Множество отрицательных чисел: Множества чисел: раскрытие понятий и примеры

Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные, комплексные

Тестирование онлайн

• Округление чисел

Натуральные числа

Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3… и т.д.

Ноль не является натуральным.

Натуральные числа принято обозначать символом N.

Целые числа. Положительные и отрицательные числа

Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными, например, +1 и -1, +5 и -5. Знак «+» обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит «+». Такие числа называются положительными. Числа, перед которыми стоит знак «-«, называются отрицательными.

Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.

Рациональные числа

Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби . Например,

Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.

Иррациональные числа

Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:

Множество иррациональных чисел обозначается J.

Действительные числа

Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.

Действительные числа обозначаются символом R.

Округление чисел

Рассмотрим число 8,759123… . Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой. Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых — после запятой две цифры; до тысячных — три цифры и т.д.

Округлить 8,759123… с точностью до целой части.

Округлить 8,759123… с точностью до десятой части.

Округлить 8,759123… с точностью до сотой части.

Округлить 8,759123… с точностью до тысячной части.

Что такое множество

Множество — это набор каких-либо объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.

Например: множество школьников, множество машин, множество чисел.

В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.

Обозначения

Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.

Например, если наших друзей зовут Том, Джон и Лео, то мы можем задать множество друзей, элементами которого будут Том, Джон и Лео.

Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F (friends), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:

F = { Том, Джон, Лео }

Пример 2. Запишем множество делителей числа 6.

Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D

D

затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6

D = { 1, 2, 3, 6 }

Если какой-то элемент принадлежит заданному множеству, то эта принадлежность указывается с помощью знака принадлежности ∈. К примеру, делитель 2 принадлежит множеству делителей числа 6 (множеству D). Записывается это так:

2 ∈ D

Читается как «2 принадлежит множеству делителей числа 6»

Если какой-то элемент не принадлежит заданному множеству, то эта не принадлежность указывается с помощью зачёркнутого знака принадлежности ∉. К примеру, делитель 5 не принадлежит множеству D. Записывается это так:

5 ∉ D

Читается как «5 не принадлежит множеству делителей числа 6»

Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том:

{ Том }

Зададим множество, которое состоит из одного числа 2

{ 2 }

Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5

{ 2, 5 }

Множество натуральных чисел

Это первое множество с которым мы начали работать. Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.

Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.

В прошлых уроках, когда мы употребляли слово «число», чаще всего подразумевалось именно натуральное число.

В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N.

Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем  число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N

1 ∈ N

Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»

Множество целых чисел

Множество целых чисел включает в себя все положительные и отрицательные числа, а также число 0.

Множество целых чисел обозначается заглавной латинской буквой Z.

Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:

−5 ∈ Z

Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:

10 ∈ Z

Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:

0 ∈ Z

В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа.

Множество рациональных чисел

Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — числитель дроби, b — знаменатель.

В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).

Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2

10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби , а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.

Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.

Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.

12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби , а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.

Мы вычислили дробь    и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:

При выделении целой части в дроби , получается смешанное число . Видим, что смешанное число  тоже может быть представлено в виде дроби .  Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.

В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:

• целые числа
• обыкновенные дроби
• десятичные дроби
• смешанные числа

Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q.

Например укажем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:

∈ Q

Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:

4,5 ∈ Q

Укажем, что смешанное число   принадлежит множеству рациональных чисел:

 ∈ Q

Вводный урок по множествам завершён. В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

натуральный, рациональный, иррациональный, действительные числа, комплексный

Понимание чисел, особенно натуральных чисел, является одним из старейших математических «умений». Многие цивилизации, даже современные, приписывали числам некие мистические свойства ввиду их огромной важности в описании природы.
Хотя современная наука и математика не подтверждают эти «волшебные» свойства, значение теории чисел неоспоримо.

Исторически сначала появилось множество натуральных чисел, затем довольно скоро к ним добавились дроби и положительные иррациональные числа. Ноль и отрицательные числа были введены после этих подмножеств множества действительных чисел. Последнее множество, множество комплексных чисел, появилось только с развитием современной науки.

В современной математике числа вводят не в историческом порядке, хотя и в довольно близком к нему.

Натуральные числа $\mathbb{N}$

Множество натуральных чисел часто обозначается как
$\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,4… \rbrace $, и часто его дополняют нулем, обозначая $\mathbb{N}_0$.

В $\mathbb{N}$ определены операции сложения (+) и умножения ($\cdot$) со следующими свойствами для любых $a,b,c\in \mathbb{N}$:

1. $a+b\in \mathbb{N}$, $a\cdot b \in \mathbb{N}$ множество $\mathbb{N}$ замкнуто относительно операций сложения и умножения
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ коммутативность
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ассоциативность
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивность
5. $a\cdot 1=a$ является нейтральным элементом для умножения

Поскольку множество $\mathbb{N}$ содержит нейтральный элемент для умножения, но не для сложения, добавление нуля к этому множеству обеспечивает включение в него нейтрального элемента для сложения.

Кроме этих двух операций, на множестве $\mathbb{N}$ определены отношения «меньше» ($

1. $a b$ трихотомия
2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия
3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность
4. если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Целые числа $\mathbb{Z}$

Примеры целых чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120…$

Решение уравнения
$a+x=b$, где $a$ и $b$ — известные натуральные числа, а $x$ — неизвестное натуральное число, требует введения новой операции — вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$. Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $\mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения. Это приводит к введению множества целых чисел: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3…\rbrace$.

Поскольку $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $\cdot$ и отношения $
1. $0+a=a+0=a$ существует нейтральный элемент для сложения
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ существует противоположное число $-a$ для $a$

Свойство 5.:
5. если $0\leq a$ и $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

Множество $\mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z})$.

Рациональные числа $\mathbb{Q}$

Примеры рациональных чисел:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}…$

Теперь рассмотрим уравнения вида
$a\cdot x=b$, где $a$ и $b$ — известные целые числа, а $x$ — неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления ($:$), и решение приобретает вид $x=b:a$, то есть $x=\frac{b}{a}$. Опять возникает проблема, что $x$ не всегда принадлежит $\mathbb{Z}$, поэтому множество целых чисел необходимо расширить. Таким образом вводится множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с элементами $\frac{p}{q}$, где $p\in \mathbb{Z}$ и $q\in \mathbb{N}$.{-1}$:
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=1)$

Порядок множества $\mathbb{Q}$ можно расширить таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}

Множество $\mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел.

Иррациональные числа $\mathbb{I}$

Примеры иррациональных чисел:
$\sqrt{2} \approx 1.41422135…$
$\pi \approx 3.1415926535…$

Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении. Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения
$x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на множестве рациональных чисел.2=a$, где $a$ — известное рациональное число, а $x$ — неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$… принадлежат этому множеству.

Действительные числа $\mathbb{R}$

Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел.
Поскольку $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве. Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы.
В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем.

Для того, чтобы определение множества действительных чисел было полным, необходимо ввести дополнительную аксиому, различающую множества
$\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$.2=-1$. Расширение множества $\mathbb{R}$ на множество $\mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел.
Также легко показать, что подмножество множества $\mathbb{C}$, заданное как $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или $R\subset\mathbb{C}$.

Алгебраическая структура множества $\mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства:
1. коммутативность сложения и умножения
2. ассоциативность сложения и умножения
3. $0+i0$ — нейтральный элемент для сложения
4. $1+i0$ — нейтральный элемент для умножения
5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению
6. существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения.

1.1.5. Целые числа

Глава 1. Арифметика

1.1.

1.1.5.

Теперь, когда у нас уже определены положение натуральных чисел на координатной прямой и число 0, мы можем расширить числовое множество так, чтобы операция вычитания была определена на всем множестве.

Рассмотрим снова координатную прямую x. Заметим, что единичный отрезок можно откладывать на этой прямой не только вправо от точки O, обозначая тем самым натуральные числа, но и влево. Рассмотрим, например, точку A, как было сказано выше, отвечающую числу 5. Построим теперь точку A’, симметричную точке A относительно точки O. Координатой точки A считается число 5, а координату точки A’ записывают так: –5 и читают «минус пять». По определению, координатой точки O считается число 0 (нуль). Числа 5 и –5 называют числами противоположными. Аналогично, любому натуральному числу соответствует противоположное.

Это множество обозначается Сами натуральные числа иногда записывают со знаком плюс (+), а им противоположные всегда пишут со знаком минус (–). Знак минус перед целым отрицательным числом называется знаком количества в отличие от знака вычитания, который называется знаком действия.

Заданное направление координатной прямой называется положительным, противоположное направление называется отрицательным.

В нашем примере модулем числа –5 является число 5. Операция модуль обозначается двумя вертикальными чертами, например,

Мы помним, что разность двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. Теперь, введя множество отрицательных чисел, мы можем изучить операции на множестве целых чисел.

Сложение.

1. Для того, чтобы сложить два целых числа с одинаковыми знаками, нужно сложить их модули и перед суммой поставить их общий знак.

   
   Пример 1

   Вычислите (+2) + (+5).

   
   

   (+2) + (+5) = +7. Ответ. +7.

   
   Пример 2

   Вычислите (–4) + (–7).

   
   

   (–4) + (–7) = –11. Ответ. –11.

2. Для того, чтобы сложить два целых числа с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и перед результатом поставить знак большего по модулю числа.

   
   Пример 3

   Вычислите (–2) + (+5).

   
   

   (–2) + (+5) = +3. Ответ. +3.

   
   Пример 4

   Вычислите (+4) + (–7).

   
   

   (+4) + (–7) = –3. Ответ. –3.

Вычитание.

Вычитание двух целых чисел сводится к сложению уменьшаемого и числа, противоположному вычитаемому.

Умножение.

Для того, чтобы перемножить два целых числа, нужно перемножить их модули и перед произведением поставить знак плюс (+), если исходные числа были одного знака, и минус (–) – если разного.

Правило знаков при умножении:

При перемножении нескольких сомножителей знак произведения положителен, если число отрицательных сомножителей чётно, и отрицателен, если нечётно.

• 
  Пример 10

  Вычислите (–2) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–3) ∙ (+4).

  
  

  (–2) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–3) ∙ (+4) = –360 (три отрицательных сомножителя). Ответ. –360.

  
  Пример 11

  Вычислите (–2) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (+3) ∙ (+4).

  
  

  (–2) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (+3) ∙ (+4) = 360 (два отрицательных сомножителя). Ответ. 360.

Деление.

Для того, чтобы разделить одно целое число на другое, нужно разделить модуль первого числа на модуль второго и поставить перед частным знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковые, и минус, – если разные.



Целые числа: общее представление

В данной статье определим множество целых чисел, рассмотрим, какие целые называются положительными, а какие отрицательными. Также покажем, как  целые числа используются для описания изменения некоторых величин. Начнем с определения и примеров целых чисел.

Целые числа. Определение, примеры

Вначале вспомним про натуральные числа ℕ. Само название говорит о том, что это такие числа, которые естественно использовались для счета с незапамятных времен. Для того, чтобы охватить понятие целых чисел, нам нужно расширить определение натуральных чисел.

Определение 1. Целые числа

Целые числа — это натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль. 

Множество целых чисел обозначается буквой ℤ.

Множество натуральных чисел ℕ — подмножество целых чисел ℤ. Любое натуральное число является целым, но не любое целое число является натуральным.

Из определения следует, что целым является любое из чисел 1, 2, 3.., число 0, а также числа -1, -2, -3,..

В соответствии с этим, приведем примеры. Числа 39, -589, 10000000, -1596, 0 являются целыми числами.

Целые числа и координатная прямая

Пусть координатная прямая проведена горизонтально и направлена вправо. Взглянем на нее, чтобы наглядно представить расположение целых чисел на прямой.

Началу отсчета на координатной прямой соответствует число 0, а точкам, лежащим по обе стороны от нуля соответствуют положительные и отрицательные целые числа. Каждой точке соответствует единственное целое число. 

В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, отложив от начала координат некоторое количество единичных отрезков.

Положительные и отрицательные целые числа

Из всех целых чисел логично выделить положительные и отрицательные целые числа. Дадим их определения.

Определение 2. Положительные целые числа

Положительные целые числа — это целые числа со знаком «плюс».

Например, число 7 — целое число со знаком плюс, то есть положительное целое число. На координатной прямой это число лежит справа от точки отсчета, за которую принято число 0. Другие примеры положительных целых чисел: 12, 502, 42, 33, 100500.

Определение 3. Отрицательные целые числа

Отрицательные целые числа — это целые числа со знаком «минус».

Примеры целых отрицательных чисел: -528, -2568, -1.

Число 0 разделяет положительные и отрицательные целые числа и само не является ни положительным, ни отрицательным. 

Любое число, противоположное положительному целому числу, в силу определения, является отрицательным целым числом. Справедливо и обратное. Число, обратное любому отрицательному целому числу, есть положительное целое число. 

Можно дать другие формулировки определений отрицательных и положительных целых чисел, используя их сравнение с нулем.

Определение 4. Положительные целые числа

Положительные целые числа — это целые числа, которые больше нуля.

Определение 5. Отрицательные целые числа

Отрицательные целые числа — это целые числа, которые меньше нуля.

Соответственно, положительные числа лежат правее начала отсчета на координатной прямой, а отрицательные целые числа находятся левее от нуля.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Ранее мы уже говорили, что натуральные числа — это подмножество целых. Уточним этот момент. Множество натуральных чисел составляют целые положительные числа. В свою очередь, множество отрицательных целых чисел является множеством чисел, противоположных натуральным.

Важно!

Любое натуральное число можно назвать целым, но любое целое число нельзя назвать натуральным. Отвечая на вопрос, являются ли являются ли отрицательные числа натуральными, нужно смело говорить — нет, не являются.

Неположительные и неотрицательные целые числа

Дадим определения.

Определение 6. Неотрицательные целые числа

Неотрицательные целые числа — это положительные целые числа и число нуль.

Определение 7. Неположительные целые числа

Неположительные целые числа — это отрицательные целые числа и число нуль.

Как видим, число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Примеры неотрицательных  целых чисел: 52, 128, 0.

Примеры неположительных целых чисел: -52, -128, 0.

Неотрицательное число — это число, большее или равное нулю. Соответственно, неположительное целое число — это число, меньшее или равное нулю.

Термины «неположительное число» и «неотрицательное число» используются для краткости. Например, вместо того, чтобы говорить, что число a — целое число, которое больше или равно нулю, можно сказать: a — целое неотрицательное число.

Использование целых чисел при описании изменения величин

Для чего используются целые числа? В первую очередь, с их помощью удобно описывать и определять изменение количества каких-либо предметов. Приведем пример.

Пусть на складе хранится какое-то количество коленвалов. Если на склад привезут еще 500 коленвалов, то их количество увеличится. Число 500 как раз и выражает изменение (увеличение) количества деталей. Если потом со склада увезут 200деталей, то это число также будет характеризовать изменение количества коленвалов. На этот раз, в сторону уменьшения.

Если же со склада ничего не будут забирать, и ничего не будут привозить, то число 0 укажет на неизменность количества деталей.

Очевидное удобство использования целых чисел в отличие от натуральных в том, что их знак явно указывает на направление изменения величины (увеличение или убывание).

Понижение температуры на 30 градусов можно охарактеризовать отрицательным числом -30, а увеличение на 2 градуса — положительным целым числом 2.

Приведем еще один пример с использованием целых чисел. На этот раз, представим, что мы должны отдать кому-то 5 монет. Тогда, можно сказать, что мы обладаем -5 монетами. Число 5 описывает размер долга, а знак «минус» говорит о том, что мы должны отдать монеты.

Если мы должны 2 монеты одному человеку, а 3 — другому, то общий долг (5 монет) можно вычислить по правилу сложения отрицательных чисел:

-2+(-3)=-5

Отрицательные числа — это… Что такое Отрицательные числа?

Отрицательное число — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.

Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем нуль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля. Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка, позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n, которое дополняет n до нуля: n + ( − n) = 0. Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a равносильно сложению с противоположным для него: -a.

Свойства отрицательных чисел

Отрицательные числа подчиняются практически тем же правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.

1. Если любое множество положительных чисел ограничено снизу, то любое множество отрицательных чисел ограничено сверху.
2. При умножении целых чисел действует правило знаков: произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми — положительно.
3. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на обратный. Например, умножая неравенство 3 < 5 на -2, мы получаем: -6 > −10.
4. При делении с остатком частное может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Например, разделим −24 на 5 с остатком: .

Исторический очерк

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или признавались как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата. Правда, умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены.

Диофант в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако и он рассматривал их лишь как временные значения.

Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математики Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными. В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Даже Паскаль считал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии.

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation.
2010.

Множества чисел (натуральные, целые, рациональные, действительные). Комплексные числа, их свойства и действия над ними. Множество натуральных чисел

N = {1, 2, 3, ……} –
множество натуральных чисел.

Обозначим буквой
N₀
множество, состоящее из всех натуральных
чисел и нуля. Так как через N мы обозначили
множество всех натуральных чисел, то
можно записать: N₀=N0,
NN₀.

Рассмотрим уравнение
х+а=b,
a,bN₀.

Если аb,
то существует единственное число
c=baN₀,
являющееся решением этого уравнения.
Если же a>b,
то во множестве N₀
уравнение не имеет решений. Чтобы для
любых a,bN₀
существовало решение уравнения, надо
расширить множество N₀.
Такое расширение осуществляется
добавлением к каждому числу а
нового элемента, обозначаемого 
а, так чтобы
в сумме с а
получался нуль:

(
а)+а=0, а+(
а)=0.

Этот новый элемент
называется отрицательным числом,
противоположным натуральному числу а
(или обратным для a
по сложению). Наоборот, положительное
число а
называется противоположным отрицательному
числу -а.

Условимся числа
изображать точками на прямой. Нулю
соответствует фиксированная точка,
называемая начальной или началом. Справа
от начала с одинаковыми интервалами
между двумя соседними числами, равными
единице масштаба, располагаются
натуральные числа, а слева от начала —
отрицательные числа.

Множество целых чисел

Множество, состоящее
из всех натуральных чисел, нуля и всех
отрицательных чисел, называется
множеством целых чисел и обозначается
буквой Z (от немецкого слова «die Zahl»
— число). Имеем: NN₀
Z.

Так как на числовой
оси меньшее число располагается левее
большего, то всякое отрицательное число
меньше любого положительного числа и
нуля. Запись m<0
означает, что m
— отрицательное число.

Во множестве Z
уравнение
x+a=b
всегда имеет единственное решение: х=b
а.

Так как знак минус
означает симметрию относительно начала,
то

 (
а)=а, а
b=а+(
b), а
(b
с)=а
b+с.

При умножении
справедливы следующие правила знаков:

(
а) b=а (
b)=( 
а )b, (
а) (
b)=а b.

Правила арифметических
действий над отрицательными числами
легко выводятся из общих законов
арифметических операций: переместительности
(коммутативности) и сочетательности
(ассоциативности) сложения и умножения,
а также распределительности
(дистрибутивности) умножения относительно
сложения:

а+b=b+а, аb=bа,
а+(b+с)=(а+b)+с, а(bс)=(аb)с, а(b+с)=аb+ас.

Отрицательные
числа впервые появились в Древнем Китае.
Уже в VI-XI веках они систематически
употреблялись в Индии при решении задач.
Однако, в европейской науке отрицательные
числа получили окончательное признание
лишь в XVII веке во времена Рене Декарта
(1596-1650), давшего геометрическое истолкование
чисел как направленных отрезков.

Рациональные числа

Рассмотрим уравнение
ах=b,
где а,b
— целые числа, причем а
0. Если b
делится на а
без остатка, т.е. b=am,
mZ,
то во множестве целых чисел исходное
уравнение имеет единственное решение
х=m.
В противном случае это уравнение не
имеет решений во множестве Z. Чтобы
уравнение имело решение при любых целых
а
и b
при а
0, надо
расширить множество Z, добавляя новые
элементы
,
a,bZ,
а
0.

Число

называется рациональным числом или
дробью с числителем b
и знаменателем а.
Если в рассматриваемое уравнение вместо
х
подставить
,
то получится тождество. Два рациональных
числа
считаются
равными, если
.

Введение положительных
рациональных чисел (дробей) явилось
исторически первым расширением понятия
натурального числа. Оно было вызвано
тем, что не всегда единица измерения
укладывается на измеряемой величине
целое число раз. Дробные числа были уже
известны в Древнем Египте и Вавилоне.
Китайцы и индусы в начале новой эры уже
производили над дробями все арифметические
действия. Сначала пользовались единичными
дробями, т. е. дробями

с числителем единица. Дробь

определялась как сумма m
одинаковых единичных дробей со
знаменателем n.
Лишь с развитием арифметики как науки
о числе стали представлять дроби как
отношение двух целых чисел, т.е.
.
Отсюда и возникло название «рациональное
число» от латинского «ratio» — отношение.

Положительная
дробь называется правильной, если 0<m<n,
т.е. если числитель меньше знаменателя,
и неправильной, если m≥n>0.
Применяя алгоритм деления, всякую
неправильную дробь можно представить
в виде суммы натурального числа и
правильной дроби:

,
0r<n.

Сумму

символически записывают в виде

и называют смешанной дробью с целой
частью q.
Дробь со знаменателем единица
отождествляется с целым числом, равным
числителю, т.е.
.
Если НОД(m,n)=1,
то дробь

называется несократимой.

Дробь

называется десятичной, если ее знаменатель
n
является натуральной степенью числа
10. Для десятичной дроби употребляется
особый вид записи. Например, вместо
,
пишут: 0,0213. Дробь же, записанную в виде
,
где m
и n
— целые числа, n0,
называют обыкновенной.

Десятичные дроби
ввел в начале XVв. самаркандский математик
аль-Каши, умерший около 1436 г., а в Европе
они стали распространяться после выхода
книги Симона Стевина (1548-1620) «Десятая»
в 1585 г. В этой книге десятичные дроби
стали составной частью унификации всей
системы мер на десятичной основе.

Десятичные дроби,
имеющие после запятой конечное число
ненулевых цифр, называются конечными.
Для их превращения в обыкновенные или
смешанные дроби достаточно записать
соответствующий знаменатель 10n, взяв
числителем число из цифр после запятой
и сохранив целую часть числа, если она
есть. Например, число 2,023=2.

Десятичная дробь,
имеющая сколь угодно много ненулевых
цифр после запятой, называется бесконечной.
Бесконечные десятичные дроби разбиваются
на два класса — периодические, когда,
начиная с некоторого момента, одна и та
же группа цифр неограниченно повторяется,
а других цифр, кроме этой группы, нет, и
непериодические, если не существует
такой бесконечно повторяющейся группы
цифр после запятой. Повторяющуюся группу
цифр в периодической десятичной дроби
заключают в круглые скобки. Например,
вместо 0,2353535… пишут 0,2(35).

Применяя алгоритм
деления числителя на знаменатель, можно
представить всякую обыкновенную дробь
либо в виде конечной десятичной дроби
(если простыми множителями знаменателя
являются только двойки или пятерки),
либо в виде бесконечной периодической
(в остальных случаях). Например,
.

Для того, чтобы
периодическую десятичную дробь превратить
в обыкновенную (или смешанную, если
дробь больше единицы), надо в знаменателе
дробной части записать слева направо
столько девяток, сколько цифр в периоде,
и столько нулей, сколько цифр до периода,
а в числителе — разность между натуральным
числом из цифр после запятой до второго
периода и натуральным числом из цифр
после запятой до первого периода.

Для доказательства
этого утверждения умножим дробную часть
х
десятичной периодической дроби сначала
на 10^k,
где k
— число цифр после запятой до второго
периода, затем — на 10^h,
где h
— число цифр до первого периода. Вычитая
из первого результата второй, получают
справа натуральное число, равное
числителю искомой обыкновенной дроби,
а слева — указанный в теореме знаменатель,
умноженный на данную дробную часть х.
Целая же часть числа остается неизменной.

Рассмотрим,
например, периодическую десятичную
дробь 3,2(15). Здесь дробная часть х=0,2(15),
k=3,
h=1.

Имеем: 10³х

10х =
215 
2. Следовательно,
,
а значит,
.

Множество всех
рациональных чисел обозначается буквой
Q от латинского слова «quotient» — «частное».

Имеем: NN₀
Z Q.

Арифметические
операции — сложение и умножение
рациональных чисел удовлетворяют тем
же законам ассоциативности, коммутативности
и дистрибутивности, что и натуральных
и целых чисел.

Заметим, что на
числовой оси рациональные числа
располагаются «всюду плотно», т.е. между
любыми точками числовой прямой существует
точка, изображающая рациональное число.

Рассмотрим на
числовой прямой точку, являющуюся концом
отрезка, равного диагонали квадрата,
который построен на единичном отрезке
этой прямой. Эту точку нельзя задать
никаким рациональным числом. Действительно,
предположим противное, т.е. что ей
соответствует несократимая дробь
,
где m,
n
— ненулевые целые числа.

По теореме Пифагора
получаем 1²+1²=2=,
и далее m²=2n².
Следовательно, m²,
а значит и m
— числа четные, т.е. m=2k,
kZ.
Получаем: (2k)²=2n²
Отсюда 2k²=n².
Значит, n
— тоже число четное, т.е. дробь

оказалась сократимой. Пришли к
противоречию.

Так как квадрат
этого нового числа равен двум, то оно
обозначается символом
.

Рассмотрим множество
всех рациональных чисел, добавив к ним
новые элементы, соответствующие тем
точкам числовой оси, которые не изображают
никакие рациональные числа. Каждый
такой элемент называется иррациональным
числом (от лат. «irrational» — безрассудный,
не определяемый отношением).

Множество всех
рациональных и иррациональных чисел
образует новое множество, называемое
множеством действительных чисел. Оно
обозначается буквой R ( от фр. «r
ee
l» —
действительный, реальный).

Всякому действительному
числу соответствует единственная точка
на числовой прямой. Наоборот, всякой
точке на числовой прямой соответствует
единственное действительное число.

Имеем: NN₀
Z Q
R.

Пусть х
— произвольное действительное число.
Откладывая от начала координат единичный
отрезок в положительном (при х≥0)
или отрицательном (при х<0)
направлении, убеждаемся, что существует
единственное целое число n
такое, что

Если x=n,
то процесс закончен. Если же х>n,
то, разбивая единичный отрезок на 10
частей и откладывая от точки n
в положительном направлении десятые
доли, получим:

n,n₁
x< n,(n₁+1).

Продолжая, в случае
неравенства, процесс откладывания
сотых, тысячных и т.д. частей, убеждаемся,
что всякое действительное число либо
совпадает с конечной десятичной дробью,
либо выражается бесконечной десятичной
дробью, лежащей с любой степенью точности
между двумя конечными десятичными
дробями. При этом конечная и бесконечная
периодическая десятичная дробь является
рациональным числом, а бесконечная
непериодическая десятичная дробь —
иррациональным числом.

Операции
сложения и умножения иррациональных
чисел
осуществляются путем предельного
перехода результатов соответствующих
операций над конечными десятичными
дробями, являющимися приближениями
исходных чисел. Например, для нахождения
суммы

составляют монотонно возрастающую
ограниченную сверху последовательность
десятичных дробей:

1,4+1,7=3,1;

1,41 + 1,73=3,14;

1,414+1,732=3,146;

1,4142+1,7320=3,1462;

1,41421+1,73205=3,14626;

1,414213+1,732050=3,146263,

1,4142135+1,7320508=3,1462643;
и т.д. В пределе эта последовательность
и дает число

.

Арифметические
операции над действительными числами
удовлетворяют тем же законам
ассоциативности, коммутативности,
дистрибутивности, что и над рациональными
числами.

Знак минус перед
действительным числом означает переход
к противоположному числу, изображаемому
симметричной относительно начала
числовой прямой точкой. Следовательно,

-(-х)=х
для любого xR.

Модулем действительного
числа х
называется число, равное х,
если x
≥0, и равное -х,
если х<0.
Обозначается |х|.
Например, |5|=5,
|-7|=7, |0|=0. Геометрически модуль х
есть расстояние от точки х
до начала числовой прямой. Очевидно,
|x|>0,
|х+y|

|х|+|y|.

Кроме того,
(-х)у=х(-у)=-ху,
(-х)(-у)=ху
.

Научная теория
действительных чисел исчерпывающе была
разработана немецкими математиками
Вейерштрассом(1815-1897) и Дедекиндом(1831-1916).

Размышление о плюсах и минусах

Возможно, вы слышали, как люди говорят: «Два минуса — плюс». Это не самый лучший способ думать о положительных и отрицательных числах.

Ниже приведены несколько различных способов сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел. Мы надеемся, что они помогут вам понять, что происходит, когда у вас может возникнуть соблазн использовать правило вроде «Два минуса — плюс».

Есть четыре возможности, которые нам необходимо понять:
Добавление положительного числа
Добавление отрицательного числа
Вычитание положительного числа
Вычитание отрицательного числа

Воздушный шар
Первая предлагаемая нами модель — это модель воздушный шар, как показано в игре Up, Down, Flying Around.
В этой модели мы представляем положительные числа как «порывы» горячего воздуха, а отрицательные числа — как мешки с песком.

Теперь мы можем описать вычисление, такое как 4 + (-2) — (+5) — (-1) + (+7) , следующим образом:

Мой воздушный шар начинается на высоте +4.Я складываю два мешка с песком (два вниз), вычитаю пять порций горячего воздуха (пять вниз), вычитаю один мешок с песком (на один вверх), затем добавляю семь порций горячего воздуха (семь вверх). Мой шар оказывается на высоте +5.

Вы можете прочитать вычисление как «Четыре сложить два отрицательных, вычесть пять положительных, вычесть отрицательный один, добавить семь положительных» и подумать про себя «Четыре, два вниз, пять вниз, один вверх, семь вверх» или эквивалент .

Модель счастья
Вот описание учителя того, как она объясняет положительные и отрицательные числа своим классам:
«Я считаю, что сложение и вычитание с отрицательными числами имеет смысл.От -10 $ до 10 $, скажем) над или в верхней части моей доски. Вместе со студентами мы проводим мозговой штурм над положительными и отрицательными вещами. Мы говорим о том, что вы чувствуете, если кто-то дает вам положительный результат или кто-то его отнимает. Мы говорим о том, что вы чувствуете, если кто-то дает вам что-то негативное или кто-то уносит его.

Я чувствую себя хорошо сегодня, может быть, я наберу 2 доллара (указывает на числовую линию) по этой шкале счастья.
Что бы я почувствовал, если бы кто-то дал мне шоколадные конфеты за 4 доллара (общий положительный результат!)? Да, я поднимаюсь с 4 до 6 долларов.-2 $.
Что, если вы позволите мне отказаться от моих задержек в размере 3 долларов? …

Добавление чего-то положительного или изъятия чего-то отрицательного улучшает ситуацию (мы идем вверх по числовой строке).
Добавление чего-то отрицательного или удаление чего-то положительного ухудшает ситуацию (мы идем вниз по числовой линии).

Футбольная модель
В этой модели мы представляем положительные числа как хороших футболистов, которые забивают много голов, и отрицательные числа. как плохие футболисты, забивающие в собственные ворота.Когда наступает время трансферов, мы можем добавить новых игроков в нашу команду или исключить игроков из команды.

Итак, представьте, что мы купили 5 хороших игроков, продали 2 хороших игроков, купили 3 плохих и продали 7 плохих игроков. -7) = 3 $

Студенты могут быть предложены чтобы создать еще несколько вычитаний, подобных приведенным выше.

Сбор различных результатов может дать учащимся возможность спросить, что они замечают.
Могут ли они подсказать, как вычесть отрицательные числа, не утруждая себя рисованием плюсов и минусов?

Если у вас есть SMART Board, вы можете загрузить этот файл записной книжки, которым поделился с нами Джон Турпин.

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Purplemath

Как вы справляетесь с сложением и вычитанием минусов? Процесс работает аналогично сложению и вычитанию положительных чисел.Когда вы добавляли положительное число, вы перемещались вправо в числовой строке. Когда вы вычитали положительное число, вы двигались влево.

Теперь, если вы добавляете отрицательный результат, вы можете рассматривать это почти так же, как когда вы вычитали положительный результат, если вы рассматриваете «добавление отрицательного» как добавление к левому . То есть, добавляя минус, вы добавляете в обратном направлении. Точно так же, если вы вычитаете отрицательное значение (то есть вычитаете минус), вы вычитаете в другом направлении; то есть вы будете вычитать, перемещая вправо на .

Например:

MathHelp.com

Вернемся к первому примеру с предыдущей страницы: «9 — 5» можно также записать как «9 + (–5)».Графически это будет выглядеть как «стрелка от нуля до девяти, а затем« отрицательная »стрелка длиной пять единиц»:

← проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

… и вы получите «9 + (–5) = 4».

Теперь взгляните на то вычитание, которое вы не смогли сделать: 5 — 9. Поскольку теперь у вас есть отрицательные числа слева от нуля, у вас также теперь есть «пробел» для завершения этого вычитания.Рассматривайте вычитание как добавление отрицательного числа 9; то есть нарисуйте стрелку от нуля до пяти, а затем «отрицательную» стрелку длиной девять единиц:

← проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

… или, что то же самое:

← проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

Тогда 5 — 9 = 5 + (–9) = –4.

Конечно, этот метод отсчета вашего ответа в числовой строке не будет работать так хорошо, если вы имеете дело с большими числами. Например, подумайте о том, чтобы сделать «465 — 739». Вы, конечно, не хотите использовать для этого числовую линию. Однако, поскольку 739 больше 465, вы знаете, что ответ на «465–739» должен быть отрицательным, потому что «минус 739» приведет вас куда-нибудь слева от нуля. Но как определить , какое отрицательное число является ответом?

Посмотрите еще раз на «5 — 9».Теперь вы знаете, что ответ будет отрицательным, потому что вы вычитаете большее число, чем вы начали (девять больше пяти). Самый простой способ справиться с этим — выполнить вычитание «как обычно» (меньшее число вычитается из большего числа), а затем поставить знак «минус» в ответ: 9-5 = 4, поэтому 5-9 = –4. Это работает так же для больших чисел (и намного проще, чем пытаться нарисовать картинку): так как 739 — 465 = 274, то 465 — 739 = –274.

Сложить два отрицательных числа просто: вы просто добавляете две «отрицательные» стрелки, так что это похоже на «обычное» сложение, но в противоположном направлении. Например, 4 + 6 = 10 и –4 — 6 = –4 + (–6) = –10. Но что делать, если у вас много как положительных, так и отрицательных чисел?

• Упростить 18 — (–16) — 3 — (–5) + 2

Наверное, самое простое — это преобразовать все в сложение, сгруппировать положительные и отрицательные стороны, объединить и упростить.Выглядит это так:

18 — (–16) — 3 — (–5) + 2

= 18 + 16 — 3 + 5 + 2

= 18 + 16 + (–3) + 5 + 2

= 18 + 16 + 5 + 2 + (–3)

= 41 + (–3)

= 41 — 3

= 38

«Стоп! Погодите!» Я слышу, как вы говорите.«Как перейти от« — (–16) »к« +16 »на первом этапе? Как« минус минус 16 »превратился в« плюс 16 »?»

На самом деле это довольно важная концепция, и, если вы спрашиваете, я предполагаю, что объяснение вашего учителя не имело для вас особого смысла. Поэтому я не буду давать вам «правильного» математического объяснения этого правила «минус минус — плюс». Вместо этого вот мысленная картина, с которой я столкнулся много лет назад в группе новостей по алгебре:

Представьте, что вы готовите тушеное мясо в большой кастрюле, но не на плите.Вместо этого вы контролируете температуру рагу с помощью волшебных кубиков. Эти кубики бывают двух типов: горячие и холодные.

Если вы добавите в кастрюлю горячий кубик (добавьте положительное число), температура тушеного мяса повысится. Если добавить холодный кубик (добавить отрицательное число), температура снизится. Если убрать горячий куб (вычесть положительное число), температура снизится. А если убрать холодный куб (вычесть отрицательное число), температура поднимется! То есть вычитание отрицательного значения равносильно добавлению положительного.

Теперь предположим, что у вас есть двойные и тройные кубики. Если вы добавите три кубика двойного обжига (добавьте два кубика с двойным нагревом), температура повысится на шесть. И если вы удалите два кубика с тройным охлаждением (вычтите дважды отрицательные три), вы получите тот же результат. То есть –2 (–3) = + 6.

Вот еще одна аналогия, которую я видел. Допустим, что «хороший» будет «позитивным», а «плохой» будет «негативным», вы можете сказать:

хорошего, что происходит с хорошими людьми: хорошее дело

хорошие вещи случаются с плохими людьми: плохие вещи

плохие вещи происходят с хорошими людьми: плохие вещи

плохих вещей происходит с плохими людьми: хорошо

Для конкретного примера:

семья из четырех человек в минивэне возвращается домой в целости и сохранности: хорошо

пьяный водитель в угнанной машине, свернувший на всю дорогу, не пойман и не остановлен: плохо

семья из четырех человек убита пьяным водителем, в то время как пьяный без единой царапины убегает с места происшествия: плохо

пьяный водитель пойман и заперт, прежде чем он кого-нибудь обидит: хорошо

Приведенные выше аналогии не являются техническими объяснениями или доказательствами, но я надеюсь, что они сделают правила «минус минус — плюс» и «минус, умноженный на минус — плюс» кажутся немного более разумными.

По какой-то причине кажется полезным использовать термины «плюс» и «минус» вместо «сложить», «вычесть», «положительный» и «отрицательный». Так, например, вместо слов «вычитание отрицательного» «, вы бы сказали» минус-минус «. Я понятия не имею, почему это так полезно, но я знаю, что эта словесная техника помогла негативу» щелкнуть «и со мной.

Партнер

Давайте рассмотрим еще несколько примеров:

• Упростить –43 — (–19) — 21 + 25.

–43 — (–19) — 21 + 25

= –43 + 19 — 21 + 25

= (–43) + 19 + (–21) + 25 *

= (–43) + (–21) + 19 + 25 *

= (–64) + 44

= 44 + (–64)

Технически, я могу перемещать числа так, как я это делал, между двумя отмеченными звездочкой шагами выше только , после я преобразовал все в сложение.Я не могу отменить вычитание, я могу только отменить сложение; только сложение коммутативно. На практике это означает, что я могу перемещать числа вокруг , только если я также перемещаю их знаки вместе с ними . Если я буду перемещать только числа, а не их знаки, я изменю значения и получу неправильный ответ. Продолжая …

Поскольку 64 — 44 = 20, тогда 44 — 64 = –20.

• Упростить 84 + (–99) + 44 — (–18) — 43.

84 + (–99) + 44 — (–18) — 43

= 84 + (–99) + 44 + 18 + (–43)

= 84 + 44 + 18 + (–99) + (–43)

= 146 + (–142) ​​

= 146–142

= 4

URL: https: // www.purplemath.com/modules/negative2.htm

Как могут существовать отрицательные числа?

Вы когда-нибудь читали градусник холодным зимним утром? Если да, возможно, вы видели отрицательное число. Во многих местах обычно зимой бывает -15 ° F или даже -20 ° F. В Антарктиде температура опускается до -128 ° F!

УДИВИТЕЛЬНО, как вообще возможна отрицательная температура? Как могут существовать отрицательные числа?

Вы не первый, кто задает этот вопрос! Европейские математики веками отвергали отрицательные числа.Они не думали, что отрицательные числа имеют смысл. Однако люди в Индии и Китае тысячелетиями использовали отрицательные числа. В конце концов пришли европейцы, и сегодня мы везде используем отрицательные числа.

Отрицательные числа имеют больше смысла, если мы посмотрим на числовую линию. В числовой строке все числа справа от нуля положительны. Если мы переместимся влево от нуля, они станут отрицательными:

Мы получаем отрицательное число, вычитая большее число из меньшего.Например, если мы вычтем девять из восьми, это будет выглядеть так:

8–9 = -1

Есть много других правил использования отрицательных чисел в математике. Вы слышали, что две ошибки не делают правильных? Это может быть правдой, но два отрицательных момента делают положительный момент! Когда мы вычитаем отрицательное число, знак вычитания находится рядом с отрицательным знаком. Это означает, что мы можем заменить их знаком добавления. Вот как это выглядит, когда два негатива дают положительный результат:

0 — -3 = 0 + 3 = 3

Это правило также применяется при умножении.Когда мы умножаем два отрицательных числа, ответ всегда положительный:

-5 × -2 = 10

Отрицательные числа могут показаться загадочными в математических задачах. Для многих людей отрицательные числа в реальном мире имеют больше смысла. Помните то холодное утро, когда вы читали градусник? Отрицательные числа помогли понять, насколько холодна погода. Представьте термометр как числовую линию. Если термометр был в градусах Фаренгейта, то точка замерзания составляла 32 ° F. Если температура была -15 ° F, то это было 47 градусов ниже нуля.По Цельсию точка замерзания составляет 0 ° C. Это означает, что -15 ° C будет на 15 градусов ниже нуля.

Вы когда-нибудь изучали карты или географию? Если это так, возможно, вы слышали о высоте. Высота говорит нам, насколько выше или ниже уровень моря находится место. Например, пик горы Эверест находится на высоте 29 029 футов над уровнем моря. Бэдуотер, Калифорния, — самая низкая точка в Соединенных Штатах. Его высота -282 фута! Это означает, что если бы бассейн Бэдуотер был ближе к океану, он был бы под водой.

Еще один способ подумать об отрицательных числах — это посмотреть на банковский счет.Когда человек тратит деньги, банки используют отрицательные числа для записи транзакций. Если человек потратит 10,50 долларов на билет в кино, билет в кино будет отображаться на его или ее банковском счете как отрицательное число (-10,50). Таким образом, банк знает, что нужно вычесть 10,50 долларов со счета.

Отрицательные числа иногда сбивают с толку, когда мы впервые узнаем о них. Правила бывает трудно запомнить! Как и все остальное, понимание отрицательных чисел становится легче с практикой. Можете ли вы придумать какие-либо другие примеры отрицательных чисел из реального мира?

отрицательных чисел

Эти рабочих листов с отрицательными числами помогут вашим детям работать с положительными и отрицательными целыми числами в кратчайшие сроки! Начиная со сложения и вычитания отрицательных чисел, постепенно переходите к умножению и делению отрицательных чисел, умножению отрицательных чисел с многозначными числами и делению отрицательных чисел в столбик.

Сложение и вычитание отрицательных чисел

36 рабочих листов с отрицательными числами

Рабочие листы для сложения отрицательных чисел и вычитания отрицательных чисел.

Сложение и вычитание

Умножение и деление малых отрицательных чисел

Рабочие листы с 16 отрицательными числами

Рабочие листы в этом разделе вводят отрицательные числа и целые числа в математических задачах умножения и деления. Все задачи связаны с меньшими целыми числами, которые можно решить без многозначного умножения или деления в столбик.

Факты об умножении и делении

Многозначное умножение с отрицательными числами

Рабочие листы с 16 отрицательными числами

Если вы освоили базовое умножение с отрицательными целыми числами, эти рабочие листы для многозначного умножения станут более тщательной проверкой ваших навыков отрицательных чисел.

Многозначное умножение

Длинное деление с отрицательными числами

Рабочие листы с 16 отрицательными числами

Готовы держать ваши знаки прямо? Эти листы с полными делениями имеют отрицательные делители и отрицательные частные (или и то, и другое!).Некоторые проблемы с отрицательным делением включают остатки.

Длинный дивизион

Решение математических задач с помощью отрицательных чисел

Отрицательные числа — это математическая тема, которая обычно возникает в шестом классе и вводится как часть стандарта Common Core на этом уровне.

Отрицательные числа появляются в различных ситуациях прикладной математики. Часто вы видите отрицательные числа непосредственно в измерениях, например при измерении высоты над или ниже уровня моря, температуры выше или ниже точки замерзания или в финансовых приложениях с положительными и отрицательными суммами денег.Более частое, но также более абстрактное применение отрицательных чисел имеет дело со скоростью изменения. Вы также столкнетесь с отрицательными значениями в геометрии при построении графиков в различных квадрантах на координатной плоскости. И, конечно же, по мере того, как вы углубляетесь в алгебру и более сложную геометрию, отрицательные числа играют все более важную роль.

Дети в поздних классах начальной школы должны уметь рассуждать об отрицательных целых числах в числовой строке, и обычно это хорошее место для начала изучения основных математических операций с отрицательными числами.Это также хороший способ визуализировать, как работают правила для чисел со знаком. Два важных вопроса, которые необходимо усвоить, — это то, что вычитание отрицательного числа — это то же самое, что и сложение, и что умножение двух отрицательных чисел дает положительный результат. Большинство других вариантов поведения отрицательных чисел с помощью обычных математических операций кажутся простыми и интуитивно понятными, но запоминание этих двух правил даст вашим школьникам твердый старт. Дополнительные сведения о правилах управления знаками с отрицательными числами для различных операций см. На соответствующих страницах рабочего листа для полного обсуждения и советов.

Рабочие листы на этой странице вводят сложение и вычитание отрицательных чисел, а также умножение и деление отрицательных чисел. Первоначальные наборы имеют дело с небольшими целыми числами, прежде чем перейти к многозначному умножению и полному делению с отрицаниями. Независимо от того, где вы находитесь в процессе изучения отрицательных чисел, эти рабочие листы дадут вашим ученикам много практики, когда им нужно освоить эту часто отрицательную тему!

Определение, использование, свойства, операции, примеры

Отрицательные числа: В повседневной жизни мы имеем дело с большим количеством чисел.Число — это математическое понятие, используемое для выражения количества и подсчета или вычисления. Мы можем классифицировать числа по различным типам: целые числа, натуральные числа, целые числа , действительные числа, рациональные, иррациональные числа и т. Д.

Чтобы упростить счет, люди изобрели натуральные числа. После этого они изобрели ноль, который дает нам понятие целых чисел, а затем отрицательных чисел, действительных чисел и т. Д. Отрицательные числа помогают нам показать температуру, которая меньше нуля, чтобы показать перерасход банковского баланса и т. Д.Давайте посмотрим на применение и свойства отрицательных чисел в этой статье.

Что такое числа?

Числа повсюду вокруг нас. С утра до вечера мы часто сталкиваемся с большим количеством цифр. Теперь мы знаем о чтении и записи чисел, но как насчет того, чтобы числа вообще не были обнаружены? В те дни счет производился с использованием доступных тогда физических объектов, таких как камни, кости, палки, листья и так далее. Затем они научились отмечать линии или кривые на камнях, пещерах или керамике, которую они использовали, и так далее.

А потом были введены наши счетные числа. Число — это математическое понятие, которое используется для выражения количества и используется при подсчете, вычислениях или любых арифметических операциях и других вертикалях математики.
Например, \ (2,3,0.5, — 6, — 100, — 2.3, \ sqrt {2,} \) и т. Д.

Счетные числа также называются числами, и они включают положительные целые числа от \ (1 \) до бесконечности. Набор натуральных чисел выражается как \ (N \) и \ (N = \ left \ {{1,2,3,4,5 ……} \ right \} \)

Существовал преемник и предшественник для всех чисел, кроме \ (1 \) в натуральных числах.Кроме того, изначально не было возможности показать пустоту. Так возникла потребность в демонстрации пустоты, и был введен ноль. Когда к подсчету чисел прибавляется ноль, мы получаем целые числа. Целые числа являются положительными числами от \ (0 \) до бесконечности и не содержат дробных или десятичных чисел. Набор целых чисел может быть выражен как \ (W = \ left \ {{0,1,2,3,4,5, ……} \ right \} \)

Введение отрицательных чисел

Мы умеем выполнять математические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел.Когда мы вычитаем меньшее целое число из большего целого числа, результатом всегда будет целое число. Например, \ (30 — 12 = 18, \) результат — целое число. Но когда мы вычитаем большее целое число из меньшего целого числа, результатом будет не целое число.

Таким образом, возникла необходимость иметь набор чисел, включающий числа со знаком минус. Это привело к созданию нового набора чисел, которые называются отрицательными числами. Когда отрицательные числа были добавлены к целым числам, мы получили набор целых чисел.

Набор целых чисел может быть выражен как \ (Z = \ left \ {{… — 5, — 4, — 3, — 2, — 1,0,1,2,3,4,5,….} \ вправо \} \)

Отрицательные числа находят множество применений в реальной жизни. Например, мы используем его, чтобы выразить убыток, уменьшение, обесценивание и т. Д. Они используются для обозначения температуры (меньше нуля), в банковской системе они используются для представления перерасхода суммы баланса вашего счета. Они также используются, чтобы показать цену акции и ее взлеты и падения.

Поскольку использование чисел не могло быть ограничено целыми числами, было введено больше наборов чисел, таких как рациональные числа, иррациональные числа, действительные числа и комплексные числа.

1. Рациональные числа: Любое число, которое может быть выражено как отношение одного числа к другому, записывается как рациональные числа. Его можно записать в виде \ (\ frac {p} {q} \) формы. Символ \ (Q \) представляет рациональные числа.
Например, \ (\ frac {3} {4}, \ frac {{- 4}} {5}, \ frac {{- 6}} {7}, \ frac {3} {1}, \) и т.д. — рациональные числа.

2. Иррациональные числа: Число, которое не может быть представлено как отношение одного числа к другому, известно как иррациональные числа и обозначается символом \ (P.\)
Например, \ (\ sqrt 3, \ sqrt 2, \ sqrt 5, — \ sqrt 7, \) и т.д. — это иррациональные числа.

3. Действительные числа: Все наборы положительных и отрицательных целых, дробных и десятичных чисел, кроме мнимых, называются действительными числами. Он представлен символом \ (R. \). Например, \ (1.2,3.2222…, 4,5,7, — 8, — 8.2,9.1, \) и т. Д. Являются действительными числами.

Представление отрицательных чисел

Отрицательные числа представлены знаком минус \ (\ left (- \ right) \) вместе с числом.Эти числа представлены слева от начала координат (нуля) на числовой строке, и их значения всегда меньше нуля. Это может быть целое число, десятичное число, дробь. Их нет в наборе натуральных и целых чисел.

Например, \ (- 5.2, — 3.7, — 4, — 5, — 7,3.4, \ frac {{- 5}} {6}, — 9.1, — \ sqrt 7 \) и т. Д. Являются отрицательными числами. .

Отрицательные числа в строке цифр

Прямая линия с числами, расположенными через равные промежутки по ее длине, называется числовой линией.Его можно бесконечно растягивать в любом направлении и обычно представляют горизонтально.

Цифры могут быть представлены в числовой строке как,

.

В числовой строке положительные числа представлены справа от нуля, а отрицательные числа представлены слева от нуля.

В числовой строке, если числа перемещаются вправо от нуля, значение чисел увеличивается, а если числа перемещаются влево на числовой строке от нуля, значение числа уменьшается.

Арифметические операции с отрицательными числами

Существует четыре основных арифметических операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Это кажется трудным, когда мы выполняем эти четыре операции с отрицательными числами, но это не так.

Сложение положительного и отрицательного числа

Когда необходимо сложить положительное и отрицательное число, мы должны сначала взять абсолютное значение двух чисел и найти разницу между ними.В ответе будет знак числа, имеющего большее абсолютное значение.

Например,
1. \ (\ left ({- 3} \ right) + 4 \)
Здесь абсолютное значение \ (- 3 = 3 \) и абсолютное значение \ (4 = 4 \) Итак, после получения разности абсолютных значений ответ будет принимать знак числа с большим абсолютным значением.
Следовательно, \ (- 3 + 4 = 1 \)

2. Аналогично, \ (\ left ({- \ frac {2} {7}} \ right) + \ left ({\ frac {5} {7}} \ right) = \ frac {{- 2 + 5 }} {7} = \ frac {3} {7} \)

3.\ (- 5 + 1 = — 4 \)
Здесь абсолютное значение \ (- 5 = 5 \) и абсолютное значение \ (1 = 1 \)
Итак, разница абсолютных значений \ (= 5 — 1 = 4 \)
В ответе будет знак числа с наибольшим абсолютным значением \ (- 5. \)

Аналогично, 4. \ (\ left ({- 1.5} \ right) + \ left (1 \ right) = \ left ({- 0.5} \ right) \)

5. \ (\ left ({\ frac {3} {7}} \ right) + \ left ({\ frac {{- 5}} {7}} \ right) = \ frac {{3 — 5} } {7} = \ frac {{- 2}} {7} \)

Сложение двух отрицательных чисел

Сложение двух отрицательных чисел выполняется аналогично тому, как мы складываем два положительных числа, и единственное изменение касается знака ответа.Когда добавляются два отрицательных числа, результатом будет отрицательное число. Итак, при сложении двух отрицательных чисел сложите абсолютное значение обоих чисел и добавьте к ответу знак минуса.

Например,
1. \ (\ left ({- 3.5} \ right) + \ left ({- 2} \ right) = \ left ({- 5.5} \ right) \)
2. \ (\ left ({- \ frac {2} {3}} \ right) + \ left ({- \ frac {5} {3}} \ right) = \ frac {{- 2 — 5}} {3} = \ frac {{- 7}} {3} \)
3. \ (\ left ({- 5} \ right) + \ left ({- 2} \ right) = — 5 — 2 = \ left ({- 7} \ справа) \)

Вычитание двух отрицательных чисел

Когда вычитаются два отрицательных числа, получается сложение положительного и отрицательного числа.

Например,
1. \ (\ left ({- 4} \ right) — \ left ({- 3} \ right) = — 4 + 3 = — 1 \)
2. \ (\ left ({- 4.2} \ right) + \ left ({- 2.1} \ right) = \ left ({- 6.3} \ right) \)
3. \ (\ left ({- \ frac {1} {4}} \ right ) + \ left ({- \ frac {3} {4}} \ right) = \ frac {{- 1 — 3}} {4} = \ frac {{- 4}} {4} = -1 \)

Вычитание положительных и отрицательных чисел

При вычитании положительного и отрицательного числа проверьте, следует ли вычесть отрицательное число из положительного числа или положительное число из отрицательного числа.

Если положительное число вычитается из отрицательного числа, сложите оба числа и задайте отрицательный знак для ответа.

Например,
1. \ (- 3 — \ left (2 \ right) = — 3-2 = -5 \)
2. \ (\ left ({- 2.2} \ right) — \ left ({- 2.1} \ right) = — 2.2 + 2.1 = — 0.1 \)
3. \ (\ left ({- \ frac {1} {4}} \ right) — \ left ({- \ frac {3} {4 }} \ right) = \ frac {{- 1 + 3}} {4} = \ frac {2} {4} = \ frac {1} {2} \)

Если отрицательное число вычитается из положительного, сложите оба числа и задайте положительный знак для ответа.

Например,
1. \ (3 — \ left ({- 2} \ right) = 3 + 2 = 5 \)
2. \ (\ left ({2.2} \ right) — \ left ({- 2.1 } \ right) = 4.3 \)
3. \ (\ left ({\ frac {1} {4}} \ right) — \ left ({- \ frac {3} {4}} \ right) = \ frac {{1 + 3}} {4} = \ frac {4} {4} = 1 \)

Умножение двух отрицательных чисел

При умножении двух отрицательных чисел произведение будет положительным.

Например,
1. \ (- 3 \ times — 2 = 6 \)
2. \ (\ left ({- 1.2} \ right) \ times \ left ({- 2} \ right) = 2.4 \)
3. \ (\ left ({\ frac {{- 1}} {4}} \ right) \ times \ left ({\ frac {{- 3}} {4}} \ right) = \ frac {{\ left ({- 1} \ right) \ times \ left ({- 3} \ right)}} {4} = \ frac {3} {4} \)

Умножение положительных и отрицательных чисел

При умножении отрицательного числа на положительное получается отрицательное число.

Например,
1. \ (- 3 \ times 2 = — 6 \)
2. \ (\ left ({- 1.2} \ right) \ times \ left (2 \ right) = — 2.4 \)
3 . \ (\ left ({\ frac {{- 1}} {4}} \ right) \ times \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) = \ frac {{\ left ({- 1} \ right) \ times \ left (3 \ right)}} {4} = \ frac {{- 3}} {4} \)

Деление двух отрицательных чисел

При делении двух отрицательных целых чисел частное будет положительным целым числом.

1. \ (\ left ({- 3} \ right) \ div \ left ({- 2} \ right) = \ frac {3} {2} = 1.5 \)
2. \ (\ left ({- 1.2} \ right) \ div \ left ({- 2} \ right) = 0,6. \)
3. \ (\ left ({\ frac {{- 1}} {4}} \ right) \ div \ left ({\ frac {{- 3}} {4}} \ right) = \ frac {1} {3} \)

Деление положительных и отрицательных чисел

При делении положительного и отрицательного числа частное будет отрицательным целым числом.

1. \ (\ left (3 \ right) \ div \ left ({- 2} \ right) = \ frac {{- 3}} {2} = — 1.\ circ} {\ text {C}} \)

Q.2. Вычтите \ (\ left ({\ frac {{- 20}} {{30}}} \ right) — \ left ({\ frac {{- 9}} {{30}}} \ right). \)
Ответ: Учитывая \ (\ left ({\ frac {{- 20}} {{30}}} \ right) — \ left ({\ frac {{- 9}} {{30}}) } \ right) \)
Поскольку оба отрицательны, как дроби,
\ (\ Rightarrow \ frac {{- 20}} {{30}} — \ frac {{- 9}} {{30}} = \ frac { {- 20 + 9}} {{30}} \)
\ (= \ frac {{- 11}} {{30}}. \)

Q.3. Упростите \ (- 6 — \ frac {{- 1}} {2}.\)
Ответ: Дано, \ (- 6 — \ left ({\ frac {{- 1}} {2}} \ right) \)
\ (- 6, \ left ({\ frac {{ — 1}} {2}} \ right) \) оба принадлежат отрицательным числам
\ (- 6 — \ left ({\ frac {{- 1}} {2}} \ right) = — 6 + \ frac { 1} {2} \)
\ (= \ frac {{- 12 + 1}} {2} = \ frac {{- 11}} {2} \)

Q.4. Найдите предшественника следующих целых чисел.
a) \ (- 100 \)
b) \ (- 16 \)
Ответ: Предшественник числа получается вычитанием \ (1 \) из числа.
a) Предшественником \ (- 100 \) является \ (- 100 — 1 = — 101 \)
b) Предшественником \ (- 16 \) является \ (- 16 — 1 = — 17 \)

Q .5. Умножьте \ (\ left ({- 4} \ right) \) и \ (\ left ({- 1.2} \ right). \)
Ответ: Учитывая отрицательные числа \ (- 4 \) и \ (- 1.2. \)
Когда мы умножаем два отрицательных числа, в результате мы получим положительное число.
Таким образом, \ (- 4 \ times — 1.2 = 4.8 \)

Сводка

В этой статье мы узнали определение отрицательного числа, примеры и его свойства.Мы также обсудили арифметические операции с отрицательными числами, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.

Часто задаваемые вопросы (FAQ) — отрицательные числа

Q.1. Объясните отрицательные числа на примерах.
Ответ: Отрицательные числа отображаются со знаком минус \ (\ left (- \ right) \) вместе с числом. Эти числа представлены слева от начала координат (нуля) на числовой строке, и их значения всегда меньше нуля.Это может быть целое число, десятичное число, дробь и т. Д. Их нет в наборе натуральных и целых чисел.
Например, \ (- 5.2, — 3.7, — 4, — 5, — 7, — 3.4, \ frac {{- 5}} {6}, — 9.1, — \ sqrt 7 \) и т. Д. Являются отрицательными числа.

Q.2. Какое наибольшее отрицательное целое число?
Ответ: Целые числа можно описать как набор натуральных чисел и их аддитивную инверсию с использованием нуля. Итак, наибольшее отрицательное число \ (- 1.\)

Q.3. Какое наименьшее отрицательное целое число?
Ответ: Если мы переместимся от нуля к минус бесконечности на числовой прямой, значение уменьшится, так что наименьшего отрицательного числа не будет, поскольку отрицательных чисел бесконечно много.

Q.4. Каковы применения отрицательных чисел?
Ответ: мы используем отрицательные числа, чтобы выразить убыток, уменьшение, обесценивание и т. Д. Они используются для обозначения температуры (меньше нуля), в банковской системе они используются для представления перерасходованной суммы остатка на вашем счете. .Они также используются, чтобы показать цену акции и ее взлеты и падения.

Q.5. Каковы правила для отрицательных чисел?
Ответ:
1. Когда необходимо сложить положительное и отрицательное число, мы должны сначала взять абсолютное значение двух чисел и найти разницу между ними. В ответе будет знак числа, имеющего большее абсолютное значение.
2. Добавление двух отрицательных чисел складывает абсолютное значение обоих чисел и добавляет отрицательный знак к ответу.
3. Когда вычитаются два отрицательных числа, получается сложение положительного и отрицательного числа.
4. Если положительное число вычитается из отрицательного, сложите оба числа и дайте отрицательный знак.
5. При умножении двух отрицательных чисел произведение будет положительным.
6. При умножении отрицательного числа на положительное получается отрицательное число.
7. Когда два отрицательных целых числа делятся, частное будет положительным целым числом.
8. При делении положительного и отрицательного числа частное будет отрицательным целым числом.

Мы надеемся, что эта подробная статья об отрицательных числах помогла вам в учебе. Если у вас есть какие-либо сомнения или вопросы по этой теме, вы можете оставить комментарий ниже, и мы поможем вам в ближайшее время.

104 Просмотры

Как мы обучаем сложению и вычитанию отрицательных чисел

Общеизвестно, что ученикам трудно понять, я думаю, что сложение и вычитание отрицательных слов — одна из вещей, которую каждый приходит к пониманию после долгой практики.ОДНАКО, эта практика должна давать правильные ответы с самого начала. Нет смысла отправлять учеников много практиковаться, если они ошибаются так же часто, как и делают правильно.

В значительной степени под влиянием наших чтений о рабочей памяти мы обучаем сложению и вычитанию отрицательных чисел:

Когда начинать — Учить отрицательные числа начинаем в начале 8 года.

Знакомство — Мы проводим первый урок, знакомя с отрицательными числами — касаясь их истории, реальных приложений (кратко), находим их в числовой строке, упорядочиваем и т. Д.

Никаких аналогий — При обучении сложению и вычитанию мы НИКОГДА не говорим о том, что «два отрицания дают положительный результат», или используем аналогии с кубиками льда, хорошими / плохими людьми или используем отрицательные / положительные плитки.

Строка номера воздуха — Мы проводим много времени заранее, используя «линию номера воздуха», где уровень стола представляет 0, над столом положительный, а под столом отрицательный. Важно, чтобы им было комфортно перемещаться вверх и вниз по этой числовой линии, поэтому практика всего класса выглядит примерно так:

1. Сложение и вычитание положительных чисел с положительным ответом.
   «Положите руку на 5 и прибавьте 3. Куда вы пошли? Как далеко? Где ты сейчас?»
2. Сложение и вычитание под столом, где ответ остается под столом.
   «Положите руку на -5 и добавьте 3. Куда вы пошли? Как далеко? Где ты сейчас?»
3. Сложение с отрицательными числами и вычитание из положительных чисел, так что вы должны пройти мимо 0.
   Это начинается как «Положите руку на 5. Уберите 5. Теперь уберите еще 2. Куда вы пошли? Как далеко? Куда ты делся? » Здесь мы явно практикуем достижение нуля, а затем выход за его пределы.
   И переходит к «Положите руку на 5. Уберите 7. Куда вы пошли? Как далеко? Куда ты делся? »
4. Наконец, усвоив, что сложение идет «вверх», а вычитание идет «вниз», мы смотрим на эффект добавления отрицательного и вычитания отрицательного. Мы открыто учим их, без всяких аналогий, что, добавляя отрицательное, вы опускаетесь вниз, а при вычитании отрицательного — поднимаетесь. Опять же, много практики целого класса с воздушной нумерацией. Это медленный и преднамеренный старт, но по мере того, как они становятся более опытными, они становятся более энергичными и высокоуровневыми.Под высокой энергией я подразумеваю быстрое выполнение множества вопросов в классном стиле, стиль звонков и ответов, а под высокими ставками я подразумеваю игру Саймона Сэйса.

НАЧАЛЬНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ РАССТОЯНИЕ — Затем мы переходим к пониманию символической формы. Не получить решение, а просто перевести сумму в СТАРТ-НАПРАВЛЕНИЕ-РАССТОЯНИЕ. Обычно они умеют определять первое число как НАЧАЛО, а последнее число как РАССТОЯНИЕ, но НАПРАВЛЕНИЕ часто требует практики, обратной связи и поддержки. Итак, чтобы уточнить, все, что мы просим их сделать, это посмотреть на каждую сумму и определить НАЧАЛО, НАПРАВЛЕНИЕ и РАССТОЯНИЕ.

Решение с использованием SDD — Затем мы используем подход НАЧАЛО-НАПРАВЛЕНИЕ-РАССТОЯНИЕ (SDD) для получения решений. Таким образом, они должны определить S, D и D, а затем решить эту проблему.
Они либо будут использовать числовую линию в эфире, либо проведут пальцем по числовой линии, напечатанной на странице. Числовая строка на странице напечатана с кругами размером с кончик пальца, так что ученики могут «прикоснуться» к числовой строке.

Решение без использования SDD — Наконец, на втором или третьем уроке им дают вопросы, которые нужно решить, не прося их идентифицировать SDD.Мы видим, что многие ученики все еще используют прямую числовую линию по собственному желанию, чтобы ответить на вопрос. В конце концов, у большинства возникает мысленное представление о числовой прямой, которую они перемещают вверх и вниз.

Порядок вопросов — Важен порядок типов вопросов:

1. Сложение / вычитание положительных чисел, не соединяющих 0, например 5–4
2. Добавление отрицательных чисел к положительным числам, которые не соединяют 0, например 5 + -4
3. Добавление отрицательных чисел к положительным числам, соединяющим 0.например 5 + -6
4. Вычитание положительных чисел из отрицательных. например -5 — 4
5. Добавление отрицательных чисел к отрицательным числам. например -5 + -4
6. Вычитание отрицательных чисел из отрицательных чисел, не соединяющих 0, например -5 — -4
7. Вычитание отрицательных чисел из отрицательных чисел. например -5 — -6

Приступаем к мастерству — Все сказано, что это примерно 3 или 4 урока, но они еще не являются экспертами на данном этапе, поэтому мы продолжаем развивать навыки в «Делай сейчас», быстрых разминках и домашних заданиях в течение нескольких недель.Они регулярно появляются на одном и том же в течение года.

Умножение и деление — вас не удивит, узнав, что умножение и деление отрицательных чисел мы отложим на некоторое время (разделение на две или три недели).

Следующий год — В 9 классе, в начале уроков, они будут задавать 50 вопросов с отрицательными числами, разбитых на 5 групп по 10. Им дается несколько минут для начала, но по прошествии дней и недель они будут дано все меньше и меньше.Они делают это каждый день в течение примерно 6 недель в осенний семестр, а затем периодически весной и летом.

Что о нем.

Что вы думаете об этом сообщении?

Я не понимаю, как складывать, вычитать, умножать и делить отрицательные числа.

Я не понимаю, как складывать, вычитать, умножать и делить отрицательные числа.

Некоторым людям сначала может быть трудно понять, как работать с отрицательными числами, потому что это требует определенного уровня абстрактного мышления, который не так необходим для положительных чисел.

Уроки базовой математики часто связаны с реальными физическими ситуациями, чтобы вы могли лучше представить себе, что происходит. Вас могут спросить: «Если у Джордана 9 кошек, а у Аарона 12 кошек, сколько кошек у них всего?» в качестве иллюстрации сложения, или «Если вы хотите дать равное количество шариков каждому из 8 человек, и у вас есть 24 шарика, сколько шариков получит каждый человек?» чтобы проиллюстрировать разделение.

Отрицательные числа не так легко проиллюстрировать на реальных примерах.Например, вы можете представить, что у Джордана нет кошек, но что для Джордана значит иметь –4 кошки? Как у него может быть меньше нуля кошек?

Очевидно, он не может. Отрицательные числа требуют абстрактного мышления. Использование числовой линии может помочь вам легче визуализировать математику, но со временем, по мере развития ваших способностей к математическому мышлению, ваша способность понимать абстрактные отрицательные числа улучшится, и вы больше не будете задумываться об отрицательных числах.

Но до тех пор было бы неплохо просто запомнить несколько правил об отрицательных числах и о том, как их использовать.

Умножение и деление на отрицательные числа

Умножение и деление — две стороны одной медали, и когда дело касается отрицательных чисел, они подчиняются одним и тем же правилам, которые можно проиллюстрировать простой таблицей:

Другими словами, если оба числа имеют одинаковый знак, ответ положительный; если числа имеют разные знаки, ответ отрицательный.