Система счисления 16 ричная таблица: Что можно приготовить из кальмаров: быстро и вкусно

Содержание

Что можно приготовить из кальмаров: быстро и вкусно

Для представления чисел в микропроцессоре используется двоичная система счисления
.
При этом любой цифровой сигнал может иметь два устойчивых состояния: «высокий уровень» и «низкий уровень». В двоичной системе счисления для изображения любого числа используются две цифры, соответственно: 0 и 1. Произвольное число x=a n a n-1 ..a 1 a 0 ,a -1 a -2 …a -m
запишется в двоичной системе счисления как

x = a n ·2 n +a n-1 ·2 n-1 +…+a 1 ·2 1 +a 0 ·2 0 +a -1 ·2 -1 +a -2 ·2 -2 +…+a -m ·2 -m

где a i
— двоичные цифры (0 или 1).

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 7. 8 единиц младшего разряда объединяются в единицу старшего.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 15 включительно. Для обозначения базисных цифр больше 9 одним символом кроме арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной системе счисления используются буквы латинского алфавита:

10 10 = A 16 12 10 = C 16 14 10 = E 16

11 10 = B 16 13 10 = D 16 15 10 = F 16 .

Например, число 175 10 в шестнадцатеричной системе счисления запишется как AF 16 . Действительно,

10·16 1 +15·16 0 =160+15=175

В таблице представлены числа от 0 до 16 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10

Двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатеричные преобразования

Двоичная система счисления удобна для выполнения арифметических действий аппаратными средствами микропроцессора, но неудобна для восприятия человеком, поскольку требует большого количества разрядов. Поэтому в вычислительной технике помимо двоичной системы счисления широкое применение нашли восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления для более компактного представления чисел.

Три разряда восьмеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации восьмеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (000) до 7(111). Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 3 разряда (триады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от него тоже можно добавить незначащие нули до заполнения всех триад. Затем каждая триада заменяется восьмеричной цифрой.

Пример:
Преобразовать число 1101110,01 2 в восьмеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в триады справа налево. Получаем

001 101 110,010 2 = 156,2 8 .

Чтобы перевести число из восьмеричной системы в двоичную, нужно каждую восьмеричную цифру записать ее двоичным кодом:

156,2 8 = 001 101 110,010 2 .

Четыре разряда шестнадцатеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации шестнадцатеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (0000) до F(1111). Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 4 разряда (тетрады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от нее тоже нужно добавить незначащие нули до заполнения всех тетрад. Затем каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой.

Пример:
Преобразовать число 1101110,11 2 в шестнадцатеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в тетрады справа налево. Получаем

0110 1110,1100 2 = 6E,C 16 .

Чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную, нужно каждую шестнадцатеричную цифру записать ее двоичным кодом.

Возникли какие-то трудности и недопонимания с преобразованием чисел из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления? Записывайтесь ко мне на индивидуальные уроки по информатике и ИКТ. На своих частных уроках мы с учениками разбираем не только теоретическую часть, но также решаем колоссальное количество различных тематических упражнений.

Нужно знать, что такое двоичная или бинарная система счисления

Прежде чем размышлять о том, как перевести число из 2 в 16, необходимо хорошо понимать, что собою представляют числа в двоичной системе счисления. Напомню, что алфавит бинарной системы счисления состоит из двух допустимых элементов – 0
и 1
. Это означает, что абсолютно любое число, записанное в двоичном виде, будет состоять из набора нулей и единиц. Вот примеры чисел, записанных в бинарном представлении: 10010, 100, 111101010110, 1000001.

Нужно знать, что такое шестнадцатеричная система счисления

С бинарной системой мы разобрались, вспомнили базовые моменты, сейчас поговорим о 16-ричной системе. Алфавит 16-ричной системы счисления состоит из шестнадцати различных знаков: 10 арабских цифр (от 0 до 9) и 6 первых заглавных латинских букв (от «А» до «F»). Это означает, что абсолютно любое число, записанное в шестнадцатеричном виде, будет состоять из знаков вышеприведенного алфавита. Вот примеры чисел, записанных в 16-ричном представлении:

Поговорим об алгоритме преобразования числа из 2-ной в 16-ричную систему счисления

Нам потребуется в обязательном порядке рассмотреть кодировочную таблицу Тетрад. Без применения данной таблицы будет довольно затруднительно оперативно осуществлять перевод чисел из 2 в 16 систему.

Назначение кодировочной таблицы Тетрад: однозначно сопоставить символы двоичной системы счисления и 16-ричной системы счисления.

Таблица Тетрад имеет следующую структуру:

Таблица Тетрад

0000 — 0

0001 — 1

0010 — 2

0011 — 3

0100 — 4

0101 — 5

0110 — 6

0111 — 7

1000 — 8

1001 — 9

1010 — A

1011 — B

1100 — C

1101 — D

1110 — E

1111 — F

Допустим нам требуется преобразовать число 101011111001010 2
в 16-ричную систему. В первую очередь необходимо исходный бинарный код разбить на группы по четыре разряда, причем, что очень важно, разбиение в обязательном порядке следует начинать справа налево.

101 . 0111 . 1100 . 1010

После разбиения мы получили четыре группы: 101, 0111, 1100 и 1010. Особого внимания требует самый левый сегмент, то есть сегмент 101. Как видно, его длина составляет 3 разряда, а необходимо, чтобы его длина равнялась четырем, следовательно, дополним данный сегмент ведущим незначащим нулем:

101 -> 0

101.

Вы скажите, а собственно на каком основании мы дописываем слева от числа какой-то 0? Все дело в том, что добавление незначащих нулей не оказывает никакого влияния на значение исходного числа. Следовательно, мы имеем полное право дописать слева от бинарного числа не только один ноль, а в принципе любое количество нулей и получить число нужной длины.

На заключительном этапе преобразования необходимо каждую из полученных бинарных групп перевести в соответствующее значение по кодировочной таблице Тетрад.

0101 -> 5

0111 -> 7

1100 -> C

1010 -> A

101011111001010 2 = 57СА 16

А сейчас я вам предлагаю ознакомиться с мультимединым решением, в котором показано как преобразуется из бинарного состояния в 16-ричное состояние:

Краткие выводы

В данной небольшой статье мы разобрали тему «Системы счисления: как перевести из 2 в 16
». Если у вас остались какие-либо вопросы, недопонимания, то звоните и записывайтесь на мои индивидуальные уроки по информатике и программированию. Я предложу вам решить не один десяток подобных упражнений и у вас не останется ни одного вопроса. Вообще, системы счисления – чрезвычайно важная тема, которая образует фундамент, используемый на протяжении всего курса .

Сдающим ЕГЭ и не только…

Странно, что в школах на уроках информатики обычно показывают ученикам самый сложный и неудобный способ перевода чисел из одной системы в другую. Это способ заключается в последовательном делении исходного числа на основание и сборе остатков от деления в обратном порядке.

Например, нужно перевести число 810 10 в двоичную систему:

Результат записываем в обратном порядке снизу вверх. Получается 81010 = 11001010102

Если нужно переводить в двоичную систему довольно большие числа, то лестница делений приобретает размер многоэтажного дома. И как тут собрать все единички с нулями и ни одной не пропустить?

В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1, В11. Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7.

Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией.

Таблица степеней числа 2:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Она легко получается умножением предыдущего числа на 2. Так, что если помните не все эти числа, остальные нетрудно получить в уме из тех, которые помните.

Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Недостающие значения тоже нетрудно вычислить, прибавляя по 1 к известным значениям.

Перевод целых чисел

Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 810 10 . Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.

  1. Ищем ближайшую к 810 степень двойки, не превосходящую его. Это 2 9 = 512.
  2. Вычитаем 512 из 810, получаем 298.
  3. Повторим шаги 1 и 2, пока не останется 1 или 0.
  4. У нас получилось так: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .

Далее есть два способа, можно использовать любой из них. Как легко увидеть, что в любой системе счисления её основание всегда 10. Квадрат основания всегда будет 100, куб 1000. То есть степень основания системы счисления — это 1 (единица), и за ней столько нулей, какова степень.

Способ 1
: Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа 810 10 = 1100101010 2
. Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля.

Способ 2
: Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.

810 =

А теперь сложим эти ступеньки вместе, как складывают веер: 1100101010
.

Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?».

Ответ — столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5.

Теперь пример попроще.

Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 — это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 5 2 . Это 2.

Получаем 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2
* 5 2 + 2
* 5 + 3 = 223 5
.

Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8-ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда.

Переведем в двоичную систему число 547 8 .

547 8 = 101

100

111

5

4

7

Ещё одно, например 7D6A 16 .

7D6A 16 = (0)111

1101

0110

1010

7

D

6

A

Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца:
736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16
.
Переведем в 8-ричную систему число C25 16 . Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца:
C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8
.
Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем.
E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688
.
732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474
.

Перевод отрицательных чисел

Здесь нужно учесть, что число будет представлено в дополнительном коде. Для перевода числа в дополнительный код нужно знать конечный размер числа, то есть во что мы хотим его вписать — в байт, в два байта, в четыре. Старший разряд числа означает знак. Если там 0, то число положительное, если 1, то отрицательное. Слева число дополняется знаковым разрядом. Беззнаковые (unsigned) числа мы не рассматриваем, они всегда положительные, а старший разряд в них используется как информационный.

Для перевода отрицательного числа в двоичный дополнительный код нужно перевести положительное число в двоичную систему, потом поменять нули на единицы и единицы на нули. Затем прибавить к результату 1.

Итак, переведем число -79 в двоичную систему. Число займёт у нас один байт.

Переводим 79 в двоичную систему, 79 = 1001111. Дополним слева нулями до размера байта, 8 разрядов, получаем 01001111. Меняем 1 на 0 и 0 на 1. Получаем 10110000. К результату прибавляем 1, получаем ответ 10110001
. Попутно отвечаем на вопрос ЕГЭ «сколько единиц в двоичном представлении числа -79?». Ответ — 4.

Прибавление 1 к инверсии числа позволяет устранить разницу между представлениями
+0 = 00000000 и -0 = 11111111. В дополнительном коде они будут записаны одинаково 00000000.

Перевод дробных чисел

Дробные числа переводятся способом, обратным делению целых чисел на основание, который мы рассмотрели в самом начале. То есть при помощи последовательного умножения на новое основание с собиранием целых частей. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1, то целая и дробная части переводятся отдельно, потом склеиваются.

Переведем число 0,6752 в двоичную систему.

0

,6752
*2
1

,3504
*2
0

,7008
*2
1

,4016
*2
0

,8032
*2
1

,6064
*2
1

,2128

Процесс можно продолжать долго, пока не получим все нули в дробной части или будет достигнута требуемая точность. Остановимся пока на 6-м знаке.

Получается 0,6752 = 0,101011
.

Если число было 5,6752, то в двоичном виде оно будет 101,101011
.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 4. Степени числа 2

Пример.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

Пример.
Число перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

Пример.
Число перевести в десятичную систему счисления.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример.
Число перевести в двоичную систему счисления.

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример.
Число перевести в восьмеричную систему счисления.

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример.
Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Результат уже получен!

Системы счисления

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

Ц n ·s
n +Ц n-1 ·s
n-1 +…+Ц 1 ·s
1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +…+Д -k ·s -k

где Ц n -целое число в позиции n
, Д -k — дробное число в позиции (-k), s
— система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления — из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Таблица 1
Система счисления
10 2 8 16
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример
1.
Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1
·2 6 +0
·2 5 +1
·2 4 +1
·2 3 +1
·2 2 +0
·2 1 +1
·2 0 +0
·2 -1 +0
·2 -2 +1
·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример
2.
Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример
3
. Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A
-заменен на 10, B
— на 11, C
— на 12, F
— на 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления — последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС — на 2, для 8-ичной СС — на 8, для 16-ичной — на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример
4
. Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

159 2
158 79 2
1 78 39 2
1 38 19 2
1 18 9 2
1 8 4 2
1 4 2 2
0 2 1
0

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111
. Следовательно можно записать:

159 10 =10011111 2 .

Пример
5
. Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

615 8
608 76 8
7 72 9 8
4 8 1
1

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147
(см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

615 10 =1147 8 .

Пример
6
. Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

19673 16
19664 1229 16
9 1216 76 16
13 64 4
12

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 — D. Следовательно наше шестнадцатеричное число — это 4CD9.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример
7
. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.214
x 2
0 0.428
x 2
0 0.856
x 2
1 0.712
x 2
1 0.424
x 2
0 0.848
x 2
1 0.696
x 2
1 0.392

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011
.

Следовательно можно записать:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Пример
8
. Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.125
x 2
0 0.25
x 2
0 0.5
x 2
1 0.0

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

0.125 10 =0.001 2 .

Пример
9
. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

0.214
x 16
3 0.424
x 16
6 0.784
x 16
12 0.544
x 16
8 0.704
x 16
11 0.264
x 16
4 0.224

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

0.214 10 =0.36C8B4 16 .

Пример
10
. Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

0.512
x 8
4 0.096
x 8
0 0.768
x 8
6 0.144
x 8
1 0.152
x 8
1 0.216
x 8
1 0.728

Получили:

0.512 10 =0.406111 8 .

Пример
11
. Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Пример
12
. Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим.

Перевод из 16 в буквы. Шестнадцатеричный код

Возникли какие-то трудности и недопонимания с преобразованием чисел из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления? Записывайтесь ко мне на индивидуальные уроки по информатике и ИКТ. На своих частных уроках мы с учениками разбираем не только теоретическую часть, но также решаем колоссальное количество различных тематических упражнений.

Нужно знать, что такое двоичная или бинарная система счисления

Прежде чем размышлять о том, как перевести число из 2 в 16, необходимо хорошо понимать, что собою представляют числа в двоичной системе счисления. Напомню, что алфавит бинарной системы счисления состоит из двух допустимых элементов – 0
и 1
. Это означает, что абсолютно любое число, записанное в двоичном виде, будет состоять из набора нулей и единиц. Вот примеры чисел, записанных в бинарном представлении: 10010, 100, 111101010110, 1000001.

Нужно знать, что такое шестнадцатеричная система счисления

С бинарной системой мы разобрались, вспомнили базовые моменты, сейчас поговорим о 16-ричной системе. Алфавит 16-ричной системы счисления состоит из шестнадцати различных знаков: 10 арабских цифр (от 0 до 9) и 6 первых заглавных латинских букв (от «А» до «F»). Это означает, что абсолютно любое число, записанное в шестнадцатеричном виде, будет состоять из знаков вышеприведенного алфавита. Вот примеры чисел, записанных в 16-ричном представлении:

Поговорим об алгоритме преобразования числа из 2-ной в 16-ричную систему счисления

Нам потребуется в обязательном порядке рассмотреть кодировочную таблицу Тетрад. Без применения данной таблицы будет довольно затруднительно оперативно осуществлять перевод чисел из 2 в 16 систему.

Назначение кодировочной таблицы Тетрад: однозначно сопоставить символы двоичной системы счисления и 16-ричной системы счисления.

Таблица Тетрад имеет следующую структуру:

Таблица Тетрад

0000 — 0

0001 — 1

0010 — 2

0011 — 3

0100 — 4

0101 — 5

0110 — 6

0111 — 7

1000 — 8

1001 — 9

1010 — A

1011 — B

1100 — C

1101 — D

1110 — E

1111 — F

Допустим нам требуется преобразовать число 101011111001010 2
в 16-ричную систему. В первую очередь необходимо исходный бинарный код разбить на группы по четыре разряда, причем, что очень важно, разбиение в обязательном порядке следует начинать справа налево.

101 . 0111 . 1100 . 1010

После разбиения мы получили четыре группы: 101, 0111, 1100 и 1010. Особого внимания требует самый левый сегмент, то есть сегмент 101. Как видно, его длина составляет 3 разряда, а необходимо, чтобы его длина равнялась четырем, следовательно, дополним данный сегмент ведущим незначащим нулем:

101 -> 0

101.

Вы скажите, а собственно на каком основании мы дописываем слева от числа какой-то 0? Все дело в том, что добавление незначащих нулей не оказывает никакого влияния на значение исходного числа. Следовательно, мы имеем полное право дописать слева от бинарного числа не только один ноль, а в принципе любое количество нулей и получить число нужной длины.

На заключительном этапе преобразования необходимо каждую из полученных бинарных групп перевести в соответствующее значение по кодировочной таблице Тетрад.

0101 -> 5

0111 -> 7

1100 -> C

1010 -> A

101011111001010 2 = 57СА 16

А сейчас я вам предлагаю ознакомиться с мультимединым решением, в котором показано как преобразуется из бинарного состояния в 16-ричное состояние:

Краткие выводы

В данной небольшой статье мы разобрали тему «Системы счисления: как перевести из 2 в 16
». Если у вас остались какие-либо вопросы, недопонимания, то звоните и записывайтесь на мои индивидуальные уроки по информатике и программированию. Я предложу вам решить не один десяток подобных упражнений и у вас не останется ни одного вопроса. Вообще, системы счисления – чрезвычайно важная тема, которая образует фундамент, используемый на протяжении всего курса .

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):

0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 10 3
4 100 11 4
5 101 12 10
6 110 20 11
7 111 21 12
8 1000 22 13
9 1001 100 14
10 1010 101 20
11 1011 102 21
12 1100 110 22
13 1101 111 23
14 1110 112 24
15 1111 120 30

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):

0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10
11
12 10
13 11
14 12
15 13

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1.
Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2.
Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3.
Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:

Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.

Пример 4.
Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

Пример 5.
Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.

0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7

Т.е.

Пример 6.
Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.

0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7
1000 8
1001 9
1010 A
1011 B
1100 C
1101 D
1110 E
1111 F

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7.
Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:

Шестнадцатеричная система счисления
(также — шестнадцатеричный код) является позиционной системой счисления с целочисленным основанием 16. Иногда в литературе также используется термин hex (произносится «хекс», сокращение от англ. hexadecimal). Цифрами данной системы счисления принято использовать арабские цифры 0—9, а также первые символы латинского алфавита A—F. Буквы соответствуют следующим десятичным значениями:

  • * A —10;
  • * B —11;
  • * C —12;
  • * D —13;
  • * E — 14;
  • * F — 15.

Таким образом, десять арабских цифр вкупе с шестью латинскими буквами и составляют шестнадцать цифр системы.

Кстати, на нашем сайте вы можете перевести любой текст в десятичный, шестнадцатеричный, двоичный код воспользовавшись Калькулятором кодов онлайн .

Применение
. Шестнадцатеричный код
широко применяется в низкоуровневом программировании, а также в различных компьютерных справочных документах. Популярность системы обоснована архитектурными решениями современных компьютеров: в них в качестве минимальной единицы информации установлен байт (состоящий из восьми бит) — а значение байта удобно записывать с помощью двух шестнадцатеричных цифр. Значение байта может ранжироваться с #00 до #FF (от 0 до 255 в десятичной записи) — другими словами, используя шестнадцатеричный код
, можно записать любое состояние байта, при этом не остаётся «лишних» не используемых в записи цифр.

В кодировке Юникод
для записи номера символа используется четыре шестнадцатеричных цифры. Запись цвета стандарта RGB (Red, Green, Blue — красный, зелёный, синий) также часто использует шестнадцатеричный код (например, #FF0000 — запись ярко-красного цвета).

Способ записи шестнадцатеричного кода.

Математический способ записи
. В математической записи основание системы записывают в десятичном виде в нижнем индексе справа от числа. Десятичную запись числа 3032 можно записать как 3032 10 , в шестнадцатеричной системе данное число будет иметь запись BD8 16 .

В синтаксисе языков программирования
. Синтаксис различных языков программирования по-разному устанавливает формат записи числа, использующего шестнадцатеричный код
:

* В синтаксисе некоторых разновидностей языка ассемблера используется латинская буква «h», которая ставится справа от числа, например: 20Dh. Если число начинается с латинской буквы, то перед ним ставится ноль, например: 0A0Bh. Это сделано для того, чтобы отличать от констант значения, использующие шестнадцатеричный код
;

* В прочих разновидностях ассемблера, а также в Pascal (и его разновидностях, таких как Delphi) и некоторых диалектах Basic, применяют префикс «$»: $A15;

* В языке разметки HTML, а также в каскадных файлах CSS, для указания цвета в формате RGB с шестнадцатеричной системой записи, используется префикс «#»: #00DC00.

Как перевести шестнадцатеричный код в другую систему?

Перевод из шестнадцатеричной системы в десятичную.
Для совершения операции перевода из шестнадцатеричной системы в десятичную, требуется представить исходное число как сумму произведений цифр в разрядах шестнадцатеричного числа на степень основания.

Двоичная СС

шестнадцатеричная СС

Например, требуется выполнить перевод шестнадцатеричного числа A14: в нём три цифры. Используя правило, запишем его в виде суммы степеней с основанием 16:

A14 16 = 10.16 2 + 1.16 1 + 4.16 0 = 10.256 + 1.16 + 4.1 = 2560 + 16 + 4 = 2580 10

Перевод чисел из двоичной в шестнадцатеричную систему и наоборот.

Для перевода используется таблица тетрад. Чтобы выполнить перевод числа из двоичной в десятичную систему, необходимо произвести разбиение его на отдельные тетрады справа налево, после чего, используя таблицу, выполнить замену каждой тетрады на соответствующую шестнадцатеричную цифру. При этом, если количество цифр не кратно четырём, то необходимо добавить соответствующее количество нулей справа от числа, для того, чтобы общее число двоичных цифр стало кратно четырём.

Таблица тетрад для перевода.

Для перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную, необходимо выполнить обратную операцию: выполнить замену каждой цифры на тетраду из таблицы.

Двоичная СС

Восьмеричная СС

Пример перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную
: A5E 16 = 1010 0101 1110 = 101001011110 2

Пример перевода из двоичной системы в шестнадцатеричную
: 111100111 2 = 0001 1110 0111 = 1E7 16

В этом примере количество цифр в исходном двоичном числе не было равным четырём (9), поэтому были добавлены незначащие нули — общее число цифр стало 12.

Автоматический перевод
. Быстрый перевод из шестнадцатеричной системы счисления в одну из трёх популярных систем (двоичную, восьмеричную и десятичную), как и обратный перевод, можно выполнить, используя стандартный калькулятор из комплекта поставки ОС Windows. Откройте калькулятор, выберите в меню Вид -> Программист. В данном режиме можно устанавливать систему счисления, используемую в данный момент (см. меню слева: Hex, Dec, Oct, Bin). При этом изменение текущей системы счисления автоматически производит перевод.

Сдающим ЕГЭ и не только…

Странно, что в школах на уроках информатики обычно показывают ученикам самый сложный и неудобный способ перевода чисел из одной системы в другую. Это способ заключается в последовательном делении исходного числа на основание и сборе остатков от деления в обратном порядке.

Например, нужно перевести число 810 10 в двоичную систему:

Результат записываем в обратном порядке снизу вверх. Получается 81010 = 11001010102

Если нужно переводить в двоичную систему довольно большие числа, то лестница делений приобретает размер многоэтажного дома. И как тут собрать все единички с нулями и ни одной не пропустить?

В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1, В11. Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7.

Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией.

Таблица степеней числа 2:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Она легко получается умножением предыдущего числа на 2. Так, что если помните не все эти числа, остальные нетрудно получить в уме из тех, которые помните.

Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Недостающие значения тоже нетрудно вычислить, прибавляя по 1 к известным значениям.

Перевод целых чисел

Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 810 10 . Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.

  1. Ищем ближайшую к 810 степень двойки, не превосходящую его. Это 2 9 = 512.
  2. Вычитаем 512 из 810, получаем 298.
  3. Повторим шаги 1 и 2, пока не останется 1 или 0.
  4. У нас получилось так: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .

Далее есть два способа, можно использовать любой из них. Как легко увидеть, что в любой системе счисления её основание всегда 10. Квадрат основания всегда будет 100, куб 1000. То есть степень основания системы счисления — это 1 (единица), и за ней столько нулей, какова степень.

Способ 1
: Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа 810 10 = 1100101010 2
. Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля.

Способ 2
: Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.

810 =

А теперь сложим эти ступеньки вместе, как складывают веер: 1100101010
.

Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?».

Ответ — столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5.

Теперь пример попроще.

Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 — это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 5 2 . Это 2.

Получаем 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2
* 5 2 + 2
* 5 + 3 = 223 5
.

Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8-ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда.

Переведем в двоичную систему число 547 8 .

547 8 = 101

100

111

5

4

7

Ещё одно, например 7D6A 16 .

7D6A 16 = (0)111

1101

0110

1010

7

D

6

A

Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца:
736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16
.
Переведем в 8-ричную систему число C25 16 . Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца:
C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8
.
Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем.
E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688
.
732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474
.

Перевод отрицательных чисел

Здесь нужно учесть, что число будет представлено в дополнительном коде. Для перевода числа в дополнительный код нужно знать конечный размер числа, то есть во что мы хотим его вписать — в байт, в два байта, в четыре. Старший разряд числа означает знак. Если там 0, то число положительное, если 1, то отрицательное. Слева число дополняется знаковым разрядом. Беззнаковые (unsigned) числа мы не рассматриваем, они всегда положительные, а старший разряд в них используется как информационный.

Для перевода отрицательного числа в двоичный дополнительный код нужно перевести положительное число в двоичную систему, потом поменять нули на единицы и единицы на нули. Затем прибавить к результату 1.

Итак, переведем число -79 в двоичную систему. Число займёт у нас один байт.

Переводим 79 в двоичную систему, 79 = 1001111. Дополним слева нулями до размера байта, 8 разрядов, получаем 01001111. Меняем 1 на 0 и 0 на 1. Получаем 10110000. К результату прибавляем 1, получаем ответ 10110001
. Попутно отвечаем на вопрос ЕГЭ «сколько единиц в двоичном представлении числа -79?». Ответ — 4.

Прибавление 1 к инверсии числа позволяет устранить разницу между представлениями
+0 = 00000000 и -0 = 11111111. В дополнительном коде они будут записаны одинаково 00000000.

Перевод дробных чисел

Дробные числа переводятся способом, обратным делению целых чисел на основание, который мы рассмотрели в самом начале. То есть при помощи последовательного умножения на новое основание с собиранием целых частей. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1, то целая и дробная части переводятся отдельно, потом склеиваются.

Переведем число 0,6752 в двоичную систему.

0

,6752
*2
1

,3504
*2
0

,7008
*2
1

,4016
*2
0

,8032
*2
1

,6064
*2
1

,2128

Процесс можно продолжать долго, пока не получим все нули в дробной части или будет достигнута требуемая точность. Остановимся пока на 6-м знаке.

Получается 0,6752 = 0,101011
.

Если число было 5,6752, то в двоичном виде оно будет 101,101011
.

как перевести из 2 в 16

Возникли какие-то трудности и недопонимания с преобразованием чисел из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления? Записывайтесь ко мне на индивидуальные уроки по информатике и ИКТ. На своих частных уроках мы с учениками разбираем не только теоретическую часть, но также решаем колоссальное количество различных тематических упражнений.

Нужно знать, что такое двоичная или бинарная система счисления

Прежде чем размышлять о том, как перевести число из 2 в 16, необходимо хорошо понимать, что собою представляют числа в двоичной системе счисления. Напомню, что алфавит бинарной системы счисления состоит из двух допустимых элементов – 0 и 1. Это означает, что абсолютно любое число, записанное в двоичном виде, будет состоять из набора нулей и единиц. Вот примеры чисел, записанных в бинарном представлении: 10010, 100, 111101010110, 1000001.

Нужно знать, что такое шестнадцатеричная система счисления

С бинарной системой мы разобрались, вспомнили базовые моменты, сейчас поговорим о 16-ричной системе. Алфавит 16-ричной системы счисления состоит из шестнадцати различных знаков: 10 арабских цифр (от 0 до 9) и 6 первых заглавных латинских букв (от ‘А’ до ‘F’). Это означает, что абсолютно любое число, записанное в шестнадцатеричном виде, будет состоять из знаков вышеприведенного алфавита. Вот примеры чисел, записанных в 16-ричном представлении:

Поговорим об алгоритме преобразования числа из 2-ной в 16-ричную систему счисления

Нам потребуется в обязательном порядке рассмотреть кодировочную таблицу Тетрад. Без применения данной таблицы будет довольно затруднительно оперативно осуществлять перевод чисел из 2 в 16 систему.

Назначение кодировочной таблицы Тетрад: однозначно сопоставить символы двоичной системы счисления и 16-ричной системы счисления.

Таблица Тетрад имеет следующую структуру:

Таблица Тетрад

0000 — 0

0001 — 1

0010 — 2

0011 — 3

0100 — 4

0101 — 5

0110 — 6

0111 — 7

1000 — 8

1001 — 9

1010 — A

1011 — B

1100 — C

1101 — D

1110 — E

1111 — F

Допустим нам требуется преобразовать число 1010111110010102 в 16-ричную систему. В первую очередь необходимо исходный бинарный код разбить на группы по четыре разряда, причем, что очень важно, разбиение в обязательном порядке следует начинать справа налево.

101 . 0111 . 1100 . 1010

После разбиения мы получили четыре группы: 101, 0111, 1100 и 1010. Особого внимания требует самый левый сегмент, то есть сегмент 101. Как видно, его длина составляет 3 разряда, а необходимо, чтобы его длина равнялась четырем, следовательно, дополним данный сегмент ведущим незначащим нулем:

101 -> 0101.

Вы скажите, а собственно на каком основании мы дописываем слева от числа какой-то 0? Все дело в том, что добавление незначащих нулей не оказывает никакого влияния на значение исходного числа. Следовательно, мы имеем полное право дописать слева от бинарного числа не только один ноль, а в принципе любое количество нулей и получить число нужной длины.

На заключительном этапе преобразования необходимо каждую из полученных бинарных групп перевести в соответствующее значение по кодировочной таблице Тетрад.

0101 -> 5 0111 -> 7 1100 -> C 1010 -> A

1010111110010102 = 57СА16

А сейчас я вам предлагаю ознакомиться с мультимединым решением, в котором показано как неравномерный код преобразуется из бинарного состояния в 16-ричное состояние:

Краткие выводы

В данной небольшой статье мы разобрали тему «Системы счисления: как перевести из 2 в 16». Если у вас остались какие-либо вопросы, недопонимания, то звоните и записывайтесь на мои индивидуальные уроки по информатике и программированию. Я предложу вам решить не один десяток подобных упражнений и у вас не останется ни одного вопроса. Вообще, системы счисления – чрезвычайно важная тема, которая образует фундамент, используемый на протяжении всего курса информатики.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Дается подробное решение с пояснениями. Для перевода введите исходное число, задайте основание сисемы счисления исходного числа, задайте основание системы счисления, в которую нужно перевести число и нажмите на кнопку «Перевести». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

 Результат уже получен!

Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

число 6 3 7 2
позиция 3 2 1 0

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·103+3·102+7·101+2·100.

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

число 1 2 8 7 . 9 2 3
позиция 3 2 1 0   -1 -2 -3

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·103 +2·102 +8·101+7·100+9·10-1+2·10-2+3·10-3.

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

Цn·snn-1·sn-1+…+Ц1·s10·s0-1·s-1-2·s-2+…+Д-k·s-k

(1)

где Цn-целое число в позиции n, Д-k— дробное число в позиции (-k), s — система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления — из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.

В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Таблица 1
Система счисления
10 2 8 16
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1·26+0·25+1·24+1·23+1·22 +0·21+1·20+0·2-1+0·2-2+1·2-3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3. Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B — на 11, C— на 12, F — на 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления — последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС — на 2, для 8-ичной СС — на 8, для 16-ичной — на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4. Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

159 2            
158 79 2          
1 78 39 2        
  1 38 19 2      
    1 18 9 2    
      1 8 4 2  
        1 4 2 2
          0 2 1
            0  

Рис. 1

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111. Следовательно можно записать:

15910=100111112.

Пример 5. Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

615 8    
608 76 8  
7 72 9 8
  4 8 1
    1  

Рис. 2

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147(см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

61510=11478.

Пример 6. Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

19673 16    
19664 1229 16  
9 1216 76 16
  13 64 4
    12  

Рис. 3

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 — D. Следовательно наше шестнадцатеричное число — это 4CD9.

Далее рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в двоичную СС, в восьмеричную СС, в шестнадцатеричную СС и т.д.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

    0.214
  x 2
0   0.428
  x 2
0   0.856
  x 2
1   0.712
  x 2
1   0.424
  x 2
0   0.848
  x 2
1   0.696
  x 2
1   0.392

Рис. 4

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011.

Следовательно можно записать:

0.21410=0.00110112.

Пример 8. Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

    0.125
  x 2
0   0.25
  x 2
0   0.5
  x 2
1   0.0

Рис. 5

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

0.12510=0.0012.

Пример 9. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

    0.214
  x 16
3   0.424
  x 16
6   0.784
  x 16
12   0.544
  x 16
8   0.704
  x 16
11   0.264
  x 16
4   0.224

Рис. 6

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

0.21410=0.36C8B416.

Пример 10. Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

    0.512
  x 8
4   0.096
  x 8
0   0.768
  x 8
6   0.144
  x 8
1   0.152
  x 8
1   0.216
  x 8
1   0.728

Рис. 7

Получили:

0.51210=0.4061118.

Пример 11. Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

159.12510=10011111.0012.

Пример 12. Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим:

19673.21410=4CD9.36C8B416.

Шестнадцатеричная система счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую онлайн

Таблица
2.4.
16-ричная система кодирования

Десятичная система 16-ричная система Десятичная система 16-ричная система
0 0 (0000) 10 A (1010)
1 1(0001) 11 B (1011)
2 2 (0010) 12 C (1100)
3 3 (0011) 13 D (1101)
4 4 (0100) 14 E (1110)
5 5 (0101) 15 F (1111)
6 6 (0110) 16 10 (00010000)
7 7 (0111) 17 11 (00010001)
8 8 (1000) 18 12 (00010010)
9 9 (1001) 19 13 (00010011)

Для перевода 16-ричного числа в десятичное необходимо умножить значение
младшего (нулевого) разряда на единицу,
значение
следующего (первого) разряда на 16, второго разряда на 256 (16 2) и т.д., а затем сложить все произведения.
Например, возьмем число A17F
:

A17F=F*16 0 + 7*16 1 + 1*16 2 + A*16 3 = 15*1 + 7*16+1*256+10*4096=41343

Таблица
2.5.
8-ричная система кодирования

Десятичная система 8-ричная система Десятичная система 8-ричная система
0 0 (000) 10 12 (001010)
1 1(001) 11 13 (001011)
2 2 (010) 12 14 (001100)
3 3 (011) 13 15 (001101)
4 4 (100) 14 16 (001110)
5 5 (101) 15 17 (001111)
6 6 (110) 16 20 (010000)
7 7 (111) 17 21 (010001)
8 10 (001000) 18 22 (010010)
9 11 (001001) 19 23 (010011)

Но каждому специалисту по
цифровой аппаратуре (разработчику, оператору, ремонтнику, программисту и т.д.)
необходимо научиться так же свободно обращаться с 16-ричной и двоичной системами, как и с обычной десятичной,
чтобы никаких переводов из системы в систему не требовалось.

Значительно реже, чем 16-ричное, используется восьмеричное кодирование
, которое строится по
такому же
принципу, что и 16-ричное, но двоичные разряды разбиваются на группы по
три разряда. Каждая группа

(разряд кода) затем обозначается одним символом. Каждый разряд 8-ричного кода может принимать восемь
значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (табл. 2.5) .

Помимо рассмотренных кодов, существует также и так называемое двоично-десятичное представление
чисел.
Как и в 16-ричном коде, в двоично-десятичном коде каждому разряду кода соответствует четыре двоичных
разряда, однако каждая группа
из четырех двоичных разрядов может принимать не шестнадцать, а только
десять значений, кодируемых символами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. То есть одному десятичному
разряду соответствует четыре двоичных. В результате получается, что написание чисел в двоично-десятичном коде
ничем не отличается от написания в обычном десятичном коде (табл. 2.6) , но в реальности это всего лишь
специальный двоичный код, каждый разряд которого может принимать только два значения: 0 и 1.
Двоично-десятичный код иногда очень удобен для организации десятичных цифровых индикаторов и табло.

Таблица
2.6.
Двоично-десятичная система кодирования

Десятичная система Двоично-десятичная система Десятичная система Двоично-десятичная система
0 0 (0000) 10 10 (00010000)
1 1(0001) 11 11 (00010001)
2 2 (0010) 12 12 (00010010)
3 3 (0011) 13 13 (00010011)
4 4 (0100) 14 14 (00010100)
5 5 (0101) 15 15 (00010101)
6 6 (0110) 16 16 (00010110)
7 7 (0111) 17 17 (00010111)
8 8 (1000) 18 18 (00011000)
9 9 (1001) 19 19 (00011001)

В двоичном коде над числами можно проделывать любые арифметические операции
: сложение
, вычитание
, умножение
, деление
.

Рассмотрим, например, сложение
двух 4-разрядных двоичных чисел. Пусть надо сложить число 0111 (десятичное 7) и 1011
(десятичное 11). Сложение
этих чисел не сложнее, чем в десятичном представлении:

При сложении 0 и 0 получаем 0, при сложении 1 и 0 получаем 1, при сложении 1 и 1 получаем 0 и перенос в следующий
разряд 1. Результат — 10010 (десятичное 18). При сложении любых двух n-разрядных двоичных чисел может
получиться n-разрядное или (n+1)
-разрядное число.

Точно так же производится вычитание
. Пусть из числа 10010 (18) надо вычесть число 0111 (7).
Записываем числа с выравниванием по
младшему разряду и вычитаем точно так же, как в случае десятичной системы:

При вычитании 0 из 0 получаем 0, при вычитании 0 из 1 получаем 1, при вычитании 1 из 1 получаем 0, при вычитании
1 из 0 получаем 1 и заем 1 в следующем разряде. Результат — 1011 (десятичное 11).

При вычитании возможно получение отрицательных чисел, поэтому необходимо использовать двоичное представление

отрицательных чисел.

Для одновременного представления как двоичных положительных, так и двоичных отрицательных чисел чаще всего
используется так называемый дополнительный код
. Отрицательные числа в этом коде выражаются таким числом, которое,
будучи сложено с положительным числом такой же величины, даст в результате нуль. Для того чтобы получить отрицательное
число, надо поменять все биты такого же положительного числа на противоположные (0 на 1, 1 на 0) и прибавить к
результату 1. Например, запишем число –5. Число 5 в двоичном коде выглядит 0101. Заменяем биты на противоположные:
1010 и прибавляем единицу: 1011. Суммируем результат с исходным числом: 1011 + 0101 = 0000 (перенос в пятый разряд
игнорируем).

по
модулю 2 два двоичных числа 0111 и 1011:

Среди других побитовых операций над двоичными числами можно отметить функцию И и функцию ИЛИ. Функция

И дает в результате единицу только тогда, когда в соответствующих битах двух исходных чисел обе единицы,
в противном случае результат -0. Функция
ИЛИ дает в результате единицу тогда, когда хотя бы один из
соответствующих битов исходных чисел равен 1, в противном случае результат 0.

Привычная для человека система счисления – десятичная. В ее основу входят десять цифр от 0 до 9. Шестнадцатеричную систему отличает наличие в ней первых шести букв латинского алфавита для записи чисел помимо основных цифр. То есть после цифры 9 следует символ «A», который соответствует числу 10 для десятичной системы. Соответственно, F в шестнадцатеричной системе – это 16 в десятичной. Использование шестнадцати символов в системе – неслучайный выбор.

Единица информации – бит. Восемь бит образуют байт. Существует понятие, как машинное слово – это единица данных, представляющая собой два , то есть шестнадцать бит. Таким образом, используя шестнадцать различных символов, можно описывать любую информацию, которая при обмене данных будет наименьшей частицей. С ними можно производить любые арифметические действия, результат, соответственно, получится тоже в шестнадцатеричной системе.

Для того чтобы отличать, что число записано в шестнадцатеричной системе, после него записывают букву «h» или нижний индекс «16».

Применение

Наиболее широкое применение шестнадцатеричной системы счисления – это коды ошибок программных продуктов, например, операционной системы. Числа, заложенные в этих кодах, стандартизированы. Имея специальную таблицу, всегда можно определить, что именно означает та или иная ошибка.

В языках низкого уровня, максимально приближенным к машинным кодам шестнадцатеричная система применяется для написания программ. Многие программисты используют ее и при работе с языками высокого уровня, потому что числа в этой системе при помощи специальной таблицы соответствия легко переводятся в двоичную систему, на которой основана работа всей цифровой техники. Любая информация в компьютере, будь то музыкальный файл или текстовый документ, после трансляции представлена последовательностью исходного двоичного кода, а его удобнее просматривать представленным символами шестнадцатеричной системы.

Также одно из применений шестнадцатеричных символов – описание цветовых схем, то есть три компонента R, G, B описываются соответствующим данной системе способом. Данный подход к записи получил название шестнадцатеричный цвет

Возможность просмотреть программу в шестнадцатеричном коде позволяет отладить ее, внести изменения, а злоумышленниками данный подход используется для взлома программ.

Теперь предстоит совсем легкая прогулка, связанная с шестнадцатеричной системой счисления. В этом случае, надеемся, вы подозреваете и, видимо, справедливо, что у нас должно теперь быть 16 различных цифр.

Но, как мы знаем, традиционных («арабских») цифр всего десять. А требуется шестнадцать. Получается, что не хватает шести знаков.

Замечание

Таким образом, возникает чисто дизайнерская задача по теме «Знаки» — придумать недостающие символы для цифр
.

Значит, в свое время специалистам необходимо было придумать какие-нибудь новые знаки. Но когда-то, в начале компьютерной эры, особого выбора в знаках не было. Программисты располагали только знаками цифр и букв. Поэтому они пошли по элементарному пути: взяли первые буквы латинского алфавита в качестве цифр, тем более что исторически это не первый случай (мы уже упоминали, что первоначально вместо цифр многие народы использовали буквы).

Замечание

Надеемся, что всем понятно, почему в этом случае нельзя использовать, например, числа «10», «11», «12» и т. д.? Потому что, если мы говорим о шестнадцатеричной системе счисления, то должно быть шестнадцать цифр
, а не чисел
.

И десятичное число «10» стали обозначать латинской буквой «А» (точнее, «цифрой А»). Соответственно, дальше идут цифры «В», «С», «D», «Е» и «Р.

Поскольку мы намеревались построить шестнадцатеричную систему, то, начиная с нуля, здесь как раз и получится 16 цифр. Например, цифра «D» — это десятичное число «13», а цифра «F» — это десятичное число «15».

Когда к шестнадцатеричному числу «F» прибавляем единицу, то, поскольку эти цифры у нас кончились, в этом разряде ставим «О», а в следующий разряд переносим единицу, поэтому получается, что десятичное число «16» будет представлено в шестнадцатеричной системе счисления числом «10», т. е. получается «шестнадцатеричная десятка». Соединим десятичные и шестнадцатеричные числа в единую таблицу (табл. 4.5).

Таблица 4.5
. Соответствие десятичных и шестнадцатеричных чисел.

Десятичное число Шестнадцатеричное число Десятичное число Шестнадцатеричное число
0-9
0-9 29
1D
10
А 30
11
В 31
1F
12
С 32-41
20-29
13
D 42-47
2A-2F
14
Е 48-255
30-FF
15
F 256
100
16
10 512
200
17-25
11-19 1024
400
26
1280
500
27
4096
1000
28
1C

Шестнадцатеричная система используется, чтобы более компактно записывать двоичную информацию. В самом деле, «шестнадцатеричная тысяча», состоящая из четырех разрядов, в двоичном виде занимает тринадцать разрядов (1000 16 = 1000000000000 2).

При обсуждении систем счисления неоднократно фигурировали «десятки», «сотни» и «тысячи», поэтому необходимо обратить внимание на так называемые «круглые» числа.

Шестнадцатеричная
система счисления имеет алфавит,
состоящий из 16 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, b, c, d, e, f.

При записи числа
в шестнадцатеричной системе для записи
цифр обозначающих числа 10, 11, 12. 13, 14. 15
используются соответственно буквы А,
В, С, D, E, F.

Перевод чисел
из шестнадцатеричной системы в десятичную

Перевести любое
шестнадцатеричное число в десятичное
можно по уже известной формуле

Примеры.

    АЕ07 16 =10∙16 3 +14∙16 2 +0∙16 1 +7∙16 0 =44551 10 .

    100 16 =1∙16 2 +0∙16 1 +0∙16 0 =256 10 .

    58 16 =5∙16 1 +8∙16 0 =.88 10 .

    2А 16 =2∙16 1 +10∙16 0 =42 10 .

Перевод числа из
десятичной системы в шестнадцатеричную
осуществляется также, как в двоичную.

Перевод чисел
из шестнадцатеричной системы в двоичную
и обратно

Перевести любое
шестнадцатеричное число в двоичное
можно следующим образом. Каждая цифра
шестнадцатеричной записи числа
записывается четырехзначным двоичным
числом — тетрадой
.
После этого нули, стоящие слева, можно
отбросить.

2) 2A= 0010 1010 2 = 101010 2 .

3) 58 16 = 0101 1000 2 = 1011000 2 .

И наоборот, перевести
любое двоичное число в шестнадцатеричное
можно аналогичным образом. Каждые четыре
двоичные цифры, считая справа налево,
записываются одной шестнадцатеричной
цифрой. Эти цифры располагаются также
справа налево.

Примеры.

2. 101010 2 = 10 1010 2 = 2A.

3. 1011000 2 = 101 1000 2 = 58 16 .

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная
система счисления имеет алфавит,
состоящий из 8 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Перевод числа из
десятичной системы в восьмеричную и
обратно осуществляется по аналогии с
переводом в двоичную / из двоичной.

Перевод чисел
из восьмеричной системы в двоичную и
обратно

Каждая цифра
восьмеричной записи числа записывается
трехзначным двоичным числом — триадой
.

Примеры.

2563 8 = 010 101 110 011 2 =10101110011 2 .

1001101 2 = 001 001 101 2 = 115 8 .

Методические материалы для лабораторного занятия №1

Тема лабораторного
занятия: Системы счисления. Измерение
информации.

Количество часов:
2.

Примеры с решениями

    Перевод из
    p

    -ичной
    системы в 10-ичную.

    Пусть надо перевести число в некоторой
    системе счисления в десятичную. Для
    этого надо представить его в виде

11100110 2 = 1∙2 7 + 1∙2 6 + 1∙2 5 + 0∙2 4 + 0∙2 3 + 1∙2 2 + 1∙2 1 + 0∙2 0 = 128 + 64 + 32 + 4 + 2 = 230 10 .

2401 5 = 2∙5 3 + 4∙5 2 + 0∙5 1 + 1∙5 0 = 250 + 100 + 0 + 1 = 351.

    Перевод из
    10-ичной системы в
    p

    -ичную.

2.1

98 10 → Х 2 .

Делим число на 2.
Затем делим неполное частное на 2.
Продолжаем до тех пор, пока неполное
частное не станет меньше 2, т.е. равным
1.

    98: 2 = 49.
    Остаток — 0
    .

    49: 2 = 24.
    Остаток — 1
    .

    24: 2 = 12.
    Остаток — 0
    .

    12: 2 = 6.
    Остаток — 0
    .

    6: 2 = 3.
    Остаток — 0
    .

    3: 2 = 1
    .
    Остаток — 1
    .

Так как последнее
неполное частное равно 1, процесс окончен.
Записываем все остатки снизу вверх,
начиная с последнего неполного частного,
и получаем число 1100010. Итак 98 10 = 1100010 2 .

2.2

2391 10 → Х 16 .

Делим число на 16.
Затем делим неполное частное на 16.
Продолжаем до тех пор, пока неполное
частное не станет меньше 16.

    2391: 16 = 149.
    Остаток — 7
    .

    149: 16 = 9
    .
    Остаток — 5
    .

Так как последнее
неполное частное (9) меньше 16, процесс
окончен. Записываем, начиная с последнего
неполного частного, все остатки снизу
вверх и получаем число 957. Итак
2391 10 = 957 16 .

2.3

12165 10 → Х 2 .

Если переводить
делением в двоичную систему, то получится
довольный громоздкий процесс. Можно
сначала перевести число в восьмеричную
систему, а затем заменять восьмеричные
цифры справа налево триадами.

12165 10 = 27605 8 = 010 111 110 000 101 = 10111110000101.

    Определение
    основания системы счисления
    p

    .

Один мальчик так
написал о себе: «Пальцев у меня 24, на
каждой руке по 5, а на ногах 12». Как такое
может быть?

Решение. Надо
определить основание системы счисления
p
.
Так как мы знаем, что пальцев на ногах
всего 10 10 ,
то 12 p
=1∙p
+2 = 10 10 .
Отсюда получаем уравнение p
+ 2 = 10  p
= 8.
Значит, мальчик имел в виду числа в
восьмеричной системе. Действительно,
всего пальцев 24 8 = 2∙8+4 = 20 10 ,
а на ногах — 12 8 = 1∙8+2 = 10 10 .

Возникла в древнем Вавилоне. В Индии система работает в виде позиционной десятичной нумерации с использованием нуля, у индусов данную систему чисел позаимствовала арабская нация, у них, в свою очередь, взяли европейцы. В Европе эту систему стали называть арабской.

Позиционная система
счисления
— значение всех цифр зависит от позиции (разряда) данной цифры в числе.

Примеры
, стандартная десятичная система счисления — это позиционная система. Допустим, дано число
453
. Цифра
4
обозначает сотни и соответствует числу
400, 5
— кол-во десятков и соответствует значению
50
, а
3
— единицы и значению
3
. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение. Таким образом, заданное число запишем в виде суммы
400+50+3=453.

Шестнадцатеричная система счисления.

Шестнадцатеричная система счисления
(шестнадцатеричные числа) — позиционная система счисления. Основанием шестнадцатеричной системы счисления
является число 16.

Записывая числа в восьмеричной системе счисления мы получаем довольно компактные выражения, однако в шестнадцатеричной системе мы получаем выражения более компактными.

Первыми десятью цифрами из шестнадцати шестнадцатеричных цифрах является стандартный интервал 0 — 9
, последующие шесть цифр выражают при помощи первых букв латинского алфавита: A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
. Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную систему и в обратную сторону делают аналогично процессу для восьмеричной системы.

Применение шестнадцатеричной системы счисления.

Шестнадцатеричную систему счисления довольно хорошо используют в современных компьютерах, например
с ее помощью указывают цвет: #FFFFFF
— белый цвет.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в десятичную.

Что бы перевести шестнадцатеричное число в десятичное , нужно заданное число привести к виду суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Например
, переведем шестнадцатеричное число 5A3
в десятичное. Здесь 3
цифры. Исходя их выше сказанного правила, приведем его к виду суммы степеней с основанием 16:

5A3 16 = 3·16 0 +10·16 1 +5·16 2 = 3·1+10·16+5·256 = 3+160+1280 = 1443 10

Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную и наоборот.

Для перевода многозначного двоичного числа в шестнадцатеричную систему необходимо разделить его на тетрады справа налево и поменять все тетрады соответствующей шестнадцатеричной цифрой. Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную необходимо поменять каждую все цифры на соответствующие тетрады из таблицы перевода, которую вы найдете ниже.

Например
:

010110100011 2 = 0101 1010 0011 = 5A3 16

Таблица перевода чисел.

Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую.

1. Из десятичной системы счисления:

  • делим число на основание переводимой системы счисления;
  • находим остаток от деления целой части числа;
  • записываем все остатки от деления в обратном порядке;

2. Из двоичной системы счисления:

  • для перевода в десятичную систему счисления находим сумму произведений основания 2 на соответствующую степень разряда;
  • для перевода числа в восьмеричную разбиваем число на триады.

Например, 1000110 = 1 000 110 = 1068

  • для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную разбиваем число на группы по 4 разряда.

Например, 1000110 = 100 0110 = 4616.

Таблицы для перевода:

Двоичная СС

Шестнадцатеричная СС

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Системы счисления

Основные понятия систем счисления

 

Система счисления — это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: ; ;  и т. д.

Различают два типа систем счисления:

 позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

 непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

где S — основание системы счисления;

 — цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n — количество разрядов числа.

Пример. Число  запишется в форме многочлена следующим образом:

Виды систем счисления

Римская система счисления является непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква — V пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — пятьсот, M — тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.

 

Таблица 2. Запись чисел в римской системе счисления













1

2

3

4

5

I

II

III

IV

V

6

7

8

9

10

VI

VII

VIII

IX

X

11

13

18

19

22

XI

XIII

XVIII

XIX

XXII

34

39

40

60

99

XXXIV

XXXIX

XL

LX

XCIX

200

438

649

999

1207

CC

CDXXXVIII

DCXLIX

CMXCIX

MCCVII

2045

3555

3678

3900

3999

MMXLV

MMMDLV

MMMDCLXXVIII

MMMCM

MMMCMXCIX

Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

Десятичня система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.

Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 — углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

 

 

Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке — наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание — число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры — 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII — ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.

Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы — триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.

С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки — точки и тире, может передать практически любой текст.

Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной — восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.

 

Таблица 3. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления


















Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

1

001

1

1

2

010

2

2

3

011

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

 

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

 

Таблица 4. Степени числа 2

 



n (степень)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

 

 

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

 

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

 



n (степень)

0

1

2

3

4

5

6

1

8

64

512

4096

32768

262144

 

 

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

 



n (степень)

0

1

2

3

4

5

6

1

16

256

4096

65536

1048576

16777216

 

 

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

 

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

 

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число  перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1. Число  перевести в восьмеричную систему счисления.

Пример 2. Число  перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Перевод чисел в различные системы счисления с решением | Онлайн калькулятор

Калькулятор позволяет переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв всё-таки). Длина чисел не должна превышать 30 символов. Для ввода дробных чисел используйте символ . или ,. Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку «Получить запись».

Исходное число

записано в
23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536-ой системе счисления.

Хочу получить запись числа в
23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536-ой системе счисления.

Получить запись


=

Выполнено переводов:

Также может быть интересно:

Системы счисления

Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные. Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.

Пример 1. Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:

Число: 5 9 2 1
Позиция: 3 2 1 0

Число 5921 можно записать в следующем виде: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·103+9·102+2·101+1·100. Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Пример 2. Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Число: 1 2 3 4 5 6 7
Позиция: 3 2 1 0 -1 -2 -3

Число 1234.567 можно записать в следующем виде: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·103+2·102+3·101+4·100+5·10-1+6·10-2+7·10-3.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:

1. Перевести число 1001101.11012 в десятичную систему счисления.
Решение: 1001101.11012 = 1·26+0·25+0·24+1·23+1·22+0·21+1·20+1·2-1+1·2-2+0·2-3+1·2-4 = 64+8++4+1+0.5+0.25+0.0625 = 77.812510
Ответ: 1001101.11012 = 77.812510

2. Перевести число E8F.2D16 в десятичную систему счисления.
Решение: E8F.2D16 = 14·162+8·161+15·160+2·16-1+13·16-2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.1757812510
Ответ: E8F.2D16 = 3727.1757812510

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.

Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.

3. Перевести число 27310 в восьмиричную систему счисления.
Решение: 273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421
Проверка: 4·82+2·81+1·80 = 256+16+1 = 273 = 273, результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.
Ответ: 27310 = 4218

Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.

Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью. Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.

4. Перевести число 0.12510 в двоичную систему счисления.
Решение: 0.125·2 = 0.25 (0 — целая часть, которая станет первой цифрой результата), 0.25·2 = 0.5 (0 — вторая цифра результата), 0.5·2 = 1.0 (1 — третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).
Ответ: 0.12510 = 0.0012

Simple English Wikipedia, бесплатная энциклопедия

Шестнадцатеричная система счисления , часто сокращаемая до «шестнадцатеричная» , представляет собой систему счисления, состоящую из 16 символов (основание 16). Стандартная система счисления называется десятичной (основание 10) и использует десять символов: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. В шестнадцатеричном формате используются десятичные числа и шесть дополнительных символов. Числовых символов, представляющих значения больше девяти, нет, поэтому используются буквы английского алфавита, в частности A, B, C, D, E и F.Шестнадцатеричный A = десятичный 10 и шестнадцатеричный F = десятичный 15.

Люди в основном используют десятичную систему счисления. Вероятно, это потому, что у людей на руках десять пальцев. Однако у компьютеров есть только включение и выключение, называемое двоичной цифрой (или для краткости битом). Двоичное число — это просто строка из нулей и единиц: например, 11011011. Для удобства инженеры, работающие с компьютерами, обычно группируют биты вместе. Раньше, например, в 1960-х годах, они группировали по 3 бита за раз (подобно тому, как большие десятичные числа сгруппированы по тройкам, например, число 123 456 789).Три бита, каждый из которых включен или выключен, могут представлять восемь чисел от 0 до 7: 000 = 0; 001 = 1; 010 = 2; 011 = 3; 100 = 4; 101 = 5; 110 = 6 и 111 = 7. Это называется восьмеричным.

По мере того, как компьютеры становились больше, было удобнее группировать биты по четыре вместо трех. Это удваивает числа, которые будет представлять символ; он может иметь 16 значений вместо восьми. Hex = 6 и Decimal = 10, поэтому он называется шестнадцатеричным. На компьютерном жаргоне четыре бита составляют полубайт (иногда пишется полубайт ).Полубайт — это одна шестнадцатеричная цифра, записанная с использованием символа 0-9 или A-F. Два полубайта составляют байт (8 бит). В большинстве компьютерных операций используется байт или кратное байту (16 бит, 24, 32, 64 и т. Д.). Шестнадцатеричный код упрощает запись этих больших двоичных чисел.

Чтобы избежать путаницы с десятичной, восьмеричной или другими системами счисления, шестнадцатеричные числа иногда записываются с буквой «h» после или «0x» перед числом. Например, 63h и 0x63 означают 63 в шестнадцатеричном формате.

Шестнадцатеричная система счисления похожа на восьмеричную систему счисления (основание 8), потому что каждую из них можно легко сравнить с двоичной системой счисления.В шестнадцатеричном формате используется четырехбитное двоичное кодирование. Это означает, что каждая цифра в шестнадцатеричном формате совпадает с четырьмя цифрами в двоичном формате. Octal использует трехбитную двоичную систему.

В десятичной системе первая цифра — это позиция , единица, , следующая цифра слева — позиция десятков , , следующая — позиция , сотня, и т. Д. В шестнадцатеричной системе каждая цифра может иметь 16 значений. , а не 10. Это означает, что у цифр — это место , у — шестнадцать — место , а следующая — это 256 — это место .Таким образом, 1h = 1 десятичный, 10h = 16 десятичный и 100h = 256 в десятичном.

Примеры значений шестнадцатеричных чисел, преобразованных в двоичные, восьмеричные и десятичные.

шестигранник двоичный восьмеричное Десятичный
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
А 1010 12 10
B 1011 13 11
С 1100 14 12
D 1101 15 13
E 1110 16 14
ф. 1111 17 15
10 1 0000 20 16
11 1 0001 21 17
24 10 0100 44 36
5E 101 1110 136 94
100 1 0000 0000 400 256
3E8 11 1110 1000 1750 1000
1000 1 0000 0000 0000 10000 4096
ЛИЦО 1111 1010 1100 1110 175316 64206

Двоичное в шестнадцатеричное [изменить | изменить источник]

Для изменения числа с двоичного на шестнадцатеричный используется метод группировки.Двоичное число разделено на группы по четыре цифры, начиная справа. Затем эти группы преобразуются в шестнадцатеричные числа, как показано на приведенной выше диаграмме для шестнадцатеричных чисел от 0 до F. Для перехода с шестнадцатеричного числа выполняется обратное. Каждая шестнадцатеричная цифра заменяется двоичной, и группировка обычно удаляется.

Двоичный Группы шестигранник
01100101 0110 0101 65
010010110110 0100 1011 0110 4B6
1101011101011010 1101 0111 0101 1010 D75A

Когда количество битов в двоичном числе не кратно 4, оно дополняется нулями, чтобы сделать это так.Примеры:

  • двоичный 110 = 0110, что составляет 6 Hex.
  • в двоичном формате 010010 = 00010010, что составляет 12 шестнадцатеричных чисел.

Шестнадцатеричное в десятичное [изменить | изменить источник]

Существует два распространенных способа преобразования числа из шестнадцатеричного в десятичное.

Первый метод чаще всего выполняется при ручном преобразовании:

  1. Используйте десятичное значение для каждой шестнадцатеричной цифры. Для 0–9 это то же самое, но A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 и F = 15.
  2. Сохраняйте сумму преобразованных чисел на каждом шаге ниже.
  3. Начать с младшей шестнадцатеричной цифры. Это цифра на правом конце. Это будет первый предмет в сумме.
  4. Возьмите вторую наименьшую значащую цифру. Это рядом с цифрой на правом конце. Умножьте десятичное значение цифры на 16. Добавьте это к сумме.
  5. Сделайте то же самое для третьей младшей значащей цифры, но умножьте ее на 16 2 (то есть на 16 в квадрате или 256).Добавьте это к сумме.
  6. Продолжайте для каждой цифры, умножая каждое место на другую степень 16. (4096, 65536 и т. Д.)
Расположение
6 5 4 3 2 1
Значение 1048576 (16 5 ) 65536 (16 4 ) 4096 (16 3 ) 256 (16 2 ) 16 (16 1 ) 1 (16 0 )

Следующий метод чаще используется при программном преобразовании числа.Ему не нужно знать, сколько цифр имеет число до его начала, и оно никогда не умножается более чем на 16, но на бумаге оно выглядит длиннее.

  1. Используйте десятичное значение для каждой шестнадцатеричной цифры. Для 0–9 это то же самое, но A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 и F = 15.
  2. Сохраняйте сумму преобразованных чисел на каждом шаге ниже.
  3. Начните со старшей цифры (цифра в крайнем левом углу). Это первая позиция в сумме.
  4. Если существует другая цифра, умножьте сумму на 16 и добавьте десятичное значение следующей цифры.
  5. Повторяйте вышеуказанный шаг до тех пор, пока цифры не исчезнут.

Пример: 5Fh и 3425h в десятичном формате, метод 1

5Fh в десятичной системе
шестигранник Десятичный
5Fh = (5 х 16) + (15 х 1)
= 80 + 15
5Fh = 95
3425h в десятичной системе
шестигранник Десятичный
3425h = (3 х 4096) + (4 х 256) + (2 х 16) + (5 х 1)
= 12288 + 1024 + 32 + 5
3425h = 13349

Пример: 5Fh и 3425h в десятичной системе, метод 2

5Fh в десятичной системе
шестигранник Десятичный
сумма = 5
= (5 х 16) + 15
сумма = 80 + 15 (больше цифр)
5Fh = 95
3425h в десятичной системе
шестигранник Десятичный
сумма = 3
= (3 х 16) + 4 = 52
сумма = (52 х 16) + 2 = 834
сумма = (834 х 16) + 5 = 13349
3425h = 13349

Шестнадцатеричная система счисления 1-100

Шестнадцатеричная система счисления — это система счисления с основанием 16.Представляет числовые значения с использованием шестнадцати символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F.

В таблице ниже представлены шестнадцатеричные числа от 1 до 64, что эквивалентно десятичным числам от 1 до 100.

3

17

90 321 25

9032 1 26

1 1 1 1

900 55

Шестнадцатеричное Десятичное Шестнадцатеричное Десятичное
1 1 33 51
2 2 34 35 53
4 4 36 54
5 5 37 55
6 6 38 56
7 7 39 57
8 8 3A 58
9 9 3B 59
A 3C 60
B 11 3D 61
C 12 9005 8

3E 62
D 13 3F 63
E 14 40 64
F 15 41 6555

10 16 42 66
11 17 43 67
12 18 44 68
13 19321 19 45 69
14 20 46 70
15 21 47 71
16 22 48 72
23 49 73
18 24 4A 74
19 4B 75
1A 26 4C 76
1B 27 4D 77
1C 4 28 78
1D 29 4F 79
1E 30 50 80
1F 31 51 81
51 81
52 82
21 33 53 83
22 34 54 84
23 35 55
24 36 56 86
25 37 57 87
38 58 88
27 39 59 89
28 40 5A 90
29 41 29 41 29 41 91
2A 42 5C 92
2B 43 5D 93
2C 94 5E 45 5F 95
2E 46 60 96
2F 47 61 97
30 62 30 48 30 62 98
31 49 63 99
32 50 64 100

Статьи по теме

Выбрать этикетку

Подробнее

Системы счисления (двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная)

Прежде чем мы сможем объяснить некоторые конкретные системы счисления, нам нужно знать, что такое система счисления.Проще говоря, система счисления — это способ представления чисел.

Мы можем классифицировать системы счисления по типу нотации в зависимости от того, используют ли они позиционную нотацию (также известную как нотация с числовыми значениями), и выполнить дальнейшую категоризацию по основанию или основанию.

1. Непозиционная система счисления

Для объяснения непозиционной системы счисления мы возьмем в качестве примера римские цифры. В таблице ниже вы можете найти десятичные значения для основных символов римской системы счисления.

Вы можете спросить, есть ли какой-то узор для образования всех остальных символов? Ответ положительный.

  • Когда символ с меньшим значением помещается после символа, имеющего такое же или большее значение, значения складываются. Примеры приведены в таблице ниже.
  • Когда символ с меньшим значением помещается перед символом, имеющим большее значение, меньшее значение вычитается из большего. Примеры приведены в таблице ниже.

2. Система позиционных чисел

Позиционная система счисления позволяет расширить исходный набор символов, чтобы их можно было использовать для представления любого произвольно большого (или маленького) значения.В разных системах число может быть представлено по-разному.
Например, два числа $ (2A) _ {16} $ и $ (52) _ {8} $ оба относятся к одному и тому же количеству $ (42) _ {10} $.

Система счисления, которую мы используем каждый день, называется десятичной системой счисления или системой счисления с основанием десять. Как видно из названия системы счисления, основание определяет всю систему.

Десятичная система счисления имеет основание 10, потому что мы работаем с 10 цифрами (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), и любое другое большее число может быть составлено из этих 10 цифр.{0}

долларов США

$ = 3 \ cdot 100 + 4 \ cdot 10 + 2 \ cdot 1 $

$ = 300 + 40 + 2 $

В этом уроке мы не будем подробно объяснять десятичную систему, так как на странице, посвященной ей, есть много уроков.

Помимо десятичной системы счисления, существует множество других систем счисления. Мы упомянем только три из них, так как это наиболее часто используемые системы счисления после десятичной. Это: двоичная система счисления, восьмеричная система счисления и шестнадцатеричная система счисления. Мы дадим краткое объяснение каждого из них и узнаем, как преобразовывать числа из одной системы в другую.

2.1. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления содержит две уникальные цифры (0 и 1). Таким образом, эта система является системой счисления с основанием 2. Относительные величины символов равны 0 <1. Символы в этой системе часто называются двоичными цифрами или просто битами. Двоичная система счисления - это позиционная система счисления. Позже мы увидим, что, например, $ 1010_ {2} \ neq 1100_ {2} $.

2.2. Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления содержит 8 уникальных цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).Таким образом, эта система является системой счисления с основанием 8. Относительные величины символов: 0 <1 <2 <3 <4 <5 <6 <7. Восьмеричная система счисления - еще один пример позиционной системы счисления.

2.3. Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления содержит 16 уникальных цифр. Поскольку в десятичной системе всего 10 арабских цифр, нам нужно использовать другие символы для представления оставшихся 6 цифр. Мы используем
буквенных символов A – F, чтобы расширить систему до 16 цифр.16 цифр в шестнадцатеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F. Относительные величины символов равны
0. <1 <2 <3 <4 <5 <6 <7 <8 <9 также является позиционной системой счисления.

3. Базовое преобразование

Каждая цифра в числе «с основанием b» представляет степень $ b $. Итак, когда мы пишем число с основанием b, каждая цифра с основанием b умножается на соответствующую степень $ b $ в зависимости от позиции в числе.

3.1. Преобразование в десятичное число

Преобразовать число из любой системы счисления в десятичную довольно просто. Мы знаем, что значение каждой цифры в числе основано на индивидуальном значении цифры и позиции цифры. Мы узнали это, когда узнали о десятичных числах. Используя это правило, мы можем преобразовать число из любой системы счисления в десятичное число.

Давайте посмотрим на общий пример:

Представьте, что у нас есть число $ d_ {2} d_ {1} d_ {0}.{-2} = 3 \ cdot 8 + 4 \ cdot 1 + 1 \ cdot \ displaystyle {\ frac {1} {8}} + 5 \ cdot \ displaystyle {\ frac {1} {64}} = 28.203125 $

3.2. Преобразование из десятичного числа в любое другое основание

Мы можем преобразовать десятичное число в любое другое, используя всего несколько простых шагов:

  1. Разделите десятичное число, которое нужно преобразовать, на значение нового основания.
  2. Запишите остаток в сторону
  3. Разделите частное от предыдущего деления на новое основание.
  4. Запишите остаток в сторону
  5. Повторяйте шаги 3 и 4, пока частное на шаге 3 не станет равным нулю.

Требуемое число состоит из остатков, записываемых снизу вверх, слева направо.

Пример 2. Преобразуйте 25 в двоичное число.

Согласно правилу преобразования десятичных чисел в любое другое основание, необходимое число — $ 11001_ {2} $.

Пример 3. Преобразует 2489 в шестнадцатеричное число.

Помните, что эквивалент числа 11 в шестнадцатеричной системе счисления — буква B.

Согласно правилу преобразования десятичных чисел в любое другое основание, необходимое число — $ 9B9_ {16} $.

3.3. Эквивалентность различных систем счисления

4. Ярлыки для переключения между основанием 2 и основанием 8 и между основанием 2 и основанием 16

Мы узнали, что можно преобразовать число из любого основания в число из любого основания, предварительно преобразовав его в десятичное. Например, если мы хотим преобразовать число с основанием 3 в число с основанием 7, сначала нужно преобразовать число с основанием 3 в десятичное, а затем преобразовать это десятичное число в число с основанием 7.

Мы можем использовать ту же процедуру для преобразования двоичного числа в восьмеричное или шестнадцатеричное, но есть несколько полезных сокращений, которые упростят процесс. Давайте посмотрим на следующий пример:

Пример 4. Преобразует $ 100100010101111_ {2} $ в шестнадцатеричное число.

Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, мы могли бы просто разбить двоичное число на группы из 4 цифр (начиная справа и добавляя ведущие нули, если цифры заканчиваются), а затем переинтерпретировать эти группы из 4 как перечисленные шестнадцатеричные значения. в таблице выше.При этом у нас есть:

$ 100100010101111_ {2} = 0100 1000 1010 1111 $

$ 0100 = 4 $, 1000 $ = 8 $, 1010 $ = A $, 1111 $ =

F $

$ 100100010101111_ {2} = 48AF_ {16}

$

Аналогично этому, чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, мы могли бы просто разбить двоичное число на группы по 3 цифры, а остальная часть процедуры такая же, как преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное число. Давайте превратим то же двоичное число в восьмеричное:

$ 100100010101111_ {2} = 100 100 010 101 111 $

100 долларов = 4

долларов

010 долларов = 2

долларов

101 доллар = 5

долларов

111 долларов = 7

долларов

$ 100100010101111_ {2} = 44257_ {8}

$

Обратить процесс еще проще.Предположим, мы хотим преобразовать $ FC7_ {16} $ в двоичную форму. Из таблицы мы можем прочитать двоичные значения для каждой цифры шестнадцатеричного числа:

$ F_ {16} = 1111_ {2} $ C_ {16} = 1100_ {2} $ 7_ {16} = 0111_ {2}

$

$ FC7_ {16} = 111111000111_ {2}

$

Процесс преобразования восьмеричного числа в двоичную форму такой же.

Двоичный преобразователь в шестнадцатеричный — w3resource


Двоичное число:
[Введите двоичное число, например 1110, в следующее поле и нажмите кнопку «Преобразовать».]

Шестнадцатеричное число:

Преобразование: двоичное в шестнадцатеричное

Двоичная система счисления:

В математике и цифровой электронике двоичное число — это число, выраженное в двоичной системе счисления или системе счисления с основанием 2, которое представляет числовые значения с использованием двух разных символов: обычно 0 (ноль) и 1 (единица). Система с основанием 2 представляет собой позиционную систему счисления с основанием 2. Из-за ее простой реализации в цифровых электронных схемах с использованием логических вентилей двоичная система используется внутри почти всех современных компьютеров и компьютерных устройств.Каждая цифра называется битом.

Шестнадцатеричная система счисления:

В математике и вычислительной технике шестнадцатеричная система счисления (также с основанием 16 или шестнадцатеричной) — это позиционная система счисления с основанием или основанием 16. В ней используются шестнадцать различных символов, чаще всего символы 0–9 для представления значений от нуля до девяти, и A, B, C, D, E, F (или альтернативно a, b, c, d, e, f) для представления значений от десяти до пятнадцати.

Таблица преобразования двоичного кода в шестнадцатеричный

Двоичный шестигранник
0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7
1000 8
1001 9
1010 А
1011 B
1100 С
1101 D
1110 E
1111 F
10000 10
100000 20
1000000 40
10000000 80
100000000 100

Предыдущая: Преобразовать двоичное в десятичное
Следующая:
Преобразовать двоичное в восьмеричное

Таблица преобразования — десятичное, шестнадцатеричное, восьмеричное, двоичное

декабрь шестигранник октябрь Корзина

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
000
001
002
003
004
005
006
007
010
011
012
013
014
015
016
017
00000000
00000001
00000010
00000011
00000100
00000101
00000110
00000111
00001000
00001001
00001010
00001011
00001100
00001101
00001110
00001111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E
1F
020
021
022
023
024
025
026
027
030
031
032
033
034
035
036
037
00010000
00010001
00010010
00010011
00010100
00010101
00010110
00010111
00011000
00011001
00011010
00011011
00011100
00011101
00011110
00011111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
2A
2B
2C
2D
2E
2F
040
041
042
043
044
045
046
047
050
051
052
053
054
055
056
057
00100000
00100001
00100010
00100011
00100100
00100101
00100110
00100111
00101000
00101001
00101010
00101011
00101100
00101101
00101110
00101111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
3A
3B
3C
3D
3E
3F
060
061
062
063
064
065
066
067
070
071
072
073
074
075
076
077
00110000
00110001
00110010
00110011
00110100
00110101
00110110
00110111
00111000
00111001
00111010
00111011
00111100
00111101
00111110
00111111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
4A
4B
4C
4D
4E
4F
100
101
102
103
104
105
106
107
110
111
112
113
114
115
116
117
01000000
01000001
01000010
01000011
01000100
01000101
01000110
01000111
01001000
01001001
01001010
01001011
01001100
01001101
01001110
01001111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
5A
5B
5C
5D
5E
5F
120
121
122
123
124
125
126
127
130
131
132
133
134
135
136
137
01010000
01010001
01010010
01010011
01010100
01010101
01010110
01010111
01011000
01011001
01011010
01011011
01011100
01011101
01011110
01011111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
6A
6B
6C
6D
6E
6F
140
141
142
143
144
145
146
147
150
151
152
153
154
155
156
157
01100000
01100001
01100010
01100011
01100100
01100101
01100110
01100111
01101000
01101001
01101010
01101011
01101100
01101101
01101110
01101111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
7A
7B
7C
7D
7E
7F
160
161
162
163
164
165
166
167
170
171
172
173
174
175
176
177
01110000
01110001
01110010
01110011
01110100
01110101
01110110
01110111
01111000
01111001
01111010
01111011
01111100
01111101
01111110
01111111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
8A
8B
8C
8D
8E
8F
200
201
202
203
204
205
206
207
210
211
212
213
214
215
216
217
10000000
10000001
10000010
10000011
10000100
10000101
10000110
10000111
10001000
10001001
10001010
10001011
10001100
10001101
10001110
10001111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
9A
9B
9C
9D
9E
9F
220
221
222
223
224
225
226
227
230
231
232
233
234
235
236
237
10010000
10010001
10010010
10010011
10010100
10010101
10010110
10010111
10011000
10011001
10011010
10011011
10011100
10011101
10011110
10011111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
A0
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
AA
AB
AC
AD
AE
AF
240
241
242
243
244
245
246
247
250
251
252
253
254
255
256
257
10100000
10100001
10100010
10100011
10100100
10100101
10100110
10100111
10101000
10101001
10101010
10101011
10101100
10101101
10101110
10101111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
B0
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
BA
BB
BC
BD
BE
BF
260
261
262
263
264
265
266
267
270
271
272
273
274 ​​
275
276
277
10110000
10110001
10110010
10110011
10110100
10110101
10110110
10110111
10111000
10111001
10111010
10111011
10111100
10111101
10111110
10111111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
C0
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
CA
CB
CC
CD
CE
CF
300
301
302
303
304
305
306
307
310
311
312
313
314
315
316
317
11000000
11000001
11000010
11000011
11000100
11000101
11000110
11000111
11001000
11001001
11001010
11001011
11001100
11001101
11001110
11001111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
D0
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
DA
DB
DC
DD
DE
DF
320
321
322
323
324
325
326
327
330
331
332
333
334
335
336
337
11010000
11010001
11010010
11010011
11010100
11010101
11010110
11010111
11011000
11011001
11011010
11011011
11011100
11011101
11011110
11011111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
E0
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
E9
EA
EB
EC
ED
EE
EF
340
341
342
343
344
345
346
347
350
351
352
353
354
355
356
357
11100000
11100001
11100010
11100011
11100100
11100101
11100110
11100111
11101000
11101001
11101010
11101011
11101100
11101101
11101110
11101111
декабрь шестигранник октябрь Корзина

240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
F0
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
FA
FB
FC
FD
FE
FF
360
361
362
363
364
365
366
367
370
371
372
373
374
375
376
377
11110000
11110001
11110010
11110011
11110100
11110101
11110110
11110111
11111000
11111001
11111010
11111011
11111100
11111101
11111110
11111111

из шестнадцатеричного в десятичный — объяснение, преобразование, таблица, решаемые примеры и часто задаваемые вопросы

Шестнадцатеричная система счисления (также известная как основание 16) — это позиционная система, которая представляет числа с использованием основания 16.В отличие от обычных способов представления чисел с помощью 10 символов, он использует 16 различных символов для представления чисел. Символы 0–9 представляют значения от нуля до девяти, а символы от A до F представляют значения от десяти до пятнадцати. Эти символы используются для преобразования шестнадцатеричной системы счисления в другую систему с использованием определенных правил преобразования. Программисты и разработчики компьютерных систем часто используют шестнадцатеричные системы счисления, поскольку они обеспечивают удобное для человека представление двоичных кодов. Здесь вы узнаете о шестнадцатеричной системе счисления и преобразовании шестнадцатеричной системы счисления в десятичную вместе с примерами.

Что такое шестнадцатеричное число?

Шестнадцатеричная система счисления (также сокращенно шестнадцатеричная) — это система чисел, состоящая из 16 цифр, а не 10. Стандартная система счисления известна как десятичная система (основание 10) и использует 10 символов, то есть 0, 1, 2. , 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Шестнадцатеричная система счисления включает 10 десятичных чисел и шесть дополнительных символов. Цифровые символы, представляющие значение больше 9, отсутствуют, поэтому для представления шестнадцатеричных систем счисления используются английские алфавиты, такие как A, B, C, D, E и F.

16 цифр в шестнадцатеричной системе счисления: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, где A равно 10, B равно 11, C равно 12 и т. д.

В шестнадцатеричной системе счисления разрядное значение числа определяется степенью 16, а не 10. Например,

2A3 16 = 2 * 16² + 10 * 16¹ + 3 * 16º = 675 10

Преобразование из шестнадцатеричного числа в десятичное

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в десятичное вручную, вы должны сначала начать умножать шестнадцатеричные числа на 16.Затем вы увеличиваете его до степени 0 и каждый раз увеличиваете эту степень на 1 в соответствии с шестнадцатеричной эквивалентной системой.

При применении степеней мы начнем с правой шестнадцатеричной системы счисления и переместимся влево. Каждый раз, когда вы умножаете число на 16, степень 16 увеличивается.

Позвольте понять преобразование из шестнадцатеричного в десятичное на примере, приведенном ниже:

Преобразовать (7CF) 16 в десятичное число.

Решение:

В шестнадцатеричной системе счисления

7 = 7

C = 12

F = 15

Чтобы преобразовать 7CF в десятичное число, умножьте каждую цифру на степень 16, начиная с единицы измерения шестнадцатеричная система.

Соответственно (7CF) 16 можно выразить как:

(7CF) 16 = (7 * 16²) + (12 * 16¹) + (15 * 16⁰)

= (7 * 256) + (12 * 16) + (15 * 1)

= 1792 + 192 + 7

= 19999

Следовательно, (7CF) 16 = (19999) 10

Таблица преобразования чисел из шестнадцатеричного в десятичной системе счисления приведено ниже:

Таблица в шестнадцатеричной системе счисления

Шестнадцатеричная

Десятичная

9321

0 1

1

2

2

3

3

4

0 4

5

6

6

7

7

8

8

1

A

10

B

11

C

12

12

12

E

14

F

15

Приведенное выше шестнадцатеричное значение в десятичной таблице поможет вам представить цифры и числа по отдельности большими числами в шестнадцатеричная система счисления.

Решенные примеры

Давайте рассмотрим некоторые примеры преобразования из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную с подробными пояснениями.

1. Преобразуйте (2C7) 16 в десятичное число.

Решение:

В шестнадцатеричной системе счисления

2 = 2

C = 12

7 = 7

Следовательно,

(2C7) 16 = (2 * 16²) + (12 * 16¹) + (7 * 16⁰)

= (2 * 256) + (12 * 16) + (7 * 1)

= 512 + 192 + 7

= 711

Следовательно, (2C7) 16 = ( 711) 10

2.Преобразовать (1A7D) 16 в десятичное число

Решение:

В шестнадцатеричной системе счисления

1 = 1

A = 10

7 = 7

D = 13

Следовательно,

(1A7D) 16 = (1 * 16³) + (10 * 16²) + (7 * 16¹) + (13 * 16º)

= (1 * 4096) + (10 * 256) + (7 * 16) + (13 * 1)

= 4096 + 2560 + 112 + 13

= 6781

Следовательно, (1A7D) 16 = (6781) 10

Полная таблица преобразования ASCII в шестнадцатеричное (+ файл PDF)

Полная таблица преобразования ASCII в шестнадцатеричное.

Эта таблица ASCII в шестнадцатеричное содержит все 256 символов ASCII и их шестнадцатеричные эквиваленты.

Итак, если вы хотите получить полную таблицу преобразования ASCII в шестнадцатеричный формат, эта статья для вас.

Приступим!

Содержание

Что такое ASCII в двух словах?

Вы когда-нибудь задумывались, как работает ваш компьютер?

Возможно, вы знаете, что компьютеры используют двоичную систему (комбинации чисел ноль и один) для хранения информации, но как это преобразовать в исчерпывающий текст, который вы читаете на экране?

Ответ кроется в ASCII.

Объяснение ASCII

ASCII означает Американский стандартный код обмена информацией. По сути, это собственный язык компьютера.

Компьютеры имеют семизначный код для обозначения каждой буквы, числа и знаков препинания. Этот код является двоичным, поэтому он использует только комбинацию нулей и единиц.

Например, биты (двоичные цифры) для заглавной буквы A равны 01000001, а биты для строчной буквы A равны 01100001.

Если вы посчитали, сколько цифр здесь, вы можете быть сбиты с толку, почему восемь цифр вместо семи.

Итак, каждый байт в стандартном ASCII начинается с нуля, поэтому следующие семь цифр — это те, которые различают символы.

ASCII имеет коды для 255 символов.

Вместо того, чтобы запоминать байт для каждой буквы, символа и числа, основатели организовали их численно и присвоили им десятичное значение.

Например, заглавная A (как упоминалось выше) — это число 65, а строчная A — 97.

Разделы ASCII

Для дальнейшей организации этих кодов основатели разделили символы на две части, которые позже стали тремя, поскольку люди разработали коды для более специализированных символов.

Первый раздел ASCII — это контрольная группа, содержащая непечатаемые символы.

Всего в этой подгруппе 32 символа, помеченных от 0 до 31.

Эти непечатаемые номера предназначены только для управления различными внешними устройствами, такими как клавиатура или принтер.

В следующем разделе вы найдете печатные символы, которые занимают места с 32 по 127.

Любой символ, который вы видите на клавиатуре, будет в этой группе, от символа% до букв и цифр.

Даже пробел и клавиша удаления имеют свои коды (числа 32 и 127 соответственно).

Последний раздел, включающий код символов от 128 до 255, был добавлен недавно.

Каждый код состоит из восьми битов, каждый из которых начинается с единицы (в отличие от нуля, как в предыдущих двух разделах).

Символы в этом разделе различаются в зависимости от языка операционной системы, который вы используете. Многие иностранные персонажи (например, Á и Ö) попадают в эту категорию.

История ASCII

Шестьдесят лет назад начался разговор о создании единой системы кодирования для всех типов символов.

Первое собрание подкомитета X3.2 Американской ассоциации стандартов состоялось в октябре 1960 года, и его члены начали с кода телетайпа от компании Bell.

Оттуда они опубликовали первую версию в 1963 году, в которой были только цифры и заглавные буквы. В 1967 году они добавили первый раздел управляющих символов и строчных букв.

Четырнадцать лет спустя они внедрили группу расширения. Этот третий раздел включает символы от 128 до 255.

Большинство вычислительных систем по-прежнему используют ASCII, но для конкретных систем становятся популярными новые варианты.

Использование ASCII

Осознали вы это или нет, но вы уже используете ASCII! Простое использование компьютерной системы использует ASCII.

Тем не менее, полезно изучать и понимать ASCII, даже если вас не интересуют технические детали, поэтому вы можете быстро получить письмо на иностранном языке, когда оно вам понадобится.

Например, в Windows вы можете нажать клавишу ALT и заданный код, чтобы получить любой конкретный символ.

Вместо копирования и вставки этих букв с диакритическими знаками или уникальных знаков валюты вы можете использовать этот быстрый метод, чтобы не прерывать процесс набора текста.

Варианты ASCII

Поскольку ASCII содержит в основном американские символы, по всему миру разработано несколько вариантов с неанглийскими буквами.

Международная организация по стандартизации (ISO) создала третий раздел ASCII, включающий восьмибитные коды.

Расширение, называемое ISO 8859, имеет множество языковых вариаций.

  • Западноевропейские языки: Latin-1
  • Восточноевропейские и не кириллические центральные языки: Latin-2
  • Эсперанто и южноевропейские языки: Latin-3
  • Североевропейские языки: первоначально Latin-4, теперь называются Latin-10 или Latin-6
  • Турецкий: Latin-5
  • Кириллица: 8859-5
  • Арабский: 8859-6
  • Греческий: 8859-7
  • Еврейский: 8859-8

Многочисленные названия кода для северных Европейские языки показывают, что код обмена информацией постоянно меняется по мере того, как люди разрабатывают более эффективные системы.

Фантастический пример этих постоянных изменений — создание Unicode.

Универсальный набор кодированных символов призван предоставить полностью исчерпывающий набор кодов для всех символов.

В настоящее время существует 143 859 символов, включая исторические сценарии и смайлики.

Благодаря тому, что в него включены тысячи символов, он стал популярным выбором для компьютерных программ.

Изучите каждую мелочь об ASCII в этой подробной статье об ASCII: Что такое ASCII и для чего используется ASCII?

Что такое шестнадцатеричная система счисления в двух словах?

Шестнадцатеричная система счисления — это один из видов техники представления чисел.

При использовании этого метода база равна 16.

Это означает, что существует только 16 возможных цифровых значений или символов.

К ним относятся 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F.

В этом случае A, B, C, D, E и F считаются однобитными представлениями десятичных значений для 10, 11, 12, 13, 14 и 15.

Для представления значения любой цифры необходимо всего четыре бита.

Шестнадцатеричное число обозначается добавлением суффикса «h» или префикса «0x».

Как работает шестнадцатеричная система счисления?

Шестнадцатеричный, также называемый основанием 16 или шестнадцатеричным, используется для передачи и записи числовых значений.

Это означает, что он ничем не отличается от более известных систем счисления, включая десятичные дроби.

Однако десятичная дробь использует основание 10 (что идеально подходит для людей с 10 пальцами!) И использует 10 уникальных цифр. Они объединены для представления чисел.

Шестнадцатеричный код похож на десятичный, потому что он объединяет цифры для создания более крупных чисел.Как упоминалось выше, в шестнадцатеричном формате используется 16 уникальных цифр.

Существует бесчисленное множество других систем счисления.

Например, двоичный код, в котором используется основание два, популярен среди инженеров. Это потому, что это язык компьютеров.

В двоичной системе с основанием два используются только двузначные значения — ноль и единица — которые представляют числа.

Как двоичная и десятичная, шестнадцатеричная — одна из наиболее часто используемых систем счисления в программировании и электронной промышленности.

Важно знать, как работает шестнадцатеричный код, потому что имеет смысл представлять число с помощью системы счисления 16, а не десятичной или двоичной.

Основы Hex

В шестнадцатеричном формате вы встретите как строчные, так и прописные буквы от A до F.

Оба работают одинаково.

Нет особого стандарта в отношении верхнего и нижнего регистра.

Например, A2F — это то же самое, что a2f и то же самое, что и a2F.

Подстрочные индексы, используемые с шестнадцатеричным числом

В шестнадцатеричной и десятичной системе есть 10 одинаковых цифр.

В результате они создают много похожих чисел.

Однако 10 в шестнадцатеричном формате — это совсем другое число, чем в десятичном.

10 в шестнадцатеричном формате равно 16 в десятичном.

Необходимо иметь способ четко указать, является ли число, о котором вы говорите, основанием 16 или 10 (или основанием 2 или основанием 8).

Здесь используются базовые индексы. Например, 16 10 = 10 16 .

Шестнадцатеричное число 10, которое показано нижним индексом 16, совпадает с десятичным числом 16 (см. Нижний индекс 10).

Однако нижние индексы — не единственный способ четко указать основу числа; это просто самый буквальный используемый метод.

Как считать с помощью шестнадцатеричного числа?

Счет в шестнадцатеричном формате похож на счет с десятичными знаками.

Единственное отличие состоит в том, что нужно обрабатывать шесть дополнительных цифр.

Как только разряд цифры превышает «F», он переключается на «0» и увеличивается на единицу до цифры слева.

Шестнадцатеричные идентификаторы

Обычно шестнадцатеричное число имеет суффикс или префикс с определенным идентификатором.К наиболее распространенным относятся: