Отрицательное минус отрицательное число: Вычитание отрицательного числа, правило, примеры

Содержание

Вычитание отрицательного числа, правило, примеры

Данная статья посвящена разбору такой темы, как выполнение вычитания отрицательных чисел. Материал представляет собой полезную информацию о правиле вычитания отрицательных чисел и других определениях. Для закрепления сути параграфа мы детально разберем примеры типичных упражнений и задач.

Правило вычитания отрицательных чисел

Для того, чтобы разобраться в данной теме, следует узнать основные определения и понятия.

Определение 1

Правило вычитания отрицательных чисел формулируется так: чтобы из числа a вычесть число b со знаком минус, необходимо к уменьшаемому a прибавить число −b, которое является противоположным вычитаемому b.

Если представить данное правило вычитания отрицательного числа b из произвольного числа a в буквенном виде, то оно будет выглядеть так: a−b=a+(−b).

Для того, чтобы использовать данное правило, необходимо доказать его справедливость.

Возьмем числа a и b. Чтобы вычесть из числа a число b, необходимо найти такое число с, которое в сумме с числом b будет равняться числу a. Другими словами, если найдено такое число c, что c+b=a, то разность a−b равна c.

Для того, чтобы доказать правило вычитания, необходимо показать, что сложение суммы a+(−b) с числом b – это есть число a. Необходимо вспомнить о свойствах действий с действительными числами. Так как в этом случае работает сочетательное свойство сложения, то равенство (a+(−b)) +b=a+((−b) +b) будет верным.

Так, как сумма чисел с противоположными знаками равняется нулю, то a+((−b) +b) =a+0, а сумма a+0= а (если к числу прибавить нуль, то оно не изменится). Равенство a−b=a+(−b)считается доказанным, значит, доказана и справедливость приведенного правила вычитания чисел со знаком минус.

Мы рассмотрели, как работает данное правило для действительных чисел a и b. Но оно также считается справедливым для любых рациональных и целых чисел a и b. Действия с рациональными и целыми числами также обладают свойствами, использованными при доказательстве. Следует добавить, что с помощью разобранного правила можно выполнять действия числа со знаком минус как из положительного числа, так и из отрицательного или нуля.

Рассмотрим разобранное правило на типичных примерах.

Примеры использования правила вычитания

Рассмотрим примеры с вычитанием чисел. Для начала рассмотрим простой пример, который поможет легко разобраться со всеми тонкостями процесса.

Пример 1

Необходимо отнять от числа −13 число −7.

Возьмем число, противоположное вычитаемому −7. Это число 7. Тогда по правилу вычитания отрицательных чисел имеем (−13) −(−7) =(−13) +7. Выполняем сложение. Теперь получаем: (−13) +7=−(13−7) =−6.

Вот все решение: (−13) −(−7) =(−13) +7=−(13−7) =−6. (−13)−(−7)=−6. Вычитание дробных отрицательных чисел также можно выполнять. Необходимо перейти к обыкновенным дробям, смешанным числам или десятичным дробям. Выбор числа зависит от того, с каким вариантом вам удобнее работать.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 2

Необходимо выполнить вычитание из числа 3,4 числа -2323.

Применяем описанное выше правило вычитания, получаем 3,4—2323=3,4+2323. Заменяем дробь на десятичное число: 3,4=3410=175=325 (как переводить дроби, можно посмотреть в материале по теме), получаем 3,4+2323=325+2323. Выполняем сложение. На этом вычитание отрицательного числа -2323 из числа 3,4 завершено.

Приведем краткую запись решения: 3,4—2323=27115.

Пример 3

Необходимо выполнить вычитание числа −0,(326) от нуля.

По правилу вычитания, которое мы изучили выше, 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326).

Последний переход верен, так как здесь работает свойство сложения числа с нулем: 0−(−0,(326))=0,(326).

Из рассмотренных примеров видно, что при вычитании отрицательного числа может получиться как положительное, так и отрицательное число. Вычитание отрицательного числа может в результате дать и число 0, это происходит, когда уменьшаемое равно вычитаемому.

Пример 4

Необходимо вычислить разность отрицательных чисел -5—5.

По правилу вычитания мы получаем -5—5=-5+5.

Мы пришли к сумме противоположных чисел, которая всегда равна нулю: -5—5=-5+5=0 

Итак,-5—5=0.

В некоторых случаях результат вычитания необходимо записать в виде числового выражения. Это справедливо в тех случаях, когда уменьшаемое или вычитаемое является иррациональным числом. К примеру, вычитание из отрицательного числа −2 отрицательного числа –π проводится так: (−2)−(−π)=(−2)+π=π−2. Значение полученного выражения может быть вычислено максимально точно только в том случае, если это необходимо. Для подробной информации можно изучить другие разделы, связанные с данной темой.

Автор:
Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

gaz.wiki — gaz.wiki

Navigation

  • Main page

Languages

  • Deutsch
  • Français
  • Nederlands
  • Русский
  • Italiano
  • Español
  • Polski
  • Português
  • Norsk
  • Suomen kieli
  • Magyar
  • Čeština
  • Türkçe
  • Dansk
  • Română
  • Svenska

Преобразование положительного значения в отрицательное значение в swift

Например, я хочу преобразовать положительное значение в отрицательное:

let a: Int = 10

поверните его на -10 , моя текущая идея — просто использовать его для нескольких -1

a * -1

Я не уверен, что это правильно, есть идеи?

swift

negative-number

negate

Поделиться

Источник


William Hu    

10 августа 2018 в 08:58

2 ответа

  • Преобразование положительного числа в отрицательное — iOS

    У меня есть простое приложение с целым числом. Я хочу проверить значение в целочисленном значении и изменить его с положительного на отрицательное, если это положительное значение. Я также хочу, чтобы он проверил, является ли целое число отрицательным, а затем изменил его на положительное, если…

  • Изменение положительного значения на отрицательное

    В Android как я могу изменить значение на отрицательное число? Если у меня есть следующий код и я ввел 10 для pos1_deg , как я могу легко изменить его на -10 С помощью переключателя? Является ли ответом конкатенация строки типа pos1_deg = — + pos1_deg ? Или есть какая-то математическая команда,…


8

Просто используйте оператор - .

let negativeA = -a

Поделиться


Sviatoslav Yakymiv    

10 августа 2018 в 09:08


5

С помощью Swift 5, в соответствии с вашими потребностями, вы можете использовать один из двух следующих способов преобразования целого числа в его аддитивное обратное.

Int имеет метод negate(). negate() имеет следующее заявление:

mutating func negate()

Заменяет это значение его аддитивным обратным.

В приведенных ниже примерах кода игровой площадки показано, как использовать negate() для изменения целого числа и замены его значения его аддитивным обратным:

var a = 10
a.negate()
print(a) // prints: -10

var a = -10
a.negate()
print(a) // prints: 10

Обратите внимание, что negate() также доступен для всех типов, соответствующих протоколу SignedNumeric.

Знак числового значения можно переключать с помощью префикса - , известного как унарный оператор минус . Примеры кода игровой площадки ниже показывают, как его использовать:

let a = 10
let b = -a
print(b) // prints: -10

let a = -10
let b = -a
print(b) // prints: 10

Поделиться


Imanou Petit    

31 марта 2019 в 12:13

Похожие вопросы:

Преобразование значения из отрицательного в положительное или из положительного в отрицательное в JavaScript?

Я видел этот ответ о том , как преобразовать отрицательное число в положительное , но у меня немного другая ситуация: я делаю некоторое кодирование в Apache Cordova и получаю данные акселерометра,…

NgIf связывание img В зависимости от положительного отрицательного или равного значения Angular

Итак, позвольте мне объяснить вам, что у меня есть наблюдаемое отображение a Json на мой взгляд, я анализирую его с помощью a ngFor, и он работает очень хорошо, а затем я хочу отобразить img…

express-cassandra преобразует длинное значение в отрицательное

Я использую пакет express-cassandra npm для подключения к базе данных, приведенный ниже код дает отрицательное значение при преобразовании значения Long в Integer . var num = 13315766168394088000;…

Преобразование положительного числа в отрицательное — iOS

У меня есть простое приложение с целым числом. Я хочу проверить значение в целочисленном значении и изменить его с положительного на отрицательное, если это положительное значение. Я также хочу,…

Изменение положительного значения на отрицательное

В Android как я могу изменить значение на отрицательное число? Если у меня есть следующий код и я ввел 10 для pos1_deg , как я могу легко изменить его на -10 С помощью переключателя? Является ли…

Введите значение + / — float в edittext в android

Я хочу ограничить возможность ввода пользователем только положительного и отрицательного реального значения в редактируемом тексте. Вот мой код <EditText android:id=@+id/value…

awk/sed преобразование положительного значения в отрицательное в файле, разделенном точкой с запятой

У меня есть файл, который построен вот так: 1233;mc3; limit;1 946;mc3; limit;14545 0843;mc3; limit;2 443;mc3;Short ;1012 1309;mc3;Short ;1 1247;mc3;Short ;1121 989;mc3;Short ;1 1340;mc3;Short ;14545…

Метод возвращает отрицательное значение

Я пытаюсь создать метод, который проверяет, является ли вход двойным, который больше нуля. Проверка того, действительно ли это двойник, прекрасно работает с моим кодом, но, несмотря на то, что при…

Pandas преобразование положительного числа в 1 и отрицательного числа в -1

У меня есть столбец положительных и отрицательных чисел. Как преобразовать этот столбец в новый столбец, чтобы реализовать преобразование положительного числа в 1 и отрицательного числа в -1?

Изменение положительного числового ввода ячейки на отрицательное числовое значение в той же ячейке на основе критериев в другой ячейке

Я хочу изменить вход ячейки с положительным значением в диапазоне на отрицательное значение, ссылаясь на критерий в другом диапазоне ячеек. Так, например, диапазон ячеек A1:A10 содержит либо…

Правила отрицательных. Сложение отрицательных чисел, правило, примеры

На действиях с положительными и отрицательными числами основан практически весь курс математики. Ведь как только мы приступаем к изучению координатной прямой, числа со знаками «плюс» и «минус» начинают встречаться нам повсеместно, в каждой новой теме. Нет ничего проще, чем сложить между собой обычные положительные числа, нетрудно и вычесть одно из другого. Даже арифметические действия с двумя отрицательными числами редко становятся проблемой.

Однако многие путаются в сложении и вычитании чисел с разными знаками. Напомним правила, по которым происходят эти действия.

Сложение чисел с разными знаками

Если для решения задачи нам требуется прибавить к некоторому числу «а» отрицательное число «-b», то действовать нужно следующим образом.

  • Возьмем модули обоих чисел — |a| и |b| — и сравним эти абсолютные значения между собой.
  • Отметим, какой из модулей больше, а какой меньше, и вычтем из большего значения меньшее.
  • Поставим перед получившимся числом знак того числа, модуль которого больше.

Это и будет ответом. Можно выразиться проще: если в выражении a + (-b) модуль числа «b» больше, чем модуль «а», то мы отнимаем «а» из «b» и ставим «минус» перед результатом. Если больше модуль «а», то «b» вычитается из «а» — а решение получается со знаком «плюс».

Бывает и так, что модули оказываются равны. Если так, то на этом месте можно остановиться — речь идет о противоположных числах, и их сумма всегда будет равна нулю.

Вычитание чисел с разными знаками

Со сложением мы разобрались, теперь рассмотрим правило для вычитания. Оно тоже довольно простое — и кроме того, полностью повторяет аналогичное правило для вычитания двух отрицательных чисел.

Для того, чтобы вычесть из некоего числа «а» — произвольного, то есть с любым знаком — отрицательное число «с», нужно прибавить к нашему произвольному числу «а» число, противоположное «с». Например:

  • Если «а» — положительное число, а «с» — отрицательное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем так: а – (-с) = а + с.
  • Если «а» — отрицательное число, а «с» — положительное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем следующим образом: (- а)– с = — а+ (-с).

Таким образом, при вычитании чисел с разными знаками в итоге мы возвращаемся к правилам сложения, а при сложении чисел с разными знаками — к правилам вычитания. Запоминание данных правил позволяет решать задачи быстро и без труда.

Отрицательные числа
 — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел
 является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее, такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Содержание урока


Это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Здесь показаны числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя
 — это любая латинская буква. Координата
— это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2»

и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Здесь A
 — это имя точки, 2 — координата точки A.

Пример 2.
 Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4»

Здесь B
 — это имя точки, 4 — координата точки B.

Пример 3.
Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три»

и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь M
 — это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат
 принято обозначать большой латинской буквой O

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания, как «чем левее, тем меньше»
и «чем правее, тем больше»
. Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево, число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1.
 Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше
, чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше»

. И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5

«Минус пять меньше, чем три»

Правило 2.
 Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше
, чем минус единица.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше»

. И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

Минус четыре меньше, чем минус единица

Правило 3.
 Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше
, чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше»

. И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

Ноль больше, чем минус три

Правило 4.
 Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше
, чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше»

. И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

Ноль меньше, чем четыре

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Правило сложения отрицательных чисел

Если вспомнить урок математики и тему «Сложение и вычитание чисел с разными знаками», то для сложения двух отрицательных чисел необходимо:

  • выполнить сложение их модулей;
  • дописать к полученной сумме знак «–».

Согласно правилу сложения можно записать:

$(−a)+(−b)=−(a+b)$.

Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.

Пример 1

Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 \ 789.$

Решение
.

Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.

Найдем модули данных чисел:

$|-23 \ 789|=23 \ 789$.

Выполним сложение полученных чисел:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 \ 974$.

Краткая запись решения: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

Ответ
: $−23 \ 974$.

При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.

Пример 2

Сложить отрицательные числа $-\frac{1}{4}$ и $−7,15$.

Решение.

Согласно правилу сложения отрицательных чисел, сначала необходимо найти сумму модулей:

$|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}$;

Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:

$\frac{1}{4}=0,25$;

$0,25+7,15=7,40$.

Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.

Краткая запись решения:

$(-\frac{1}{4})+(−7,15)=−(\frac{1}{4}+7,15)=–(0,25+7,15)=−7,4$.

Для сложения положительного и отрицательного числа необходимо:

  1. вычислить модули чисел;

    2. выполнить сравнение полученных чисел:

  • если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;
  • если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;

  • из большего модуля вычесть меньший;

  • перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.

    • Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.

    Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.

    Пример 3

    Сложить числа $4$ и $−8$.

    Решение.

    Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.

    Найдем модули данных чисел:

    Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.

    Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$

    Краткая запись решения:

    $4+(–8) = –(8–4) = –4$.

    Ответ
    : $4+(−8)=−4$.

    Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.

    Вычитание чисел с разными и отрицательными знаками

    Правило вычитания отрицательных чисел:

    Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.

    Согласно правилу вычитания можно записать:

    $a−b=a+(−b)$.

    Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.

    Пример 4

    Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.

    Решение.

    Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.

    Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:

    $(−28)−(−5)=(−28)+5$.

    Выполним сложение чисел с противоположными знаками:

    $(−28)+5=−(28−5)=−23$.

    Ответ
    : $(−28)−(−5)=−23$.

    При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.

    Сложение и вычитание чисел с разными знаками

    Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.

    Пример 5

    Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.

    Решение.

    Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.

    Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:

    $(−11)−7=(–11)+(−7)$.

    Выполним сложение отрицательных чисел:

    $(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.

    Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

    Ответ
    : $(−11)−7=−18$.

    При вычитании дробных чисел с разными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.

    В рамках этого материала мы затронем такую важную тему, как сложение отрицательных чисел. В первом параграфе мы расскажем основное правило для этого действия, а во втором – разберем конкретные примеры решения подобных задач.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Основное правило сложения натуральных чисел

    Перед тем, как вывести правило, вспомним, что мы вообще знаем о положительных и отрицательных числах. Ранее мы условились, что отрицательные числа нужно воспринимать как долг, убыток. Модуль отрицательного числа выражает точные размеры этого убытка. Тогда сложение отрицательных чисел можно представить как сложение двух убытков.

    Воспользовавшись этим рассуждением, сформулируем основное правило сложения отрицательных чисел.

    Определение 1

    Для того чтобы выполнить сложение отрицательных чисел
    , нужно сложить значения их модулей и поставить минус перед полученным результатом. В буквенном виде формула выглядит как (− a) + (− b) = − (a + b) .

    Исходя из этого правила, можно сделать вывод, что сложение отрицательных чисел аналогично сложению положительных, только в итоге у нас обязательно должно получиться отрицательное число, ведь перед суммой модулей надо ставить знак минус.

    Какие можно привести доказательства этого правила? Для этого нам потребуется вспомнить основные свойства действий с действительными числами (или с целыми, или с рациональными –они одинаковы для всех этих типов чисел). Для доказательства нам нужно всего лишь продемонстрировать, что разность левой и правой части равенства (− a) + (− b) = − (a + b) будет равна 0 .

    Вычесть одно число из другого – это то же самое, что и прибавить к нему такое же противоположное число. Следовательно, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Вспомним, что числовые выражения со сложением обладают двумя основными свойствами – сочетательным и переместительным. Тогда мы можем сделать вывод, что (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Поскольку, сложив противоположные числа, мы всегда получаем 0 , то (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 , а 0 + 0 = 0 .Наше равенство можно считать доказанным, значит, и правило сложения отрицательных чисел мы тоже доказали.

    Во втором параграфе мы возьмем конкретные задачи, где нужно складывать отрицательные числа, и попробуем применить в них изученное правило.

    Пример 1

    Найдите сумму двух отрицательных чисел — 304 и — 18 007 .

    Решение

    Выполним действия пошагово. Сначала нам надо найти модули складываемых чисел: — 304 = 304 , — 180007 = 180007 . Далее нам нужно выполнить действие сложения, для чего мы используем метод подсчета столбиком:

    Все, что нам осталось, – это поставить минус перед результатом и получить — 18 311 .

    Ответ:
     — — 18 311 .

    От того, какие у нас числа, зависит, к чему мы можем свести действие сложения: к нахождению суммы натуральных чисел, к сложению обыкновенных или десятичных дробей. Разберем задачу с такими числами.

    Пример N

    Найдите сумму двух отрицательных чисел — 2 5 и − 4 , (12) .

    Решение

    Находим модули искомых чисел и получаем 2 5 и 4 , (12) . У нас получились две разные дроби. Сведем задачу к сложению двух обыкновенных дробей, для чего представим периодическую дробь в виде обыкновенной:

    4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33

    В итоге мы получили дробь, которую будет легко сложить с первым исходным слагаемым (если вы забыли, как правильно складывать дроби с разными знаменателями, повторите соответствующий материал).

    2 5 + 136 33 = 2 · 33 5 · 33 + 136 · 5 33 · 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105

    В итоге мы получили смешанное число, перед которым нам осталось только поставить минус. На этом расчеты завершены.

    Ответ:
     — 4 86 105 .

    Действительные отрицательные числа складываются аналогичным образом. Результат такого действия принято записывать числовым выражением. Его значение можно и не вычислять или ограничиться примерными расчетами. Так, к примеру, если нам надо найти сумму — 3 + (− 5) , то ответ мы записываем как — 3 − 5 . Сложению действительных чисел мы посвятили отдельный материал, в котором можно найти и другие примеры.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Сложить два отрицательных числа. Сложение отрицательных чисел: правило, примеры

    В этой статье мы поговорим про сложение отрицательных чисел
    . Сначала дадим правило сложения отрицательных чисел и докажем его. После этого разберем характерные примеры сложения отрицательных чисел.

    Навигация по странице.

    Правило сложения отрицательных чисел

    Прежде чем дать формулировку правила сложения отрицательных чисел, обратимся к материалу статьи положительные и отрицательные числа . Там мы упоминали, что отрицательные числа можно воспринимать как долг, а в этом случае определяет величину этого долга. Следовательно, сложение двух отрицательных чисел – это есть сложение двух долгов.

    Этот вывод позволяет осознать правило сложения отрицательных чисел
    . Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно:

    • сложить их модули;
    • поставить перед полученной суммой знак минус.

    Запишем правило сложения отрицательных чисел −a
    и −b
    в буквенном виде: (−a)+(−b)=−(a+b)

    .

    Понятно, что озвученное правило сводит сложение отрицательных чисел к сложению положительных чисел (модуль отрицательного числа является числом положительным). Также понятно, что результатом сложения двух отрицательных чисел является отрицательное число, о чем свидетельствует знак минус, который ставится перед суммой модулей.

    Правило сложения отрицательных чисел можно доказать, основываясь на свойствах действий с действительными числами
     (или таких же свойствах действий с рациональными или целыми числами). Для этого достаточно показать, что разность левой и правой частей равенства (−a)+(−b)=−(a+b)
    равна нулю.

    Так как вычитание числа – это все равно, что прибавление противоположного числа (смотрите правило вычитания целых чисел), то (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b)
    . В силу переместительного и сочетательного свойств сложения имеем (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b)
    . Так как сумма противоположных чисел равна нулю, то (−a+a)+(−b+b)=0+0
    , а 0+0=0
    в силу свойства сложения числа с нулем. Этим доказано равенство (−a)+(−b)=−(a+b)
    , а значит, и правило сложения отрицательных чисел.

    Осталось лишь научиться применять правило сложения отрицательных чисел на практике, что мы и сделаем в следующем пункте.

    Примеры сложения отрицательных чисел

    Разберем примеры сложения отрицательных чисел
    . Начнем с самого простого случая – сложения отрицательных целых чисел, сложение будем проводить по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте.

    Пример.

    Выполните сложение отрицательных чисел −304
    и −18 007
    .

    Решение.

    Выполним все шаги правила сложения отрицательных чисел.

    Сначала находим модули складываемых чисел: и . Теперь нужно сложить полученные числа, здесь удобно выполнить сложение столбиком :

    Теперь ставим знак минус перед полученным числом, в результате имеем −18 311
    .

    Запишем все решение в краткой форме: (−304)+(−18 007)=
    −(304+18 007)=−18 311
    .

    Ответ:

    −18 311
    .

    Сложение отрицательных рациональных чисел в зависимости от самих чисел можно свести либо к сложению натуральных чисел , либо к сложению обыкновенных дробей , либо к сложению десятичных дробей .

    Пример.

    Сложите отрицательное число и отрицательное число −4,(12)
    .

    Решение.

    По правилу сложения отрицательных чисел сначала нужно вычислить сумму модулей. Модули складываемых отрицательных чисел равны соответственно 2/5
    и 4,(12)
    . Сложение полученных чисел можно свести к сложению обыкновенных дробей. Для этого переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь : . Таким образом, 2/5+4,(12)=2/5+136/33
    . Теперь выполним

    Отрицательные числа
     — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

    Примером применения отрицательных чисел
     является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

    Например, −10 градусов холода:

    Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее, такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

    При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

    Содержание урока


    Это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

    Здесь показаны числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

    Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

    Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

    Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя
     — это любая латинская буква. Координата
    — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

    Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2»

    и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

    Здесь A
     — это имя точки, 2 — координата точки A.

    Пример 2.
     Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4»

    Здесь B
     — это имя точки, 4 — координата точки B.

    Пример 3.
    Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три»

    и будет обозначаться на координатной прямой так:

    Здесь M
     — это имя точки, −3 — координата точки M.

    Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат
     принято обозначать большой латинской буквой O

    Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

    Существуют такие словосочетания, как «чем левее, тем меньше»
    и «чем правее, тем больше»
    . Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево, число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

    Сравнение отрицательных и положительных чисел

    Правило 1.
     Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

    Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше
    , чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

    Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

    Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше»

    . И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

    −5

    «Минус пять меньше, чем три»

    Правило 2.
     Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

    Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше
    , чем минус единица.

    Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

    Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше»

    . И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

    Минус четыре меньше, чем минус единица

    Правило 3.
     Ноль больше любого отрицательного числа.

    Например, сравним 0 и −3. Ноль больше
    , чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

    Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше»

    . И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

    Ноль больше, чем минус три

    Правило 4.
     Ноль меньше любого положительного числа.

    Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше
    , чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

    Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше»

    . И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

    Ноль меньше, чем четыре

    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

    Сложение отрицательных чисел.

    Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное. Модуль суммы равен сумме модулей слагаемых
    .

    Давайте разберемся, почему же сумма отрицательных чисел будет тоже отрицательным числом. Поможет нам в этом координатная прямая, на которой мы выполним сложение чисел -3 и -5. Отметим на координатной прямой точку, соответствующее числу -3.

    К числу -3 нам нужно прибавить число -5. Куда мы пойдем от точки, соответствующей числу -3? Правильно, влево! На 5 единичных отрезков. Отмечаем точку и пишем число ей соответствующее. Это число -8.

    Итак, при выполнении сложения отрицательных чисел с помощью координатной прямой мы все время находимся слева от начала отсчета, поэтому, понятно, что результат сложения отрицательных чисел есть число тоже отрицательное.

    Примечание.
     Мы складывали числа -3 и -5, т.е. находили значение выражения -3+(-5). Обычно при сложении рациональных чисел просто записывают эти числа с их знаками, как бы перечисляют все числа, которые нужно сложить. Такую запись называют алгебраической суммой. Применяют (в нашем примере) запись: -3-5=-8.

    Пример.
     Найти сумму отрицательных чисел: -23-42-54. (Согласитесь, что эта запись короче и удобнее вот такой: -23+(-42)+(-54))?

    Решаем
     по правилу сложения отрицательных чисел: складываем модули слагаемых: 23+42+54=119. Результат будет со знаком «минус».

    Записывают обычно так: -23-42-54=-119.

    Сложение чисел с разными знаками.

    Сумма двух чисел с разными знаками имеет знак слагаемого с большим модулем. Чтобы найти модуль суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший
    .

    Выполним сложение чисел с разными знаками с помощью координатной прямой.

    1)
     -4+6. Требуется к числу -4 прибавить число 6. Отметим число -4 точкой на координатной прямой. Число 6 — положительное, значит от точки с координатой -4 нам нужно идти вправо на 6 единичных отрезков. Мы оказались справа от начала отсчета (от нуля) на 2 единичных отрезка.

    Результат суммы чисел -4 и 6 — это положительное число 2:

    — 4+6=2. Как можно было получить число 2? Из 6 вычесть 4, т.е. из большего модуля вычесть меньший. У результата тот же знак, что и у слагаемого с большим модулем.

    2)
     Вычислим: -7+3 с помощью координатной прямой. Отмечаем точку, соответствующую числу -7. Идем вправо на 3 единичных отрезка и получаем точку с координатой -4. Мы были и остались слева от начала отсчета: ответ — отрицательное число.

    — 7+3=-4. Этот результат мы могли получить так: из большего модуля вычли меньший, т.е. 7-3=4. В результате поставили знак слагаемого, имеющего больший модуль: |-7|>|3|.

    Примеры.
     Вычислить: а)
     -4+5-9+2-6-3; б)
     -10-20+15-25.

    Правило сложения отрицательных чисел

    Если вспомнить урок математики и тему «Сложение и вычитание чисел с разными знаками», то для сложения двух отрицательных чисел необходимо:

    • выполнить сложение их модулей;
    • дописать к полученной сумме знак «–».

    Согласно правилу сложения можно записать:

    $(−a)+(−b)=−(a+b)$.

    Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.

    Пример 1

    Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 \ 789.$

    Решение
    .

    Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.

    Найдем модули данных чисел:

    $|-23 \ 789|=23 \ 789$.

    Выполним сложение полученных чисел:

    $185+23 \ 789=23 \ 974$.

    Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 \ 974$.

    Краткая запись решения: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

    Ответ
    : $−23 \ 974$.

    При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.

    Пример 2

    Сложить отрицательные числа $-\frac{1}{4}$ и $−7,15$.

    Решение.

    Согласно правилу сложения отрицательных чисел, сначала необходимо найти сумму модулей:

    $|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}$;

    Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:

    $\frac{1}{4}=0,25$;

    $0,25+7,15=7,40$.

    Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.

    Краткая запись решения:

    $(-\frac{1}{4})+(−7,15)=−(\frac{1}{4}+7,15)=–(0,25+7,15)=−7,4$.

    Для сложения положительного и отрицательного числа необходимо:

    1. вычислить модули чисел;

      2. выполнить сравнение полученных чисел:

    • если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;
    • если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;

  • из большего модуля вычесть меньший;

  • перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.

    • Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.

    Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.

    Пример 3

    Сложить числа $4$ и $−8$.

    Решение.

    Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.

    Найдем модули данных чисел:

    Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.

    Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$

    Краткая запись решения:

    $4+(–8) = –(8–4) = –4$.

    Ответ
    : $4+(−8)=−4$.

    Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.

    Вычитание чисел с разными и отрицательными знаками

    Правило вычитания отрицательных чисел:

    Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.

    Согласно правилу вычитания можно записать:

    $a−b=a+(−b)$.

    Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.

    Пример 4

    Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.

    Решение.

    Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.

    Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:

    $(−28)−(−5)=(−28)+5$.

    Выполним сложение чисел с противоположными знаками:

    $(−28)+5=−(28−5)=−23$.

    Ответ
    : $(−28)−(−5)=−23$.

    При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.

    Сложение и вычитание чисел с разными знаками

    Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.

    Пример 5

    Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.

    Решение.

    Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.

    Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:

    $(−11)−7=(–11)+(−7)$.

    Выполним сложение отрицательных чисел:

    $(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.

    Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

    Ответ
    : $(−11)−7=−18$.

    При вычитании дробных чисел с разными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.

    Теперь давайте разберемся с умножением и делением
    .

    Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?

    Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3х(-4)=-12.

    Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.

    Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом
    . Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.

    А как перемножить два отрицательных числа?

    К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.

    Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения
    , сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.

    Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.

    Положение знака
     при умножении изменяется таким образом:

    • положительное число х положительное число = положительное число;
    • отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
    • положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
    • отрицательное число х отрицательное число = положительное число.

    Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число
    . Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число
    .

    Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для .

    Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения
    . Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).

    Поскольку скоро зима, то пора уже подумать о том, в что переобуть своего железного коня, что бы не скользить по льду и чувствовать себя уверено на зимних дорогах. Можно, например, взять шины йокогама на сайте: mvo.ru или какие-то другие, главное, что бы качественный, больше информации и цены вы можете узнать на сайте Mvo.ru.

    Правила знаков

    Минус и плюс – это признаки отрицательных и положительных чисел в математике. Они по-разному взаимодействую с собой, поэтому при выполнении каких-либо действий с числами, например, деление, умножение, вычитание, сложение и т.д., необходимо учитывать правила знаков. Без этих правил вы никогда не сможете решить даже самую простую алгебраическую или геометрическую задачу. Без знания этих правил, вы не сможете изучить не только математику, но и физику, химию, биологию, и даже географию.

    Рассмотрим подробней основные правила знаков.

    Деление.

    Если мы делим «плюс» на «минус», то получаем всегда «минус». Если мы делим «минус» на «плюс», то получаем всегда также «минус». Если мы делим «плюс» на «плюс», то получаем «плюс». Если же мы делим «минус» на «минус», то получим, как ни странно, также «плюс».

    Умножение.

    Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс». Тоже самое касается и двух отрицательных чисел. Если мы умножаем «минус» на «минус», то получим «плюс».

    Вычитание и сложение.

    Они базируются уже на других принципах. Если отрицательное число будет больше по модулю, чем наше положительное, то результат, конечно же, будет отрицательный. Наверняка, вам интересно, что же такое модуль и зачем он тут вообще. Все очень просто. Модуль – это значение числа, но без знака. Например -7 и 3. По модулю -7 будет просто 7 , а 3 так и останется 3. В итоге мы видим, что 7 больше, то есть выходит, что наше отрицательное число больше. Вот и выйдет -7+3 = -4. Можно сделать еще проще. Просто на первое место ставить положительное число, и выйдет 3-7 = -4, возможно кому-то так более понятно. Вычитание действуют полностью по такому же принципу.








    Правила при умножении (делении) чисел
    МножителиРезультат
    ДелимоеДелитель
    +++
    +——
    —+—
    ——+

    0 Больше или меньше отрицательного числа

    Проще всего посмеяться над людьми, не понимающими основ арифметики, однако не стоит с этим спешить. Отрицательные числа мучили наш разум столетиями и делают это до сих пор. Именно поэтому подземные этажи зданий принято обозначать буквами (например, LG – lower ground («подземный этаж») и B – basement («подвальный этаж»)) или алфавитно-цифровыми знаками (скажем, B1, B2 и B3), а не отрицательными числами (–1, –2 и –3). Когда мы датируем события, произошедшие до рождения Христа, например, когда Евклид написал свой труд «Начала», мы предпочитаем говорить «в 300 году до нашей эры», а не «в –300 году нашей эры». А у бухгалтеров вообще множество способов избегать знака «минус»: записывать долги красным, прибавлять аббревиатуру DR (от debtor – «должник») или заключать неприятную сумму в скобки.

    Ни древнегреческие, ни египетские, ни вавилонские математики не создали концепцию отрицательных чисел. В древние времена числа использовались для подсчёта и измерения, а как можно подсчитать или измерить то, что меньше, чем ничего? Давайте попытаемся встать на место обитателей античного мира, чтобы понять, какой интеллектуальный прорыв им нужно было совершить. Мы знаем, что 2 + 3 = 5, потому что, когда у нас есть две буханки хлеба и нам дают ещё три, у нас будет пять буханок. Мы знаем, что 2 − 1 = 1, потому что, когда, имея две буханки хлеба, мы отдаём одну, у нас остаётся ещё одна. Но что значит 2 − 3? Если у меня есть только две буханки хлеба, я не могу отдать три. Однако предположим, что я всё же могу это сделать – тогда у меня останется минус одна буханка. Что же значит «минус одна буханка»? Это не обычная буханка хлеба. Это, скорее, её отсутствие, причём такое, что если к нему прибавить буханку хлеба, то будет получено «ничто». Неудивительно, что древние считали эту концепцию абсурдной.

    Однако в древней Азии допускали существование отрицательных величин – правда, в определённой степени. Ко временам Евклида у китайцев уже была система вычислений, в которой использовались бамбуковые палочки. Обычные палочки представляли положительные числа, их китайцы называли «истинными», а палочки, покрашенные в чёрный цвет, олицетворяли отрицательные числа, их называли «ложными». Китайцы размещали палочки на разграфлённой доске таким образом, чтобы каждое число занимало отдельную ячейку, а каждая колонка соответствовала одному уравнению. Опытный вычислитель решал уравнения, передвигая бамбуковые палочки. Если решение состояло из обычных палочек, это было истинное число, которое принималось. Если решение состояло из чёрных палочек, это было ложное число, и оно отбрасывалось. Тот факт, что китайцы использовали физические объекты для представления отрицательных величин, свидетельствовал о существовании этих чисел, хотя они и были всего лишь инструментами для вычисления положительных величин. Китайцы поняли одну очень важную истину: если математические объекты приносят пользу, не имеет значения, что они не согласуются с повседневным опытом. Пусть этой проблемой занимаются философы.

    Через несколько столетий в Индии математики нашли для отрицательных чисел материальный контекст – деньги. Если я одалживаю у вас пять рупий, у меня получается долг в пять рупий – отрицательная величина, которая станет нулевой только после того, как я верну вам эту сумму. Астроном VII века Брахмагупта установил правила арифметических операций с положительными и отрицательными числами, которые назвал «имуществом» и «долгом». Кроме того, он ввёл число ноль в его современном понимании.

    Долг минус ноль – это долг.
    Имущество минус ноль – это имущество. Ноль минус ноль – это ноль.
    Долг, вычтенный из нуля, – это имущество. Имущество, вычтенное из нуля, – это долг. И так далее.

    Брахмагупта описывал точное значение имущества и долга с помощью нуля и других девяти цифр, которые легли в основу десятичного представления чисел, используемого в настоящее время. Индийские числительные распространились на территории Ближнего Востока, Северной Африки, а к концу Х века – и в Испании. Тем не менее понадобилось ещё три столетия, прежде чем отрицательные числа получили широкое признание в Европе. Такая задержка была обусловлена тремя причинами: историческая связь с долгами, а значит, и с порочной практикой ростовщичества; всеобщая подозрительность в отношении новых методов, приходящих из мусульманских земель; продолжительное влияние древнегреческой философии, согласно которой величина не может быть меньше, чем ничто.

    Со временем счетоводы привыкли к использованию отрицательных чисел в своей профессии, математики же очень долго остерегались их. В XV и XVI веках отрицательные величины были известны как абсурдные числа (numeri absurdi), и даже в XVII столетии многие считали их бессмысленными. В XVIII веке преобладал следующий аргумент против отрицательных чисел. Рассмотрим такое уравнение:

    С арифметической точки зрения это правильное утверждение. Тем не менее оно парадоксально, поскольку гласит, что отношение меньшего числа (−1) к большему (1) эквивалентно отношению большего числа (1) к меньшему (−1). Этот парадокс стал предметом множества дискуссий, но никто так и не смог его объяснить. В попытках понять смысл отрицательных чисел многие математики, в том числе и Леонард Эйлер, пришли к невероятному выводу, что эти числа больше бесконечности. Данная концепция вытекает из анализа такой последовательности:

    Что эквивалентно ряду:

    По мере уменьшения числа в нижней части дроби (знаменателя) от 3 до 2, а затем до 1 и 1/2, абсолютное значение дроби становится больше, а когда значение знаменателя приближается к нулю, значение дроби стремится к бесконечности. Была выдвинута гипотеза, что, когда знаменатель равен нулю, значение дроби бесконечно, а когда он меньше нуля (другими словами, когда это отрицательное число) , дробь должна быть больше бесконечности. В настоящее время мы избегаем этой парадоксальной ситуации, утверждая, что бессмысленно делить число на ноль. Дробь 10/0 не бесконечна; она «не определена».

    В этом смешении разных мнений прозвучала одна чёткая и понятная концепция, принадлежавшая английскому математику Джону Уоллису, который придумал эффективный способ визуальной интерпретации отрицательных чисел. В написанном в 1685 году труде A Treatise of Algebra («Трактат по алгебре») Уоллис впервые представил числовую ось, на которой положительные и отрицательные числа отображают расстояния от ноля в противоположных направлениях. Уоллис писал, что если человек отойдёт от ноля вперёд на пять ярдов, а затем вернётся назад на восемь ярдов, то он «переместится на позицию, которая на 3 ярда дальше, чем ничто. А значит, −3 – это та же точка на линии, что и +3, но не вперёд, как должно быть, а назад». Заменив концепцию количества концепцией позиции, Уоллис показал, что отрицательные числа нельзя считать «ни бесполезными, ни абсурдными». Как оказалось, это было явное преуменьшение. Понадобилось несколько лет на то, чтобы идея Уоллиса получила широкое распространение, но теперь, по прошествии времени, очевидно, что цифровая ось – самая успешная разъяснительная схема всех времён. У неё множество разных областей применения, от графиков до термометров. Теперь, когда мы можем увидеть отрицательные числа на числовой оси, у нас больше нет концептуальных трудностей с тем, чтобы представить себе, что это такое.

    Любое отрицательное число больше или меньше нуля?

    По своему ОПРЕДЕЛЕНИЮ. Понимаешь, что такое «по определению»? Вот я говорю, знамя – это флаг. Это определение знамени, оно объясняет, что такое знамя. Теперь я спрашиваю, почему знамя – это флаг? Правильный ответ: По своему определению. Потому что знамя – это флаг. Так вот отрицательными числами называются числа, меньшие нуля. Поэтому они ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ меньше нуля, а поскольку нуль меньше всех положительных чисел, то они и меньше всех положительных чисел. Понятно? Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем нуль

    • Помогите: Биология 6 класс номер 69 (Сонина) 1)Дайте определения понятий Теплокровные животные это-. Холоднокровные животные это-. 2)Приведите примеры животных,которые относятся к этим группам Тепелокровные________? Холоднокровные_______?
    • Если на вертикально установленную пружину длиной 20 см положить груз, длина пружиныстанет равной 18 см. Какой минимальной величины будет длина пружины, если тот же грузуронить на нее с высоты 8 см. Ось пружины остается вертикальной.
    • Найдите в произведении Маяковского: «Необычное приключение, бывшее в Владимиром Маяковским летом на даче», неологизмы. Объясните как они помогают экономно создать картину необычайного приключения.
    • Квадрат разрезали на прямоугольники так что любая прямая,параллельная одной из сторон квадрата и не содержащая сторон прямоугольников,пересекает ровно 40 прямоугольников.На какое наименьшее число прямоугольников мог быть разрезан квадрат? Варианты ответа: А.80 Б.156 В.160 Г.1600 Д.3200

    В рамках натуральных чисел можно вычесть только меньшее число из большего, а переместительный закон не включает вычитание – например, выражение 3 + 4 − 5 <displaystyle 3+4-5>допустимо, а выражение с переставленными операндами 3 − 5 + 4 <displaystyle 3-5+4>недопустимо.

    Добавление к натуральным числам отрицательных чисел и нуля делает возможной операцию вычитания для любых пар натуральных чисел. В результате такого расширения получается множество (кольцо) «целых чисел ». При дальнейших расширениях множества чисел рациональными или вещественными числами для них тем же путём получаются соответствующие отрицательные значения. Для комплексных чисел упорядоченность не определена, и понятия «отрицательное число» не существует.

    Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем ноль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля . Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка , позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

    Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n , которое дополняет n до нуля:

    Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

    Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

    Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

    Например, −10 градусов холода:

    Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

    При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

    Координатная прямая

    Координатная прямая это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

    Здесь показаны только числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

    Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

    Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞ , а положительное символом +∞ . Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

    Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

    Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2« и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

    Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.

    Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4« и будет обозначаться на координатной прямой так:

    Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B .

    Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

    Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

    Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

    Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

    Существуют такие словосочетания как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше» . Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

    Сравнение отрицательных и положительных чисел

    Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

    Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше, чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

    Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

    Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

    «Минус пять меньше, чем три»

    Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

    Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше, чем минус единица.

    Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

    Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

    Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

    Например, сравним 0 и −3. Ноль больше, чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

    Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше» . И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

    Ноль больше, чем минус три

    Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

    Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше, чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

    Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

    В статье ниже озвучим принцип сравнения отрицательных чисел: сформулируем правило и применим его в решении практических задач.

    Правило сравнения отрицательных чисел

    В основе правила – сравнение модулей исходных данных. По сути, сравнить два отрицательных числа – значит сравнить положительные числа, равные модулям сравниваемых отрицательных чисел.

    При сравнении двух отрицательных чисел меньшим является то число, модуль которого больше; бОльшим является то число, модуль которого меньше. Заданные отрицательные числа являются равными, если их модули равны.

    Сформулированное правило применимо как к отрицательным целым числам, так и к рациональным и действительным.

    Геометрическое толкование подтверждает принцип, озвученный в указанном правиле: на координатной прямой отрицательное число, которое является меньшим, находится левее, чем большее отрицательное. Это утверждение, в общем, верно для любых чисел.

    Примеры сравнения отрицательных чисел

    Самым простым примером сравнения отрицательных чисел является сравнение целых чисел. С подобной задачи и начнем.

    Необходимо сравнить отрицательные числа – 65 и – 23 .

    Решение

    Согласно правилу, для осуществления действия сравнения отрицательных чисел сначала необходимо определить их модули. | – 65 | = 65 и | – 23 | = 23 . Теперь сравним положительные числа, равные модулям заданных: 65 > 23 . Применим вновь правило, гласящее, что больше то отрицательное число, модуль которого меньше. Таким образом, получим: – 65 – 23 .

    Ответ: – 65 – 23 .

    Чуть сложнее сравнивать отрицательные рациональные числа: действие в конечном счете приводит к сравнению обыкновенных или десятичных дробей.

    Необходимо определить, какое из заданных чисел больше: – 4 3 14 или – 4 , 7 .

    Решение

    Определим модули сравниваемых чисел. – 4 3 14 = 4 3 14 и | – 4 , 7 | = 4 , 7 . Теперь сравним полученные модули. Целые части дробей равны, так что приступим к сравнению дробных частей: 3 14 и 0 , 7 . Осуществим перевод десятичной дроби 0 , 7 в обыкновенную: 7 10 , найдем общие знаменатели сравниваемых дробей, получим: 15 70 и 49 70 . Тогда результатом сравнения станет: 15 70 49 70 или 3 14 0 , 7 . Таким образом, 4 3 14 4 , 7 . fff Применив правило сравнения отрицательных чисел, имеем: – 4 3 14 – 4 , 7

    Также можно было осуществить сравнение путем перевода обыкновенной дроби в десятичную. Разница – лишь в удобстве вычисления.

    Ответ: – 4 3 14 – 4 , 7

    Сравнение отрицательных действительных чисел производится согласно тому же правилу.

    Сложение и вычитание с минусами

    Добавление любого числа к его

    противоположный

    — также называемый аддитивным обратным — всегда дает нулевой результат. Например:

    —

    999

    +

    999

    знак равно

    0

    2,5

    +

    (

    —

    2,5

    )

    знак равно

    0

    1

    +

    (

    —

    1

    )

    знак равно

    0

    Как только вы это узнаете, есть несколько способов подумать о сложении.

    Метод алгебраической плитки

    Пусть желтые плитки представляют положительные числа, а красные плитки — отрицательные числа.


    Пример 1:

    Проблема сложения

    5

    +

    (

    —

    2

    )

    можно представить как

    Сгруппируйте две отрицательные плитки с двумя положительными.

    С

    2

    +

    (

    —

    2

    )

    знак равно

    0

    , эти плитки исчезнут.Мы остались с

    3

    позитивная плитка.

    Так

    5

    +

    (

    —

    2

    )

    знак равно

    3

    .


    Когда оба числа отрицательны

    , у нас только отрицательные плитки, поэтому ответ тоже отрицательный.


    Пример 2:

    Проблема сложения

    —

    3

    +

    (

    —

    4

    )

    можно представить как

    Результат просто

    7

    негативы плитки.

    Так

    —

    3

    +

    (

    —

    4

    )

    знак равно

    —

    7

    .

    Метод числовой линии

    Когда ты

    добавить положительный

    номер, вы переходите к

    Правильно

    в числовой строке.

    Когда ты

    добавить отрицательный

    номер, вы переходите к

    левый

    в числовой строке.


    Пример 3:

    Добавлять

    6

    +

    (

    —

    8

    )

    используя числовую строку.

    Начать с

    6

    , и двигаться

    8

    единиц слева.

    6

    +

    (

    —

    8

    )

    знак равно

    —

    2

    Вычитание числа равносильно сложению противоположного числа.

    Так,

    вычитание положительного

    число похоже на добавление минуса; вы переходите к

    левый

    в числовой строке.


    Вычитание отрицательного

    число похоже на добавление плюса; вы переходите к

    Правильно

    в числовой строке.


    Пример 4:

    Вычесть

    —

    4

    —

    (

    —

    7

    )

    .

    Начать с

    —

    4

    , и двигаться

    7

    единиц вправо.

    —

    4

    —

    (

    —

    7

    )

    знак равно

    3

    .

    Калькулятор сложения и вычитания целых чисел

    Использование калькулятора

    Используйте этот калькулятор для сложения и вычитания целых чисел.Положительные и отрицательные целые числа являются целыми числами. Калькулятор показывает работу по математике и показывает, когда менять знак для вычитания отрицательных чисел.

    Сложить и вычесть положительные и отрицательные целые, целые или десятичные числа. Используйте цифры + и -. Вы также можете включать числа со сложением и вычитанием в скобках, и калькулятор решит уравнение.

    Примеры ввода

    Без скобок

    -10 — -22 + 33

    45

    В скобках

    (-10) — (-22) + 33

    45

    Уравнение

    -10 — (-22 + 33)

    -21

    Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

    Этот калькулятор для сложения и вычитания целых чисел решает уравнения с положительными и отрицательными числами, используя сложение и вычитание.Калькулятор использует стандартные математические правила для решения уравнений.

    Для более сложных математических уравнений, требующих правил порядка операций или PEMDAS, используйте
    Решатель математических уравнений.

    Правила сложения целых чисел

    Если знаки одинаковые, оставьте знаки и сложите числа.

    -21 + -9 = — 30

    (+7) + (+13) = (+20)

    Если знаки разные, вычтите меньшее число из большего числа и сохраните знак большего числа.

    (-13) + (+5) = (-8)

    (-7) + (+9) = (+2)

    Правила вычитания целых чисел

    Сохраните знак первого числа. Измените операции вычитания на операции сложения. Измените знак следующих чисел на противоположный, т. Е. Положительное становится отрицательным, а отрицательное — положительным.Затем следуйте правилам сложения задач.

    (-15) — (-7) =

    (-5) — (+6) =

    (+4) — (-3) =

    (-15) + (+7) = (-8)

    (-5) + (-6) = (-11)

    (+4) + (+3) = (+7)

    Минус Правило отрицательного числа

    Результаты листинга Минус Правило отрицательного числа

    Объяснение вычитания отрицательных чисел моей жене —

    8 часов назад Davidwees.com Просмотреть все