвращает соответствующее значение угла в градусах.

Аргументы

expression: значение типа Int32, Int64, Double или Decimal.

Возвращаемое значение

Int32,, Int64 Double Или Decimal .

Пример

SqlServer.DEGREES(3.1)

EXP (выражение)

Вычисляет экспоненту заданного числового выражения.

Аргументы

expression — значение в формате Double.

Возвращаемое значение

Объект Double.

ПримерSqlServer.EXP(1)

FLOOR (выражение)

Преобразует указанное выражение в наибольшее целое число, меньшее или равное данному выражению.

Аргументы

expression — значение в формате Double.

Возвращаемое значение

Объект Double.

Пример

SELECT VALUE product 
FROM AdventureWorksEntities.Products AS product 
WHERE product.ListPrice == 
SqlServer.FLOOR(product.ListPrice) 

LOG (выражение)

Вычисляет натуральный логарифм заданного выражения типа float.

Аргументы

expression — значение в формате Double.

Возвращаемое значение

Объект Double.

Пример

SqlServer.LOG(100)

LOG10 (выражение)

Возвращает десятичный логарифм указанного выражения типа Double.

Аргументы

expression — значение в формате Double.

Возвращаемое значение

Объект Double.

Пример

SqlServer.LOG10(100)

PI ()

Возвращает константу «пи» в виде значения типа Double.

Возвращаемое значение

Объект Double.

Пример

SqlServer.PI()

МОЩНОСТЬ (numeric_expression, power_expression)

Вычисляет значение указанного выражения, возведенного в заданную степень.

Аргументы

Возвращаемое значение

Значение заданного выражения numeric_expression в указанной степени power_expression.

Пример

SqlServer.POWER(2,7)

РАДИАНы (выражение)

Преобразует градусы в радианы.

Аргументы

expression: значение типа Int32, Int64, Double или Decimal.

Возвращаемое значение

Int32,, Int64 Double Или Decimal .

Пример

SqlServer.RADIANS(360.0)

RAND ([начальное значение])

Возвращает случайное значение от 0 до 1.

Аргументы

Начальное значение в виде Int32 . Если начальное значение не задано, то компонент SQL Server Database Engine присваивает случайно выбранное начальное значение. Для указанного начального значения возвращаемый результат всегда будет один и тот же.

Возвращаемое значение

Случайное значение типа Double от 0 до 1.

Пример

SqlServer.RAND()

ROUND (numeric_expression, длина [, функция])

Возвращает числовое выражение, округленное до указанной длины или точности.

Аргументы

Возвращаемое значение

Значение заданного выражения numeric_expression в указанной степени power_expression.

Пример

SqlServer.ROUND(748.58, -3)

SIGN (выражение)

Возвращает положительное (+1), нулевое (0) или отрицательное (-1) значение, обозначающее знак заданного выражения.

Аргументы

expression: Int32, Int64, Double или Decimal

Возвращаемое значение

Int32,, Int64 Double Или Decimal .

Пример

SqlServer.SIGN(-10)

SIN (выражение)

Вычисляет тригонометрический синус заданного угла в радианах и возвращает выражение типа Double.

Аргументы

expression — значение в формате Double.

Возвращаемое значение

Объект Double.

ПримерSqlServer.SIN(20)

SQRT (выражение)

Возвращает квадратный корень указанного выражения.

Аргументы

expression — значение в формате Double.

Возвращаемое значение

Объект Double.

ПримерSqlServer.SQRT(3600)

SQUARE (выражение)

Возвращает значение указанного выражения в квадрате.

Аргументы

expression — значение в формате Double.

Возвращаемое значение

Объект Double.

Пример

SqlServer.SQUARE(25)

TAN (выражение)

Вычисляет тангенс заданного выражения.

Аргументы

expression: Double

Возвращаемое значение

Double

Пример

SqlServer.TAN(45.0)

См. также

Математические функции Excel, которые необходимо знать

В категории математические и тригонометрические представлено около 80 самых различных функций Excel, начиная от незаменимых суммирования и округления, и заканчивая мало кому известным рядом тригонометрических функций. В рамках данного урока мы проведем обзор только самых полезных математических функций Excel.

Про математические функции СУММ и СУММЕСЛИ Вы можете прочитать в этом уроке.

ОКРУГЛ()

Математическая функция ОКРУГЛ позволяет округлять значение до требуемого количества десятичных знаков. Количество десятичных знаков Вы можете указать во втором аргументе. На рисунке ниже формула округляет значение до одного десятичного знака:

Если второй аргумент равен нулю, то функция округляет значение до ближайшего целого:

Второй аргумент может быть и отрицательным, в таком случае значение округляется до требуемого знака перед запятой:

Такое число как 231,5 функция ОКРУГЛ округляет в сторону удаления от нуля:

Если необходимо округлить число в сторону большего или меньшего по модулю значения, можно воспользоваться функциями ОКРУГЛВВЕРХ и ОКРУГЛВНИЗ.

ПРОИЗВЕД()

Математическая функция ПРОИЗВЕД вычисляет произведение всех своих аргументов.

Мы не будем подробно разбирать данную функцию, поскольку она очень похожа на функцию СУММ, разница лишь в назначении, одна суммирует, вторая перемножает. Более подробно о СУММ Вы можете прочитать в статье Суммирование в Excel, используя функции СУММ и СУММЕСЛИ.

ABS()

Математическая функция ABS возвращает абсолютную величину числа, т.е. его модуль.

Функция ABS может быть полезна при вычислении количества дней между двумя датами, когда нет возможности определить какая дата начальная, а какая конечная.

На рисунке ниже в столбцах A и B представлены даты, причем какая из них начальная, а какая конечная неизвестно. Требуется посчитать количество дней между этими датами. Если просто вычесть из одной даты другую, то количество дней может оказаться отрицательным, что не совсем правильно:

Чтобы избежать этого, воспользуемся функцией ABS:

Нажав Enter, получим правильное количество дней:

КОРЕНЬ()

Возвращает квадратный корень из числа. Число должно быть неотрицательным.

Извлечь квадратный корень в Excel можно и с помощью оператора возведения в степень:

СТЕПЕНЬ()

Позволяет возвести число в заданную степень.

В Excel, помимо этой математической функции, можно использовать оператор возведения в степень:

СЛУЧМЕЖДУ()

Возвращает случайное число, находящееся между двумя значениями, заданными в качестве аргументов. При каждом пересчете листа значения обновляются.

Хоть математических функций в Excel достаточно много, реальную ценность из них представляют лишь единицы. Нет никакого смысла изучать сразу все, поскольку многие могут даже не пригодиться. Математические функции, описанные в этом уроке, – тот самый минимум, который обеспечит уверенную работу в Excel и не перегрузит Вашу память лишней информацией. Удачи Вам и успехов в изучении Excel!

Оцените качество статьи. Нам важно ваше мнение:

Функции и графики — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Координаты и базовые понятия о функциях

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

График линейной функции

К оглавлению…

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону — слева направо):

График квадратичной функции (Парабола)

К оглавлению…

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x₁; 0) и (x₂; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x₀; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

• если коэффициент a > 0, в функции y = ax² + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
• если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p — на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q — на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

Графики других функций

К оглавлению…

Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота — это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x| выглядит следующим образом:

Графики периодических (тригонометрических) функций

К оглавлению…

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:

где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T₁, который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций — это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Математические функции | NumPy

Большинство математических функций NumPy являются универсальными, т.е. поддерживают множество параметров, которые позволяют оптимизировать их работу в зависимости от специфики реализуемого алгоритма.

3.1. Тригонометрические функции

sin(x)

Тригонометрический синус.

cos(x)

Тригонометрический косинус.

tan(x)

Тригонометрический тангенс.

arcsin(x)

Обратный тригонометрический синус.

arccos(x)

Обратный тригонометрический косинус.

arctan(x)

Обратный тригонометрический тангенс.

hypot(x1, x2)

Вычисляет длинну гипотенузы по указанным длинам катетов.

arctan2(x1, x2)

Обратный тригонометрический тангенс угла где x1 — противолежащий катет, x2 — прилежащий катет. В отличие от arctan (x) функция arctan2 (y, x) справедлива для всех углов и поэтому может быть использована для преобразования вектора в угол без риска деления на ноль, а также возвращает результат в правильном квадранте.

degrees(x)

Преобразует радианную меру угла в градусную.

radians(x)

Преобразует градусную меру угла в радианную.

unwrap(p[, discont, axis])

Корректировка фазовых углов при переходе через значение pi.

deg2rad(x)

Преобразует градусную меру угла в радианную.

rad2deg(x)

Преобразует радианную меру угла в градусную.

3.2. Гиперболические функции

sinh(x)

Гиперболический синус.

cosh(x)

Гиперболический косинус.

tanh(x)

Гиперболический тангенс.

arcsinh(x)

Обратный гиперболический синус.

arccosh(x)

Обратный гиперболический косинус.

arctanh(x)

Обратный гиперболический тангенс.

3.3. Округление

around(a[, decimals, out])

Равномерное (банковское) округление до указанной позиции к ближайшему четному числу.

round_(a[, decimals, out])

Эквивалентна around().

rint(x)

Округляет до ближайшего целого.

fix(x[, out])

Округляет до ближайшего к нулю целого числа.

floor(x)

Округление к меньшему («пол»).

ceil(x)

Округление к большему («потолок»).

trunc(x)

Отбрасывает дробную часть числа.

3.4. Суммы, разности, произведения

prod(a[, axis, dtype, out, keepdims])

Произведение элементов массива по заданной оси.

sum(a[, axis, dtype, out, keepdims])

Сумма элементов массива по заданной оси.

nanprod(a[, axis, dtype, out, keepdims])

Произведение элементов массива по заданной оси в котором элементы NaN учитываются как 1.

nansum(a[, axis, dtype, out, keepdims])

Сумма элементов массива по заданной оси в котором элементы NaN учитываются как 0.

cumprod(a[, axis, dtype, out])

Возвращает накопление произведения элементов по заданной оси, т.е. массив в котором каждый элемент является произведением предшествующих ему элементов по заданной оси в исходном массиве.

cumsum(a[, axis, dtype, out])

Возвращает накопление суммы элементов по заданной оси, т.е. массив в котором каждый элемент является суммой предшествующих ему элементов по заданной оси в исходном массиве.

nancumprod(a[, axis, dtype, out])

Возвращает накопление произведения элементов по заданной оси, т.е. массив в котором каждый элемент является произведением предшествующих ему элементов по заданной оси в исходном массиве. Элементы NaN в исходном массиве при произведении учитываются как 1.

nancumsum(a[, axis, dtype, out])

Возвращает накопление суммы элементов по заданной оси, т.е. массив в котором каждый элемент является суммой предшествующих ему элементов по заданной оси в исходном массиве. Элементы NaN в исходном массиве при суммировании учитываются как 0.

diff(a[, n, axis])

Возвращает n-ю разность вдоль указанной оси.

ediff1d(ary[, to_end, to_begin])

Разность между последовательными элементами массива.

gradient(f, *varargs, **kwargs)

Дискретный градиент (конечные разности вдоль осей) массива f.

cross(a, b[, axisa, axisb, axisc, axis])

Векторное произведение двух векторов.

trapz(y[, x, dx, axis])

Интегрирование массива вдоль указанной оси методом трапеций.

3.5. Экспоненцирование и логарифмирование

exp(x, /[, out, where, casting, order, …])

Экспонента всех элементов массива.

expm1(x, /[, out, where, casting, order, …])

Вычисляет exp(x)-1 всех элементов массива.

exp2(x, /[, out, where, casting, order, …])

Вычисляет 2**x для всех x входного массива.

log(x, /[, out, where, casting, order, …])

Натуральный логарифм элементов массива.

log10(x, /[, out, where, casting, order, …])

Десятичный логарифм элементов массива.

log2(x, /[, out, where, casting, order, …])

Логарифм элементов массива по основанию 2.

log1p(x, /[, out, where, casting, order, …])

Вычисляет log(x+1) для всех x входного массива.

logaddexp(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Натуральный логарифм суммы экспонент элементов входных массивов.

logaddexp2(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Двоичный логарифм от 2**x1 + 2**x2 для всех элементов входных массивов.

3.6. Другие специальные функции

i0(x)

Модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

sinc(x)

Вычисляет нормированный кардинальный синусс элементов массива.

3.7. Операции с плавающей точкой

signbit(x, /[, out, where, casting, order, …])

Возвращает True для всех элементов массива у которых знаковый бит установлен в отрицательное значение.

copysign(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Изменяет знак элементов из массива x1 на знак элементов из массива x2.

frexp(x[, out1, out2], / [, out, where, …])

Разложение элементов массива в показатель мантиссы и двойки.

ldexp(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Вычисляет x1*2**x2.

nextafter(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Возвращает значение c плавающей точкой следующее за элементом из x1 в направлении элемента из x2.

spacing(x, /[, out, where, casting, order, …])

Поэлементно вычисляет расстояние между значением из массива x и ближайшим соседним числом.

3.8. Арифметические операции

lcm(x1, x2, /[, out, where, casting, order, …])

Поэлементно вычисляет наименьшее общее кратное массивов x1 и x2.

gcd(x1, x2, /[, out, where, casting, order, …])

Поэлементно вычисляет наибольший общий делитель массивов x1 и x2.

add(x1, x2, /[, out, where, casting, order, …])

Поэлементная сумма значений массивов.

reciprocal(x, /[, out, where, casting, …])

Вычисляет обратное значение (1/x) каждого элемента массива.

positive(x, /[, out, where, casting, order, …])

Эквивалентно простому копированию (numpy.copy) элементов массива, но только для массивов поддерживающих математические операции. Формально соответствует математической записи b = +a.

negative(x, /[, out, where, casting, order, …])

Отрицательное значение элементов массива.

multiply(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Поэлементное умножение значений массива x1 на значения массива x2.

divide(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Поэлементное деление значений массива x1 на значения массива x2.

power(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Поэлементное возведение значений массива x1 в степень равную значениям из массива x2.

subtract(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Поэлементная разность значений массива x1 и x2.

true_divide(x1, x2, /[, out, where, …])

Поэлементное истинное деление значений массива x1 на значения массива x2.

floor_divide(x1, x2, /[, out, where, …])

Поэлементное целочисленное деление значений массива x1 на значения массива x2.

float_power(x1, x2, /[, out, where, …])

Поэлементное возведение значений массива x1 в степень равную значениям из массива x2, адаптированное для чисел с плавающей точкой.

fmod(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Поэлементный остаток от деления значений массива x1 на значения массива x2.

mod(x1, x2, /[, out, where, casting, order, …])

Поэлементно вычисляет остаток от деления значений массива x1 на значения массива x2.

modf(x[, out1, out2], / [, out, where, …])

Дробная и целая часть элементов массива.

remainder(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Элементарный остаток от деления значений массива x1 на значения массива x2.

divmod(x1, x2[, out1, out2], / [[, out, …])

Результат истинного деления и остаток от деления значений массива x1 на значения массива x2.

3.9. Операции с комплексными числами

angle(z[, deg])

Вычисляет угол каждого комплексного числа в массиве.

real(val)

Действительная часть комплексного числа.

imag(val)

Мнимая часть комплексного числа.

conj(x, /[, out, where, casting, order, …])

Комплексно-сопряженный элемент.

3.10. Прочие математические функции

convolve(a, v[, mode])

Дискретная линейная свертка.

clip(a, a_min, a_max[, out])

Ограничение значений массивов указанным интервалом допустимых значений.

sqrt(x, /[, out, where, casting, order, …])

Квадратный корень элементов массива.

cbrt(x, /[, out, where, casting, order, …])

Кубический корень элементов массива.

square(x, /[, out, where, casting, order, …])

Квадрат элементов массива.

absolute(x, /[, out, where, casting, order, …])

Абсолютное значение (модуль) элементов массива.

fabs(x, /[, out, where, casting, order, …])

Возвращает абсолютное значение (модуль) элементов массива в виде чисел с плавающей точкой.

sign(x, /[, out, where, casting, order, …])

Элементарный указатель на знак числа.

heaviside(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Ступенчатая функция Хевисайда.

maximum(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Наибольшие значения после поэлементного сравнения значений массивов.

minimum(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Наименьшие значения после поэлементного сравнения значений массивов.

fmax(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Наибольшие значения после поэлементного сравнения значений массивов в виде чисел с плавающей точкой.

fmin(x1, x2, /[, out, where, casting, …])

Наименьшие значения после поэлементного сравнения значений массивов в виде чисел с плавающей точкой.

nan_to_num(x[, copy])

Заменяет nan на 0, бесконечность и минус-бесконечность заменяются на наибольшее и наименьшее доступное число с плавающей точкой соответственно.

real_if_close(a[, tol])

Переводит комплексные числа в вещественные если мнимая часть комплексного числа меньше машинной эпсилон.

interp(x, xp, fp[, left, right, period])

Одномерная линейная интерполяция.

Математические функции · Less. Путеводитель для новичков

Для удобства работы с числами доступны математические функции, которые представляют собой прослойку между Less-функциями и встроенным объектом Math в JavaScript.

Кратко рассмотрим основные функции, которые могут пригодиться при работе с препроцессором при построении фреймворков и максимально унифицированных less-файлов.

Округление значений

При необходимости значения, получаемые после проведения математических операций, можно округлять, используя стандартные методы ceil(), floor() и round(), представленные в Less в виде функций. Кроме того, Less предоставляет новую функцию percentage().

Функция ceil() всегда округляет значения в большую сторону до целой части:

ceil(14.3) // 15
ceil(13.9) // 14
ceil(14.5) // 15

Функция floor() всегда округляет значения в меньшую сторону до целой части (отбрасывает дробную часть):

floor(14.3) // 14
floor(13.9) // 13
floor(14.5) // 14

Функция round() округляет значения в соответствии с правилами математики и заданным количеством знаков после запятой:

round(14.3) // 14
round(13.9) // 14
round(14.5) // 15

// Знаки после запятой
round(14.0714)    // 14
round(14.0714, 1) // 14.1
round(14.0714, 2) // 14.07
round(14.0714, 3) // 14.071
round(14.0714, 4) // 14.074
round(14.0714, 7) // 14.074

Функция percentage() преобразует дробное значение в процентное:

percentage(0.25) // 25%
percentage(1 / 25) // 4%

Важно заметить, что дробная запись 1 / 25 сначала вычисляется как математическая операция, а уже потом передаётся в функцию. То есть, по сути своей, работает с числами с плавающей запятой.

Прочие функции

Математические функции, представленные ниже, являются вторичными и применяются крайне редко. Дело в том, что возможность применять Less для сложных вычислений предоставляется очень редко, ведь это всего-лишь надстройка над CSS.

Тригонометрические функции:

• sin(value)
• cosvalue)
• tan(value)

Обратные тригонометрические функции:

• asin(value)
• acos(value)
• atan(value)

Модуль числа, модуль между числами:

• abs(value)
• mod(valueOne, valueTwo)

Поиск минимального и максимального значения:

• min(list) // min(1, 14, 19, 0.3)
• max(list) // max(1%, 10%, 4%, 8%)

Работа со степенями (квадратный корень и степень):

• sqrt(value)
• pow(value, power) // value в power степени

Математические константы:

Основные математические функции в Excel: использование, формулы

В программе Excel разработчиками заложено огромное количество различных функций, но, пользователи чаще всего пользуются математическими. Давайте рассмотрим их и подробнее остановимся на самых популярных.

Использование математических функций в программе

В категорию математических функций входит более 60 различных операторов, которые позволяют выполнять различные вычисления.

Вставить функцию в свободную ячейку таблицы можно по-разному:

1. Жмем кнопку “Вставить функцию” (fx) слева от строки формул. Выполнить данное действие можно, находясь в любой вкладке.
2. Переключаемся во вкладку “Формулы”. Здесь также представлена кнопка “Вставить функцию” – в левом углу ленты инструментов.
3. Нажимаем комбинацию клавиш Shift+F3, чтобы вызвать Мастер функций.

Результатом любого из вышеописанных способов будет открытие окна вставки функции. Здесь мы выбираем категорию “Математические”.

Теперь, когда категория выбрана, в поле ниже отмечаем требуемую функцию и щелкаем OK. 

После этого откроется окно с аргументами для заполнения.

Примечание: Если мы, находясь во вкладке “Формулы”, в группе инструментов “Библиотека функций” нажмем по значку математических функций, сразу откроется список операторов, которые мы можем выбрать, минуя окно вставки функции.

Стоит учитывать, что в предлагаемом перечне присутствуют не все операторы, но самые необходимые здесь все же есть, и в большинстве случаев их достаточно.

Теперь перейдем к детальному рассмотрению самых популярных функций.

СУММ

Смотрите также:

Пожалуй, это самая популярная функция, которая используется в Эксель. С помощью нее выполняется суммирование числовых данных. Формула функции:

=СУММ(число1;число2;...)

В аргументах можно указать как конкретные числа, так и ссылки на ячейки, содержащие числовые значения. Причем указать координаты можно вручную (с помощью клавиш клавиатуры) или методом клика/выделения непосредственно в самой таблице.

Для перехода к заполнению следующего аргумента достаточно кликнуть по полю напротив него или нажать клавишу Tab.

СУММЕСЛИ

Данная функция позволяет считать сумму чисел с заданным условиями, с помощью которых будет выполняться отбор значений, учитывающихся в суммировании. Формула выглядит следующим образом:

=СУММЕСЛИ(Диапазон;Критерий;Диапазон_суммирования)

В аргументах функции указывается диапазон ячеек (вручную или путем выделения в таблице), значения которых нужно просуммировать. В качестве критерия можно задать следующие условия (в кавычках):

• больше (“>”)
• меньше (“<“)
• не равно (“<>”)

Аргумент “Диапазон_сумирования” заполнять не обязательно.

ПРОИЗВЕД

С помощью данного оператора выполняется умножение чисел. Синтаксис выглядит следующим образом:

=ПРОИЗВЕД(число;число;…)

В аргументах функции, как и в СУММ, можно указывать как конкретные числа, так и адреса ячеек (диапазоны ячеек), которые содержат числовые значения.

ЧАСТНОЕ

Чаще всего для деления используется формула со знаком “/” между делимым и делителем: =Число1/Число2.

Однако в программе также есть отдельная функция для выполнения деления, синтаксис которой представлен ниже:

=ЧАСТНОЕ(Числитель;Знаменатель)

Заполнить нужно два аргумента: Числитель (Делимое) и Знаменатель (Делитель).

СТЕПЕНЬ

Смотрите также:

Оператор позволяет возвести число в указанную степень. Формула выглядит так:

=СТЕПЕНЬ(число;степень)

В аргументах функции указывается само число, а также, степень, в которую нужно его возвести.

КОРЕНЬ

С помощью данного оператора можно извлечь квадратный корень из числа. Синтаксис выглядит следующим образом:

=КОРЕНЬ(число)

Заполнить требуется только один аргумент – “Число”.

ОКРУГЛ

Функция применяется для выполнения еще одного распространенного математического действия – округления чисел (по общематематическим правилам, т.е., к ближайшему по модулю значению). Синтаксис функции представлен ниже:

=ОКРУГЛ(число;число_разрядов)

В аргументе “Число” указывается значение, которое требуется округлить. В числе разрядов, соответственно, пишем количество цифр, которые хотим оставить после запятой.

Также, в Excel доступны операторы ОКРУГЛВВЕРХ и ОКРУГЛВНИЗ, которые, как следует из их названий, используются для округления до ближайшего верхнего и нижнего числа, соответственно (по модулю).

ABS

Позволяет получить модуль числа. Формула функции представлена ниже:

=ABS(число)

Заполнить нужно всего один аргумент – “Число”, модуль которого требуется найти.

LOG

С помощью этого оператора определяется логарифм числа по заданному основанию. Синтаксис функции представлен в виде:

=LOG(Число;Основание)

Необходимо заполнить два аргумента: Число и Основание логарифма (если его не указать, программа примет значение по умолчанию, равное 10).

Также для десятичного логарифма предусмотрена отдельная функция – LOG10.

ОСТАТОК

Применяется для получения остатка от деления чисел. Формула оператора выглядит следующим образом:

=ОСТАТ(чило;делитель)

Для того, чтобы получить результат, требуется заполнить значения двух аргументов: Число и Делитель.

Заключение

Таким образом, мы разобрали самые популярные математические функции, которые используются в Excel. Однако возможности программы гораздо шире, и в ее инструментарии можно найти функцию для успешного выполнения практически любой задачи.

Математические функции в excel

10 популярных математических функций Microsoft Excel

​Смотрите также​Суммирования​РЯД.СУММ*​ROUNDUP​ хранится в массиве).​60071​60072​ редактировать.​ вычитать, умножать и​ не совсем правильно:​округляет в сторону​ наиболее популярные математические​ аргумент –​ Всего может быть​ подсчете суммы в​ из них. Если​

​«Библиотека функций»​Чаще всего среди доступных​

Применение математических функций

​Вычисляет сумму разностей квадратов​SERIESSUM​60260​МОПРЕД​Логарифмические​Теории чисел​Используя математические операторы, совместно​ делить. В данном​Чтобы избежать этого, воспользуемся​ удаления от нуля:​ функции Эксель. Они​«Число»​

​ использовано до 255​ расчет не берется.​ вы не найдете​.​ групп функций пользователи​​ соответствующих значений в​​1990​Округления​MDETERM​Вычисляет десятичный логарифм числа.​Находит модуль (абсолютную величину)​ со ссылками на​ уроке мы рассмотрим​ функцией​Если необходимо округлить число​ помогают в значительной​

​. В его роли​ таких ссылок. Результат​ Кроме того, существует​​ нужного оператора, то​​Существует и третий способ​ Экселя обращаются к​​ двух массивах.​​Степенные​Округляет число до ближайшего​60211​​SIN​​ числа.​

​ ячейки, можно создать​ основные математические операторы,​ABS​ в сторону большего​ мере упростить различные​​ может выступать ссылка​​ умножения выводится в​

​ дополнительный аргумент​ следует кликнуть по​ активации Мастера функций.​ математическим. С помощью​СУММСУММКВ​Вычисляет сумму степенного ряда​​ по модулю большего​​Матричные​

​60063​ACOS​​ множество простых формул.​​ используемые в Excel,​

​:​ или меньшего по​ вычисления в данной​ на ячейку, содержащую​ отдельную ячейку. Синтаксис​«Диапазон суммирования»​ пункту​ Он осуществляется с​​ них можно производить​​SUMX2PY2​

​ по заданной формуле.​ целого.​Вычисляет определитель матрицы, хранящейся​Тригонометрические​60147​ На рисунке ниже​ а также познакомимся​​Нажав​​ модулю значения, можно​ программе. При помощи​​ данные. Синтаксис принимает​​ данного оператора выглядит​, но он не​​«Вставить функцию…»​​ помощью нажатия комбинации​ различные арифметические и​60353​СЛУЧМЕЖДУ*​ОКРУГЛВНИЗ​ в массиве.​

​Вычисляет синус заданного угла.​Обратные тригонометрические​ приведены несколько примеров​ с преимуществами использования​Enter​ воспользоваться функциями​ этих формул можно​ такую форму:​ так:​ является обязательным. Данная​​в самом низу​​ клавиш на клавиатуре​ алгебраические действия. Их​Суммирования​RANDBETWEEN​

​ROUNDDOWN​​МУЛЬТИНОМ*​

СУММ

​SINH​​Вычисляет арккосинус числа.​​ формул, которые используют​ ссылок на ячейки​, получим правильное количество​ОКРУГЛВВЕРХ​ выполнять как простейшие​=КОРЕНЬ(число)​=ПРОИЗВЕД(число;число;…)​ операция имеет следующий​ списка, после чего​Shift+F3​

​ часто используют при​

​Вычисляет сумму сумм квадратов​1980​60216​MULTINOMIAL​60277​ACOSH​ разнообразные комбинации операторов​ в формулах.​

​ дней:​​и​ арифметические действия, так​

СУММЕСЛИ

​Урок:​​Урок:​​ синтаксис:​ откроется уже знакомый​.​ планировании и научных​ соответствующих элементов двух​Генерирования случайных чисел​Округления​1962​Гиперболические​60281​ и ссылок.​Excel использует стандартные операторы​Возвращает квадратный корень из​ОКРУГЛВНИЗ​ и более сложные​Как посчитать корень в​Как правильно умножать в​=СУММЕСЛИ(Диапазон;Критерий;Диапазон_суммирования)​ нам Мастер функций.​После того, как пользователь​ вычислениях. Узнаем, что​ массивов.​​Выдает случайное число в​​Округляет число до ближайшего​Комбинаторные​Вычисляет гиперболический синус числа.​Обратные гиперболическиее​

​В Excel существует несколько​

ОКРУГЛ

​ для формул, такие​ числа. Число должно​​.​​ вычисления. Особенно они​ Экселе​ Excel​Как можно понять из​Урок:​ произвел любое из​ представляет собой данная​СЧЁТЕСЛИ​ заданном интервале.​ меньшего по модулю​Вычисляет мультиномиальный коэффициент множества​TAN​Вычисляет гиперболический арккосинус числа.​ видов ссылок. Изучите​ как: знак​ быть неотрицательным.​Математическая функция​ помогают в тех​Довольно специфическая задача у​С помощью математической формулы​ названия функции​

​Мастер функций в Excel​

​ вышеуказанных действий, открывается​ группа операторов в​COUNTIF​​СЛЧИС​​ целого.​​ чисел.​​60065​ASIN​ уроки раздела Относительные​плюс​

​Извлечь квадратный корень в​​ПРОИЗВЕД​

ПРОИЗВЕД

​ случаях, когда нужно​​ формулы​​ABS​ОКРУГЛ​Наиболее часто используется функция​ Мастер функций. Кликаем​ целом, и более​60394​RAND​ОКРУГЛТ*​МУМНОЖ​Тригонометрические​60146​ и абсолютные ссылки,​для сложения (+),​ Excel можно и​вычисляет произведение всех​

​ производить массовые расчеты.​

​СЛУЧМЕЖДУ​​производится расчет числа​, служит она для​

ABS

​СУММ​​ по окну в​​ подробно остановимся на​Условные​60111​MROUND​​MMULT​​Вычисляет тангенс числа.​Обратные тригонометрические​ чтобы получить дополнительную​минус​ с помощью оператора​ своих аргументов.​Автор: Максим Тютюшев​

​. Она состоит в​

​ по модулю. У​​ округления чисел. Первым​

СТЕПЕНЬ

​. Этот оператор предназначен​ поле​​ самых популярных из​​Подсчитывает количество непустых ячеек,​Генерирования случайных чисел​1961​60213​​TANH​​Вычисляет арксинус числа.​​ информацию.​​для вычитания (-),​ возведения в степень:​Мы не будем подробно​В категории математические и​ том, чтобы выводить​ этого оператора один​ аргументом данного оператора​ для сложения данных​«Категория»​ них.​

​ удовлетворяющих заданному условию​

​Выдает случайное число в​​Округления​Матричные​

КОРЕНЬ

​60279​​ASINH​​Автор: Антон Андронов​звездочка​Позволяет возвести число в​ разбирать данную функцию,​​ тригонометрические представлено около​​ в указанную ячейку​ аргумент –​ является число или​ в нескольких ячейках.​.​

​Скачать последнюю версию​

​ внутри диапазона.​​ интервале от 0​Находит число, округленное с​

СЛУЧМЕЖДУ

​Вычисляет произведение матриц, хранящихся​Гиперболические​​60280​​Примечание:​для умножения (*),​ заданную степень.​ поскольку она очень​ 80 самых различных​ любое случайное число,​«Число»​ ссылка на ячейку,​ Хотя его можно​Открывается выпадающий список. Выбираем​ Excel​ФАКТР​

​ до 1.​

ЧАСТНОЕ

​ требуемой точностью.​​ в массивах.​​Вычисляет гиперболический тангенс числа.​Обратные гиперболическиее​Мы стараемся как​косая черта​В Excel, помимо этой​ похожа на функцию​ функций Excel, начиная​ находящееся между двумя​, то есть, ссылка​ в которой содержится​ использовать и для​

​ в нем позицию​

​С помощью математических функций​​FACT​

РИМСКОЕ

​СТЕПЕНЬ​ОСТАТ​НЕЧЁТ​АГРЕГАТ**​Вычисляет гиперболический арксинус числа.​ можно оперативнее обеспечивать​для деления (/)​ математической функции, можно​СУММ​ от незаменимых суммирования​ заданными числами. Из​ на ячейку, содержащую​

​ числовой элемент. В​

​ обычного суммирования чисел.​«Математические»​ можно проводить различные​60232​POWER​MOD​ODD​AGGREGATE​ATAN​ вас актуальными справочными​ и​ использовать оператор возведения​, разница лишь в​ и округления, и​ описания функционала данного​

​ числовые данные. Диапазон​

lumpics.ru>

Математические функции Excel, которые необходимо знать

​ отличие от большинства​ Синтаксис, который можно​.​ расчеты. Они будут​Комбинаторные​60385​60087​60346​-​60066​ материалами на вашем​циркумфлекс​ в степень:​

​ назначении, одна суммирует,​​ заканчивая мало кому​​ оператора понятно, что​​ в роли аргумента​​ других функций, у​ применять при ручном​

ОКРУГЛ()

​После этого в окне​​ полезны студентам и​​Вычисляет факториал числа.​Степенные​Теории чисел​Округления​Возвращает агрегатный результат вычислений​Обратные тригонометрические​ языке. Эта страница​для возведения в​Возвращает случайное число, находящееся​

​ вторая перемножает. Более​ известным рядом тригонометрических​ его аргументами является​ выступать не может.​

​ этой диапазон значением​ вводе, выглядит следующим​ появляется список всех​ школьникам, инженерам, ученым,​ЦЕЛОЕ​

​Вычисляет результат возведения числа​Вычисляет остаток от деления.​​Округляет число до ближайшего​​ по списку или​Вычисляет арктангенс числа.).​ между двумя значениями,​ подробно о​ функций. В рамках​​ верхняя и нижняя​​ Синтаксис имеет следующий​​ выступать не может.​​ образом:​

ПРОИЗВЕД()

​ математических функций в​​ бухгалтерам, планировщикам. В​​INT​ в степень.​

​ОТБР​ нечетного целого.​ базе данных.​ATAN2​​ ее текст может​​Все формулы в Excel​ заданными в качестве​СУММ​ данного урока мы​​ границы интервала. Синтаксис​​ вид:​ Вторым аргументом является​=СУММ(число1;число2;…)​ Excel. Чтобы перейти​ эту группу входят​

ABS()

​60073​​СУММ​​TRUNC​НОД*​ГРАДУСЫ​

​60145​​ содержать неточности и​​ должны начинаться со​ аргументов. При каждом​Вы можете прочитать​ проведем обзор только​ у него такой:​=ABS(число)​ количество десятичных знаков,​

​В окне аргументов в​ к введению аргументов,​ около 80 операторов.​Округления​SUM​60245​GCD​DEGREES​Обратные тригонометрические​ грамматические ошибки. Для​ знака равенства (=).​ пересчете листа значения​ в статье Суммирование​ самых полезных математических​

​=СЛУЧМЕЖДУ(Нижн_граница;Верхн_граница)​Урок:​​ до которых нужно​​ поля следует вводить​

​ выделяем конкретную из​​ Мы же подробно​​Округляет число до ближайшего​60052​

КОРЕНЬ()

​Округления​1926​60391​

​Вычисляет арктангенс для заданных​ нас важно, чтобы​ Это связано с​ обновляются.​

СТЕПЕНЬ()

​ в Excel, используя​ функций Excel.​

​Оператор​Функция модуля в Excel​ произвести округление. Округления​ ссылки на ячейки​

СЛУЧМЕЖДУ()

​ них и жмем​ остановимся на десяти​ меньшего целого.​Суммирования​Отбрасывает дробную часть числа.​Теории чисел​

​Тригонометрические​ координат x и​ эта статья была​ тем, что Excel​Хоть математических функций в​ функции СУММ и​Про математические функции​ЧАСТНОЕ​Из названия понятно, что​ проводится по общематематическим​ с данными или​ на кнопку​ самых популярных из​ЧАСТНОЕ*​Суммирует аргументы.​ПИ​Находит наибольший общий делитель.​Преобразует радианы в градусы.​ y.​

​ вам полезна. Просим​

office-guru.ru>

Математические операторы и ссылки на ячейки в формулах Excel

​ приравнивает данные хранящиеся​ Excel достаточно много,​ СУММЕСЛИ.​СУММ​применяется для деления​ задачей оператора​ правилам, то есть,​ на диапазоны. Оператор​«OK»​ них.​QUOTIENT​СУММЕСЛИ​PI​НОК*​ДВФАКТР*​ATANH​ вас уделить пару​ в ячейке (т.е.​

Математические (арифметические) операторы

​ реальную ценность из​Математическая функция​и​​ чисел. Но в​​СТЕПЕНЬ​​ к ближайшему по​​ складывает содержимое и​​.​​Открыть список математических формул​​1979​​SUMIF​60067​​LCM​​FACTDOUBLE​60282​

​ секунд и сообщить,​ формулу) к значению,​ них представляют лишь​ABS​СУММЕСЛИ​ результатах деления он​является возведение числа​ модулю числу. Синтаксис​ выводит общую сумму​Существует также способ выбора​

Основные сведения о ссылках

​ можно несколькими путями.​Теории чисел​60393​Тригонометрические​1953​1920​Обратные гиперболическиее​ помогла ли она​ которое она вычисляет​ единицы. Нет никакого​возвращает абсолютную величину​Вы можете прочитать​ выводит только четное​

​ в заданную степень.​ у этой формулы​ в отдельную ячейку.​ конкретного математического оператора​ Проще всего запустить​Вычисляет целую часть частного​Условные​Вставляет число «пи».​Теории чисел​Комбинаторные​Вычисляет гиперболический арктангенс числа.​

​ вам, с помощью​ (т.е. к результату).​ смысла изучать сразу​ числа, т.е. его​ в этом уроке.​ число, округленное к​ У данной функции​ такой:​Урок:​

​ без открытия главного​ Мастер функций, нажав​ при делении.​Суммирует ячейки, удовлетворяющие заданному​ПРОИЗВЕД​Находит наименьшее общее кратное.​

​Возвращает двойной факториал числа.​

office-guru.ru>

Основные математические операции в Excel 2013

​COS​​ кнопок внизу страницы.​Несмотря на то, что​ все, поскольку многие​ модуль.​Математическая функция​ меньшему по модулю.​ два аргумента:​=ОКРУГЛ(число;число_разрядов)​Как посчитать сумму в​ окна Мастера функций.​ на кнопку​ЧЁТН​ условию.​PRODUCT​ОКРВВЕРХ​ЗНАК​60064​ Для удобства также​ в Excel можно​ могут даже не​Функция​

​ОКРУГЛ​

​ Аргументами этой формулы​«Число»​Кроме того, в Экселе​ Экселе​ Для этого переходим​«Вставить функцию»​

Хотите узнать больше?

​EVEN​СУММКВ​

​60231​CEILING​

support.office.com>

Функции математические

​SIGN​Тригонометрические​ приводим ссылку на​
​ создавать формулы, применяя​
​ пригодиться. Математические функции,​ABS​

​ОКРУГЛВВЕРХ​Определяет обратную матрицу (матрица​LOG10​ABS​ без необходимости ее​​ Excel может складывать,​​ оказаться отрицательным, что​
​ОКРУГЛ​Выше были описаны только​ имеет только один​

excelworld.ru>

​ данные для перемножения.​

кусочных функций

Функция может быть в частях

Мы можем создавать функции, которые ведут себя по-разному в зависимости от значения input (x).

Функция из 3 частей

Пример:

• , когда x меньше 2, дает x ² ,
• , когда x равно 2, дает 6
• , когда x больше 2, но меньше или равно 6, получается строка 10-x

Это выглядит так:

(сплошная точка означает «включая»,

открытая точка означает «не включая»)

А вот как мы это пишем:

Домен (все значения, которые могут входить в функцию) — это все действительные числа до 6 включительно, которые мы можем записать так:

Dom (f) = (-∞, 6] (с использованием обозначения интервалов)

Dom (f) = {x | x ≤ 6} (с использованием нотации Set Builder)

А вот несколько примеров значений:

Пример: вот еще одна кусочная функция:

Что такое ч (-1)?

x ≤ 1, поэтому мы используем h (x) = 2, поэтому h (−1) = 2

Что такое h (1)?

x ≤ 1, поэтому мы используем h (x) = 2, поэтому h (1) = 2

Что такое h (4)?

x> 1, поэтому мы используем h (x) = x, поэтому h (4) = 4

Кусочные функции позволяют создавать функции, которые делают все, что мы хотим!

Пример: Гонорар врача зависит от продолжительности работы.

• До 6 минут стоит 50 долларов
• От 6 до 15 минут стоит 80 долларов
• Более 15 минут стоит 80 долларов плюс 5 долларов за минуту свыше 15 минут

Что мы можем написать так:

Вы приходите на 12 минут, сколько стоит? $ 80

Вы приходите на 20 минут, сколько стоит? 80 долларов США + 5 долларов США (20-15) = 105 9000 долларов США 5

Функция абсолютного значения

Функция абсолютного значения — известная кусочная функция.

состоит из двух частей:

• ниже нуля: -x
• , начиная с 0: x

f (x) = | x |

Функция этажа

Функция Floor — это особая кусочная функция. В нем бесконечное количество штук:

Функция этажа

Инъективное, сюръективное и биективное

«Инъективный, сюръективный и биективный» рассказывает нам о том, как ведет себя функция.

Функция — это способ сопоставления элементов набора «A» от до набора «B»:

Давайте посмотрим на это более внимательно:

A Общая функция баллов от каждого члена «A» к члену «B».

Это никогда не имеет один «A», указывающий на более чем один «B», поэтому «один ко многим» не подходит в функции (например, «f (x) = 7 или 9 «не допускается)

Но несколько «A» могут указывать на одну и ту же «B» ( «многие к одному» — это нормально )

Injective означает, что у нас не будет двух или более «A», указывающих на одну и ту же «B».

Итак, «многие-к-одному» НЕЛЬЗЯ (что подходит для общей функции).

Так как это тоже функция «один ко многим» не работает

Но у нас может быть «Б» без соответствия «А»

Injective также называется « One-to-One »

Сюръективность означает, что каждый «B» имеет по крайней мере один , соответствующий «A» (может быть, более одного).

Не останется «B».

Биективный означает одновременно и инъективный, и сюръективный.

Думайте об этом как об «идеальной паре» между наборами: у каждого есть партнер, и никто не остается в стороне.

Итак, существует идеальное « взаимно однозначное соответствие » между элементами множеств.

(Но не путайте это с термином «один к одному», который означает инъективный).

Биективные функции имеют инверсию !

Если каждый «A» переходит в уникальный «B», и каждый «B» имеет соответствующий «A», то мы можем двигаться вперед и назад, не сбиваясь с пути.

Подробнее читайте в разделе «Обратные функции».

На графике

Итак, давайте посмотрим на несколько примеров, чтобы понять, что происходит.

Когда A и B являются подмножествами вещественных чисел, мы можем построить график взаимосвязи.

Пусть у нас будет A, по оси x и B по оси y, и посмотрим на наш первый пример:

Это , а не функция , потому что у нас есть A с множеством B . Это как сказать f (x) = 2 или 4

Он не прошел «Тест вертикальной линии» и поэтому не является функцией.Но это все еще действительные отношения, так что не сердитесь на это.

Теперь общая функция может быть такой:

A Общая функция

Он МОЖЕТ (возможно) иметь B с множеством A . Например, синус, косинус и т.д. Совершенно правильные функции.

Но « Injective Function » строже и выглядит так:

«Инъективный» (индивидуально)

Фактически мы можем провести «Тест горизонтальной линии»:

Чтобы быть Injective , горизонтальная линия никогда не должна пересекать кривую в 2 или более точках.

(Примечание: строго возрастающие (и строго убывающие) функции являются инъективными, вы можете прочитать о них для получения более подробной информации)

Итак:

• Если он проходит тест вертикальной линии , это функция
• Если он также проходит тест горизонтальной линии , это инъективная функция

Формальные определения

Хорошо, ждите, чтобы узнать обо всем этом подробнее:

Впрыск

Функция f является инъективной тогда и только тогда, когда всякий раз, когда f (x) = f (y) , x = y .

Пример: f ( x ) = x + 5 из набора действительных чисел в является инъективной функцией.

Верно ли, что всякий раз, когда f (x) = f (y) , x = y ?

Представьте, что x = 3, тогда:

Теперь я говорю, что f (y) = 8, каково значение y? Может быть только 3, поэтому x = y

Пример: f ( x ) = x ² от набора действительных чисел до , а не инъективная функция из-за такого рода вещей:

Это противоречит определению f (x) = f (y) , x = y , потому что f (2) = f (-2), но 2 ≠ -2

Другими словами, есть два значения из A , которые указывают на одно B .

НО если бы мы сделали его из набора натуральных
числа к тогда это инъективно, потому что:

• f ( 2 ) =

  4

• нет f (-2), потому что -2 не является естественным
  номер

Значит домен и кодомен каждого набора важны!

Сюръективное (также называется «Онто»)

Функция f (из набора A до B ) — это сюръективный тогда и только тогда, когда для каждого
y в B , есть хотя бы один x в A такой, что f ( x ) = y , другими словами f является сюръективным
если и только если

f (A) = B .

Проще говоря: у каждого B есть несколько A.

Пример: Функция f ( x ) = 2x из набора натуральных
числа к набору неотрицательных , даже чисел — это сюръективная функция .

А f ( x ) = 2x из набора натуральных
числа в не сюръективный , потому что, например, ни один член в не может быть сопоставлен с 3 с помощью этой функции.

Биективный

Функция f (из набора A до B ) является биективным , если для каждого y в B существует ровно один x дюйм A такой, что f ( x ) = y

В качестве альтернативы, f является биективным, если это взаимно однозначное соответствие между этими наборами, другими словами, инъективное и сюръективное.

Пример: Функция f ( x ) = x ² из множества положительных вещественных
числа в положительные реальные
числа одновременно инъективны и сюръективны.
Таким образом, это также биективный .

Но одна и та же функция из набора всех действительных чисел не является биективной, потому что мы могли бы иметь, например, оба

Wolfram | Alpha Примеры: математические функции

Другие примеры

Домен и диапазон

Вычислить область определения и диапазон математической функции.

Вычислить область определения функции:

Вычислить диапазон функции:

Вычислить область и диапазон функции нескольких переменных:

Другие примеры

Другие примеры

Приемлемость и сюръективность

Определите инъективность и сюръективность математической функции.

Определите, является ли данная функция инъективной:

Определите, является ли данная функция сюръективной:

Другие примеры

Другие примеры

Непрерывность

Определите непрерывность математической функции.

Определите, является ли функция непрерывной:

Найдите разрывы функции:

Другие примеры

Другие примеры

Периодические функции

Вычислить период периодической функции.

Вычислить период периодической функции:

Найдите периоды функции нескольких переменных:

Другие примеры

Четные и нечетные функции

Определите четность математической функции.

Определите, является ли функция четной или нечетной:

Другие примеры

Другие примеры

Специальные функции

Вычислить свойства нескольких семейств специальных функций.

Вычислить свойства специальной функции:

Численно оцените специальную функцию:

Выполняйте вычисления со специальными функциями:

Другие примеры

Другие примеры

Теоретико-числовые функции

Получите информацию об арифметических функциях, таких как функции Эйлера и Мёбиуса, и используйте их для вычисления свойств положительных целых чисел.

Получите информацию о теоретико-числовой функции:

Выполните вычисления с теоретико-числовыми функциями:

Другие примеры

Другие примеры

Формулы представления

Вычислить альтернативные представления математической функции.

Найдите представления функции данного типа:

Другие примеры

функций — Бесплатная справка по математике

Что такое функция?

Функция — это набор математических операций, выполняемых с одним или несколькими входами (переменными), результатом которых является выход.На данный момент функции будут принимать одно или несколько действительных чисел в качестве входных данных и возвращать числовые выходные данные. В более продвинутых классах вы узнаете о гораздо более сложных функциях! Однако простая функция может вернуть ввод плюс один. Такая функция будет выглядеть так:

$$ Y = X + 1 $$

В этом случае X во входном значении, а Y — выходное (это общепринятое соглашение). Подставляя любое число вместо X, мы вычисляем соответствующий выход Y, просто добавляя единицу. Набор возможных входных значений известен как домен, а набор возможных выходных значений известен как диапазон.

Вот еще два примера того, как выглядят функции:

$$ y = 3x — 2 $$
$$ h = 5x + 4y $$

Давайте рассмотрим первый пример. В функции \ (y = 3x — 2 \) переменная y представляет функцию любых входных данных, которые появляются на другой стороне уравнения. Другими словами, y является функцией x. Из-за этого мы иногда видим функцию, записанную в таком виде:

$$ f (x) = 3x — 2 $$

Что означает f (x)?

Это означает то же самое, что и y = перед уравнением.Поскольку на самом деле y не имеет значения, и это просто произвольная буква, представляющая вывод функции, иногда она будет записана как f (x), чтобы указать, что выражение является функцией x. Обратите внимание, что вы также увидите, что это написано как g (x), h (x) и т. Д., Но f (x) является наиболее распространенным, потому что функция начинается с буквы f.

Что значит

оценить функцию?

Оценка функции означает выбор различных значений для входа (часто называемого x), чтобы найти выход (часто называемый y).С точки зрения оценки, для каждого выбора x, который вы выбираете, только , одно соответствующее значение y будет конечным результатом. Вам часто будет предложено оценить конкретную функцию для определенного значения x. Это означает, что просто вставьте это значение для x и посмотрите, что вы получите, как показано ниже:

Пример

Вычислить для x = 2:

$$ y = 4x — 7 $$

Решение:

Наша функция уже решена для y, и нам нужно просто подставить x = 2, чтобы оценить функцию в этой точке.

$$ y = 4 * 2 — 7 $$
$$ y = 8–7 $$
$$ y = 1 $$

Может быть более одного ответа?

Нет. Функция — это уникальное отображение домена (входов) в диапазон (выходы). Для любого входа может быть только один выход. Однако может быть много входов, которые дают одинаковый результат (рассмотрим y = 4 + 0 * x).

Что такое индивидуальная функция?

Однозначная функция имеет более строгое определение, чем обычная функция. Каждый вход не только сопоставляется с одним и только одним выходом, но и каждый выход сопоставляется с одним и только одним входом.

В чем разница между независимыми и зависимыми переменными?

Независимые переменные — это входные данные — мы можем выбирать их, чтобы они не зависели от самой функции. Зависимые переменные — это выходы — они зависят от функции и вашего выбора входов (независимых переменных).

Часто эти термины трудно понять в контексте простого математического уравнения, например y = 2x. В конце концов, мы могли бы решить уравнение относительно x и называть его зависимой переменной, если бы захотели.Это потому, что это функция один-к-одному. Однако терминология может иметь больше смысла, если рассматривать ее как часть более крупной проблемы, особенно связанной с физическими величинами. Например, если мы рассчитываем стоимость цистерны с бензином, общая цена будет , в зависимости от количества купленных галлонов, которое выбирается водителем самостоятельно.

Просто помните, что независимая переменная — это та, которую вы выбираете (вход) — зависимая переменная является результатом функции (выходом или ответом ).2+ \ frac {1} {4} $$

Каждое из вышеперечисленных — это функция. Даже первый пример, в котором нет ay = или af (x), можно рассматривать как функцию — у него есть входное значение (x) и выходное значение (ответ, который вы получите, когда оцените его для определенного x) . Каждый из них имеет независимых и зависимых переменных , и каждая из них имеет домен и диапазон .

Все еще потеряно? Вы можете задать свой вопрос о функциях в разделе алгебры на нашей доске объявлений.

Определение функции

Показать уведомление для мобильных устройств

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-4: Определение функции

Теперь нам нужно перейти ко второй теме этой главы.Однако, прежде чем мы это сделаем, нам нужно сделать быстрое определение.

Определение отношения

Отношение — это набор упорядоченных пар.

Это кажется странным определением, но оно нам понадобится для определения функции (что является основной темой этого раздела). Однако, прежде чем мы фактически дадим определение функции, давайте посмотрим, сможем ли мы понять, что такое отношение.

Вернитесь к примеру 1 в разделе «Графики» этой главы.2} — 4 \). Вот упорядоченные пары, которые мы использовали.

\ [\ left ({- 2,5} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3 } \ right) \, \, \, \, \ left ({1, — 4} \ right) \, \, \, \, \ left ({2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4,5} \ right) \]

Любые из следующих отношений являются отношениями, потому что они состоят из набора упорядоченных пар.

\ [\ begin {align *} & \ left \ {{\ left ({- 2,5} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \, \ left ({2, — 3} \ right)} \ right \} \\ & \ left \ {{\ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4,5} \ right)} \ right \} \\ & \ left \ {{\ left ({3,0} \ right) \, \, \, \ , \ left ({4,5} \ right)} \ right \} \\ & \ left \ {{\ left ({- 2,5} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({1, — 4} \ right) \, \ , \, \, \ left ({2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4, 5} \ right)} \ right \} \ end {align *} \]

Конечно, есть еще много отношений, которые мы могли бы сформировать из списка упорядоченных пар выше, но мы просто хотели перечислить несколько возможных отношений, чтобы привести некоторые примеры.Также обратите внимание, что мы также можем получить другие упорядоченные пары из уравнения и добавить их в любое из приведенных выше отношений, если захотим.

Теперь вы, вероятно, спрашиваете, почему мы заботимся об отношениях, и это хороший вопрос. Некоторые отношения очень специфичны и используются почти на всех уровнях математики. Следующее определение говорит нам, какие отношения являются этими особыми отношениями.

Определение функции

Функция — это отношение, для которого каждое значение из набора первых компонентов упорядоченных пар связано ровно с одним значением из набора вторых компонентов упорядоченной пары.

Ладно, это полный рот. Посмотрим, сможем ли мы понять, что это значит. Давайте посмотрим на следующий пример, который, надеюсь, поможет нам во всем этом разобраться.

Пример 1 Следующее отношение является функцией.
\ [\ left \ {{\ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ( {2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4,5} \ right)} \ right \} \]

Показать решение

Из этих упорядоченных пар мы получаем следующие наборы первых компонентов ( i.{{\ mbox {nd}}}} {\ mbox {компоненты:}} \ left \ {{0, — 3,0,5} \ right \} \]

Для набора вторых компонентов обратите внимание, что «-3» встречается в двух упорядоченных парах, но мы указали его только один раз.

Чтобы понять, почему это отношение является функцией, просто выберите любое значение из набора первых компонентов. Теперь вернитесь к отношению и найдите каждую упорядоченную пару, в которой это число является первым компонентом, и перечислите все вторые компоненты из этих упорядоченных пар.Список вторых компонентов будет состоять ровно из одного значения.

Например, давайте выберем 2 из набора первых компонентов. Из отношения мы видим, что существует ровно одна упорядоченная пара с 2 в качестве первого компонента, \ (\ left ({2, — 3} \ right) \). Следовательно, список вторых компонентов (, т.е. список значений из набора вторых компонентов), связанный с 2, представляет собой ровно одно число -3.

Обратите внимание, что нас не волнует, что -3 является вторым компонентом второго упорядоченного номинала в отношении.Это вполне приемлемо. Мы просто не хотим, чтобы было больше одной упорядоченной пары с 2 в качестве первого компонента.

Мы рассмотрели одно значение из набора первых компонентов для нашего быстрого примера, но результат будет таким же для всех остальных вариантов. Независимо от выбора первых компонентов с ним будет связан ровно один второй компонент.

Следовательно, это отношение является функцией.

Чтобы действительно почувствовать, что нам говорит определение функции, мы, вероятно, должны также проверить пример отношения, которое не является функцией.

Пример 2 Следующее отношение не является функцией.

\ [\ left \ {{\ left ({6,10} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 7,3} \ right) \, \, \, \, \ left ({ 0,4} \ right) \, \, \, \, \ left ({6, — 4} \ right)} \ right \} \]

Показать решение

Не беспокойтесь о том, откуда взялась эта связь. {{\ mbox {st}}}} {\ mbox {components:}} \ left \ {{6, — 7,0} \ right \} \ hspace {0.{{\ mbox {nd}}}} {\ mbox {компоненты:}} \ left \ {{10,3,4, — 4} \ right \} \]

Из набора первых компонентов выберем 6. Теперь, если мы перейдем к соотношению, мы увидим, что есть две упорядоченные пары с 6 в качестве первого компонента: \ (\ left ({6,10} \ right) \ ) и \ (\ left ({6, — 4} \ right) \). Список вторых компонентов, связанных с 6, будет: 10, -4.

Список вторых компонентов, связанных с 6, имеет два значения, поэтому это отношение не является функцией.

Обратите внимание на тот факт, что если мы выбрали -7 или 0 из набора первых компонентов, то в списке вторых компонентов, связанных с каждым из них, будет только одно число. Это не имеет значения. Тот факт, что мы нашли даже одно значение в наборе первых компонентов с более чем одним вторым компонентом, связанным с ним, достаточно, чтобы сказать, что это отношение не является функцией.

В качестве последнего комментария к этому примеру отметим, что если мы удалим первую и / или четвертую упорядоченную пару из отношения, у нас будет функция!

Итак, надеюсь, у вас есть хоть какое-то представление о том, что нам говорит определение функции.

Теперь, когда мы заставили вас пройти собственно определение функции, давайте дадим еще одно «рабочее» определение функции, которое будет гораздо более полезным для того, что мы здесь делаем.

Фактическое определение работает с отношением. Однако, как мы видели с четырьмя отношениями, которые мы привели до определения функции, и с отношением, которое мы использовали в примере 1, мы часто получаем отношения из какого-либо уравнения.

Важно отметить, что не все отношения основаны на уравнениях! Отношение из второго примера, например, было просто набором упорядоченных пар, которые мы записали для этого примера, и не было получено из какого-либо уравнения.Это также может быть верно для отношений, которые являются функциями. Они не обязательно должны исходить из уравнений.

Однако, как бы то ни было, все функции, которые мы собираемся использовать в этом курсе, основаны на уравнениях. Поэтому давайте напишем определение функции, которая признает этот факт.

Прежде чем мы дадим «рабочее» определение функции, мы должны указать, что это НЕ фактическое определение функции, данное выше. Это просто хорошее «рабочее определение» функции, которое связывает вещи с видами функций, с которыми мы будем работать в этом курсе.

«Рабочее определение» функции

Функция — это уравнение, для которого любой \ (x \), который можно вставить в уравнение, даст ровно один \ (y \) из уравнения.

Вот оно. Это определение функций, которые мы собираемся использовать, и, вероятно, будет легче понять, что оно означает.

Прежде чем мы исследуем это, обратите внимание, что мы использовали фразу «\ (x \), который может быть подключен» в определении.Это обычно означает, что не все \ (x \) могут быть включены в уравнение, и это на самом деле правильно. Мы вернемся и обсудим это более подробно в конце этого раздела, однако на данном этапе просто помните, что мы не можем делить на ноль, и если мы хотим, чтобы действительные числа были исключены из уравнения, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательное число. Итак, с этими двумя примерами ясно, что мы не всегда сможем подставить каждое \ (x \) в какое-либо уравнение.

Далее, имея дело с функциями, мы всегда будем предполагать, что и \ (x \), и \ (y \) будут действительными числами.Другими словами, мы на время забудем, что знаем что-либо о комплексных числах, пока будем заниматься этим разделом.

Хорошо, теперь давайте вернемся к определению функции и рассмотрим несколько примеров уравнений, которые являются функциями, и уравнений, которые не являются функциями.

Пример 3 Определите, какие из следующих уравнений являются функциями, а какие нет. 2} = 4 \)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

«Рабочее» определение функции гласит, что если мы возьмем все возможные значения \ (x \), подставим их в уравнение и решим для \ (y \), мы получим ровно одно значение для каждого значения \ ( Икс\).На этом этапе игры может быть довольно сложно на самом деле показать, что уравнение является функцией, поэтому в основном мы будем обсуждать его. С другой стороны, часто довольно легко показать, что уравнение не является функцией.

a \ (y = 5x + 1 \) Показать решение

Итак, нам нужно показать, что независимо от того, какое \ (x \) мы подставляем в уравнение и решаем для \ (y \), мы получим только одно значение \ (y \). Также обратите внимание, что значение \ (y \), вероятно, будет различным для каждого значения \ (x \), хотя это не обязательно.

Давайте начнем с того, что подставим некоторые значения \ (x \) и посмотрим, что произойдет.

\ [\ begin {align *} x & = — 4: \ hspace {0,25 дюйма} & y & = 5 \ left ({- 4} \ right) + 1 = — 20 + 1 = — 19 \\ x & = 0: \ hspace {0,25 дюйма} & y & = 5 \ left (0 \ right) + 1 = 0 + 1 = 1 \\ x & = 10: \ hspace {0,25 дюйма} & y & = 5 \ left ({ 10} \ right) + 1 = 50 + 1 = 51 \ end {align *} \]

Итак, для каждого из этих значений \ (x \) мы получили одно значение \ (y \) из уравнения.Теперь этого недостаточно, чтобы утверждать, что это функция. Чтобы официально доказать, что это функция, нам нужно показать, что она будет работать независимо от того, какое значение \ (x \) мы подставляем в уравнение.

Конечно, мы не можем подставить в уравнение все возможные значения \ (x \). Это просто невозможно физически. Однако давайте вернемся и посмотрим на те, которые мы подключили. Для каждого \ (x \) после подключения мы сначала умножили \ (x \) на 5, а затем прибавили к нему 1.2} + 1 = 9 + 1 = 10 \ end {align *} \]

А теперь давайте немного подумаем о том, что мы делали с оценками. Сначала мы возводили в квадрат значение \ (x \), которое мы подключили. Когда мы возводим в квадрат число, будет только одно возможное значение. Затем мы добавляем к этому 1, но опять же, это даст одно значение.

Итак, похоже, что это уравнение также является функцией.

Обратите внимание, что получить одинаковое значение \ (y \) для разных \ (x \) — это нормально.2} & = 10 + 1 = 11 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} y = \ pm \ sqrt {11} \ end {align *} \]

Теперь помните, что мы решаем для \ (y \), и это означает, что в первом и последнем случаях выше мы фактически получим два разных значения \ (y \) из \ (x \), и поэтому это уравнение НЕ является функцией.

Обратите внимание, что у нас могут быть значения \ (x \), которые приведут к единственному \ (y \), как мы видели выше, но это не имеет значения. Если даже одно значение \ (x \) дает более одного значения \ (y \), при решении уравнения не будет функцией. 2} = 4 \ hspace {0.2} = 4 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} y = \ pm \, 2 \]

Итак, это уравнение не является функцией. Напомним, что из предыдущего раздела это уравнение круга. Круги никогда не бывают функциями.

Надеюсь, эти примеры позволили вам лучше понять, что такое функция.

Теперь нам нужно перейти к так называемой нотации функции . Обозначения функций будут широко использоваться в большинстве оставшихся глав этого курса, поэтому важно понимать их.2} — 5x + 3 \]

Буква, которую мы используем, не имеет значения. Важна часть «\ (\ left (x \ right) \)». Буква в скобках должна соответствовать переменной, используемой справа от знака равенства.

Очень важно отметить, что \ (f \ left (x \ right) \) на самом деле не более чем действительно причудливый способ записи \ (y \). Если вы запомните это, вы можете обнаружить, что работать с обозначениями функций становится немного проще.

Кроме того, это НЕ умножение \ (f \) на \ (x \)! Это одна из наиболее распространенных ошибок, которые люди допускают, когда впервые сталкиваются с функциями.2} — 5x + 3 \]

и спросите, каково его значение для \ (x = 4 \). В терминах обозначений функций мы будем «спрашивать» об этом, используя обозначение \ (f \ left (4 \ right) \). Итак, когда в скобках есть что-то, кроме переменной, мы действительно спрашиваем, каково значение функции для этой конкретной величины.

Теперь, когда мы говорим значение функции, мы действительно спрашиваем, каково значение уравнения для этого конкретного значения \ (x \). Вот \ (f \ left (4 \ right) \).2} — 5} \ справа) \)

Показать все решения Скрыть все решения

a \ (f \ left (3 \ right) \) и \ (g \ left (3 \ right) \) Показать решение

Хорошо, у нас есть две оценки функций, которые нужно выполнить, и у нас также есть две функции, поэтому нам нужно будет решить, какую функцию использовать для оценок. Главное здесь — обратить внимание на букву перед круглой скобкой. Для \ (f \ left (3 \ right) \) мы будем использовать функцию \ (f \ left (x \ right) \), а для \ (g \ left (3 \ right) \) мы будем использовать \ (g \ влево (х \ вправо) \).2} — 2 \ влево ({- 10} \ вправо) + 8 = 100 + 20 + 8 = 128 \]

Убедитесь, что здесь вы правильно разбираетесь с негативными знаками. Теперь второй.

\ [g \ left ({- 10} \ right) = \ sqrt {- 10 + 6} = \ sqrt {- 4} \]

Мы достигли разницы. Напомним, когда мы впервые начали говорить об определении функций, мы заявили, что будем иметь дело только с действительными числами. Другими словами, мы подставляем только действительные числа и хотим, чтобы в качестве ответов возвращались только действительные числа.2} — 2 \ влево (0 \ вправо) + 8 = 8 \]

Опять же, не забывайте, что это не умножение! По какой-то причине ученикам нравится думать об этом как об умножении и получать нулевой ответ. Будь осторожен.

d \ (f \ left (t \ right) \) Показать решение

Остальные оценки теперь будут немного другими. Как показывает этот, нам не нужно просто указывать числа в скобках. Однако оценка работает точно так же. Мы вставляем \ (x \) справа от знака равенства в скобки.2} — 2t + 8 \]

Обратите внимание, что в этом случае это почти то же самое, что и наша исходная функция, за исключением того, что на этот раз мы используем \ (t \) в качестве переменной.

e \ (f \ left ({t + 1} \ right) \) и \ (f \ left ({x + 1} \ right) \) Показать решение

Теперь давайте немного посложнее, или, по крайней мере, они кажутся более сложными. Однако все не так плохо, как может показаться. Сначала мы оценим \ (f \ left ({t + 1} \ right) \). Этот работает точно так же, как и предыдущая часть.2} + 1} \ end {выровнять *} \]

Оценка функций — это то, чем мы будем много заниматься в следующих разделах и главах, поэтому убедитесь, что вы можете это сделать. Вы обнаружите, что несколько последующих разделов будет очень трудным для понимания и / или выполнения работы, если вы не имеете хорошего представления о том, как работает оценка функций.

Пока мы говорим об оценке функций, мы должны теперь поговорить о кусочных функциях . На самом деле мы уже видели пример кусочной функции, даже если в то время мы не называли его функцией (или кусочной функцией).Вспомните математическое определение абсолютной величины.

\ [\ left | х \ право | = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} x & {{\ mbox {if}} x \ ge 0} \\ {- x} & {{\ mbox {if}} x

Это функция, и если мы используем обозначение функции, мы можем записать ее следующим образом:

\ [f \ left (x \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} x & {{\ mbox {if}} x \ ge 0} \\ {- x} & {{\ mbox {if}} x

Это также пример кусочной функции. Кусочная функция — это не что иное, как функция, которая разбита на части, и какой фрагмент вы используете, зависит от значения \ (x \).2} + 4} & {{\ mbox {if}} t \ le — 4} \\ {10} & {{\ mbox {if}} — 4 15} \ end {array}} \ right. \]

оценивают каждое из следующих действий.

1. \ (g \ left ({- 6} \ right) \)
2. \ (g \ left ({- 4} \ right) \)
3. \ (г \ влево (1 \ вправо) \)
4. \ (g \ left ({15} \ right) \)
5. \ (g \ left ({21} \ right) \)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Прежде чем приступить к оценкам, обратите внимание, что мы используем разные буквы для функции и переменной, чем те, которые мы использовали до этого момента.Это не повлияет на работу оценки. Не зацикливайтесь на том, чтобы видеть \ (f \) для функции и \ (x \) для переменной, что вы не сможете решить любую проблему, в которой нет этих букв.

Теперь, чтобы выполнить каждую из этих оценок, первое, что нам нужно сделать, это определить, какому неравенству удовлетворяет число, и оно будет удовлетворять только одному неравенству. Когда мы определяем, какому неравенству удовлетворяет число, мы используем уравнение, связанное с этим неравенством.2} + 4 = 52 \]

c \ (g \ left (1 \ right) \) Показать решение

В этом случае число 1 удовлетворяет среднему неравенству, поэтому мы будем использовать среднее уравнение для оценки. Эта оценка часто вызывает проблемы у студентов, несмотря на то, что на самом деле это одна из самых простых оценок, которые мы когда-либо проводим. Мы знаем, что оцениваем функции / уравнения, подставляя номер переменной. В этом случае нет переменных. Это не проблема. Поскольку переменных нет, это просто означает, что мы на самом деле ничего не подключаем, и получаем следующее:

\ [g \ left (1 \ right) = 10 \]

d \ (g \ left ({15} \ right) \) Показать решение

Опять же, как и со второй частью, нам нужно быть немного осторожнее с этой.В этом случае число удовлетворяет среднему неравенству, так как это число со знаком равенства в нем. Затем, как и в предыдущей части, мы получаем

\ [g \ left ({15} \ right) = 10 \]

Не радуйтесь тому факту, что предыдущие две оценки имели одинаковое значение. Иногда это будет происходить.

e \ (g \ left ({21} \ right) \) Показать решение

Для окончательной оценки в этом примере число удовлетворяет нижнему неравенству, поэтому мы будем использовать нижнее уравнение для оценки.

\ [g \ left ({21} \ right) = 1 — 6 \ left ({21} \ right) = — 125 \]

Кусочные функции не так часто возникают в классе алгебры, однако они возникают в нескольких местах в более поздних классах, поэтому вам важно понимать их, если вы собираетесь перейти к большему количеству математических классов.

В качестве последней темы нам нужно вернуться и коснуться того факта, что мы не всегда можем подключить каждый \ (x \) к каждой функции. Мы кратко говорили об этом, когда давали определение функции, и мы видели пример этого, когда оценивали функции.Теперь нам нужно взглянуть на это немного подробнее.

Во-первых, нам нужно избавиться от пары определений.

Домен и диапазон

Область уравнения — это набор всех \ (x \), которые мы можем вставить в уравнение и получить действительное число для \ (y \). Диапазон уравнения — это набор всех \ (y \), которые мы когда-либо можем получить из уравнения.

Обратите внимание, что мы действительно имели в виду использовать уравнение в определениях выше вместо функций.Это действительно определения уравнений. Однако, поскольку функции также являются уравнениями, мы также можем использовать определения функций.

Определение диапазона уравнения / функции для многих функций может быть довольно трудным, поэтому мы не будем вдаваться в подробности. Здесь нас гораздо больше интересует определение областей функций. Согласно определению, домен — это набор всех \ (x \), которые мы можем подключить к функции и получить действительное число. На данный момент это означает, что нам нужно избегать деления на ноль и извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.2} + 3x — 10 = \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 2} \ right) = 0 \ hspace {0,25in} x = — 5, \, \, x = 2 \ ]

Итак, мы получим деление на ноль, если подставим \ (x = — 5 \) или \ (x = 2 \). Это означает, что нам нужно избегать этих двух чисел. Однако все остальные значения \ (x \) будут работать, поскольку они не дают деления на ноль. Тогда домен

\ [{\ mbox {Домен: все действительные числа, кроме}} x = — 5 {\ mbox {и}} x = 2 \]

b \ (f \ left (x \ right) = \ sqrt {5 — 3x} \) Показать решение

В этом случае у нас не будет задач деления на ноль, так как у нас нет дробей.У нас действительно есть квадратный корень в задаче, поэтому нам нужно позаботиться о том, чтобы извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Эта часть будет работать немного иначе, чем предыдущая. В этой части мы определили значение (я) \ (x \), которого следует избегать. В этом случае напрямую получить домен будет так же просто. Чтобы избежать квадратного корня из отрицательных чисел, все, что нам нужно сделать, это потребовать, чтобы

\ [5 — 3x \ ge 0 \]

Это довольно простое линейное неравенство, которое мы должны решить на данный момент.2} + 4}} \) Показать решение

В этом случае у нас есть дробь, но обратите внимание, что знаменатель никогда не будет равен нулю для любого действительного числа, поскольку x ² гарантированно будет положительным или нулевым, и добавление 4 к этому будет означать, что знаменатель всегда будет минимум 4. Другими словами, знаменатель никогда не будет равен нулю. Итак, все, что нам нужно сделать, это позаботиться о квадратном корне в числителе.

Для этого нам потребуется,

\ [\ begin {align *} 7x + 8 & \ ge 0 \\ 7x & \ ge — 8 \\ x & \ ge — \ frac {8} {7} \ end {align *} \]

Теперь мы можем фактически подставить любое значение \ (x \) в знаменатель, однако, поскольку у нас есть квадратный корень в числителе, мы должны убедиться, что все \ (x \) удовлетворяют неравенство выше, чтобы избежать проблем.2} — 16}} \) Показать решение

В этой заключительной части нам нужно беспокоиться как о квадратном корне, так и о делении на ноль. Давайте сначала позаботимся о квадратном корне, поскольку это, вероятно, наложит наибольшее ограничение на значения \ (x \). Итак, чтобы квадратный корень оставался счастливым (, т.е. не было квадратного корня из отрицательных чисел), нам потребуется это,

\ [\ begin {align *} 10x — 5 & \ ge 0 \\ 10x & \ ge 5 \\ x & \ ge \ frac {1} {2} \ end {align *} \]

Итак, по крайней мере, нам понадобится \ (x \ ge \ frac {1} {2} \), чтобы избежать проблем с квадратным корнем.2} — 16 = \ left ({x — 4} \ right) \ left ({x + 4} \ right) = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = — 4, \, \, х = 4 \]

Теперь обратите внимание, что \ (x = — 4 \) не удовлетворяет неравенству, которое нам нужно для квадратного корня, и поэтому значение \ (x \) уже исключено квадратным корнем. С другой стороны, \ (x = 4 \) удовлетворяет неравенству. Это означает, что можно подставить \ (x = 4 \) в квадратный корень, однако, поскольку это даст деление на ноль, нам нужно будет избегать этого.

Тогда домен для этой функции —

\ [{\ mbox {Домен:}} x \ ge \ frac {1} {2} {\ mbox {except}} x = 4 \]

Математические функции | Вики программиста

В языках программирования математические функции вычисляют значения «функций», как это определено в математической науке. В то время как функции в языках программирования являются подпрограммами, которые возвращают значения при определенных параметрах, функции в математике определяются как отношения между элементами в наборе определений D _f и элементами в наборе значений D _v , так что

f : x -> y, где x принадлежит D _f и y к D _v ,

для каждого x должен быть ровно один y, и это y должно быть то же самое всякий раз, когда вызывается f .Это также может быть выражено в более узнаваемом

f (x) = y,

шаблон, который языки программирования заимствовали с давних времен языка программирования FORTRAN. В большинстве языков программирования не требуется, чтобы f давал одно и то же возвращаемое значение (такое же, как значение y из набора значений D _v ) независимо от того, когда функция вызывается, но вместо этого «функция» может запомнить состояние и создать другое значение при его следующем вызове.

Математические функции языков программирования подчиняются математическому правилу математических функций — всегда возвращать одно и то же значение. Наиболее часто используемые из них производят одно возвращаемое значение с плавающей запятой из одного, а иногда и двух аргументов с плавающей запятой. Наиболее распространенные математические функции относятся к квадратным корням, логарифмам, экспонентам и тригонометрии.

В целом []

Обычно языки программирования используют для предоставления минимального набора математических функций, которые подходят для большинства математических целей, хотя иногда и с некоторыми недостатками в отношении точности чисел.

Для некоторых математически ориентированных языков программирования существуют также сложные версии, вычисляющие из чисел комплексных значений и возвращающие комплексные возвращаемые значения.

Знаковые и делительные функции []

Основная статья: функции знака и деления

Функции знака и деления используются для приема значений с плавающей запятой и возврата значений с плавающей запятой. Часто существуют аналогичные функции для целочисленных значений, встроенные в сам язык программирования.

Должны быть доступны следующие варианты использования:

• abs (x) — абсолютное значение (в математике записывается как | x |), то есть значение, но без знака минус, так что abs (-2) = abs (2) = 2,
• min (x, y) — возвращает нижнее (минимальное) значение x и y, поэтому, если x> y, возвращается y, в противном случае — x.
• max (x, y) — возвращает большее (максимальное) значение x и y, поэтому, если x> y, возвращается x, иначе y.

логарифмы и экспоненты []

Логарифмы и экспоненты принимают значения с плавающей запятой и возвращают значения с плавающей запятой.

Общий набор функций для степеней и экспонент

• sqrt (x) — реализация квадратного корня, так что если sqrt (x) = y, то x = y * y
• pow (x, y) — реализация возведения в степень x ^y , [WRITEME!]
• log (x) — обычно не реализуется log ₁₀ x, а вместо этого log _e x = ln x, [WRITEME!]
• exp (x) — инверсия log (x), что означает, что он реализует e ^x , [WRITEME!]

Константа:

• e — постоянный натуральный логарифм 2.71828182845 …

тригонометрия []

Тригонометрические функции принимают значения с плавающей запятой и возвращают значения с плавающей запятой.

Обычно на большинстве языков программирования представлены следующие функции:

• sin (x) — [НАПИСАТЬ!]
• cos (x) — [НАПИСАТЬ!]
• tan (x) — [НАПИСАТЬ!]
• arctan2 (y, x) (часто называют atan2 ) — [НАПИСАТЬ!]

И их константа pi:

• пи — 3.1415926535897931 … отношение длины окружности к ее диаметру

Конкретные языки программирования []

ActionScript []

ActionScript имеет примерно те же математические функции, что и Java.

C []

Основная статья: Математические функции в C

Математические функции C включены при просмотре заголовка math.h:

В процессе компоновки делается ссылка на библиотеку libm.так, например, по звонку

 cc -o программа program.c -lm
 

По всем стандартам C библиотека libm.so находится в глобальной библиотеке C, так что для ее связывания никогда не требуется параметр -L. При необходимости связанной статической математической библиотеки, компиляция должна быть

 cc -o program program.c /usr/lib/libm.a
 

или вместо / usr / lib /, где бы ваша операционная система хранит библиотеки C.

Groovy []

Многие математические функции могут быть вызваны напрямую как метод конкретных объектов.

Числовые классы []

Коллекции []

Java []

• Math.abs дает абсолютное значение чего-то
• Math. Около округляет число до ближайшего полного числа
• Math.random генерирует псевдослучайное число от 0 до 1
• Math.PI дает число Пи с точностью до 8 знаков после запятой
• Math.E дает E.
• Math.sqrt дает квадратный корень из числа
• Матем.tan дает значение тангенса числа
• Math.cos дает значение косинуса числа

Python []

Функции []

• abs (x) — абсолютное значение x
• math.sqrt (x) — квадратный корень из x
• x ** y — x в степени y
• math.log (x)
• math.log10 (x)
• math.exp (x)
• math.isinf (x) — Проверяет, является ли число с плавающей запятой x положительным или отрицательным бесконечным.
• math.ceil (x) — потолок x
• математика.этаж (x) — пол x

Константы []

примечание: функций больше, чем указано по ссылке ниже

См. Также []

PostgreSQL: Документация: 9.5: Математические функции и операторы

Эта документация предназначена для неподдерживаемой версии PostgreSQL.
Вы можете просмотреть ту же страницу для
Текущий
версия или одна из других поддерживаемых версий, перечисленных выше.

Математические операторы предусмотрены для многих типов PostgreSQL.Для типов без стандартных математических соглашений (например, типов даты / времени) мы описываем фактическое поведение в следующих разделах.

Таблица 9-2 показывает доступные математические операторы.

Таблица 9-2. Математические операторы

Побитовые операторы работают только с целочисленными типами данных и также доступны для типов битовых строк, бит и бит, как показано в Таблице 9-11.

Таблица 9-3 показывает доступные математические функции. В таблице dp означает двойную точность. Многие из этих функций представлены в нескольких формах с разными типами аргументов. Если не указано иное, любая заданная форма функции возвращает тот же тип данных, что и ее аргумент. Функции, работающие с данными двойной точности, в основном реализованы поверх библиотеки C хост-системы; поэтому точность и поведение в граничных случаях могут варьироваться в зависимости от хост-системы.

Таблица 9-3.Математические функции

Знак

В таблице 9-4 показаны функции для генерации случайных чисел.

Таблица 9-4. Случайные функции

Характеристики значений, возвращаемых функцией random () , зависят от реализации системы.Он не подходит для криптографических приложений; см. альтернативу в модуле pgcrypto.

Наконец, в таблице 9-5 показаны доступные тригонометрические функции. Все тригонометрические функции принимают аргументы и возвращают значения типа двойной точности. Аргументы тригонометрических функций выражаются в радианах. Возвращаемые обратными функциями значения выражаются в радианах. См. Функции преобразования единиц радиан () и градуса () выше.

Таблица 9-5. Тригонометрические функции

.