Модуль math c: Математическая библиотека math.h

Модуль math | Python 3 для начинающих и чайников

Модуль math – один из наиважнейших в Python. Этот модуль предоставляет обширный функционал для работы с числами.

math.ceil(X) – округление до ближайшего большего числа.

math.copysign(X, Y) — возвращает число, имеющее модуль такой же, как и у числа X, а знак — как у числа Y.

math.fabs(X) — модуль X.

math.factorial(X) — факториал числа X.

math.floor(X) — округление вниз.

math.fmod(X, Y) — остаток от деления X на Y.

math.frexp(X) — возвращает мантиссу и экспоненту числа.

math.ldexp(X, I) — X * 2ⁱ. Функция, обратная функции math.frexp().

math.fsum(последовательность) — сумма всех членов последовательности. Эквивалент встроенной функции sum(), но math.fsum() более точна для чисел с плавающей точкой.

math.isfinite(X) — является ли X числом.

math.isinf(X) — является ли X бесконечностью.

math.isnan(X) — является ли X NaN (Not a Number — не число).

math.modf(X) — возвращает дробную и целую часть числа X. Оба числа имеют тот же знак, что и X.

math.trunc(X) — усекает значение X до целого.

math.exp(X) — e^X.

math.expm1(X) — e^X — 1. При X → 0 точнее, чем math.exp(X)-1.

math.log(X, [base]) — логарифм X по основанию base. Если base не указан, вычисляется натуральный логарифм.

math.log1p(X) — натуральный логарифм (1 + X). При X → 0 точнее, чем math.log(1+X).

math.log10(X) — логарифм X по основанию 10.

math.log2(X) — логарифм X по основанию 2. Новое в Python 3.3.

math.pow(X, Y) — X^Y.

math.sqrt(X) — квадратный корень из X.

math.acos(X) — арккосинус X. В радианах.

math.asin(X) — арксинус X. В радианах.

math.atan(X) — арктангенс X. В радианах.

math.atan2(Y, X) — арктангенс Y/X. В радианах. С учетом четверти, в которой находится точка (X, Y).

math.cos(X) — косинус X (X указывается в радианах).

math.sin(X) — синус X (X указывается в радианах).

math.tan(X) — тангенс X (X указывается в радианах).

math.hypot(X, Y) — вычисляет гипотенузу треугольника с катетами X и Y (math.sqrt(x * x + y * y)).

math.degrees(X) — конвертирует радианы в градусы.

math.radians(X) — конвертирует градусы в радианы.

math.cosh(X) — вычисляет гиперболический косинус.

math.sinh(X) — вычисляет гиперболический синус.

math.tanh(X) — вычисляет гиперболический тангенс.

math.acosh(X) — вычисляет обратный гиперболический косинус.

math.asinh(X) — вычисляет обратный гиперболический синус.

math.atanh(X) — вычисляет обратный гиперболический тангенс.

math.erf(X) — функция ошибок.

math.erfc(X) — дополнительная функция ошибок (1 — math.erf(X)).

math.gamma(X) — гамма-функция X.

math.lgamma(X) — натуральный логарифм гамма-функции X.

math.pi — pi = 3,1415926…

math.e — e = 2,718281…

Функции и методы модуля math в python ~ PythonRu

Эта статья посвящена математическим функциям в Python. Для выполнения математических операций необходим модуль math.

Что такое модуль?

В C и C++ есть заголовочные файлы, в которых хранятся функции, переменные классов и так далее. При включении заголовочных файлов в код появляется возможность не писать лишние строки и не использовать одинаковые функции по несколько раз. Аналогично в Python для этого есть модули, которые включают функции, классы, переменные и скомпилированный код. Модуль содержит группу связанных функций, классов и переменных.

Есть три типа модулей в Python:

1. Модули, написанные на Python (.py).
2. Модули, написанные на C и загружаемые динамически (.dll, .pyd, .so, .sl и так далее).
3. Модули, написанные на C, но связанные с интерпретатором.

   import sys
   print(sys.builtin_module_names)
   

   ('_ast', '_bisect', '_codecs', '_codecs_cn', '_codecs_hk', '_codecs_iso2022', 
   '_codecs_jp', '_codecs_kr', '_codecs_tw', '_collections', '_csv', '_datetime', 
   '_functools', '_heapq', '_imp', '_io', '_json', '_locale', '_lsprof', '_md5', 
   '_multibytecodec', '_opcode', '_operator', '_pickle', '_random', '_sha1', 
   '_sha256', '_sha512', '_sre', '_stat', '_string', '_struct', '_symtable', '_thread', 
   '_tracemalloc', '_warnings', '_weakref', '_winapi', 'array', 'atexit', 'audioop', 
   'binascii', 'builtins', 'cmath', 'errno', 'faulthandler', 'gc', 'itertools', 'marshal', 
   'math', 'mmap', 'msvcrt', 'nt', 'parser', 'signal', 'sys', 'time', 'winreg', 
   'xxsubtype', 'zipimport', 'zlib').
   

Для получения списка модулей, написанных на C, но связанных с Python, можно использовать следующий код.

Как видно из списка выше, модуль math написан на C, но связан с интерпретатором. Он содержит математические функции и переменные, о которых дальше и пойдет речь.

Функции представления чисел

ceil() и floor() — целая часть числа

Сeil() и floor() — функции общего назначения. Функция ceil округляет число до ближайшего целого в большую сторону. Функция floor убирает цифры десятичных знаков. Обе принимают десятичное число в качестве аргумента и возвращают целое число.

Пример:

import math


number=8.10


print("Верхний предел 8.10 это:",math.ceil(number))


print("Нижний предел 8.10 это:",math.floor(number))

Вывод:

Верхний предел 8.10 это: 9
Нижний предел 8.10 это: 8

Функция fabs() — абсолютное значение

Функция fabs используется для вычисления абсолютного значения числа. Если число содержит любой отрицательный знак (-), то функция убирает его и возвращает положительное дробное число.

Пример:

import math

number = -8.10

print(math.fabs(number))

Вывод:

8.1

factorial() — функция факториала

Эта функция принимает положительное целое число и выводит его факториал.

Пример:

import math    

number = 5

print("факториала числа", math.factorial(number))

Вывод:

факториала числа 120

Примечание: при попытке использовать отрицательное число, возвращается ошибка значения (Value Error).

Пример:

import math    

number = -5

print("факториала числа", math.factorial(number))

Вывод:

ValueError: factorial() not defined for negative values

Функция fmod() — остаток от деления

Функция fmod(x,y) возвращает x % y. Разница в том, что выражение x % y работает только с целыми числами, а эту функцию можно использовать и для чисел с плавающей точкой.

Пример:

import math  

print(math.fmod(5,2))  
print(math.fmod(-5,2))  
print(math.fmod(-5.2,2))  
print(math.fmod(5.2,2))  

Вывод:

1.0
-1.0
-1.2000000000000002
1.2000000000000002

Функция frexp()

Эта функция возвращает мантиссу и показатель степени в виде пары (m,n) любого числа x, решая следующее уравнение.

Пример:

import math  

print(math.frexp(24.8))

Вывод:

(0.775, 5)

Функция fsum() — точная сумма float

Вычисляет точную сумму значений с плавающей точкой в итерируемом объекте и сумму списка или диапазона данных.

Пример:

import math   
    

numbers=[.x.

Пример:

import math   
    
print("e в степени 5 ", math.exp(5))
print("e в степени 2.5", math.exp(2.5))  
Вывод:
e в степени 5  148.4131591025766
e в степени 2.5 12.182493960703473
Функция expm1()
Эта функция работает так же, как и exp, но возвращает exp(x)-1. Здесь, expm1 значит exm-m-1, то есть, exp-minus-1.
Пример:

import math   
    
print(math.exp(5)-1)
print(math.expm1(5))


 
Вывод:
147.4131591025766
147.4131591025766
Функция log() — логарифм числа
Функция log(x[,base]) находит логарифм числа x по основанию e (по умолчанию). base— параметр опциональный. Если нужно вычислить логарифм с определенным основанием, его нужно указать.
Пример:

import math  
	  

print(math.log(2))  
	  

print(math.log(64,2)) 
Вывод:
0.6931471805599453
6.0
Функция log1p()
Эта функция похожа на функцию логарифма, но добавляет 1 к x. log1p значит log-1-p, то есть, log-1-plus.
Пример:

import math  
	  
print(math.log1p(2))
Вывод:
1.0986122886681098
Функция log10()
Вычисляет логарифм по основанию 10.
Пример:

import math  

print(math.log10(1000))
Вывод:
3.0
Функция pow() — степень числа
Используется для нахождение степени числа. Синтаксис функции pow(Base, Power). Она принимает два аргумента: основание и степень.
Пример:

import math  

print(math.pow(5,4))
Вывод:
625.0
Функция sqrt() — квадратный корень числа
Эта функция используется для нахождения квадратного корня числа. Она принимает число в качестве аргумента и находит его квадратный корень.
Пример:

import math  

print(math.sqrt(256))
Вывод:
16.0
Тригонометрические функции
В Python есть следующие тригонометрические функции.
Функция
Значение
sin
принимает радиан и возвращает его синус
cos
принимает радиан и возвращает его косинус
tan
принимает радиан и возвращает его тангенс
asin
принимает один параметр и возвращает арксинус (обратный синус)
acos
принимает один параметр и возвращает арккосинус (обратный косинус)
atan
принимает один параметр и возвращает арктангенс (обратный тангенс)
sinh
принимает один параметр и возвращает гиперболический синус
cosh
принимает один параметр и возвращает гиперболический косинус
tanh
принимает один параметр и возвращает гиперболический тангенс
asinh
принимает один параметр и возвращает обратный гиперболический синус
acosh
принимает один параметр и возвращает обратный гиперболический косинус
atanh
принимает один параметр и возвращает обратный гиперболический тангенс
Пример:

import math  
  

print("синус PI/2 :", math.sin(math.pi/2))  

print("косинус 0 :", math.cos(0))  

print("тангенс PI/4 :", math.tan(math.pi/4))  
  
print()  
  

print("арксинус 0 :", math.acos(0))  

print("арккосинус 1 :", math.acos(1))  

print("арктангенс 0.5 :", math.atan(0.5))  
  
print()  
  

print("гиперболический синус 1 :", math.sinh(1))  

print("гиперболический косинус 0 :", math.cos(0))  

print("гиперболический тангенс 1 :", math.tan(1))  
  
print()  
  

print("обратный гиперболический синус 1 :", math.acosh(1))  

print("обратный гиперболический косинус 1 :", math.acosh(1))  

print("обратный гиперболический тангенс 0.5 :", math.atanh(0.5))  
Вывод:
синус PI/2 : 1.0
косинус 0 : 1.0
тангенс PI/4 : 0.9999999999999999

арксинус 0 : 1.5707963267948966
арккосинус 1 : 0.0
арктангенс 0.5 : 0.4636476090008061

гиперболический синус 1 : 1.1752011936438014
гиперболический косинус 0 : 1.0
гиперболический тангенс 1 : 1.5574077246549023

обратный гиперболический синус 1 : 0.0
обратный гиперболический косинус 1 : 0.0
обратный гиперболический тангенс 0.5 : 0.5493061443340549
Функция преобразования углов
Эти функции преобразуют угол. В математике углы можно записывать двумя способами: угол и радиан. Есть две функции в Python, которые конвертируют градусы в радиан и обратно.
degrees(): конвертирует радиан в градусы;
radians(): конвертирует градус в радианы;
Пример:

import math  

print(math.degrees(1.57))
print(math.radians(90))
Вывод:
89.95437383553924
1.5707963267948966
Математические константы
В Python есть две математические константы: pi и e.
pi: это математическая константа со значением 3.1416..
e: это математическая константа со значением 2.7183..
Пример:

import math  


print("значение PI", math.pi)


print("значение e", math.e)
Вывод:
значение PI 3.141592653589793
значение e 2.718281828459045
Модуль Math | Программирование на языке паскаль
Модуль Math включает дополнительные математические функции. Они доступны после ссылки на модуль в разделе объявлений в строке uses. Ниже приведены некоторые основные операции по категориям.
Геометрические функции
Вызов
Операция
Hypot(x, y)
Гипотенуза треугольника с катетами x,   y.
Norm(d)
Эвклидова норма массива d.
Определение максимума/минимума
Вызов
Описание
Max(a, b)
Максимальное целое из a,   b.
MaxIntValue(d)
Максимальное целое из   массива d.
MaxValue(d)
Максимальное значение из   массива d.
Min(a, b)
Минимальное целое из a,   b.
MinValue(d)
Минимальное значение из   массива d.
Экспоненциальные и логарифмические функции
Вызов
Описание
Power(X, y)
X в степени y.
IntPower(X, y)
X в степени целого y.
LdExp(X, p)
Функция.
X в степени 2 в степени p.
LnXp1(x: float):float
Функция.
Натуральный логарифм от (x+1).
Log10(x: float):float
Функция.
Логарифм x по основанию 10..
Log2(a,b:integer):integer
Функция.
Логарифм x по основанию 2..
LogN(d:array of extended):extended
Функция.
Логарифм x по основанию N..
Функции преобразования чисел
Вызов
Операция
Ceil(x:float):integer
Функция. Целое x округляется вверх.
Floor(x:float):integer
Функция. Целое x округляется вниз.
FrExp(x:float;   var mant;
var exp:integer)
Процедура. Возвращаются мантисса mant   и порядок exp   для вещественного x.
Функции преобразования единиц
Применяются для преобразования единиц измерения углов. Аргумент тригонометрических функций может исчисляться в:
периодах,
радианах (1 период = 2π радиан),
градусах (1 период = 360 градусов),
градах (1 период = 400 градов, используется в мореходстве).
Вызов
Операция
CycleToRad(x:float):float
Функция. Периоды в радианы.
DegToGrad(x:float):float
Функция. Градусы в грады.
DegToRad(x:float):float
Функция. Градусы в радианы.
GradToRad(x:float):float
Функция. Грады в радианы.
GradToDeg(x:float):float
Функция. Грады в градусы.
RadToCycle(x:float):float
Функция. Радианы в периоды.
RadToDeg(x:float):float
Функция. Радианы в градусы.
RadToGrad(x)   :float):float
Функция. Радианы в грады.
Тригонометрические функции
Вызов
Операция
Tan(x:   float):float
Функция. Тангенс от   x.
Cotan(x:   float):float
Cot(x:   float):float
Функция. Котангенс от   x.
ArcSin(x:   float):float
Функция. Обратный синус от x.
ArcCos(x:   float):float
Функция. Обратный косинус от x.
ArcTan2(y,x:   float):float
Функция. 4-х квадрантный обратный тангенс.
ArcTan(y/x)
SinCos(x:float;
out s,c: float):float
Процедура.
s=Sin(x),   c=Cos(x)
Гиперболические функции
Вызов
Операция
SinH(x:float):float
Функция.
Синус гиперболический от x.
ArcSinH(x:float):float
Функция.
Обратный синус гиперболический от x.
CosH(x:float):float
Функция.
Косинус гиперболический от x.
ArcCosH(x:float):float
Функция.
Обратный косинус гиперболический от x.
TanH(x:float):float
Функция.
Тангенс гиперболический от x.
ArcTanH(x:float):float
Функция.
Обратный тангенс гиперболический от x.
Статистические функции
Вызов
Операция
Mean(d:array   of extended):float
Функция.
Среднее значение массива d.
MeanAndStddev(d:array
of extended; m,std:float)
Процедура. Среднее значение и  стандартное отклонение массива d.
MomentsSkewKurtosis
(d:array   of extended;
var   m1,m2,m3,m4,skew,kurtosis:float)
Процедура. Для массива d возвращает 4 первых момента m1,   m2,   m3,   m4,   наклон skew,   эксцесс kurtosis.
StdDev(d:array   of extended):float
Функция.
Стандартное отклонение массива d.
PopnStdDev(d:array   of extended):float
Функция.
Квадратный корень дисперсии массива d.
PopnVariance(d:array   of extended; n:integer):float
Функция. Квадратный корень дисперсии из N значений   массива d.
RandG(m,StdDev:float):float
Функция. Случайное число с Гауссовским распределением   со средним значением m и стандартным отклонением   StdDev
Sum(d:array   of extended):float
Функция.
Сумма значений массива d.
SumOfSquares(d:array
of extended):float
Функция.
Сумма квадратов значений массива d.
SumsAndSquares(d:array
of extended;var s,ssqr):float
Процедура Суммы s и квадратов sqr   значений массива d.
TotalVariance(d:array
of extended):float
Функция.
Дисперсия   массива d.
Variance(d:array
of extended):float
Функция.
Дисперсия   массива d.
Python | Модуль math
Модуль math
Последнее обновление: 02.05.2017
Встроенный модуль math в Python предоставляет набор функций для выполнения математических, тригонометрических и 

 логарифмических операций. Некоторые из основных функций модуля:
pow(num, power): возведение числа num в степень power

sqrt(num): квадратный корень числа num

ceil(num): округление числа до ближайшего наибольшего целого

floor(num): округление числа до ближайшего наименьшего целого

factorial(num): факториал числа

degrees(rad): перевод из радиан в градусы

radians(grad): перевод из градусов в радианы

cos(rad): косинус угла в радианах

sin(rad): синус угла в радианах

tan(rad): тангенс угла в радианах

acos(rad): арккосинус угла в радианах

asin(rad): арксинус угла в радианах

atan(rad): арктангенс угла в радианах

log(n, base): логарифм числа n по основанию base

log10(n): десятичный логарифм числа n

Пример применения некоторых функций:
import math

# возведение числа 2 в степень 3
n1 = math.pow(2, 3)
print(n1)  # 8

# ту же самую операцию можно выполнить так
n2 = 2**3
print(n2)

# возведение в квадрат
print(math.sqrt(9))  # 3

# ближайшее наибольшее целое число
print(math.ceil(4.56))  # 5

# ближайшее наименьшее целое число
print(math.floor(4.56))  # 4

# перевод из радиан в градусы
print(math.degrees(3.14159))  # 180

# перевод из градусов в радианы
print(math.radians(180))   # 3.1415.....
# косинус
print(math.cos(math.radians(60)))  # 0.5
# cинус
print(math.sin(math.radians(90)))   # 1.0
# тангенс
print(math.tan(math.radians(0)))    # 0.0

print(math.log(8,2))    # 3.0
print(math.log10(100))    # 2.0
Также модуль math предоставляет ряд встроенных констант, такие как PI и E:
import math
radius = 30
# площадь круга с радиусом 30
area = math.pi * math.pow(radius, 2)
print(area)

# натуральный логарифм числа 10
number = math.log(10, math.e)
print(number)
Возведение в степень | Кодкамп
Квадратный корень: math.sqrt () и cmath.sqrt
math модуль содержит math.sqrt() -функции , который может вычислить квадратный корень из любого числа (которые могут быть преобразованы в float ) , и результат всегда будет float :
import math

math.sqrt(9)                # 3.0
math.sqrt(11.11)            # 3.3331666624997918
math.sqrt(Decimal('6.25'))  # 2.5

 
math.sqrt() функция вызывает ValueError , если результат будет complex :
math.sqrt(-10)              
 
ValueError: ошибка математического домена
math.sqrt(x) быстрее , чем math.pow(x, 0.5) или x ** 0.5 , но точность результатов является то же самое. cmath модуль очень похож на math модуля, за исключением того , что можно вычислить комплексные числа , и все его результаты в виде + би исключением. Он может также использовать .sqrt() :
import cmath

cmath.sqrt(4)  # 2+0j
cmath.sqrt(-4) # 2j

 
Что с j ? j является эквивалентом квадратного корня из -1. Все числа можно записать в виде a + bi или в этом случае a + bj. реальная часть числа , как 2 в 2+0j . Так как она не имеет мнимую часть, b равно 0. b представляет собой часть мнимой части числа , как 2 - в 2j . Поскольку нет никакой реальной части в этом, 2j также можно записать в виде 0 + 2j .
Экспонирование с использованием встроенных функций: ** и pow ()
Возведение может быть использован с помощью встроенного pow -функции или ** оператора:
2 ** 3    # 8
pow(2, 3) # 8
Для большинства (все в Python 2.x) арифметических операций тип результата будет типом более широкого операнда. Это не верно для ** ; следующие случаи являются исключениями из этого правила:
Основание: int , показатель: int < 0 :
2 ** -3
# Out: 0.125 (result is a float) 
Это также верно для Python 3.x.
Перед Python 2.2.0, это поднял ValueError .
Основание: int < 0 или float < 0 , показатель: float != int
(-2) ** (0.5)  # also (-2.) ** (0.5)# Out: 0.125 (result is a float) 
Out: (8.659560562354934e-17+1.4142135623730951j) (result is complex)
operator модуль содержит две функции, которые эквивалентны ** -оператора:
import operator
operator.pow(4, 2)      # 16
operator.__pow__(4, 3)  # 64

 
или можно напрямую вызвать __pow__ метод:
val1, val2 = 4, 2
val1.__pow__(val2)      # 16
val2.__rpow__(val1)     # 16
# in-place power operation isn't supported by immutable classes like int, float, complex:
# val1.__ipow__(val2)    
Экспонирование с использованием математического модуля: math.pow()
math модуль содержит другой math.pow() функцию. Разница в встроено pow() -функции или ** оператора является то , что результат всегда float :
import math
math.pow(2, 2)    # 4.0
math.pow(-2., 2)  # 4.0

 
Что исключает вычисления со сложными входами:
math.pow(2, 2+0j) 
 
Ошибка типа: невозможно преобразовать сложное в плавающее
и вычисления, которые привели бы к сложным результатам:
math.pow(-2, 0.5)
 
ValueError: ошибка математического домена
Экспоненциальная функция: math.exp () и cmath.exp ()
Как math и cmath модуль содержит число Эйлера: е и использовать его с встроено pow() -функции или ** -оператором работает в основном как math.exp() :
import math

math.e ** 2  # 7.3890560989306495
math.exp(2)  # 7.38905609893065

import cmath
cmath.e ** 2 # 7.3890560989306495
cmath.exp(2) # (7.38905609893065+0j)
Однако результат отличается и использованием экспоненциальной функция непосредственно является более надежной , чем с встроенным базовым возведением в степень math.------------ 
Магические методы и возведение в степень: построение, математика и математика
Предположим, у вас есть класс, который хранит чисто целочисленные значения:
class Integer(object):
    def __init__(self, value):
        self.value = int(value) # Cast to an integer

    def __repr__(self):
        return '{cls}({val})'.format(cls=self.__class__.__name__,
                                     val=self.value)

    def __pow__(self, other, modulo=None):
        if modulo is None:
            print('Using __pow__')
            return self.__class__(self.value ** other)
        else:
            print('Using __pow__ with modulo')
            return self.__class__(pow(self.value, other, modulo))

    def __float__(self):
        print('Using __float__')
        return float(self.value)

    def __complex__(self):
        print('Using __complex__')
        return complex(self.value, 0)

 
Использование встроенной pow функции или ** оператор всегда вызывает __pow__ :
Integer(2) ** 2                 # Integer(4)
# Prints: Using __pow__
Integer(2) ** 2.5               # Integer(5)
# Prints: Using __pow__
pow(Integer(2), 0.5)            # Integer(1)
# Prints: Using __pow__  
operator.pow(Integer(2), 3)     # Integer(8)
# Prints: Using __pow__
operator.__pow__(Integer(3), 3) # Integer(27)
# Prints: Using __pow__

 
Второй аргумент __pow__() метод может подаваться только с помощью builtin- pow() или путем непосредственного вызова метода:
pow(Integer(2), 3, 4)           # Integer(0)
# Prints: Using __pow__ with modulo
Integer(2).__pow__(3, 4)        # Integer(0) 
# Prints: Using __pow__ with modulo  

 
В то время как math -функции всегда преобразовать его в float и использовать флоат-вычисления:
import math

math.pow(Integer(2), 0.5) # 1.4142135623730951
# Prints: Using __float__

 
cmath -функции попытаться преобразовать его в complex , но может также Откат к float , если нет явного преобразования в complex :
import cmath

cmath.exp(Integer(2))     # (7.38905609893065+0j)
# Prints: Using __complex__

del Integer.__complex__   # Deleting __complex__ method - instances cannot be cast to complex

cmath.exp(Integer(2))     # (7.38905609893065+0j)
# Prints: Using __float__ 
Ни math , ни cmath будет работать , если также __float__() -метод отсутствует:
del Integer.__float__  # Deleting __complex__ method

math.sqrt(Integer(2))  # also cmath.exp(Integer(2))
 
Ошибка типа: требуется плавающее число
Модульное возведение в степень: pow() с 3 аргументами
Обеспечение pow() с аргументами 3 pow(a, b, c) оценивает модульного возведения в степень а б мод C:
pow(3, 4, 17)   # 13

# equivalent unoptimized expression:
3 ** 4 % 17     # 13

# steps:
3 ** 4          # 81
81 % 17         # 13

 
Для встроенных типов использование модульного возведения в степень возможно только в том случае, если:
Первый аргумент является int
Второй аргумент является int >= 0
Третий аргумент является int != 0
Эти ограничения также присутствуют в Python 3.x
Например, можно использовать 3-аргумент форму pow определить модульную обратную функцию:
def modular_inverse(x, p):
    """Find a such as  a·x ≡ 1 (mod p), assuming p is prime."""
    return pow(x, p-2, p)

[modular_inverse(x, 13) for x in range(1,13)]
# Out: [1, 7, 9, 10, 8, 11, 2, 5, 3, 4, 6, 12]

 
Корни: n-корень с дробными показателями
В то время как math.sqrt функция предусмотрена для конкретного случая квадратных корней, это часто бывает удобно использовать оператор возведения в степень ( ** ) с дробными показателями для выполнения п-корневые операции, как кубические корни.
Обратное возведение в степень является возведением в степень по взаимности экспоненты. Таким образом, если вы можете кубизировать число, указав его в показателе степени 3, вы можете найти корень куба в числе, указав его в показателе 1/3.
>>> x = 3
>>> y = x ** 3
>>> y
27
>>> z = y ** (1.0 / 3)
>>> z
3.0
>>> z == x
True 
Вычисление больших целочисленных корней
Несмотря на то, что Python изначально поддерживает большие целые числа, получение n-го корня очень больших чисел может привести к сбою в Python.
 x = 2 ** 100
cube = x ** 3
root = cube ** (1.0 / 3)

 
OverflowError: long int слишком велико для преобразования в float
При работе с такими большими целыми числами вам нужно будет использовать пользовательскую функцию для вычисления n-го корня числа.
def nth_root(x, n):
    # Start with some reasonable bounds around the nth root.
    upper_bound = 1
    while upper_bound ** n <= x:
        upper_bound *= 2
    lower_bound = upper_bound // 2
    # Keep searching for a better result as long as the bounds make sense.
    while lower_bound < upper_bound:
        mid = (lower_bound + upper_bound) // 2
        mid_nth = mid ** n
        if lower_bound < mid and mid_nth < x:
            lower_bound = mid
        elif upper_bound > mid and mid_nth > x:
            upper_bound = mid
        else:
            # Found perfect nth root.
            return mid
    return mid + 1

x = 2 ** 100
cube = x ** 3
root = nth_root(cube, 3)
x == root
# True
Модуль Math — математика в Python на примерах (Полный Обзор)
Библиотека Math в Python обеспечивает доступ к некоторым популярным математическим функциям и константам, которые можно использовать в коде для более сложных математических вычислений. Библиотека является встроенным модулем Python, поэтому никакой дополнительной установки через pip делать не нужно. В данной статье будут даны примеры часто используемых функций и констант библиотеки Math в Python.
Содержание статьи
Специальные константы библиотеки math
В библиотеке Math в Python есть две важные математические константы.
Число Пи из библиотеки math
Первой важной математической константой является число Пи (π). Оно обозначает отношение длины окружности к диаметру, его значение 3,141592653589793. Чтобы получить к нему доступ, сначала импортируем библиотеку math следующим образом:
Затем можно получить доступ к константе, вызывая pi:
Вывод
Данную константу можно использовать для вычисления площади или длины окружности. Далее представлен пример простого кода, с помощью которого это можно сделать:
 import math
radius = 2
 print(‘Площадь окружности с радиусом 2 равна:’, math.pi * (radius ** 2))
import math
 
radius = 2
print(‘Площадь окружности с радиусом 2 равна:’, math.pi * (radius ** 2))
Вывод
 Площадь окружности с радиусом 2 равна: 12.566370614359172
Площадь окружности с радиусом 2 равна: 12.566370614359172
Мы возвели радиус во вторую степень и умножили значение на число Пи, как и следовало сделать в соответствии с формулой πr2.
Мы собрали ТОП Книг для Python программиста которые помогут быстро изучить язык программирования Python.
 Список книг: Книги по Python
Число Эйлера из библиотеки math
Число Эйлера (е) является основанием натурального логарифма. Оно также является частью библиотеки Math в Python. Получить доступ к числу можно следующим образом:
Вывод
В следующем примере представлено, как можно использовать вышеуказанную константу:
 import math
print((math.e + 6 / 2) * 4.32)
import math
 
print((math.e + 6 / 2) * 4.32)
Вывод
Экспонента и логарифм библиотеки math
В данном разделе рассмотрим функции библиотеки Math в Python, которые используются для нахождения экспоненты и логарифмов.
Функция экспоненты exp() в Python
Библиотека Math в Python поставляется с функцией exp(), которую можно использовать для вычисления значения е. К примеру, ex — экспонента от х. Значение е равно 2.718281828459045.
Метод может быть использован со следующим синтаксисом:
Параметр x может быть положительным или отрицательным числом. Если x не число, метод возвращает ошибку. Рассмотрим пример использования данного метода:
 import math
# Инициализация значений
 an_int = 6
 a_neg_int = -8
 a_float = 2.00
# Передача значений методу exp() и вывод
 print(math.exp(an_int))
 print(math.exp(a_neg_int))
 print(math.exp(a_float))
import math
 
# Инициализация значений
an_int = 6
a_neg_int = -8
a_float = 2.00
 
# Передача значений методу exp() и вывод
print(math.exp(an_int))
print(math.exp(a_neg_int))
print(math.exp(a_float))
Вывод
 403.4287934927351
 0.00033546262790251185
 7.38905609893065
403.4287934927351
0.00033546262790251185
7.38905609893065
Мы объявили три переменные и присвоили им значения с различными числовыми типами данных. Мы передали значения методу exp() для вычисления их экспоненты.
Мы также можем применить данный метод для встроенных констант, что продемонстрировано ниже:
 import math
print(math.exp(math.e))
 print(math.exp(math.pi))
import math
 
print(math.exp(math.e))
print(math.exp(math.pi))
Вывод
 15.154262241479262
 23.140692632779267
15.154262241479262
23.140692632779267
При передаче не числового значения методу будет сгенерирована ошибка TypeError, как показано далее:
 import math
print(math.exp(«20»))
import math
 
print(math.exp(«20»))
Вывод
 Traceback (most recent call last):
 File «C:/Users/admin/mathe.py», line 3, in <module>
 print (math.exp(«20»))
 TypeError: a float is required
Traceback (most recent call last):
  File «C:/Users/admin/mathe.py», line 3, in <module>
    print (math.exp(«20»))
TypeError: a float is required
Как видно из примера выше, генерируется ошибка TypeError.
Функция логарифма log() в Python
Функция log() возвращает логарифм определенного числа. Натуральный логарифм вычисляется относительно основания е. В следующем примере показано использование функции логарифма:
 import math
print(«math.log(10.43):», math.log(10.43))
 print(«math.log(20):», math.log(20))
 print(«math.log(math.pi):», math.log(math.pi))
import math
 
print(«math.log(10.43):», math.log(10.43))
print(«math.log(20):», math.log(20))
print(«math.log(math.pi):», math.log(math.pi))
В скрипте выше методу передаются числовые значения с различными типами данных. Также рассчитывается натуральный логарифм константы pi. Вывод следующий:
 math.log(10.43): 2.344686269012681
 math.log(20): 2.995732273553991
 math.log(math.pi): 1.1447298858494002
math.log(10.43): 2.344686269012681
math.log(20): 2.995732273553991
math.log(math.pi): 1.1447298858494002
Функция log10() в Python
Метод log10() возвращает логарифм по основанию 10 определенного числа. К примеру:
 import math
# Возвращает log10 числа 50
 print(«log10 числа 50 равен:», math.log10(50))
import math
 
# Возвращает log10 числа 50
print(«log10 числа 50 равен:», math.log10(50))
Вывод
 log10 числа 50 равен: 1.6989700043360187
log10 числа 50 равен: 1.6989700043360187
Функция log2() в Python
Функция log2() возвращает логарифм определенного числа по основанию 2. К примеру:
 import math
# Возвращает log2 числа 16
 print(«log2 числа 16 равен:», math.log2(16))
import math
 
# Возвращает log2 числа 16
print(«log2 числа 16 равен:», math.log2(16))
Вывод
 log2 числа 16 равен: 4.0
log2 числа 16 равен: 4.0
Функция log(x, y) в Python
Функция log(x, y) возвращает логарифм числа х по основанию y. К примеру:
 import math
# Возвращает логарифм 3,4
 print(«Логарифм 3 по основанию 4 равен:», math.log(3, 4))
import math
 
# Возвращает логарифм 3,4
print(«Логарифм 3 по основанию 4 равен:», math.log(3, 4))
Вывод
 Логарифм 3 по основанию 4 равен: 0.6309297535714574
Логарифм 3 по основанию 4 равен: 0.6309297535714574
Функция log1p(x) в Python
Функция log1p(x) рассчитывает логарифм(1+x), как представлено ниже:
 import math
print(«Значение логарифма(1+x) от 10 равно:», math.log1p(10))
import math
 
print(«Значение логарифма(1+x) от 10 равно:», math.x (при использовании функции expml()) равно: 0.00010000500016667084
К числу других математических функций относятся:
pow(): принимает два вещественных аргумента, возводит первый аргумент в степень, значением которой является второй аргумент, после чего возвращает результат. К примеру, pow(2, 2) эквивалентно выражению 2 ** 2;
sqrt(): возвращает квадратный корень определенного числа.
Примеры данных методов представлены ниже:
Возведение в степень
Вывод
Квадратный корень
Вывод
Тригонометрические функции в Python
Модуль math в Python поддерживает все тригонометрические функции. Самые популярные представлены ниже:
sin(a): Возвращает синус "а" в радианах;
cos(a): Возвращает косинус "а" в радианах;
tan(a): Возвращает тангенс "а" в радианах;
asin(a): Возвращает инвертированный синус. Аналогичным образом работают "atan" и "acos";
degrees(a): Конвертирует угол "a" из радиан в градусы;
radians(a): Конвертирует угол "a" из градусов в радианы.
Рассмотрим следующий пример:
 import math
angle_In_Degrees = 62
 angle_In_Radians = math.radians(angle_In_Degrees)
print(‘Значение угла:’, angle_In_Radians)
 print(‘sin(x) равен:’, math.sin(angle_In_Radians))
 print(‘tan(x) равен:’, math.tan(angle_In_Radians))
 print(‘cos(x) равен:’, math.cos(angle_In_Radians))
import math
 
angle_In_Degrees = 62
angle_In_Radians = math.radians(angle_In_Degrees)
 
print(‘Значение угла:’, angle_In_Radians)
print(‘sin(x) равен:’, math.sin(angle_In_Radians))
print(‘tan(x) равен:’, math.tan(angle_In_Radians))
print(‘cos(x) равен:’, math.cos(angle_In_Radians))
Вывод
 Значение угла: 1.0821041362364843
 sin(x) равен: 0.8829475928589269
 tan(x) равен: 1.8807264653463318
 cos(x) равен: 0.46947156278589086
Значение угла: 1.0821041362364843
sin(x) равен: 0.8829475928589269
tan(x) равен: 1.8807264653463318
cos(x) равен: 0.46947156278589086
Обратите внимание, что вначале мы конвертировали значение угла из градусов в радианы для осуществления дальнейших операций.
Конвертация типов числа в Python
Python может конвертировать начальный тип числа в другой указанный тип. Данный процесс называется «преобразованием». Python может внутренне конвертировать число одного типа в другой, когда в выражении присутствуют смешанные значения. Такой случай продемонстрирован в следующем примере:
Вывод
В вышеприведенном примере целое число 3 было преобразовано в вещественное число 3.0 с плавающей точкой. Результатом сложения также является число с плавающей точкой (или запятой).
Однако иногда вам необходимо явно привести число из одного типа в другой, чтобы удовлетворить требования параметра функции или оператора. Это можно сделать с помощью различных встроенных функций Python.
Например, чтобы преобразовать целое число в число с плавающей точкой, мы должны вызвать функцию float(), как показано ниже:
 a = 12
 b = float(a)
 print(b)
a = 12
b = float(a)
print(b)
Вывод
Целое число типа integer было преобразовано в вещественное число типа float. float также можно конвертировать в integer следующим образом:
 a = 12.65
 b = int(a)
 print(b)
a = 12.65
b = int(a)
print(b)
Вывод
Вещественное число было преобразовано в целое через удаление дробной части и сохранение базового числа. Обратите внимание, что при конвертации значения в int подобным образом число будет усекаться, а не округляться вверх.
Заключение
Библиотека Math предоставляет функции и константы, которые можно использовать для выполнения арифметических и тригонометрических операций в Python. Библиотека изначально встроена в Python, поэтому дополнительную установку перед использованием делать не требуется. Для получения дополнительной информации можете просмотреть официальную документацию.
math в Python
Модуль предоставляет математические функции, согласно стандарту C.
Функции модуля не могут использоваться с комплексными числами. Для работы с комплексными числами используйте модуль cmath. Это разделение сделано намеренно, потому что большинство пользователей не разбираются в математике комплексных чисел. Предполагается, что получение исключения вместо комплексного числа, позволяет обнаружить неожиданную передачу в функцию комплексного числа.
Детали реализации CPython
В основном модуль состоит из «тонких» обёрток над функциями библиотеки C math.
Начиная с +py2.6, где это возможно, поведение в случае исключений следует приложению F стандарта C99. Текущая реализация возбуждает ValueError для невалидных операций, типа sqrt(-1.0) или log(0.0), и OverflowError в случае переполнений, например, exp(1000.0).
Значение NaN может возвращаться функциями лишь в случае, если среди аргументов было NaN. Однако здесь есть иключения, согласно приложению F стандарта C99: например, pow(float('nan'), 0.0) или hypot(float('nan'), float('inf')).
Python не делает различий между «сигнализирующими» и «тихими» NaN. Поведение для «сигнализирующих» NaN не определено. Таким образом, стандартное поведение для всех NaN: трактовать их так, как если бы они были «тихими».
 math.ceil
Округляет в большую сторону.
 math.floor
Округляет в меньшую сторону.
 math.sqrt
Возвращает квадратный корень для указанного числа.
Библиотеки
 — построение графиков и программирование на Python 
  pi - 3,141592653589793
cos (пи) равен -1,0
  
  Справка по математике модуля:

НАЗВАНИЕ
    математика

ССЫЛКА НА МОДУЛЬ
    http://docs.python.org/3/library/math

    Следующая документация автоматически генерируется из Python
    исходные файлы. Он может быть неполным, неправильным или включать функции, которые
    считаются деталями реализации и могут варьироваться в зависимости от Python
    реализации. В случае сомнений см. Ссылку на модуль на
    место, указанное выше.ОПИСАНИЕ
    Этот модуль всегда доступен. Он обеспечивает доступ к
    математические функции, определенные стандартом C.

ФУНКЦИИ
    acos (х, /)
        Верните арккосинус (измеренный в радианах) x.
⋮ ⋮ ⋮
  
 Расположение правого модуля 
 Вы хотите выбрать случайный символ из строки:
 Какой стандартный библиотечный модуль мог бы вам помочь?
 Какую функцию вы бы выбрали из этого модуля? Есть ли альтернативы?
 Попробуйте написать программу, использующую эту функцию.
 Решение 
 Кажется, случайный модуль может вам помочь.
 Строка состоит из 11 символов, каждый из которых имеет позиционный индекс от 0 до 10.
 Вы можете использовать функции  random.randrange  или  random.randint .
 чтобы получить случайное целое число от 0 до
 10, а затем выберите символ в этой позиции:
  из случайного импорта randrange

random_index = randrange (len (базы))
печать (базы [random_index])
  
 или более компактно:
  из случайного импорта randrange

печать (базы [рандранж (len (базы))])
  
 Возможно, вы нашли  случайным образом.образец  функция? Это позволяет немного
 меньше печатать:
  из случайной импортной выборки

print (образец (базы, 1) [0])
  
 Обратите внимание, что эта функция возвращает список значений. Мы узнаем о
 списки в эпизоде ​​11.
 Есть и другие функции, которые можно использовать, но с более запутанными
 код в результате.
 Математический модуль Python 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 Метод
 Описание
 математ.acos ()
 Возвращает арккосинус числа
 math.acosh ()
 Возвращает обратный гиперболический косинус числа
 math.asin ()
 Возвращает арксинус числа
 math.asinh ()
 Возвращает обратный гиперболический синус числа
 math.atan ()
 Возвращает арктангенс числа в радианах.
 математ.atan2 ()
 Возвращает арктангенс y / x в радианах.
 math.atanh ()
 Возвращает обратный гиперболический тангенс числа
 math.ceil ()
 Округляет число до ближайшего целого
 math.comb ()
 Возвращает количество способов выбрать k элементов из n элементов без повторения и порядка
 математ.copysign ()
 Возвращает число с плавающей запятой, состоящее из значения первого параметра и знака второго параметра.
 math.cos ()
 Возвращает косинус числа
 math.cosh ()
 Возвращает гиперболический косинус числа
 математ. Град. ()
 Преобразует угол из радиан в градусы.
 math.dist ()
 Возвращает евклидово расстояние между двумя точками (p и q), где p и
 q — координаты этой точки
 математ.erf ()
 Возвращает функцию ошибки числа
 math.erfc ()
 Возвращает дополнительную функцию ошибки числа
 math.exp ()
 Возвращает E в степени x
 math.expm1 ()
 Возвращает E  x 
 — 1
 math.fabs ()
 Возвращает абсолютное значение числа
 математ.факториал ()
 Возвращает факториал числа
 math.floor ()
 Округляет число до ближайшего целого
 math.fmod ()
 Возвращает остаток от x / y
 math.frexp ()
 Возвращает мантиссу и показатель степени указанного числа.
 math.fsum ()
 Возвращает сумму всех элементов в любой итерации (кортежи, массивы, списки и т. Д.).)
 math.gamma ()
 Возвращает гамма-функцию при x
 math.gcd ()
 Возвращает наибольший общий делитель двух целых чисел
 math.hypot ()
 Возвращает евклидову норму
 math.isclose ()
 Проверяет, близки ли два значения друг к другу или нет
 математ. Конечн. ()
 Проверяет, является ли число конечно или нет
 математ.isinf ()
 Проверяет, является ли число бесконечным
 math.isnan ()
 Проверяет, является ли значение NaN (не числом) или нет.
 math.isqrt ()
 Округляет квадратный корень в меньшую сторону до ближайшего целого числа
 math.ldexp ()
 Возвращает значение, обратное math.frexp ().
 что является x * (2 ** i) заданных чисел x и i
 математ.lgamma ()
 Возвращает логарифмическое значение гаммы x
 math.log ()
 Возвращает натуральный логарифм числа или логарифм числа по основанию
 math.log10 ()
 Возвращает десятичный логарифм x
 math.log1p ()
 Возвращает натуральный логарифм 1 + x
 math.log2 ()
 Возвращает логарифм по основанию 2 x
 математ.Пермь ()
 Возвращает количество способов выбрать k элементов из n элементов с порядком и без повторения.
 math.pow ()
 Возвращает значение x в степени y
 math.prod ()
 Возвращает произведение всех элементов в итерации
 математические радианы ()
 Преобразует значение градуса в радианы.
 математ.остаток ()
 Возвращает ближайшее значение, при котором числитель полностью делится на знаменатель.
 math.sin ()
 Возвращает синус числа
 math.sinh ()
 Возвращает гиперболический синус числа
 math.sqrt ()
 Возвращает квадратный корень из числа
 math.tan ()
 Возвращает тангенс числа
 математ.tanh ()
 Возвращает гиперболический тангенс числа
 math.trunc ()
 Возвращает усеченные целые части числа
 9.2. math — Математические функции — документация Python 3.7.0a2 
 Этот модуль всегда доступен. Он обеспечивает доступ к математическим
 функции, определенные стандартом C.
 Эти функции нельзя использовать с комплексными числами; использовать функции
 то же имя из модуля  cmath , если вам требуется поддержка сложных
 числа.Различие между функциями, поддерживающими комплексные числа, и
 те, которые не делаются, поскольку большинство пользователей не хотят учиться так много
 математика, необходимая для понимания комплексных чисел. Получение исключения
 вместо сложного результата позволяет раньше обнаруживать неожиданный комплекс
 число, используемое в качестве параметра, чтобы программист мог определить, как и почему он
 был создан в первую очередь.
 Этот модуль предоставляет следующие функции. За исключением случаев, когда явно
 в противном случае все возвращаемые значения являются числами с плавающей запятой.
 9.2.1. Теоретико-числовые функции и функции представлений 
  математика.   потолок  ( x )
 Вернуть потолок  x , наименьшее целое число, большее или равное  x .
 Если  x  не является числом с плавающей запятой, делегирует  x .__ ceil __ () , который должен вернуть
  Интегральное значение .
  математика.   копия  ( x ,  y )
 Вернуть число с плавающей запятой с величиной (абсолютным значением)  x , но со знаком
  y .На платформах, поддерживающих нули со знаком,  copysign (1.0, -0.0) 
 возвращает  -1,0 .
  математика.   фабрики  ( x )
 Вернуть абсолютное значение  x .
  математика.   факториал  ( x )
 Вернуть факториал  x . Вызывает  ValueError , если  x  не является целым или
 отрицательный.
  математика.  этаж  ( x )
 Возвращает пол  x , наибольшее целое число, меньшее или равное  x .
 Если  x  не является плавающим, делегирует  x .__ floor __ () , который должен вернуть
  Интегральное значение .
  математика.   fmod  ( x ,  y )
 Вернуть  fmod (x, y) , как определено библиотекой платформы C. Обратите внимание, что
 Выражение Python  x% y  может не возвращать тот же результат.Намерение C
 стандартным является то, что  fmod (x, y)  должно быть точно (математически; до бесконечности
 точности) равным  x - n * y  для некоторого целого числа  n , так что результат имеет
 тот же знак, что и  x , и величина меньше  абс (y) . Python  x% y 
 вместо этого возвращает результат со знаком  y  и может быть неточно вычислимым
 для аргументов с плавающей запятой. Например,  fmod (-1e-100, 1e100)  — это  -1e-100 , но
 результат Python  -1e-100% 1e100  будет  1e100-1e-100 , что не может быть
 представлен в точности как поплавок и округляется до удивительного  1e100 .Для
 по этой причине функция  fmod ()  обычно предпочтительнее при работе с
 float, тогда как Python  x% y  предпочтительнее при работе с целыми числами.
  математика.   frexp  ( x )
 Вернуть мантиссу и показатель степени  x  как пару  (m, e) .  м  — поплавок
 а  e  — целое число, такое что  x == m * 2 ** e  точно. Если  x  равно нулю,
 возвращает  (0.0, 0) , иначе  0,5 <= абс (м) <1 . Это используется, чтобы «выбрать
 отдельно »внутреннее представление поплавка портативным способом.
  математика.   fsum  ( итерация )
 Вернуть точную сумму значений с плавающей запятой в итерируемом объекте. Избегает
 потеря точности из-за отслеживания нескольких промежуточных частичных сумм:
 >>> сумма ([. 1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
0,9999999999999999
>>> fsum ([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
1.0
 
 Точность алгоритма зависит от арифметических гарантий IEEE-754 и
 типичный случай, когда режим округления половинный. На некоторых не-Windows
 сборки, базовая библиотека C использует сложение с расширенной точностью и может
 иногда двойное округление промежуточной суммы, в результате чего ее
 младший значащий бит.
 Для дальнейшего обсуждения и двух альтернативных подходов см. Поваренную книгу ASPN.
 рецепты точного суммирования с плавающей запятой.
  математика.   gcd  ( a ,  b )
 Вернуть наибольший общий делитель целых чисел  a  и  b . Если либо
  a  или  b  не равно нулю, тогда значение  gcd (a, b)  является наибольшим
 положительное целое число, которое делит  на  и  b .  gcd (0, 0)  возвращает
  0 .
  математика.  isclose  ( a ,  b ,  * ,  rel_tol = 1e-09 ,  abs_tol = 0,0 )
 Вернуть  Истина , если значения  a  и  b  близки друг к другу и
  Неверно  иначе.
 Считаются ли два значения близкими или нет, определяется в соответствии с
 даны абсолютные и относительные допуски.
  rel_tol  - относительный допуск - это максимально допустимая разница
 между  a  и  b  относительно большего абсолютного значения  a  или  b .Например, чтобы установить допуск 5%, передайте  rel_tol = 0,05 . По умолчанию
 допуск  1e-09 , что гарантирует, что два значения совпадают
 с точностью до 9 десятичных цифр.  rel_tol  должен быть больше нуля.
  abs_tol  - минимальный абсолютный допуск - полезен для сравнений около
 нуль.  abs_tol  должен быть не меньше нуля.
 Если ошибок не возникает, результатом будет:
  абс (a-b) <= max (rel_tol * max (abs (a), abs (b)), abs_tol) .
 Специальные значения IEEE 754:  NaN ,  inf  и  -inf  будут
 обрабатывается в соответствии с правилами IEEE. В частности,  NaN  не считается
 близко к любому другому значению, включая  NaN .  inf  и  -inf  только
 считается близким к себе.
 См. Также
  PEP 485  - Функция проверки примерного равенства
  математика.   исфинит  ( x )
 Вернуть  Истина , если  x  не является ни бесконечностью, ни NaN, и
  Неверно  иначе.(Обратите внимание, что  0,0   - это , считающееся конечным.)
  математика.   isinf  ( x )
 Вернуть  Истинно , если  x  - положительная или отрицательная бесконечность, и
  Неверно  иначе.
  математика.   иснан  ( x )
 Вернуть  Истина , если  x  - NaN (не число), и  Ложь  в противном случае.
  математика.   ldexp  ( x ,  и )
 Возврат  x * (2 ** i) . По сути, это обратная функция
  frexp () .
  математика.   мод  ( x )
 Вернуть дробную и целую части  x . Оба результата имеют знак
 размером  x  и являются поплавками.
  математика.  остаток  ( x ,  y )
 Вернуть остаток в стиле IEEE 754  x  относительно  y . Для
 конечное  x  и конечное ненулевое  y , это разница  x - n * y ,
 где  n  - ближайшее целое число к точному значению частного  x /
 y . Если  x / y  находится ровно посередине между двумя последовательными целыми числами,
 ближайшее , четное целое число  используется для  n .Остаток  r = остаток (x,
 y) , таким образом, всегда удовлетворяет  abs (r) <= 0,5 * abs (y) .
 Особые случаи соответствуют IEEE 754: в частности, остаток  (x, math.inf)  - это
  x  для любого конечного  x  и  остатка (x, 0)  и
  остаток (math.inf, x)  вызывает  ValueError  для любых не-NaN  x .
 Если результат операции с остатком равен нулю, этот ноль будет иметь
 тот же знак, что и  x .
 На платформах, использующих двоичные числа с плавающей запятой IEEE 754, результат этого
 операция всегда точно представима: ошибка округления не вводится.
  математика.   усечение  ( x )
 Вернуть  Real  значение  x , усеченное до
  Integral  (обычно целое число). Делегаты
  x .__ trunc __ () .
 Обратите внимание, что  frexp ()  и  modf ()  имеют другой шаблон вызова / возврата
 чем их эквиваленты в C: они принимают единственный аргумент и возвращают пару
 значения, вместо того, чтобы возвращать их второе возвращаемое значение через "output"
 параметр ’(в Python такого нет).
 Для функций  ceil () ,  floor ()  и  modf ()  обратите внимание, что  все 
 числа с плавающей запятой достаточно большой величины являются точными целыми числами.
 Поплавки Python обычно несут не более 53 бита точности (такая же, как у
 платформа C двойного типа), в этом случае любой поплавок  x  с  абс (x)> = 2 ** 52 
 обязательно не имеет дробных битов.
 9.2.2. Степенные и логарифмические функции 
  математика.  эксп.  ( x )
 Возврат  e  в степени  x , где  e  = 2,718281 ... - основание
 натуральных логарифмов. Обычно это более точно, чем  math.e ** x 
 или  pow (math.e, x) .
  математика.   экспм1  ( x )
 Возврат  e  в степени  x , минус 1. Здесь  e  - основание натурального
 логарифмы.Для малых чисел с плавающей запятой  x , вычитание в  exp (x) - 1 
 может привести к значительной потере точности;  expm1 () 
 функция предоставляет способ вычислить это количество с полной точностью:
 >>> из математического импорта exp, expm1
>>> exp (1e-5) - 1 # дает результат с точностью до 11 разряда
1.0000050000069649e-05
>>> expm1 (1e-5) # результат с полной точностью
1.0000050000166668e-05
 
  математика.  журнал  ( x  [,  основание ])
 С одним аргументом верните натуральный логарифм  x  (с основанием  e ).
 С двумя аргументами вернуть логарифм  x  к заданному основанию  ,
 рассчитывается как  log (x) / log (base) .
  математика.   log1p  ( x )
 Вернуть натуральный логарифм  1 + x  (основание  e ).В
 результат рассчитывается с точностью до  x , близкой к нулю.
  математика.   журнал2  ( x )
 Вернуть логарифм по основанию 2  x . Обычно это более точно, чем
  журнал (x, 2) .
 См. Также
  int.bit_length ()  возвращает количество битов, необходимых для представления
 целое число в двоичном формате, исключая знак и ведущие нули.
  математика.  лог10  ( x )
 Вернуть десятичный логарифм  x . Обычно это более точно
 чем  log (x, 10) .
  математика.   pow  ( x ,  y )
 Возврат  x  в степени  y . Далее следуют исключительные случаи
 Приложение «F» стандарта C99, насколько это возможно. В частности,
  pow (1.0, x)  и  pow (x, 0.0)  всегда возвращает  1.0 , даже
 когда  x  - это ноль или NaN. Если и  x , и  y  конечны,
  x  отрицательно, а  y  не является целым числом, тогда  pow (x, y) 
 не определено, и вызывает  ValueError .
 В отличие от встроенного оператора  ** ,  math.pow ()  преобразует оба
 его аргументы для типа  с плавающей запятой . Используйте  **  или встроенный
  pow ()  функция для вычисления точных целочисленных степеней.
  математика.   квадрат  ( x )
 Возвратите квадратный корень из  x .
 9.2.3. Тригонометрические функции 
  математика.   acos  ( x )
 Вернуть арккосинус  x  в радианах.
  математика.   asin  ( x )
 Вернуть арксинус  x  в радианах.
  математика.   атан  ( x )
 Вернуть арктангенс  x  в радианах.
  математика.   atan2  ( y ,  x )
 Вернуть  atan (y / x)  в радианах. Результат находится между  -pi  и  pi .
 Вектор в плоскости от начала координат до точки  (x, y)  составляет этот угол
 с положительной осью X.Смысл  atan2 ()  в том, что признаки обоих
 ему известны входные данные, поэтому он может вычислить правильный квадрант для угла.
 Например,  atan (1)  и  atan2 (1, 1)  оба равны  pi / 4 , но  atan2 (-1,
 -1)  - это -3 * pi / 4 .
  математика.   cos  ( x )
 Вернуть косинус  x  радиан.
  математика.   гипотеза  ( x ,  y )
 Вернуть евклидову норму,  sqrt (x * x + y * y) .Это длина вектора
 от начала координат до точки  (x, y) .
  математика.   грех  ( x )
 Вернуть синус  x  радиан.
  математика.   желто-коричневый  ( x )
 Вернуть тангенс  x  радиан.
 9.2.4. Угловое преобразование 
  математика.   градуса  ( x )
 Преобразование угла  x  из радианов в градусы.
  математика.   радиан  ( x )
 Преобразование угла  x  из градусов в радианы.
 9.2.5. Гиперболические функции 
 Гиперболические функции
 являются аналогами тригонометрических функций, основанных на гиперболах
 вместо кружков.
  математика.   acosh  ( x )
 Вернуть обратный гиперболический косинус  x .
  математика.   асинь  ( x )
 Вернуть обратный гиперболический синус  x .
  математика.   атанх  ( x )
 Вернуть обратный гиперболический тангенс  x .
  математика.   cosh  ( x )
 Вернуть гиперболический косинус  x .
  математика.  sinh  ( x )
 Вернуть гиперболический синус  x .
  математика.   танх  ( x )
 Вернуть гиперболический тангенс  x .
 9.2.6. Специальные функции 
  математика.   эрф  ( x )
 Вернуть функцию ошибки в
  х .
 Функцию  erf ()  можно использовать для вычисления традиционных статистических
 функции, такие как кумулятивное стандартное нормальное распределение:
 деф фи (х):
    'Кумулятивная функция распределения для стандартного нормального распределения'
    возврат (1.0 + erf (x / sqrt (2.0))) / 2.0
 
  математика.   erfc  ( x )
 Вернуть дополнительную функцию ошибок  x . Дополнительная ошибка
 функция определяется как
  1.0 - erf (x) . Он используется для больших значений  x , где вычитание
 от одного вызовет потерю значимости.
  математика.   гамма  ( x )
 Вернуть гамма-функцию в
  х .
  математика.   lgamma  ( x )
 Вернуть натуральный логарифм абсолютного значения гаммы.
 функция  x .
 9.2.7. Константы 
  математика.   пи 
 Математическая константа  π  = 3,141592 ..., с доступной точностью.
  математика.   e 
 Математическая константа  e  = 2.718281 ..., с доступной точностью.
  математика.   тау 
 Математическая константа  τ  = 6,283185 ..., с доступной точностью.
 Тау - это постоянная окружности, равная 2  π , отношение длины окружности к
 его радиус. Чтобы узнать больше о Тау, посмотрите видео Ви Харта Pi is (still)
 Неправильно, и начни праздновать
 Тау день, съев в два раза больше пирога!
  математика.   инф 
 Положительная бесконечность с плавающей запятой.(Для отрицательной бесконечности используйте
  -math.inf .) Эквивалент выходу  float ('inf') .
  математика.   нан 
 Значение с плавающей запятой «не число» (NaN). Эквивалентно выходу
  с плавающей запятой ('nan') .
  Детали реализации CPython:  Модуль  math  состоит в основном из тонких оберток вокруг платформы C.
 математические библиотечные функции. Поведение в исключительных случаях соответствует Приложению F к
 стандарт C99, где это необходимо.Текущая реализация повысит
  ValueError  для недопустимых операций, таких как  sqrt (-1.0)  или  log (0.0) 
 (где Приложение F C99 рекомендует сигнализировать о недопустимой операции или делении на ноль),
 и  OverflowError  для результатов, которые переполняются (например,
  exp (1000.0) ). NaN не будет возвращено ни одной из функций.
 выше, если только один или несколько входных аргументов не были NaN; в этом случае,
 большинство функций вернут NaN, но (опять же после приложения F C99) там
 есть некоторые исключения из этого правила, например  pow (float ('nan'), 0.0)  или
  гипотеза (float ('nan'), float ('inf')) .
 Обратите внимание, что Python не пытается отличить сигнальные NaN от
 тихие NaN, и поведение для передачи сигналов NaN остается неопределенным.
 Типичное поведение - рассматривать все NaN, как если бы они были тихими.
 См. Также
 Модуль  cmath 
 Комплексные числовые версии многих из этих функций.
 Урок 12 - Импорт модулей и математического модуля в Python 
 На предыдущем уроке Кортежи, наборы и словари в Python мы узнали о многомерных списках.
 в Python.В сегодняшнем руководстве мы научимся использовать библиотеки. В основном,
 библиотека  math .
 Библиотеки 
 Библиотеки (или модули)
 предоставляют нам полезные типы данных, функции и
 инструменты для создания еще лучших программ. Они сделаны, поэтому нам не нужно переписывать
 что-то еще кто-то уже написал для нас. Если мы сделаем наши программы, используя
 существующих модулей, процесс разработки будет намного удобнее и
 быстро.
 Импортируем библиотеки с помощью команды  import ,  в
 начало нашего исходного файла .
 импорт имя_модуля 
 Затем мы вызываем функции модуля, как они были в методах модуля:
 имя_модуля.имя_функции () 
 Мы также можем импортировать только определенные функции:
 из имя_модуля импорт имя_функции 
 Тогда функция будет доступна глобально:
 имя_функции () 
 Мы даже можем сделать все из модуля доступным глобально.
 Однако будьте осторожны с этим подходом и используйте его, только если точно знаете, что
 вы делаете:
 из импорта имя_модуля * 
 математика 
 Во-первых, давайте познакомим вас с математическим модулем Python -  math .Мы
 необходимо импортировать его, чтобы использовать:

импорт математики 
 Модуль предоставляет нам 2 фундаментальные константы:  pi  и
  и .  пи , как вы все знаете, это число пи
 ( 3,1415 ... ), а  e  - число Эйлера, основание
 натуральный логарифм ( 2,7182 ... ). Я уверен, ты научишься работать с
 их. Для полноты картины выведем на консоль эти константы:
  {PYTHON}

импортная математика

print ("Пи:% f"% (math.Пи))
print ("e:% f"% (math.e))  
 Результат:
  Консольное приложение
Пи: 3,141593
e: 2.718282  
 Как видите, все можно вызвать из модуля  math .
 математика  методы модуля
 Теперь давайте рассмотрим методы, которые предоставляет математический модуль.
 ceil () ,  этаж ()  и  random () 
 Все эти функции связаны с округлением. ceil ()  всегда
 округляет вверх и  этаж ()  округляет вниз, несмотря ни на что. если ты
 просто нужно обычное округление, используйте глобальную функцию  round () , которая
 принимает десятичное число в качестве параметра и возвращает округленное число  как
 двойной тип данных , как мы учились в школе (из
  0,5  округляется вверх, иначе вниз). В
  round ()  функция входит в стандартный набор функций и не
 зависит от модуля  math .
 Мы, конечно, очень часто будем использовать  round () . Я использовал другой
 функции для таких вещей, как определение количества страниц в гостевой книге. Если
 у нас было  33  комментария, и мы напечатали только  10  комментариев на
 страницы, эти комментарии займут  3,3  страницы. Результат должен быть
 с округлением в большую сторону, поскольку нам действительно потребуется  4  страниц.
  {PYTHON}

импортная математика

печать (круглый (3.1))
печать (круглый (3,6))
печать (math.ceil (3.1))
печать (математика.этаж (3,6))  
 На выходе:
  Консольное приложение
3
4
4
3  
 фабрики ()  и  абс () 
 Метод  fabs ()  принимает десятичное ( с плавающей запятой ) число как
 параметр и возвращает его абсолютное значение (всегда положительное). Мы также
 есть глобальная функция  abs () , которая работает с целыми числами.
  {ПИТОН}

импортная математика

печать (math.fabs (-2.2))
печать (math.fabs (2.2))
печать (абс (-2))
печать (абс (2))  
 На выходе:
  Консольное приложение
2.2
2.2
2
2  
 sin () ,  cos () ,  tan () 
 Эти классические тригонометрические функции принимают угол как
  с плавающей запятой , который необходимо вводить в радианах (а не в градусах, если ваш
 страна их использует). Чтобы преобразовать градусы в радианы, мы умножаем их на
  (Math.PI / 180) . Возвращаемое значение также  с плавающей запятой .
 acos () ,  asin () ,  atan () 
 Это обратные тригонометрические (дуговые, иногда циклометрические) функции,
 которые возвращают исходный угол в соответствии с его тригонометрическим значением.В
 параметр -  с плавающей запятой , а возвращаемый угол - в радианах (также как
  с плавающей запятой ). Если бы нам нужен угол в градусах, нам пришлось бы разделить
 радианы на  (180 / Math.PI) .
 pow ()  и  sqrt () 
  pow ()  принимает два параметра. Первый - это основа власти
 а второй - показатель степени. Если бы мы хотели вычислить 2  3 ,
 код для него будет следующим:
  {PYTHON}

импортная математика

печать (математика.pow (2, 3))  
  sqrt ()  - это сокращение от SQuare RooT, которое возвращает
 квадратный корень из числа  с плавающей запятой . Обе функции возвращают
  с плавающей запятой  в результате.
  {PYTHON}

импортная математика

печать (math.sqrt (12))  
 exp () ,  журнал () ,  log2 () ,
  лог10 () 
  exp ()  возвращает число Эйлера, возведенное в заданную степень.
  log ()  возвращает натуральный логарифм заданного числа или
 логарифм основания, введенного как второй параметр. лог10 () 
 возвращает десятичный логарифм числа, а  log2 ()  возвращает
 двоичный логарифм.
  {PYTHON}

импортная математика

печать (math.log (16, 4))
печать (math.log10 (1000))
печать (math.log2 (32))  
 На выходе:
  Консольное приложение
2.0
3.0
5,0  
 Надеюсь, вы заметили, что в списке методов отсутствуют какие-либо общие корневые функции.
 Однако мы можем вычислить его, используя функции модуля  math 
 обеспечивает.(1/3) .
 Следовательно, мы можем написать следующий фрагмент кода:
  {PYTHON}

импортная математика

печать (math.pow (8, (1/3)))  
 Дивизион 
 Языки программирования часто отличаются тем, как они выполняют разделение
 числа. Вы должны знать об этих проблемах, чтобы избежать неприятных ощущений
 потом удивился. Напишем простую программу:
  {PYTHON}
а = 5/2
б = 5,0 / 2
с = 5 / 2,0
г = 5,0 / 2,0
е = 5 // 2
f = 5.0 // 2
g = 5 // 2,0
h = 5.0 // 2.0

печать (а)
печать (б)
печать (с)
печать (d)
печать (е)
печать (е)
печать (г)
печать (ч)  
 Делим  5/2  несколько раз в коде. Математически это
  2,5 . Тем не менее, результаты не во всех случаях будут одинаковыми.
 Сможете угадать, что мы получим в каждом случае? Давай, попробуй
 Вывод программы будет следующий:
  Консольное приложение
2,5
2,5
2,5
2,5
2
2.0
2.0
2,0  
 Мы видим результат деления с помощью оператора / всегда
 десятичный ( с плавающей запятой ).На самом деле не имеет значения, какой тип данных
 переменная, которой мы присваиваем результат. Если бы мы хотели выполнить целочисленное
 деление, нам пришлось бы использовать оператор  // . Как видите, это
 возвращает десятичные числа для десятичных входов, но значение всегда целое
 номер ( .0 ).
 Остаток после деления 
 В наших приложениях нам часто нужен остаток после целочисленного деления (т.е.
 по модулю). В нашем примере  5 // 2  целочисленный результат
  2  и по модулю  1  (то, что осталось).По модулю часто
 используется для определения четности числа (остаток от деления на
  2  это  0 ). Вы могли бы использовать его, например, чтобы нарисовать
 шахматная доска и заполните поля в зависимости от того, четные они или нечетные,
 вычислить отклонение вашего положения в квадратной сетке и т. д.
 В Python, как и в C-подобных языках в целом, по модулю является знак процента, т.е.
 % :
  {PYTHON}
печать (5% 2)  
 Ну, это все, что у меня есть на сегодня.В следующем уроке «Решенные задачи для уроков Python 10–12» мы узнаем
 объявить пользовательские функции и разложить наши программы на несколько логических
 части.
 В следующем упражнении «Решенные задачи для уроков Python 10–12» мы попрактикуемся в знаниях из предыдущих уроков.
 10 лучших математических библиотек для Python - Linux Hint 
Часто, когда вы пишете программы, вам нужно использовать специальные функции, которые другие использовали до вас. Когда это происходит, на помощь приходит открытый исходный код, который предоставляет библиотеку, которая удовлетворяет эти потребности.Python называет их модули, чтобы использовать модули, которые вам нужно импортировать. Модули для математики особенно полезны, когда у вас есть теория, но вам нужно использовать стандартную математику для вашей конкретной задачи. Модуль Mathematics в стандартной библиотеке Python имеет множество функций. Полезно проверить, сможете ли вы легко решить вашу проблему с помощью этих функций. Если вам нужно знать, какие функции существуют, вам нужно просмотреть список. Однако сначала поймите, что модуль реализует все стандартные функции C.
 Самый простой пример использования Python для математики - это калькулятор. Для этого запустите Python на терминале и воспользуйтесь функцией печати.
 Простая математика доступна даже без активации математического модуля, но помимо сложения, вычитания, деления и умножения вам необходимо импортировать математический модуль. Чтобы сделать код коротким, импортируйте как «m». Теперь вы ставите m и точку перед любыми функциями, которые вы используете. Это работает одинаково для всех модулей в Python. Если вы хотите использовать комплексные числа, используйте модуль cmath.
 Для других функций ниже приведены некоторые библиотеки, специально предназначенные для определенных нужд.
 Библиотеки NumPy обрабатывают математические функции для массивов. Возможно создание массивов любого типа, также поддерживается оптимизация памяти. N-мерный массив полностью покрыт. Функции, которые обрабатывает библиотека, включают итерацию, преобразование Фурье, линейную алгебру и финансовые функции. Эта библиотека также реализует C-API, поэтому вы можете использовать скорость C без перевода всего проекта.
 SciPy - это набор программного обеспечения, связанного с наукой, с математическими задачами в центре. Если вам нужно что-то посчитать, это хорошее место для начала. Коллекция включает в себя интегрирование, оптимизацию и разреженные собственные значения.
 Scikit-image - отличный ресурс для обработки и анализа изображений. В библиотеке есть функции для обнаружения линий, кромок и элементов. Он также имеет функции восстановления, когда у вас есть изображения с дефектами.Также доступно множество инструментов анализа.
 Scikit-learn полезен для объединения кода машинного обучения. Он содержит модули для классификации, регрессии, кластеризации и многого другого. Веб-страница полна полезных примеров, так что вы можете легко начать работу.
 Pandas - это ваш ресурс goto для наборов больших данных, на которых можно заниматься наукой о данных. Pandas поддерживает анализ и моделирование данных и делает это с помощью простого и понятного кода. Многие функции могут быть переведены из R, поэтому вы можете создавать прототипы с помощью Pandas.
 Statsmodels удовлетворяет ваши потребности в статистических моделях. Эта библиотека обрабатывает многие похожие вещи, такие как Panda, но также может импортировать файлы Sata и обрабатывать анализ временных рядов. Включена песочница, в которой вы можете экспериментировать с различными статистическими моделями. Этот конкретный код еще не протестирован, но, возможно, он достаточно близок, чтобы вы могли закончить работу.
 Matplotlib: для построения графиков, включает анимированные графики. 
 Более ранние библиотеки хороши для математики, но они сознательно избегали построения графиков.Вместо этого они позволяют библиотекам, таким как matplotlib, обрабатывать эти 
. Это сделало matplotlib обширным, а также имеет много вспомогательного программного обеспечения, которое охватывает картографирование, построение графиков и проектирование электронных схем.
 Gnuplot.py - это интерфейсный пакет для популярной программы gnuplot. Он имеет объектно-ориентированный дизайн, поэтому вы можете добавлять свои собственные расширения.
 Пэтси описывает статистические модели во всех их формах. Он также имеет много функций, которые являются общими для R, но с небольшими отличиями, например, как обозначать возведение в степень.Пэтси будет строить матрицы, используя формулы, очень похоже на то, как это делается в S и R.
 Sympy: Если вы хотите распечатать математические формулы, вы используете эту библиотеку. Он также имеет возможность оценивать выражения. Это очень полезно для создания формул в ваших документах LaTeX. Вы даже можете запустить Sympy в прямом эфире в своем браузере, чтобы протестировать его.
 Теперь, когда вы узнали, какие проекты использовать для математики, вам скоро не хватит вычислительной мощности.Чтобы исправить эту ситуацию, параллельное выполнение является наиболее распространенным решением. Для этого существует несколько библиотек Python.
 Библиотека mpi4py обеспечивает привязку к стандартному интерфейсу передачи сообщений. Вам необходимо скачать стандартную параллельную библиотеку, например mpich или openmpi. Оба доступны в стандартных репозиториях.
 Другая библиотека - это parallel python или pp. Parallel Python создает сервер и множество клиентов, которые берут задания с вашего сервера. Этот проект не реализует стандарт, вместо этого вы используете сервер и клиент из того же пакета на всех своих машинах.В некотором смысле это проще, но это требует большего, когда ваш проект становится большим и вам нужны другие люди, чтобы предоставить вам вычислительную мощность.
 Все эти библиотеки хороши сами по себе, но убедитесь, что вы выбрали правильную для своих нужд. 
 Выбор не является необратимым, но позже в проекте потребуется довольно много работы. Ваш исходный код нужно будет изменить, чтобы использовать новую библиотеку, и возникнут новые ошибки, поэтому выбирайте с умом.
 Если вы хотите выполнять вычисления в интерактивном режиме, установите и используйте Ipython, так как это расширенная версия версии Python для командной строки.Кроме того, если вы еще этого не сделали, рассмотрите возможность использования Jupyter. Он предоставляет вам записную книжку, документы и консоль кода в одной рабочей области.
 Фреймворк действует как IDE, но направлен больше на изучение проблем и программного обеспечения, которое вы разрабатываете, чем традиционные IDE.
  Дополнительные сведения см. В этой статье: 
 Smart Bd, Stud Pgs, End Mod Review 
 Модуль 7, Тема C (уроки 12–14 и Пакет «Обзор и оценка в конце Модуля 7»)
  Включено в этот расширенный пакет :
 -Страницы студентов модуля (расширенные -  см. Ниже )
 - Соответствующий документ Smart Board ( см. Ниже )
 - Конец обзора модуля 7 и ключ ответа
 - Конец оценки модуля 7 (расширенный) и ключ ответа
 - Информационный бюллетень для родителей
 - Модуль 7 Словарный документ для печати / раздаточный материал
 - Лист отслеживания данных для Модуля 7
 - Раздаточные материалы по модулю 7 и стратегии
 - Рубрика по написанию математики
 - Слайды для исправления и улучшения количества отпечатков
 - Ответные ключи
 ***********************************
 Ниже  ресурсов, доступных в ★ моем магазине ★ 
  Пакеты для обзора и оценки для классов 1–6 в середине и конце модуля 
  ►1s t Пакеты обзора и оценки 
  ► Пакеты обзора и оценки 2-го класса 
  ► Пакеты обзора и оценки 3-го класса 
  ► Пакеты обзора и оценки 4-го класса 
  ►5-й класс Обзор и оценка 
  ► Комплекты для проверки и оценки 6-го класса 
  Комплекты модулей для 4-го класса 
  ★ Комплекты для модуля 1 
  ★ Комплекты для модуля 2 
  ★ Комплекты для модуля 3 
  ★ Комплекты для модуля 3 
  Наборы 
  ★ Наборы модулей 5 
  ★ Наборы модулей 6 
  ★ Наборы модулей 7 
  ★ ВЕСЬ ГОД Студенческие программы и умная доска 
  ★ ВЕСЬ ГОД
 Страницы студентов 
 ★ ВЕСЬ ГОД Различные комплекты 
  Комплекты для более высокого уровня мышления 4-го класса 
  ✪ Модули 1-7 и весь год H.О. Q's 
  Наборы обзоров государственного теста 4 класса 
  ❖ Обзор государственного теста по математике 
  ❖ Обзор теста состояния естествознания 
  ❖ Пакет математических и естественных наук 
  ❖ Обзор 412 классов 
  Ресурсы умножения и деления 
  ◆ Ресурсы умножения 
  ◆ Ресурсы деления 
  ◆ Баскетбол умножения и деления 
  Различные ресурсы 
  ➤ Уроки данных / стандартов 
 
 Шаблон 
  ➤ Ресурсы по геометрии 
  ➤ Обсуждения математических чисел 
  ➤ Пакеты задач по математике 
  ➤ Раздаточные материалы по ключевым словам по математике 
  ➤ Раздаточные материалы по математическим стратегиям 
 Ресурсы 
  ➤ Sci Единицы измерения 
  ➤ Единицы измерения здоровья 
  ➤ Ресурсы ELA 
  ➤ Словарь по математике 
  ➤ Ресурсы Smart Board 
  ➤ Бесплатные ресурсы 
 ********* **************************
 Я умело улучшил  математические модули  EngageNY-Eureka для учителей, учеников и родителей.
 ❖  Усовершенствования  включают:
 ⇨ упрощенные инструкции для учащихся
 ⇨ увеличенный шрифт
 жирные и подчеркнутые ключевые слова
 ⇨ улучшенный макет страницы ≫ рабочее пространство
 ⇨ текстовые поля, таблицы, диаграммы
 ❖  Страницы учащихся  включают:
 ⇨ Каждый модульный урок
 ⇨ Цели урока ≫  напечатано  на каждом уроке
 ⇨ Отпечатки
 ⇨ Проблемы с приложением  напечатано 
 ⇨ Наборы задач
 ⇨ Выходные билеты
 ⇨Домашнее задание
 ⇨Подсказки по написанию вопросов для более высокого уровня мышления ≫ Напечатано  
 ⇨ Рубрика по написанию математики для H.О. вопросы
 ⇨Некоторые уроки содержат дополнительный набор задач и выполнение домашних заданий
 omeНекоторые уроки содержат «предварительные уроки» для формирования понимания
 ⇨Обзор для оценки промежуточного модуля и ключ {согласован с тестом промежуточного модуля}
 ⇨Оценка среднего модуля и ключ
 ⇨Обзор по окончанию оценки модуля и ключ {согласован с окончанием тестирования модуля}
 ⇨Конец оценки модуля и ключ
 ⇨ Раздаточный словарь модуля
 ⇨ Информационные бюллетени для родителей для все темы модуля
 ❖  Smart Board  уроки включают:
 ⇨ Каждый расширенный модульный урок включен
 ⇨ Интерактивные функции, поддерживающие обучение, такие как: {диаграммы значений чисел, плитки с дробями, линейки, транспортиры, игральные кости, диаграммы и т. д. .}
 ⇨Стратегии Раздаточные материалы для учеников и родителей
 ⇨Многие уроки включают: упражнения и ссылки на поддерживающие видео, игры и песни, соответствующие целям урока
 *************** *********************
 Мои учителя, ученики и родители  любят  за то, как эти уроки построены и улучшены / изменены. Я надеюсь, что ты тоже.
 Если вам нравятся мои продукты, пожалуйста, оставьте положительный отзыв и подпишитесь на меня в ★ мой магазин ★
 Если у вас есть какие-либо вопросы или предложения, напишите мне по адресу:  [email protected] 
 Спасибо,
 Mathster Vakkas
 Lafayette Parish School System} 
 Быстрые ссылки
 Выберите страницу: Видение на 2020 год 2007-2018 Отчеты округа Хайндс Школьные библиотеки и медиацентр Руководство по исключению и ограничению участия2020-2021 Административный календарь округа2020-2021 год Школьный календарь округа на 2019-2020 год Утвержденный бюджет2019-2020 Взвешенные курсы2020-2021 Предлагаемый бюджет504 Поиск детей и право на участие 504 Координатор Ускоренный читатель (AR ) Руководящие принципы округаАвтоматическая аварияСправочные документыМеню для завтрака и обедаБуллингBid Результаты маршрутов автобусаСтаж работы в автобусеМеста остановок автобусовЦентральный офис / школьный справочникПроцессы чартерной школыГорячая линия по борьбе с жестоким обращением с детьмиПоследствия поведенияУчебная программа для колледжа и диплом о трудоустройствеДепартамент A-ZРабота с сотрудниками GroupGEAR UPGrading ScaleHCIS Часто задаваемые вопросыЗдоровье и безопасностьДомашняя зонаПолитика выбора учебных материаловJBCE School ChoiceLafayetteCheckbook.
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя * 
Email * 
Сайт