Отрицательное число это: Отрицательные числа

Отрицательные числа

Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Координатная прямая

Координатная прямая это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Здесь показаны только числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

(−∞; +∞)

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2« и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.

Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4« и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B.

Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше». Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше, чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5 < 3

«Минус пять меньше, чем три»

Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше, чем минус единица.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

−4 < −1

Минус четыре меньше, чем минус единица

Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше, чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше». И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

0 > −3

Ноль больше, чем минус три

Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше, чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

0 < 4

Ноль меньше, чем четыре

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Сравните числа −2 и 1

Задание 2. Сравните числа −5 и −2

Задание 3. Сравните числа −5 и −16

Задание 4. Сравните числа 15 и 20

Задание 5. Сравните числа −7 и 0

Задание 6. Сравните числа 5 и 0

Задание 7. Сравните числа 5 и 7

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Отрицательное число — это… Что такое Отрицательное число?

Отрица́тельное число́ — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.

Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем ноль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля. Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка, позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n, которое дополняет n до нуля:

Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a из другого целого числа b равносильно сложению b с противоположным для a:

При делении с остатком частное может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Например, разделим −24 на 5 с остатком:

.

Свойства отрицательных чисел

Отрицательные числа подчиняются практически тем же алгебраическим правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.

1. Если любое множество положительных чисел ограничено снизу, то любое множество отрицательных чисел ограничено сверху.
2. При умножении целых чисел действует правило знаков: произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми — положительно.
3. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на обратный. Например, умножая неравенство 3 < 5 на −2, мы получаем: −6 > −10.

Вариации и обобщения

Понятия положительных и отрицательных чисел можно определить в любом упорядоченном кольце. Чаще всего эти понятия относятся к одной из следующих числовых систем:

Приведенные выше свойства 1-3 имеют место и в общем случае. К комплексным числам понятия «положительный» и «отрицательный» неприменимы.

Исторический очерк

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата.

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или, как у Диофанта, признавались как временные значения. Умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными.

В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Первое описание их в европейской литературе появилось в «Книге абака» Леонарда Пизанского (1202 год), который трактовал отрицательные числа как долг. Бомбелли и Жирар в своих трудах считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения нехватки чего-либо. Даже в XVII веке Паскаль считал, что , так как ничто не может быть меньше, чем ничто. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии. Гаусс в 1831 году считал нужным разъяснить, что отрицательные числа принципиально имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, потому что дроби тоже применимы не ко всем вещам (например, неприменимы при счёте людей)^[1].

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

Знаменитые отрицательные числа

См. также

Литература

Примечания

1. ↑ Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 164.

Сложение и вычитание отрицательных и положительных чисел. Решение примеров.

Существуют разные типы чисел — четные числа, нечетные числа, простые числа, составные числа. Также на основе знака числа могут быть двух видов — положительные числа и отрицательные числа. Эти числа могут быть представлены на числовой линией. Среднее число в этой строке равно нулю. С левой стороны от нуля находятся отрицательные числа, а с правой стороны — положительные.

Ноль — это нейтральный элемент относительно сложения целых чисел. В основном в этой статье мы будем изучать операции сложения и вычитания с отрицательными числами. Существуют определенные правила для знаков при сложении и вычитании:

• Для того чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить два числа и поставить знак минус.

\((-2)+(-3)=-5\)

• Если первое число положительное, а второе отрицательное, смотрим, какое число по модулю больше, отнимаем от большего меньшее число и ставим знак большего числа:

\((-8)+4=4-8=-4\)

\(9+(-4)=9-4=5\)

Для каждого числа кроме \(0\) существует противоположный элемент, при сумме с ним образуется ноль:

\(-9+9=0\)     \(7,1+(-7,1)=0\)

• При вычитания двух чисел, в которых оба отрицательные, следует знать правило: минус на минус дает плюс. То есть, если стоят рядом два минуса, в сумме получается плюс.

\((-7)-(-6)=(-7)+6=(-1)\)

• Если первое число положительное, а второе отрицательное, вычитаем по тому же принципу, что и складываем: смотрим, какое число по модулю больше, отнимаем от большего меньшее число и ставим знак большего числа.

\(7-9=-2\) так как \(9>7\)

• Также не стоит забывать минус на минус дает плюс:

\(7-(-9)=7+9=16\)

Задача 1. Вычислите:

1.  \(4+(-5)\)
2.  \(-36+15\)
3. \((-17)+(-45)\)
4. \(-9+(-1)\)

Решение:

1.  \(4+(-5)=4-5=-1\)
2.  \(-36+15=-21\)
3. \((-17)+(-45)\) \(=-17-45=-62\)
4. \(-9+(-1)=-9-1=-10\)

Задача 2. Вычислите:

1. \(3-(-6)\)
2.  \(-16-35\)
3. \(-27-(-5)\)
4.  \(-94-(-61)\)

Решение:

1.  \(3-(-6)=3+6=9\)
2. \(-16-35=-51\)
3.  \(-27-(-5)=-27+5=-22\)
4.  \(-94-(-61)=-94+61=-33\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Тбилисский Государственный Педагогический Университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 4-9 классов. Математика – царица точных наук. Точные науки – это науки логики, фактов и здравого смысла. Математика – это самая точная наука, способная обогатить человечество новыми знаниями. За что я люблю математику? Я люблю математику за то, что она дисциплинирует и воспитывает ум .В ней все подчиняется определенным правилам, которые легко понять, и которые одинаковы абсолютно для всех. А я только помогу вам в этом.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Самаркандский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Учитель первой категории. Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. Объясняю доступно, ясно, легко. Учитываю личность, характер ученика. К нахожу индивидуальный подход.

Оставить заявку

Репетитор по математике

БГУ , Институт Позитивных Технологий и Консалтинга

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-8 класса. Активно использую в своей работе не только знания математики., но и навыки консультанта-психолога, объединяя их для достижения желаемого результата. Искренне считаю, что без позитивного контакта с учеником, на возможен полноценный процесс обучения! Математику люблю, как предмет! Уважаю, как науку! И с удовольствием этим делюсь на своих занятиях.

Математика по Skype

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Как правильно умножать отрицательные числа?

Основные определения

Вспомним, как отличить положительное число от отрицательного, что такое умножение и какие у него свойства.

Начнем с того, что проведем прямую и отметим на ней начало отсчета — точку нуль (0). А теперь укажем направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом нам поможет красивая стрелка:

Два главных определения:

Положительные числа — это точки координатной прямой, которые лежат правее начала отсчета (нуля). Иногда рядом с ними ставят знак плюс — «+», но чаще всего положительные числа никак не обозначают. То есть «+1» и «1» — это одно и тоже число.

Запоминаем!

Положительные числа — это те, что больше нуля, а отрицательные — меньшие.

Отрицательные числа — это точки координатной прямой, которые лежат левее начала отсчета (нуля). Их всегда обозначают знаком минус — «-».

Нуль (0) — ни положительное, ни отрицательное число. Вот это ему повезло!

Числовую ось можно расположить как горизонтально (стрелка вверх), так и вертикально (стрелка вправо).

Если стрелка направлена вверх, то в верхней части от начала отсчета всегда расположены положительные числа, а в нижней — отрицательные. Смотрите:

Прямая, на которой отмечена начальная точка, положительное направление и единичный отрезок, называется координатной или числовой осью.

Умножение — арифметическое действие в котором участвуют два аргумента. Один множимый, второй множитель. Результат их умножения называется произведением.

Вычислять можно в уме, при помощи таблицы умножения или в столбик. Продвинутые школьники могут использовать онлайн-калькулятор. 

Правило умножения отрицательных чисел: чтобы умножить два отрицательных числа, нужно перемножить их модули. Это значит, что для любых отрицательных чисел -a, -b верно равенство:

А вот как умножить два числа с разными знаками:

• перемножить модули этих чисел
• перед полученным числом поставить знак минус

А теперь упростим правила. Сформулируем их в легкой форме с минимумом слов, чтобы проще запомнить:

• «—» — при умножении минус на минус ответ будет положительным
  или минус на минус дает плюс
• «-+» — при умножении минуса на плюс ответ будет отрицательным
  или минус на плюс дает минус
• «+-» — при умножении плюса на минус ответ будет отрицательным
  или плюс на минус дает минус
• «++» — при умножении плюса на плюс ответ будет положительным
  или плюс на плюс дает плюс.

Примеры умножения отрицательных чисел

Пример 1. Вычислить: (-2)∗(-2) и (-3)∗(-7)

Как решаем:

Вспомним правило: отрицательное число умножить на отрицательное — получается ответ со знаком плюс. Считаем:

1. (-2)∗(-2) = 4
2. (-3)∗(-7) = 21

Ответ: 4; 21.

Пример 2. Вычислить: (-11)∗11 и (-20)∗2

Как решаем:

Вспомним правило: отрицательное число умножить на положительное — получается ответ со знаком минус. Считаем:

1. -11 * 11 = -121
2. (-20) * 2 = -40

 Ответ: -121; -40.

Пример 3. Вычислить произведение: 5∗(-5) и 12∗(-8)

Как решаем:

Вспомним правило: умножение положительного на отрицательное число дает отрицательный результат. Считаем:

1. 5 ∗ (-5)= -25
2. 12 ∗ (-8)= -96

Ответ: -25; -96.

Пример 4. Вычислить произведение: (-0,125 ) * (-6)

Как решаем:

1. Используем правило умножения отрицательных чисел:
   (-0,125 ) * (-6) = 0,125 * 6.
2. Выполним умножение десятичной дроби на натуральное число столбиком:

Ответ: 0,75.

Положительные и отрицательные числа

Натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называются целыми числами. Положительные числа (целые и дробные), отрицательные числа (целые и дробные) и число 0 составляют группу рациональных чисел.

Рациональные числа обозначаются большой латинской буквой R. Число 0 относится к целым рациональным числам. С натуральными и дробными положительными числами мы ознакомились ранее. Рассмотрим подробнее отрицательные числа в составе рациональных чисел.

Отрицательное число с древних времен ассоциируется со словом «долг», тогда как положительное число можно ассоциировать со словами «наличие» или «доход». Значит, положительные целые и дробные числа при вычислениях — это то, что мы имеем, а отрицательные целые и дробные числа — это то, что составляет долг. Соответственно, результат вычислений — это разность между имеющимся количеством и нашими долгами.

Отрицательные целые и дробные числа записываются со знаком «минус» («-») перед числом. Численная величина отрицательного числа — это его модуль. Соответственно, модуль числа — это значение числа (и положительного, и отрицательного) со знаком плюс. Модуль числа записывается так: |2|; |-2|.

Каждому рациональному числу на числовой оси соответствует единственная точка. Рассмотрим числовую ось (рисунок внизу), обозначим на ней точку О.

Точке О поставим в соответствие число 0. Число 0 служит границей между положительными и отрицательными числами: справа от 0 — положительные числа, величина которых изменяется от 0 до плюс бесконечности, а слева от 0 — отрицательные числа, величина которых тоже изменяется от 0 до минус бесконечности.

Правило. Всякое число, стоящее на числовой оси правее, больше числа, стоящего левее.

Исходя из этого правила, положительные числа растут слева направо, а отрицательные убывают справа налево (при этом модуль отрицательного числа увеличивается).

Свойства чисел на числовой оси

1. Всякое положительное число и 0 больше любого отрицательного числа.

2. Всякое положительное число больше 0. Всякое отрицательное число меньше 0.

3. Всякое отрицательное число меньше положительного числа. Положительное или отрицательное число, стоящее правее, больше положительного или отрицательного числа, стоящего левее на числовой оси.

Определение. Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными.

Например, числа 2 и -2, 6 и -6. -10 и 10. Противоположные числа расположены на числовой оси в противоположных направлениях от точки О, но на одинаковом расстоянии от нее.

Дробные числа, представляющие собой в записи обыкновенную или десятичную дробь, подчиняются тем же правилам на числовой оси, что и целые числа. Из двух дробей больше та, которая стоит на числовой оси правее; отрицательные дроби меньше положительных дробей; всякая положительная дробь больше 0; всякая отрицательная дробь меньше 0.

Например: Противоположные дроби: 0,5 и -0,5;

Целые числа: положительные и отрицательные. Сравнение целых чисел

Целые числа — это положительные и отрицательные числа, не имеющие дробной части и число нуль.

Число  0  целое, но не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Ставить перед числом нуль какой-либо знак (+ или -) не имеет смысла, так как записи

+0,  -0  и  0

представляют собой одно и тоже число:

+0 = -0 = 0.

Положительные и отрицательные числа

Существуют величины, отсчёт которых производиться в двух противоположных направлениях.

Пример. Температура отсчитывается в двух противоположных направлениях от температуры тающего льда, принимаемой за нулевую:

1) Уровень ртути при нулевой температуре (температуре тающего льда).

2) Уровень ртути при температуре, более низкой, чем нулевая.

3) Уровень ртути при температуре, более высокой, чем нулевая.

Если мы имеем какую-либо величину, отсчёт которой производится в двух противоположных направлениях, то одно из направлений, безразлично какое, принято называть положительным, а другое отрицательным.

Положительное число — это число, полученное в результате измерения величины, отсчитанной в положительном направлении. Положительное число изображается в виде числа со знаком + (плюс) впереди. Например,  +16  — положительное число.

Пример.

16 °C тепла  или  +16 °C.

Примечание: все градусы пишутся с буквой  C (Цельсия),  знак градуса отделяется от числа пробелом. Например,  +7 °C.

Наименьшее целое положительное число – это  1  (единица).

Отрицательное число — это число, полученное в результате измерения величины, отсчитанной в отрицательном направлении. Отрицательное число изображается в виде числа со знаком — (минус) впереди. Например,  -16  — отрицательное число.

Пример.

16 °C мороза  или  -16 °C.

Наибольшее целое отрицательное число – это  -1  (минус один).

Все числа, кроме нуля, записанные со знаком + (плюс) впереди, являются положительными, а записанные со знаком — (минус) — отрицательными.

Пример.

+1,  +15,  +57  и т. д. — положительные числа;

-1,  -15,  -57  и т. д. — отрицательные числа.

Положительные числа можно обозначать предшествующим знаком + (плюс) или опускать его. Числа, перед которыми не стоит знака (+ или -), считаются положительными числами. Например, вместо

+8,  +14,  +100  и т. д.

можно написать просто

8,  14,  100  и т. д.

Сравнение целых чисел

Сравнить два целых числа — значит, узнать, какое из них больше, какое меньше, или определить, что числа равны.

Сравнивать целые числа можно с помощью ряда целых чисел, так как числа в нём расположены от меньшего к большему, если двигаться по ряду слева направо. Поэтому в ряду целых чисел можно заменить запятые на знак меньше:

… -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < …

Следовательно, из двух целых чисел больше то число, которое в ряду стоит правее, и меньше то, которое стоит левее, значит:

1) Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа:

1 > 0;    15 > -16.

2) Любое отрицательное число меньше нуля:

-7 < 0;    -357 < 0.

3) Из двух отрицательных чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее:

-31 < -28.

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ И ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ И ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Семенов Д.У. 1

1

Джамбаева Ф.Н. 1

1

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

 Введение

Мир чисел очень загадочен и интересен. Числа очень важны в нашем мире. Я хочу узнать как можно больше о происхождении чисел, об их значении в нашей жизни. Как их применять и какую роль они играют в нашей жизни?

В прошлом году на уроках математики мы начали изучать тему «Положительные и отрицательные числа». У меня возник вопрос, когда возникли отрицательные числа, в какой стране, какие ученые занимались этим вопросом. В Википедии я прочитал, что отрицательное число — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.

В итоге я решил исследовать историю возникновения отрицательных чисел.

Целью данной работы является исследование истории возникновения отрицательных и положительных чисел.

Объект исследования — отрицательные числа и положительные числа

История положительных и отрицательных чисел

Люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла. Эти числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей.

Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н. э. и то, были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись.

Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» — красным, «фу» — черным. Это можно заметить в книге «Арифметика в девяти главах» (Автор Чжан Цань). Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.

Лишь в VII в. индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились к ним с некоторым недоверием. Бхасхара прямо писал: «Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел…». Вот как индийский математик Брахмагупта излагал правила сложения и вычитания: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму». «Сумма двух имуществ есть имущество».

(+х) + (+у) = +(х + у)‏ (-х) + (-у) = — (х + у)‏

(-х) + (+у) = — (х — у)‏ (-х) + (+у) = +(у — х)‏

0 – (-х) = +х 0 – (+х) = -х

Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов. Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 — 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 — 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга». Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 — 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 — 3000.

Чуть позже в Древней Индии и Китае догадались вместо слов «долг в 10 юаней» писать просто «10 юаней», но рисовать эти иероглифы черной тушью. А знаков «+» и «–» в древности не было ни для чисел, ни для действий.

Греки тоже поначалу знаков не использовали. Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательные числа, и если при решении уравнения получался отрицательные корень, то он отбрасывал его как «недоступный». И Диофант старался так сформулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избежать отрицательных корней, но вскоре Диофант Александрийский стал обозначать вычитание знаком.

Правила действий с положительными и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте. Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта. Он даже использовал специальный символ для них. В то же время Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам отрицательное», и даже формулирует правило знаков: «Отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное».

В Европе отрицательными числами начали пользоваться с XII–XIII вв., но до XVI в. большинство ученых считали их «ложными», «мнимыми» или «абсурдными», в отличие от положительных чисел – “истинных”. Положительные числа так же толковались как «имущество», а отрицательные – как «долг», «недостача». Даже знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Фибоначчи Пизанский. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонардо Пизанскому было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. «Этот случай, — сказал Фибоначчи, — невозможен, разве только принять, что один имел не капитал, а долг». Однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах в трёх частях». Символика Шюке приближается к современной.

Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Рене Декарта. Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел – ввел координатную прямую. (1637 г.).

Положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел способствовало к их признанию.

В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. Сам Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурдными числами…»

Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Бомбелли Раффаэле (около 1530—1572), итальянский математик и инженер, переоткрывший сочинение Диофанта.

Так же и Жирар считал отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо.

Всякий физик постоянно имеет дело с числами: он всегда что-то измеряет, вычисляет, рассчитывает. Везде в его бумагах — числа, числа и числа. Если приглядеться к записям физика, то обнаружится, что при записи чисел он часто использует знаки «+» и «-«. (Например: термометр, шкала глубин и высот)

Только в начале XIX в. теория отрицательных чисел закончила свое развитие, и «абсурдные числа» получили всеобщее признание.

Определение понятия числа

В современном мире человек постоянно пользуется числами, даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее. Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие.

Существует большое количество определений понятию «число».

Первое научное определение числа дал Евклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.). Еще раньше Евклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».

Мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа – это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания». Он же внес в традиционную классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычно именуют функциями.

Натуральные числа возникли при счете предметов. Об этом я узнала в 5 классе. Затем я узнала, что потребность человека измерять величины не всегда выражается целым числом. После расширения множества натуральных чисел до дробных стало возможным делить любое целое число на другое целое число (за исключением деления на нуль). Появились дробные числа. Вычитать же целое число из другого целого числа, когда вычитаемое больше уменьшаемого, долгое время казалось невозможным. Интересным для меня оказался тот факт, что долгое время многие математики не признавали отрицательных чисел, считая, что им не соответствуют какие-либо реальные явления.

Происхождение слов «плюс» и «минус»

Термины произошли от слов plus – «больше», minus – «меньше». Сначала действия обозначали первыми буквами p; m. Многие математики предпочитали или Возникновение современных знаков «+», «–» не совсем ясно. Знак «+», возможно, происходит от сокращенной записи et, т.е. «и». Впрочем, может быть он возник из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке «–», а при восстановлении запаса их перечеркивали, получался знак «+».

Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса.

Современные знаки «+» и появились в Германии в последнее десятилетие XVв. в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (1489г.). Чех Ян Видман уже писал «+» и «–» для сложения и вычитания.

Чуть позднее немецкий ученый Михель Штифель написал «Полную Арифметику», которая была напечатана в 1544 году. В ней встречаются такие записи для чисел: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Числа первого вида он назвал «меньше, чем ничего» или «ниже, чем ничего». Числа второго вида назвал «больше, чем ничего» или «выше, чем ничего». Вам, конечно, понятны эти названия, потому что «ничего» – это 0.

Отрицательные числа в Египте

Однако, не смотря на такие сомнения, правила действий с положительными и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте. Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта. Он даже использовал специальный символ для них (сейчас мы в этом качестве используем знак «минус»). Правда, ученые спорят, обозначал ли символ Диофанта именно отрицательное число или просто операцию вычитания, потому что у Диофанта отрицательные числа не встречаются изолированно, а только в виде разностей положительных; и в качестве ответов в задачах он рассматривает только рациональные положительные числа. Но в то же время Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам отрицательное», и даже формулирует правило знаков: «Отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное» (то, что сейчас обычно формулируют: «Минус на минус дает плюс, минус на плюс дает минус»).

(–) (–) = (+), (–) (+) = (–).

Отрицательные числа в Древней Азии

Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» — красным, «фу» — черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов.

Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 — 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 — 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга».

Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 — 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 — 3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения или деления.

В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Индийские математики используют отрицательные числа с VII в. н. э.: Брахмагупта сформулировал правила арифметических действий с ними. В его произведении мы читаем: « имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».

Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Впрочем, и в Индии с пониманием и принятием отрицательных чисел были проблемы.

Отрицательные числа в Европе

Не одобряли их долго и европейские математики, потому что истолкование «имущество-долг» вызывало недоумения и сомнения. В самом деле, как можно «складывать» или «вычитать» имущества и долги, какой реальный смысл может иметь «умножение» или «деление» имущества на долг? (Г.И. Глейзер, История математики в школе IV-VI классы. Москва, Просвещение, 1981)

Вот почему с большим трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Фибоначчи Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах в трёх частях». Символика Шюке приближается к современной (Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988)

Современное истолкование отрицательных чисел

В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. Сам Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурдными числами…» (Г.И. Глейзер, История математики в школе IV-VI классы. Москва, Просвещение, 1981)

После этого Штифель полностью посвящает свою работу математике, в которой он был гениальным самоучкой. Один из первых в Европе после Николы Шюке начал оперировать отрицательными числами.

Знаменитый французский математик Рене Декарт в «Геометрии» (1637 год) описывает геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел; положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел привело к более ясному пониманию природы отрицательных чисел, способствовало их признанию.

Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Р. Бомбелли Раффаэле (около 1530—1572), итальянский математик и инженер, переоткрывший сочинение Диофанта.

Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + » и « — » применил немецкий математик Видман. Выражение «ниже, чем ничего» показывает, что Штифель и некоторые другие мысленно воображали положительные и отрицательные числа точками на вертикальной шкале (вроде шкалы термометра). Развитое затем математиком А. Жираром представление об отрицательных числах как о точках на некоторой прямой, располагающихся по другую сторону от нуля, чем положительные, оказалось решающим в обеспечении этим числам прав гражданства, особенно в результате развития метода координат у П. Ферма и Р. Декарта.

Вывод

В своем работе я исследовал историю возникновения отрицательных чисел. В ходе исследования я сделал вывод:

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.

При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства:

а) правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям;

б) новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.

К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.

Все эти множества чисел я постараюсь изучить.

Приложение

СТИХОТВОРЕНИЕ

«Сложение отрицательных чисел и чисел с разными знаками»

Если уж захочется вам сложить

Числа отрицательные, нечего тужить:

Надо сумму модулей быстренько узнать,

К ней потом знак «минус» взять да приписать.

Если числа с разными знаками дадут,

Чтоб найти их сумму, все мы тут как тут.

Больший модуль быстро очень выбираем.

Из него мы меньший вычитаем.

Самое же главное – знак не позабыть!

— Вы какой поставите? – мы хотим спросить

— Вам секрет откроем, проще дела нет,

Знак, где модуль больше, запиши в ответ.

Правила сложения положительных и отрицательных чисел

Минус с минусом сложить,

Можно минус получить.

Если сложишь минус, плюс,

То получится конфуз?!

Знак числа ты выбирай

Что сильнее, не зевай!

Модули их отними,

Да все числа помири!

— Правила умножения можно истолковать и таким образом:

«Друг моего друга — мой друг»: + ∙ + = + .

«Враг моего врага — мой друг»: ─ ∙ ─ = +.

«Друг моего врага — мой враг»: + ∙ ─ = ─.

«Враг моего друга – мой враг»: ─ ∙ + = ─.

Знак умножения есть точка, в ней три знака:

Прикрой из них два, третий даст ответ.

Например.

Как определить знак произведения 2∙(-3)?

Закроем руками знаки «плюс» и «минус». Остаётся знак «минус»

Список литературы

1. 
   «История древнего мира», 5 класс. Колпаков, Селунская.

2. 
   «История математики в древности», Э. Кольман.

3. 
   «Справочник школьника». ИД «ВЕСЬ», Санкт-Петербург. 2003 г.

4. 
   Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.

5. 
   Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.

6. 
   Вигасин А.А,.Годер Г.И., «История древнего мира» учебник 5 класса, 2001г.

7. 
   Википедия. Свободная энциклопедия.

8. 
   Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987.

9. 
   Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987.

10. 
    Гельфман Э.Г. «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.

11. 
    Глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998.

12. 
    Глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998.

13. 
    Глейзер Г. И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение», 1981 г.

14. 
    Детская энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.

15. 
    История математики в школе , IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.

16. 
    История математики в школе , IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.

17. 
    М.: Филол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС, 2005.

18. 
    Малыгин К.А.

19. 
    Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988.

20. 
    Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. «Математика 6 класс», Москва, «Просвещение»,1989г

21. 
    Учебник 5 класс. Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд.

22. 
    Фридман Л. М.. «Изучаем математику», учебное издание, 1994 г.

23. 
    Э.Г. Гельфман и др., Положительные и отрицательные числа в театре Буратино. Учебное пособие по математике для 6 класса. 3-е издание, испр., — Томск: Издательство Томского университета, 1998г.

24. 
    Энциклопедия для детей. Т.11. Математика

17

Просмотров работы: 20315

Отрицательные числа — объяснение и примеры

Некоторым людям может показаться немного скучным изучение отрицательных чисел.

У этих людей есть вопросы, например, зачем изучать отрицательные числа?

Как отрицательные числа связаны с их повседневной жизнью?

Что ж, в этой статье мы узнаем, что такое отрицательные числа, их действия и как числа связаны в реальной жизни.

История отрицательных чисел началась тысячу лет назад, когда математики с Индийского субконтинента начали их использовать.Позже европейцы проявили интерес к отрицательным числам, но очень не хотели их принимать.

Египтяне также пренебрегли отрицательными числами и в какой-то момент посчитали отрицательные числа смешными. Это потому, что математика, которую они использовали в то время, была основана только на геометрических понятиях, таких как окружность и площадь. Позже европейцы начали догонять отрицательные числа, когда ученые начали переводить арабские тексты, полученные из Северной Африки.

Из этой краткой истории мы узнали, что, тем не менее, этим поколениям блестящих и умных людей поначалу было трудно принять концепцию отрицательных чисел.

Они наконец приняли эту идею после открытия значения отрицательных чисел.

Что такое отрицательное число?

Отрицательное число — это число, значение которого меньше нуля. Отрицательные числа обозначаются знаком минус или тире (-) перед числом.

Они представлены на числовой строке слева от исходной точки. Отрицательные числа могут быть целыми, дробными или десятичными. Например, — 2, — 3, — 4, — 5, -2/3, -5/7, -3/4, -0.5, -0,7. и т.д. являются примерами отрицательных чисел. В этом случае эти числа произносятся как отрицательные два, отрицательные три, отрицательные четыре и так далее.

Отрицательное число может интерпретироваться по-разному. А это:

• Отрицательное число — это число, которое меньше нуля
• Числа слева от нуля в числовой строке
• Число, противоположное положительному числу
• Отрицательное число представляет потерю или отсутствие чего-либо.
• Величина, имеющая направление

Что такое отрицательное целое число?

Отрицательное целое число — это целое число, значение которого меньше нуля. Отрицательные целые числа обычно представляют собой целые числа, например, -3, -5, -8, -10 и т. Д.

Операции с отрицательными целыми числами

Отрицательные целые числа имеют правила для выполнения различных вычислений. Это:

• Сложение отрицательного и положительного целого числа

При сложении отрицательного и положительного целого числа вычтите целые числа и запишите знак большего абсолютного значения.Другими словами, когда небольшое отрицательное целое число добавляется к большему положительному целому числу, целые числа вычитаются и им присваивается положительный знак. Например,

8 + (- 2) = 6. Точно так же, когда добавляются небольшое положительное и большое отрицательное целое число, сумма всегда отрицательна. Например, — 5 + 3 = — 2.

При сложении отрицательных целых чисел числа складываются, и сумма принимает знак исходных целых чисел. Например, — 5 + (-1) = — 6.

• Вычитание целых чисел со знаком

Вычитание положительного целого числа из отрицательного целого числа эквивалентно сложению отрицательного целого числа.Например, -10-15 = -10 + (-15) = -25.

Вычитание отрицательного целого числа из другого отрицательного целого числа равносильно сложению положительного целого числа. Например, 13 — (-14) = 13 + 14 = 27.

• Умножение и деление отрицательных целых чисел

Когда отрицательное целое число умножается на другое отрицательное целое число, произведение оказывается положительным. Пример: -4 x -4 = 16. Аналогично, деление отрицательного целого числа на другое отрицательное целое число дает положительное частное.

Умножение положительного целого числа на другое отрицательное целое число дает отрицательный результат. Например, -2 х 5 = -10. И деление положительного целого числа на отрицательное дает отрицательное частное.

Применение отрицательных целых чисел в реальной жизни

Отрицательные целые числа, независимо от их значения, широко применяются в различных сферах жизни. Следующие ниже примеры применения отрицательных чисел в реальной жизни побудят вас увидеть преимущества их изучения.

• Банковско-финансовый сектор.

Банки и финансовые учреждения влекут за собой дебет, кредит и деньги. По этой причине необходимо иметь номера, которые различают кредитную и дебетовую транзакции. Прибыль и убыток также определяются положительным и отрицательным числом соответственно. Еще одно поле, в котором используются отрицательные числа, — это фондовый рынок. Положительные и отрицательные числа используются для обозначения взлетов и падений цены акций.

Депозиты обычно обозначаются положительным знаком, тогда как снятие средств обозначается отрицательным знаком.

• Наука, техника и медицина

Отрицательные числа используются в прогнозировании погоды, чтобы показать температуру в регионе. Отрицательные целые числа используются для отображения температуры по шкале Фаренгейта и Цельсия.

В технике, например, такие приборы, как котлы и паровые двигатели, используют манометры и термометры, откалиброванные от отрицательного до положительного целого числа.

Все приборы для измерения артериального давления, массы тела и тестирования на наркотики работают по концептуальной отрицательной или положительной шкале.

• Другие практические применения отрицательных целых чисел

Разница мячей в таких видах спорта, как футбол, хоккей и баскетбол, обозначается отрицательными целыми числами.

Лифты, спидометры и выдувные устройства Alco используют отрицательные и положительные значения.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Числа могут быть положительными или отрицательными

Это числовая строка:

Нет знака означает положительный

Если число имеет без знака , это обычно означает, что это положительное число , равное .

Играй с этим!

Сначала попробуйте ползунки ниже и посмотрите, что произойдет, если числа станут отрицательными:

числа / изображения / номер-строка-add.js

Воздушные шары и гири

Давайте подумаем о числах как о воздушных шарах (положительных) и весах (отрицательных):

Добавление положительного числа

Сложение положительных чисел — это просто сложение.

Пример: 2 + 3 = 5

действительно говорит

«Положительное 2 плюс Положительное 3 равно Положительное 5»

Мы могли бы записать это как (+2) + (+3) = (+5)

Вычитание положительного числа

Вычитание положительных чисел — это просто вычитание.

Пример: 6 — 3 = 3

действительно говорит

«Положительный 6 минус Положительный 3 равно Положительный 3»

Мы могли бы записать это как (+6) — (+3) = (+3)

Добавление отрицательного числа

Теперь посмотрим, как выглядит сложение и вычитание отрицательных чисел :

Пример: 6 + (−3) = 3

действительно говорит

«Положительные 6 плюс отрицательные 3 равны положительным 3»

Мы могли бы записать это как (+6) + (−3) = (+3)

Последние два примера показали нам, что удаление воздушных шаров (вычитание положительного числа) или прибавление веса (добавление отрицательного числа) заставляют корзину опускаться.

Значит, результат тот же :

• (+6) — (+3) = (+3)
• (+6) + (−3) = (+3)

Другими словами, при вычитании положительного числа совпадает с при добавлении отрицательного числа .

Вычитание отрицательного числа

Пример: Что такое 6 — (−3)?

6 — (- 3) = 6 + 3 = 9

Да, действительно! Вычесть отрицание — это то же самое, что и сложить!

Два отрицания дают положительный результат

Что мы нашли?

Добавление положительного числа — это простое сложение…

Добавление положительного значения Добавление

Положительное и отрицательное вместе …

Вычитание положительного
или
Добавление отрицательного
равно
Вычитание

Пример: Что такое 6 — (+3)?

6 — (+ 3) = 6 — 3 = 3

Пример: Что такое 5 + (−7)?

5 + (- 7) = 5 — 7 = −2

Вычитание негатива…

Вычитание отрицательного числа аналогично Добавление

Пример: Что такое 14 — (−4)?

14 — (- 4) = 14 + 4 = 18

Правила:

Все это можно поместить в два правила :

Они «как знаки», когда они похожи друг на друга (другими словами: одинаковые).

Итак, все, что вам нужно запомнить, это:

Два знака типа становятся положительным знаком

Два знака в отличие от становятся отрицательным знаком

Пример: Что такое 5 + (- 2)?

+ (-) — это , в отличие от знаков (они не совпадают), поэтому они становятся отрицательным знаком .

5 + (- 2) = 5 — 2 = 3

Пример: Что такое 25 — (- 4)?

— (-) — это , как знаки , поэтому они становятся положительным знаком .

25 — (- 4) = 25 + 4 = 29

Начальный минус

Что, если мы начнем с отрицательного числа?

Использование числовой линии может помочь:

Пример: Что такое −3 + (+ 2)?

+ (+) — это , как знаки , поэтому они становятся положительным знаком .

−3 + (+ 2) = −3 + 2

Начните с −3 на числовой прямой,
двигайтесь вперед на 2, и вы получите −1

−3 + (+ 2) = −3 + 2 = −1

Пример: Что такое −3 + (- 2)?

+ (-) — это , в отличие от знаков , поэтому они становятся отрицательным знаком .

−3 + (- 2) = −3 — 2

Начните с −3 на числовой прямой,
вернитесь на 2 назад, и вы получите −5

−3 + (- 2) = −3 — 2 = −5

А теперь поиграйте!

Объяснение здравого смысла

И есть объяснение «здравого смысла»:

Если я скажу «Ешь!» Я призываю вас поесть (положительный результат)

Если я скажу «Не ешьте!» Я говорю об обратном (отрицательном).

Теперь, если я скажу: «Не ешь ли , а не !», Я говорю, что не
хочу, чтобы вы умерли с голоду, поэтому я снова говорю: «Ешь!» (положительный).

Итак, два отрицания дают положительный результат, и если это вас устраивает, тогда
вы сделали!

Другое объяснение здравого смысла

Друг +, враг —

.

.

Пример банка

Пример. В прошлом году банк по ошибке снял с вашего счета 10 долларов, и они хотят это исправить.

Таким образом, банк должен забрать отрицательные 10 долларов .

Допустим, ваш текущий баланс составляет 80 долларов, поэтому у вас будет:

80 долларов — (- 10 долларов) = 80 долларов + 10 = 90

долларов

Таким образом, вы получаете $, на 10 долларов больше на свой счет.

Длинный пример, который вам может понравиться

Очки союзника

Элли может быть непослушным или милым. Так сказали родители Элли

«Если вы любезны, мы добавим 3 балла (+3).
Если вы непослушны, снимаем 3 балла (−3).
Когда вы набираете 30 очков, вы получаете игрушку ».

Итак, когда мы вычитаем отрицательное, мы получаем
баллов (т.е.е. так же, как добавление очков).

Таким образом, вычитание отрицательного числа аналогично Добавление

См. Как « 15 — (+3) », так и « 15 + (−3) » дают 12.

Итак:

Неважно, вычтете ли вы положительные
или добавите отрицательные,
вы все равно потеряете очки.

Таким образом, вычитание положительного
или
Добавление отрицательного
равно
Вычитание

Попробуйте эти упражнения…

Теперь попробуйте этот лист и посмотрите, как у вас дела.

А еще попробуйте эти вопросы:

11715, 11716, 11717, 11718, 11719, 11720, 11721, 3445, 3446

Определение отрицательного числа — определение математического слова

Определение отрицательного числа — определение математического слова — Math Open Reference

Отрицательные числа
числа меньше нуля.

Когда вы впервые сталкиваетесь с отрицательными числами, они могут сбить с толку.
Как в миске может быть меньше нуля апельсинов?
Фактически
по этой причине подсчет чисел не может быть отрицательным.Это не имеет никакого смысла.

Но когда мы используем
скалярные числа,
мы измеряем что-то вроде температуры или высоты, отрицательные значения полезны.
(См. Использование отрицательных чисел.)

Мы берем фиксированную точку и называем ее нулем. Измерения в одном направлении положительны, а в другом — отрицательны. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным.

Попробуй это
Отрегулируйте стрелку, чтобы увидеть, как отрицательные числа лежат слева от нуля на числовой прямой. Апплет
не позволит вам установить стрелку на ноль или положительное число.

Знак «-»

Отрицательные числа обозначаются знаком тире (-) впереди, например –5, –12,77.
Отрицательное число, такое как –6, произносится как «отрицательная шестерка» .

Это также означает «вычесть»

К сожалению, в математике символ «-» используется для двух разных вещей.
Оно означает отрицательное число, как описано выше, но также означает «вычесть» или «минус». Например
5–3 означает «отнимите 3 от 5» и получите результат 2.Здесь знак минус означает вычитание.

Итак, говоря об отрицательном числе, таком как –4, научитесь произносить «отрицательные четыре» , чтобы избежать путаницы.

Такая же путаница происходит со знаком плюс (& nbsp +). Видеть
Положительные числа.

См. Также Выполнение арифметических действий с положительными и отрицательными числами.

Сравнение чисел

Со всеми числами, отрицательными, нулевыми или положительными:

• Одно число больше другого, если оно находится справа от числовой строки.
• И наоборот, одно число меньше другого, когда оно находится слева в числовой строке.

Так например

• –4 меньше –1
• ноль больше -120
• 90 больше –1

Больше / меньше — будьте осторожны!

Избегайте слов «больше», «больше» и «меньше» при сравнении чисел. Они могут вас обмануть.

Например, -1000 больше -4?
Это может выглядеть так, но это не так.-1000 меньше -4, потому что он находится слева от числовой строки. Но когда вы используете слово «больше»
вы можете думать иначе. Избегайте этих двух слов в математике. Вместо этого используйте «меньше» и «больше».

Другие числовые темы

Скалярные числа

Счетные числа

Числа с делителями

Особые значения

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.

Все права защищены.

Что такое отрицательное число? — Определение и правила

Что такое отрицательное число?

Первое, что вам нужно сделать, это взглянуть на числовую строку.

Обратите внимание на два разных цвета. Красный находится слева от нуля, а синий — справа от нуля. Также обратите внимание, что 0 не является ни синим, ни красным. Какие числа считаются положительными? Какие из них отрицательные?

Отрицательные числа — это любое число слева от нуля в числовой строке. Они представлены знаком — слева.Вы можете иметь -1, -2, -10, -1000000000000, — ½, -3 и т.д. Это означает, что более миллиона человек могут составить список из 100 отрицательных чисел, и никакие два списка никогда не должны быть одинаковыми! В нашей жизни много всего отрицательного! Но разве это плохо?

Не знаю, как все вы, но когда я открываю почту в конце месяца, я получаю счет за кабельное телевидение, счет по кредитной карте и выписки из банка.Я тоже часто получаю ссуды, но мне нравится притворяться, что их нет так долго, как я могу. Во всяком случае, дело в том, что на этих счетах часто отображаются отрицательные числа. Первый вопрос, который вы должны задать себе, это то, хороши ли эти отрицательные числа для вас или нет. Я знаю, что когда мы думаем о слове «отрицательный», обычно возникают отрицательные мысли, но это не всегда должно быть правдой. Отрицательные числа используются в нашей повседневной жизни, чтобы показать уменьшение. Эти снижения могут быть как хорошими, так и плохими! Посмотрим, как:

Пр.1.Выписка из вашего банковского счета приходит по почте, и вы открываете ее, чтобы найти следующие номера.

Залог 300

Газ -50

Универмаг -45

Общий баланс 205

В этом случае 50 и 45 являются отрицательными числами и представлены знаком -. Наш первоначальный депозит на наш воображаемый банковский счет составлял 300 долларов. Это положительное число, и это очень хорошо! Все любят добавлять деньги на свой счет. Однако при этом у нас есть некоторые ежемесячные расходы.Нам пришлось покупать бензин, чтобы ходить в школу и работать. Это обошлось нам в 50 долларов, и на нашем счету это отрицательно. Мы также решили приобрести в универмаге новую одежду, которая обошлась нам еще в 45 долларов. Так как же нам получить остаток на счете в конце месяца? Мы берем наш первоначальный депозит 300, вычитаем 50 и вычитаем 45, потому что они отрицательны. В данном случае эти отрицательные числа были плохой вещью. У нас забрали деньги.

Пример 2. Теперь вы можете открыть выписку по кредитной карте.Сколько отрицательных чисел мы здесь увидим?

Остаток за последний месяц 432

Платеж за последний месяц -432

Dinny’s Diner 28

Газ 52

Wally’s Mart 200

Wally’s Mart Credit -200

Остаток к оплате 80

Глядя на претензию выше, мы видим еще несколько отрицательных знаков. Но в этом случае они нам выгодны. -432 доллара погасили наш предыдущий остаток в 432 доллара. Они нейтрализовали друг друга.Позже мы купили еду и бензин, что добавило 80 долларов к выписке по нашей кредитной карте. Затем мы пошли в Wally’s Mart и купили что-то дорогое, что добавило к нашему счету еще 200 долларов! Но подождите, этот предмет затем был возвращен, и на нашу карту было начислено 200 долларов, как показано на -200.

Например, номер два, мы видим, что отрицательные числа снова вычитаются из нашей суммы, но хорошие они или плохие в данном случае?

В первом примере вычитания были плохими, потому что они уменьшили наши средства, но во втором примере вычитания были хорошими, потому что они снизили наш счет.Итак, вы видите, что отрицательные числа имеют хорошие и плохие эффекты в зависимости от контекста, в котором они используются. Единственное, что оставалось неизменным в обоих примерах, — это то, что они вычитали из чего-то.

Правила отрицательного числа!

Отрицательные числа при использовании в вычислениях подчиняются очень точным правилам. Как вы видели из приведенных выше примеров, иногда они используются для вычитания.

Пример 3.

4 + -3 = 1

4 — 3 = 1

-3 + 4 = 1

Все три уравнения говорят об одном и том же.Всякий раз, когда у вас есть положительная 4 и вы комбинируете (складываете) ее с отрицательной 3, вы получите 1. Неважно, какое число написано первым, важно, где находятся отрицательные знаки.

Теперь все становится сложнее, поэтому я приведу вам пример нескольких различных уравнений, а затем мы создадим для них некоторые правила.

Сложение / вычитание

Пример 4.

a) 5 + -3 = 2

b) -2 + 6 = 4

c) 4-2 = 2

d) -7 + 3 = -4

e) 2 — 5 = -3

Каждый приведенный выше пример считается свойством сложения / вычитания.

Правило 1:

На самом деле сложение отрицательных чисел — это то же самое, что вычитание положительного. Давайте перепишем каждое уравнение, приведенное выше, просто для понимания.

а) 5-3 = 2

б) 6-2 = 4

в) 4-2 = 2

г) 3-7 = -4

д) 2-5 = -3

Правило 2:

Число справа от знака — отрицательное.

Отрицательные числа, соответственно:

a) -3

b) -2

c) -2

d) -7

e) -5

Правило 3:

В любое время сложив отрицательное и положительное число, вычтите меньшее число из большего и перенесите знак, прикрепленный к «большему» числу.

a) Оригинал: 5 + -3 Решите: 5 — 3 = 2 и большее число положительно, поэтому наш ответ будет положительным

b) Оригинал: -2 + 6 Решите: 6 — 2 = 4 и снова большее число положительно, поэтому наш ответ положительный

c) Оригинал: 4–2 Решите: 4–2 = 2 и большее число положительно, поэтому наш ответ будет положительным.

d) Оригинал: -7 + 3 Решите: 7 — 3 = 4, но в данном случае 7 было отрицательным, поэтому наш ответ отрицательный, и мы получаем -4

e) Оригинал: 2-5 Решить: 5 — 2 = 3, но большее число было отрицательным, поэтому наш ответ -3.

Если у вас есть время, вы также можете попробовать использовать числовую строку вверху. Возьмем, к примеру, -7 + 3. Начните карандаш с -7 на числовой прямой, а затем «прибавьте» или переместитесь на 3 деления вперед. Что вы получаете?

Правило 4:

Отрицательные числа

Отрицательное число — это любое число меньше нуля. Отрицательные числа пишутся со знаком минус (-) перед ними. «-5» читается как отрицательное 5 и имеет ту же величину, что и 5, только в противоположном направлении на числовой прямой, как показано на рисунке ниже.

Числовая линия показывает, что -5 и 5 имеют одинаковую величину, поэтому -5 + 5 = 0.

Чем левее числовая строка, тем отрицательнее число и тем меньше число. Числовая прямая продолжается до отрицательной бесконечности слева от 0 и до положительной бесконечности справа.

Отрицательные числа — это то, с чем мы, вероятно, столкнемся в нашей повседневной жизни, например, температура, поэтому понимание того, как выполнять основную арифметику с использованием отрицательных чисел, может быть полезным.

Операции с отрицательными числами

Существует несколько правил использования отрицательных чисел при выполнении арифметических операций.

Дополнение

Добавление отрицательного числа похоже на вычитание положительного числа.

5 + (-3) = 2

Мы можем переписать приведенное выше как:

5–3 = 2

То же самое верно независимо от того, в какой позиции находится отрицательное число:

-3 + 5 = 5-3 = 2

При сложении двух отрицательных чисел результат еще более отрицательный:

-3 + (-5) = -3 — 5 = -8

Обычно при сложении положительных и отрицательных чисел определяют, какое значение больше, затем вычитают два значения и применяют знак большего значения.

Вычитание

Вычитание отрицательного числа похоже на добавление положительного числа, поскольку два отрицательных числа составляют положительное число:

5 — (-3) = 5 + 3 = 8

-9 — (-8) = -9 + 8 = -1

Умножение и деление

В отношении отрицательных чисел умножение и деление подчиняются тем же правилам:

По сути, нечетное количество отрицательных разделенный имеет отрицательный результат.Умножение или деление четного числа отрицательных чисел дает положительный результат:

-3 × -4 & div; 2 = 6

-3 × 4 & div; 2 = -6

-3 & раз (-4) & раз (-1) & div; 2 = -6

Отрицательные числа | Блог по математике ∞

Понимание отрицательных чисел жизненно важно для того, чтобы учащийся мог правильно ответить на вопрос. Отрицательное число — это число, меньшее нуля и противоположное положительному числу.

Определение отрицательного числа

Отрицательные числа — это часть действительных чисел, которые могут быть целыми, дробными и т. Д.Они просто определяются как числа, которые меньше нуля. Отрицательное число отображается с помощью тире слева от числа. Например, -3 будет отрицательным числом.

Использование отрицательного числа в математике

Когда кто-то решает уравнение, которое включает отрицательное число, он должен убедиться, что он делает уравнение правильно. Если они вычитают большое число из меньшего, ответ будет отрицательным, потому что ответ будет меньше нуля.Например, если уравнение 3-5, ответ будет -2. При просмотре числовой строки человек начнет с 3 и перейдет влево на 5 разрядов. Это оставляет им две позиции слева от нуля, что составляет -2.

Определение вычитания

Понимание вычитания и того, как оно работает, жизненно важно для понимания отрицательных чисел. Основное определение вычитания — это удаление одного числа от другого числа. Если у человека что-то есть 7, и он вычитает 3, у него остается 4.Это противоположно сложению и может иметь отрицательное число в качестве ответа, если вычитаемое число больше, чем число, из которого они вычитаются.

Использование калькулятора для сложения или вычитания отрицательных чисел

Когда ученику нужно вычесть большое число, он может использовать для этого калькулятор вычитания. Однако важно соблюдать осторожность при использовании калькулятора. Если они вводят числа в правильном порядке и знают, должен ли ответ быть положительным или отрицательным, это может помочь им получить правильный ответ.

Методы вычитания, помогающие при вычитании положительных или отрицательных чисел

Вычитание небольших чисел может быть простым делом, но когда ученику нужно вычесть большие числа, он может захотеть использовать один из распространенных методов вычитания. Они могут писать числа друг над другом и, начиная с чисел справа, проводить по одной вертикальной линии, чтобы разбить их на более мелкие части, которые легче вычесть. Это наиболее распространенный метод, но может быть полезно изучить и другие, чтобы упростить вычитание.

Положительное или отрицательное число влияет на результат уравнения. Независимо от того, использует ли студент калькулятор, карандаш и бумагу или решает уравнение в уме, понимание того, как работают отрицательные числа, будет жизненно важным.

Однако в реальной жизни, правда, мы могли бы обойтись без них. Большинство людей просто находят это удобным, чтобы немного упростить вещи. Имейте в виду, что в реальной жизни они предпочтение, но не необходимость.

Отрицательные числа

Что такое отрицательное число? Это достаточно сложный вопрос сам по себе, но он тесно связан с другим действительно сложным вопросом.

Этот другой вопрос сбивает с толку и расстраивает очень многих учеников средней школы, не говоря уже о большинстве взрослых. Вот:

Что означает вычитание отрицательного числа?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно прояснить некоторые распространенные заблуждения о вычитании в целом и о том, что такое отрицательное число.

В более ранних статьях я указывал на некоторые вещи, которые необходимы для ответа на этот вопрос.

В одном из них я определил вычитание как поиск недостающего слагаемого в операторе сложения. В другом я проиллюстрировал, как это можно представить числовой линией.

Здесь я рассмотрю третью проблему выше: что такое отрицательное число? Итак, что такое отрицательное число? Разве все не знают?

Если вы спросите 100 выпускников средней школы наугад, по крайней мере 99 из них, вероятно, скажут, что отрицательное число — это число, которое «меньше нуля» (если, конечно, они что-то знают о математике.)

Но что это на самом деле «значит»?

Возможно, удивительно, но это было загадкой даже для лучших математиков еще долгое время после того, как они решили гораздо более сложные математические задачи.

Только в середине 1500-х математики наконец начали принимать отрицательные числа как «реальные» (то есть, а не поддельные) числа, и этот процесс не завершился до 1800-х годов.

Вот критическая проблема, из-за которой их было так трудно принять, даже в столь поздний срок.Ниже приводится перефразирование вопроса, поставленного Де Морганом, выдающимся английским математиком в 1800-х годах:

Как у вас могут быть отрицательные 5 яблок
(или любой другой предмет, о котором вы можете подумать)?

Довольно странная идея, не правда ли?

Что ж, оказывается, у вас не может быть отрицательного числа яблок.(Но это придется подождать позже, чтобы узнать больше подробностей.)

Большой прорыв в осмыслении этого вопроса был фактически связан с использованием числовой прямой для представления чисел. Многие считают, что английский математик Джон Уоллис был первым, кто использовал графическую диаграмму числовой прямой в конце 1600-х годов.

Используя числовую линию, он представил положительные числа как числа справа от нуля, а отрицательные числа как числа слева от нуля следующим образом:

Позже это представление помогло избавиться от беспокойства по поводу отрицательных чисел.

И, конечно же, когда вы показываете отрицательные числа в такой числовой строке, и , вы считаете их от нуля, отрицательное число действительно лежит слева от нуля.

Проблема в том, что отрицательное число «на самом деле» не так. Другими словами, это не настоящее определение отрицательного числа.

Одна из причин, по которой это так, заключается в том, что вам не нужно считать числа, начинающиеся с 0.Числа можно подсчитать, начиная с любой точки числовой строки. (В противном случае вы, помимо прочего, не могли бы отображать сложение или вычитание в числовой строке.)

Это фундаментальный момент, на который почти никогда не обращают внимания при обучении математике в начальной школе. Но это критично.

Вот почему.

На самом деле математики не определяют, что такое «отрицательное число» напрямую.Они определяют отрицательное число в терминах «аддитивного обратного» числа.

Аддитивное обратное число, X, определяется как число, которое вы добавляете к X, чтобы получить ноль. Вот как это выглядит на числовой прямой.

Предположим, что X равно 5, поэтому мы ставим 5 в числовую строку.

Чтобы прибавить число к 5, мы начинаем отсчет второго числа с 5.

Где мы должны закончить, согласно определению аддитивной инверсии, это 0.

Если мы начинаем считать с 5 и хотим закончить с 0, в каком направлении мы должны считать?

Мы должны считать налево. Когда мы это сделаем, это будет выглядеть так.

Число, показанное красным, отрицательное 5… по определению.

Лежит -5 слева от нуля?

Нет, не в этом случае.

Это действительно отрицательное число?

да. Так определяется отрицательное число. Отрицательное число — это обратное положительное число.

А что обратное 5?

Это число, которое вам нужно добавить, когда вы начинаете считать с 5 и хотите, чтобы в итоге получилось 0.Но теперь давайте посмотрим на другую ситуацию.

Допустим, мы хотели добавить обратное число 5, которое, как мы теперь знаем, равно -5, к 0, а не к 5. Как это будет выглядеть?

Отсчет начинаем с 0…

… И мы считаем число, обратное 5, то есть -5.

Точка, в которой мы закончили, представляет -5.Красная стрелка показывает цифру 5 ниже.

Обратите внимание, что -5, красная стрелка, указывающая влево, точно такое же число, как -5 в приведенном выше примере, которое также является красной стрелкой, указывающей влево.

Тот факт, что две красные стрелки начинаются в разных местах числовой прямой и заканчиваются в разных местах, не влияет на то, что это за число.

В каждом случае вы считаете одинаковое количество единиц. Единственная разница в том, где вы начинаете считать.

Конечно, другой важный момент — это направление, в котором вы считаете. В каждом случае 5 единиц — это , считая слева .

Вот почему это отрицательное число.

Итак, чтобы назвать отрицательное число, нам нужно знать две вещи:

• Количество подсчитываемых единиц
• Направление, в котором исчисляются единицы

И неважно, с чего вы начинаете считать.

Итак, вот разница между положительным и отрицательным числами:

• Положительное число — это число, которое считается справа в числовой строке.
• Отрицательное число — это число, отсчитываемое слева в числовой строке.

Вот и все.

Вот почему мы описываем отрицательное число как «противоположность» положительного числа. Считается в обратном направлении.

Фактическое направление подсчета каждого вида чисел не имеет абсолютного значения.