Системы счисления картинки: D0 b4 d0 b2 d0 be d0 b8 d1 87 d0 bd d0 b0 d1 8f d1 81 d0 b8 d1 81 d1 82 d0 b5 d0 bc d0 b0 d1 81 d1 87 d0 b8 d1 81 d0 bb d0 b5 d0 bd d0 b8 d1 8f: стоковые картинки, бесплатные, роялти-фри фото D0 b4 d0 b2 d0 be d0 b8 d1 87 d0 bd d0 b0 d1 8f d1 81 d0 b8 d1 81 d1 82 d0 b5 d0 bc d0 b0 d1 81 d1 87 d0 b8 d1 81 d0 bb d0 b5 d0 bd d0 b8 d1 8f

Содержание

1.3. Системы счисления. Основы информатики: Учебник для вузов

1.3. Системы счисления

Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют системы позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число.

Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание можно принять любое натуральное число – два, три, четыре, шестнадцать и т. д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Десятичная система счисления

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н. э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, однако информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т. д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа – число десятков, следующая – число сотен и т. д.


Двоичная система счисления

В этой системе всего две цифры – 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т. д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра – число двоек, следующая – число четверок и т. д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число – представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.

Восьмеричная система счисления

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает, как и в десятичном числе, просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем – 64 и т. д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатеричная система счисления

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означает просто единицу. Та же цифра 1 в следующем – 16 (десятичное), в следующем – 256 (десятичное) и т. д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.

Таблица 1. Соответствие между первыми несколькими натуральными числами всех трех систем счисления

Данный текст является ознакомительным фрагментом.




Продолжение на ЛитРес








Читать «Основы информатики: Учебник для вузов» — Лысенко Вадим — Страница 4

6) образование информационного единства всей человеческой цивилизации;

7) реализация свободного доступа каждого человека к информационным ресурсам всей цивилизации;

8) решение гуманистических принципов управления обществом и воздействия на окружающую среду.

Помимо перечисленных положительных результатов процесса информатизации общества, возможны и негативные тенденции, сопровождающие этот процесс:

1) чрезмерное влияние средств массовой информации;

2) вторжение информационных технологий в частную жизнь человека;

3) сложность адаптации некоторых людей к информационному обществу;

4) проблема качественного отбора достоверной информации.

В настоящий момент ближе всех стран к информационному обществу находятся США, Япония, Англия, страны Западной Европы.

1.3. Системы счисления

Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют системы позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число.

Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание можно принять любое натуральное число – два, три, четыре, шестнадцать и т. д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Десятичная система счисления

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н. э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, однако информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т. д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа – число десятков, следующая – число сотен и т. д.

Двоичная система счисления

В этой системе всего две цифры – 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т. д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра – число двоек, следующая – число четверок и т. д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число – представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.

Восьмеричная система счисления

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает, как и в десятичном числе, просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем – 64 и т. д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатеричная система счисления

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означает просто единицу. Та же цифра 1 в следующем – 16 (десятичное), в следующем – 256 (десятичное) и т. д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.

Таблица 1. Соответствие между первыми несколькими натуральными числами всех трех систем счисления

1.4. Кодирование информации

В настоящее время во всех вычислительных машинах информация представляется с помощью электрических сигналов. При этом возможны две формы ее представления – в виде непрерывного сигнала (с помощью сходной величины – аналога) и в виде нескольких сигналов (с помощью набора напряжений, каждое из которых соответствует одной из цифр представляемой величины).

Первая форма представления информации называется аналоговой, или непрерывной. Величины, представленные в такой форме, могут принимать принципиально любые значения в определенном диапазоне. Количество значений, которые может принимать такая величина, бесконечно велико. Отсюда названия – непрерывная величина и непрерывная информация. Слово непрерывность отчетливо выделяет основное свойство таких величин – отсутствие разрывов, промежутков между значениями, которые может принимать данная аналоговая величина. При использовании аналоговой формы для создания вычислительной машины потребуется меньшее число устройств (каждая величина представляется одним, а не несколькими сигналами), но эти устройства будут сложнее (они должны различать значительно большее число состояний сигнала). Непрерывная форма представления используется в аналоговых вычислительных машинах (АВМ). Эти машины предназначены в основном для решения задач, описываемых системами дифференциальных уравнений: исследования поведения подвижных объектов, моделирования процессов и систем, решения задач параметрической оптимизации и оптимального управления. Устройства для обработки непрерывных сигналов обладают более высоким быстродействием, они могут интегрировать сигнал, выполнять любое его функциональное преобразование и т. п. Однако из-за сложности технической реализации устройств выполнения логических операций с непрерывными сигналами, длительного хранения таких сигналов, их точного измерения АВМ не могут эффективно решать задачи, связанные с хранением и обработкой больших объемов информации.

Вторая форма представления информации называется дискретной (цифровой). Такие величины, принимающие не все возможные, а лишь вполне определенные значения, называются дискретными (прерывистыми). В отличие от непрерывной величины, количество значений дискретной величины всегда будет конечным. Дискретная форма представления используется в цифровых электронно-вычислительных машинах (ЭВМ), которые легко решают задачи, связанные с хранением, обработкой и передачей больших объемов информации.

Для автоматизации работы ЭВМ с информацией, относящейся к различным типам, очень важно унифицировать их форму представления – для этого обычно используется прием кодирования.

Кодирование – это представление сигнала в определенной форме, удобной или пригодной для последующего использования сигнала. Говоря строже, это правило, описывающее отображение одного набора знаков в другой набор знаков. Тогда отображаемый набор знаков называется исходным алфавитом, а набор знаков, который используется для отображения, – кодовым алфавитом, или алфавитом для кодирования. При этом кодированию подлежат как отдельные символы исходного алфавита, так и их комбинации. Аналогично для построения кода используются как отдельные символы кодового алфавита, так и их комбинации.

Совокупность символов кодового алфавита, применяемых для кодирования одного символа (или одной комбинации символов) исходного алфавита, называется кодовой комбинацией, или, короче, кодом символа. При этом кодовая комбинация может содержать один символ кодового алфавита.

Персональный сайт — Системы исчисления (тема2)

Тема 2

Системы счисления и представление данных в памяти компьютера

Тема «Системы счисления»

Разделы темы:

1. Основные понятия и определения.

2. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

3. Операции над данными в различных системах счисления.

 

1. Основные понятия и определения.

Система счисления, это способ записи чисел с помощью заданного набора символов (алфавита).

Символы называют цифрами, символические изображения чисел – кодами, правила получения кодов – системами счисления.

Существуют системы позиционные и непозиционные.

Непозиционные – значение (вес) каждой цифры не зависит от ее положения в записи числа. Примеры – унарная, римская система счисления, в которой для изображения чисел используются следующие коды:

I – палец = 1                V – ладонь = 5                      X – две ладони = 10

C – Centum = 100        D – Demimille – ½ тысячи   M – Mille =1000

Например, XXVIII = 28.

Вес цифры X в любой позиции равен десяти.

Позиционные – значение цифры зависит от ее положения в коде числа. Примеры – десятичная, двоичная и так далее.

Достоинства позиционных систем счисления – ограниченное число символов алфавита и простота выполнения операций.

Основание позиционной системы счисления – количество Р различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание можно принять любое натуральное число – два, три, четыре, шестнадцать и т.д.

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:

N = anpn+an-1pn-1+ … +a1p+a0+a-1p-1+a-2p-2+ …

здесь ai – коэффициенты (цифры числа), p – основание системы счисления (p > 1).

Принято представлять числа в виде последовательности цифр:

N = anan-1 … a1a0 . a1a2 …

Точка отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях от коэффициентов при отрицательных степенях).

В аппаратной (и логической) основе компьютера используются двухпозиционные элементы, которые могут иметь одно из двух состояний: 0 или 1. Поэтому применяемой в компьютерах системой счисления является двоичная система, и, кроме того, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Десятичная система счисления. Пришла в Европу из Индии, где появилась примерно в VI веке н.э. В этой системе 10 цифр: 0 – 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором она стоит (позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа – десятков, следующая – сотен и т.д.

Двоичная система счисления. В этой системе две цифры – 0 и 1. Особую роль играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая – число двоек, следующая – число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет представить любое число в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Двоичное кодирование легко реализуется технически.

Восьмеричная система счисления. В этой системе счисления 8 цифр: 0 – 7. Цифра 1 младшего разряда, означает единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 1008 = 6410

Шестнадцатеричная система счисления. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0 – 9, а в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат единицу. Та же цифра 1 в следующем ‑ 16 (десятичное), в следующем ‑ 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное).

Приведем таблицы кодов различных систем счисления.

Двоичная
(Основание 2)

Восьмеричная
(Основание 8)

Десятичная
(Основание 10)

Шестнадцатеричная
(Основание 16)

 

триады

 

тетрады

0
1

0
1
2
3
4
5
6
7

000
001
010
011
100
101
110
111

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F

0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111

 

Упражнения раздела 1

1.1. Какие целые числа следуют за числами:

1) 12;

6) 18;

11) F16;

2) 1012;

7) 78;

12) 1F16;

3) 1112;

8) 378;

13) FF16;

4) 11112;

9) 1778;

14) 9AF916;

5) 1010112;

10) 77778;

15) CDEF16

1.2. Какие целые числа предшествуют числам:

1) 102;

6) 108;

11) 1016;

2) 10102;

7) 208;

12)2016;

3) 10002;

8) 1008;

13) 10016;

4) 100002;

9) 1108;

14) A1016;

5) 101002;

10) 10008;

15) 100016

 

2. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

1. Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием два

Рассмотрим два способа перевода числа из десятичной системы в другую на примере системы с основанием 2.

1). Способ разложения числа по степеням основания рассмотрим на примере перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную. Для этого способа необходимо знать таблицу степеней числа 2:

22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32 , 26 = 64, 27 = 128, 28 = 256, 29 =512, 210 = 1024,…

Переведем число 56710 в двоичную систему. Определим максимальную степень двойки, такую, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу. В нашем случае это 9, так как 29=512, а 210=1024, что больше начального числа. Таким образом, мы получим число разрядов результата. Оно равно 9+1=10. Поэтому результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х могут стоять любые двоичные цифры. Найдем вторую цифру результата. Возведем двойку в степень 9 и вычтем из исходного числа: 567–29=55. Остаток сравним с числом 28=256. Так как 55 меньше 256, то девятый разряд будет нулем, т. е. результат примет вид 10хххххххх. Рассмотрим восьмой разряд. Так как 27=128>55, то и он будет нулевым.

Седьмой разряд также оказывается нулевым. Искомая двоичная запись числа принимает вид 1000хххххх. 25=32<55, поэтому шестой разряд равен 1 (результат 10001ххххх). Для остатка 55–32=23 справедливо неравенство 24=16<23, что означает равенство единице пятого разряда. Действуя аналогично, получаем в результате число 10001101112. Исходное число мы разложили по степеням двойки:

567=1*29+0*28+0*27+0*26+1*25+1*24+0*23+1*22 +1*21+1*20

2). Способ деления на основание требуемой системы счисления является универсальным. Рассмотрим то же самое число 567. Разделив его на 2, получим частное 283 и остаток 1. Проведем ту же самую операцию с частным 283. Получим частное 141, остаток 1. Опять делим полученное частное на 2, и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь для того, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, то есть 1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки.

 

Результат не изменился: 567 в двоичной системе счисления записывается как 1000110111. Эти два способа применимы при переводе числа из десятичной системы в систему с любым основанием.

2. Перевод чисел из десятичной системы в систему счисления с основанием 16

Переведем число 567 в 16-ричную систему счисления.

1). Используем разложение числа по степеням основания. Искомое число будет состоять из трех цифр, т. к. 162 = 256  <  567  <  163 = 4096.

Определим цифру старшего разряда. 2*162=512<567<3*162=768, следовательно, искомое число имеет вид 2хх, где вместо х могут стоять любые шестнадцатеричные цифры. Остается распределить по следующим разрядам число 55 (567‑512). 3*16=48<55<4*16=64, значит, во втором разряде находится цифра 3. Последняя цифра равна 7 (55‑48). Искомое шестнадцатеричное число равно 237.

2) Способ последовательного деления на основание требуемой системы счисления приведет к тому же результату. Процесс деления заканчивается, когда частное становится строго меньше 16. Необходимо заменять 10 на A, 11 на B и так далее.

 

3. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему

В основе этого метода находится правило, что любое десятичное число можно представить в виде

x = a0*pn + a1*pn-1 + … + an-1*p1 + an*p0,

где a0 … an –это цифры данного числа в системе счисления с основанием p.

Пример.

Переведем число 4A3F16 в десятичную систему.

По определению,

4A3F= 4*163+A*162+3*16+F.

Заменив A на 10, а F на 15, получим 4*163+10*162+3*16+15= 1900710.

4. Перевод чисел из двоичной системы в системы с основанием, равным степеням двойки (8 и 16), и наоборот

Проще всего осуществляется перевод чисел из двоичной системы в системы с основанием, равным степеням двойки (8 и 16), и наоборот. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием 2n, нужно число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой. Если в левой группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее нулями до нужного числа разрядов. Рассмотреть каждую группу, как n разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2n.

1). Перевод восьмеричных чисел в двоичную систему: следует каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр).

Пример.

573,18 =101  011  111 , 0012

               5       3       7       1

2). Перевод шестнадцатеричных чисел в двоичную систему: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой (четверкой цифр).

Пример.

1А3,F16 = 0001  1010  0011 , 11112

                     1       A         3      F

3). Перевод числа из двоичной системы в восьмеричную: разбить влево и вправо от запятой на  триады, и каждую триаду заменить восьмеричной цифрой.

10101001,101112 = 010  101  001 , 101  110 2 = 251,568

                                 2       5       1       5       6

4). Перевод числа из двоичной системы в шестнадцатеричную: разбить влево и вправо от запятой на тетрады, и каждую тетраду  заменить шестнадцатеричной цифрой.

Пример.

10101001,101112 = 1010  1001 , 1011  1000 2 = A9B816

                                    A      9          B      8

5. Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в систему с другим основанием

Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример.

Перевести 0.312510 в восьмеричную систему счисления.

 

Результат: 0.312510 = 0.248

Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

Пример.

Перевести 0.6510 в двоичную систему счисления с точностью 6 знаков.

 

Результат: 0.6510

6. Перевод неправильных десятичных дробей в систему счисления с другим основанием

Необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример.

Перевести 23.12510 в двоичную систему счисления.

1) Переведем целую часть:

2) Переведем дробную часть:

 

 

 

 

Таким образом:  2310 = 101112; 0.12510 = 0.0012.

Результат:  23.12510 = 10111.0012.

Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби ‑ дробями в любой системе счисления.

 

Упражнения раздела 2

2.1. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

1) 10110112;

6) 5178;

11) 1F16;

2) 101101112;

7) 10108;

12) ABC16;

3) 0111000012;

8) 12348;

13) 101016;

4) 0,10001102;

9) 0,348;

14) 0,А416;

5) 110100,112;

10) 123,418;

15) 1DE,C816.

2.2. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

1) 12510;             2) 22910;          3) 8810;            4) 37,2510;       5) 206,12510.

2.3. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

1) 1001111110111,01112;

4) 1011110011100,112;

2) 1110101011,10111012;

5) 10111,11111011112;

3) 10111001,1011001112;

6) 1100010101,110012.

2.4. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:

1) 2СE16;           2) 9F4016;      3) ABCDE16;              4) 1010,10116;             5) 1ABC,9D16.

 

3. Операции над данными в различных системах счисления.

Правила выполнения основных арифметических операций: сложение, вычитание, умножение и деление в десятичной системе применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Для каждой системы используются особые таблицы сложения и умножения.

Сложение

Таблица сложения в двоичной системе

 

 

 

 

 

 

Таблица сложения в восьмеричной системе

 

Таблица сложения в шестнадцатеричной системе

 

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

 

Шестнадцатеричная: F16+616

 

Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516.

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21,

258 = 2. 81 + 5. 80 = 16 + 5 = 21,

1516 = 1. 161 + 5. 160 = 16+5 = 21.

 

 

 

Пример 2. Сложим числа 141,5 и 59,75.

 

 

 

 

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду

11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25

311,28 = 3. 82 + 181 + 1. 80 + 2. 8-1 = 201,25

C9,416 = 12. 161 + 9. 160 + 4. 16-1 = 201,25

Вычитание

Пример 3. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016

 

 

Пример 4. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

 

 

 

 

Ответ: 201,2510 ‑ 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2-1 = 141,5;

215,48 = 2. 82 + 1. 81 + 5. 80 + 4. 8-1 = 141,5;

8D,816 = 8. 161 + D. 160 + 8. 16-1 = 141,5.

Умножение

Для умножения чисел в различных позиционных системах счисления используется обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но результаты перемножения и сложения однозначных чисел заимствуются из соответствующих системе таблиц умножения и сложения.

Таблица умножения в двоичной системе

 

Таблица умножения в восьмеричной системе

 

В двоичной системе умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 5. Перемножим числа 5 и 6.

 

 

Ответ: 5. 6 = 3010 = 111102 = 368.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;

368 = 381 + 680 = 30.

Пример 6. Перемножим числа 115 и 51.

 

 

Ответ: 115. 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;

133518 = 1. 84 + 3. 83 + 3. 82 + 5. 81 + 1. 80 = 5865.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, так как очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

 

 

 

 

 

Пример 7. Разделим число 30 на число 6.

 

 

Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.

Пример 8. Разделим число 5865 на число 115.

 

 

Восьмеричная: 133518 :1638

 

Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6. 81 + 3. 80 = 51.

Пример 9. Разделим число 35 на число 14.

 

 

Восьмеричная: 438 : 168

 

Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;

2,48 = 2. 80 + 4. 8-1 = 2,5.

 

Упражнения раздела 3

3.1. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

1) 10111012 и 11101112;

5) 378 и 758;

9) A16 и F16;

2) 1011,1012 и 101,0112;

6) 1658 и 378;

10) 1916 и C16;

3) 10112, 112 и 111,12;

7) 7,58 и 14,68;

11) A,B16 и E,F16;

4) 10112 , 11,12 и 1112;

8) 68, 178 и 78;

12) E16, 916 и F16.

3.2. Вычтите числа:

1) 1112 из 101002;

5) 158 из 208;

9) 1А16 из 3116;

2) 10,112 из 100,12;

6) 478 из 1028;

10) F9E16 из 2А3016;

3) 111,12 из 100102;

7) 56,78 из 1018;

11) D,116 из B,9216;

4) 100012 из 1110,112;

8) 16,548 из 30,018;

12) ABC16 из 567816.

 

Двоичное счисление на пальцах — Журнал «Код»: программирование без снобизма

Если у вас в школе была информатика, не исключено, что там было упражнение на перевод обычных чисел в двоичную систему и обратно. Маловероятно, что кто-то вам объяснял практический смысл этой процедуры и откуда вообще берётся двоичное счисление. Давайте закроем этот разрыв.

Эта статья не имеет практической ценности — читайте её просто ради интереса к окружающему миру. Если нужны практические статьи, заходите в наш раздел «Где-то баг», там каждая статья — это практически применимый проект.

Отличный план

Чтобы объяснить всё это, нам понадобится несколько тезисов:

  1. Система записи числа — это шифр.
  2. Мы привыкли шифровать десятью знаками.
  3. Но система записи чисел может быть любой. Это условность.
  4. Двоичная система — это тоже нормальная система.
  5. Всё тлен и суета.

Система записи — это шифр

Если у нас есть девять коров, мы можем записать их как 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄  или как 9 × 🐄.

Почему 9 означает «девять»? И почему вообще есть такое слово? Почему такое количество мы называем этим словом? Вопрос философский, и короткий ответ — нам нужно одинаково называть числа, чтобы друг друга понимать. Слово «девять», цифра 9, а также остальные слова — это шифр, который мы выучили в школе, чтобы друг с другом общаться.

Допустим, к нашему стаду прибиваются еще 🐄🐄🐄. Теперь у нас 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄  — двенадцать коров, 12. Почему мы знаем, что 12 — это «двенадцать»? Потому что мы договорились так шифровать числа.

Нам очень легко расшифровывать записи типа 12, 1920, 100 500 и т. д. — мы к ним привыкли, мы учили это в школе. Но это шифр. 12 × 🐄  — это не то же самое, что 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄. Это некая абстракция, которой мы пользуемся, чтобы упростить себе счёт.

Мы привыкли шифровать десятью знаками

У нас есть знаки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 — всего десять знаков. Этим числом знаков мы шифруем количество единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее.

Мы договорились, что нам важен порядок записи числа. Мы знаем, что самый правый знак в записи означает число единиц, следующий знак (влево) означает число десятков, потом сотен и далее.

Например, перед нами число 19 547. Мы знаем, что в нём есть:

1 × 10 000

9 × 1000

5 × 100

4 × 10

7 × 1

Если приглядеться, то каждый следующий разряд числа показывает следующую степень десятки:

1 × 104

9 × 103

5 × 102

4 × 101

7 × 100

Нам удобно считать степенями десятки, потому что у нас по десять пальцев и мы с раннего детства научились считать до десяти.

Система записи — это условность

Представим бредовую ситуацию: у нас не 10 пальцев, а 6. И в школе нас учили считать не десятками, а шестёрками. И вместо привычных цифр мы бы использовали знаки ØABCDE. Ø — это по-нашему ноль, A — 1, B — 2, E — 5.

Вот как выглядели бы привычные нам цифры в этой бредовой системе счисления:

0 — Ø
1 — A
2 — B
3 — C
4 — D
5 — E
6 — AØ
7 — AA
8 — AB
9 — AC
10 — AD
11 — AE
12 — BØ
13 — BA
14 — BB
15 — BC
16 — BD
17 — BE
18 — CØ
19 — CA
20 — CB
21 — CC
22 — CD
23 — CE
24 — DØ
25 — DA
26 — DB
27 — DC
28 — DD
29 — DE
30 — EØ
31 — EA
32 — EB
33 — EC
34 — ED
35 — EE
36 — AØØ
37 — AØA
38 — AØB
39 — AØC
40 — AØD
41 — AØE

В этой системе мы считаем степенями шестёрки. Число ABADØ можно было бы перевести в привычную нам десятичную запись вот так:

A × 64 = 1 × 1296 = 1296

B × 63 = 2 × 216 = 432

A × 62 = 1 × 36 = 36

D × 61 = 4 × 6 = 24

Ø × 60 = 0 × 1 = 0

1296 + 432 + 36 + 24 + 0 = 1788. В нашей десятичной системе это 1788, а у людей из параллельной вселенной это ABADØ, и это равноценно.

Выглядит бредово, но попробуйте вообразить, что у нас в сумме всего шесть пальцев. Каждый столбик — как раз шесть чисел. Очень легко считать в уме. Если бы нас с детства учили считать шестёрками, мы бы спокойно выучили этот способ и без проблем всё считали. А счёт десятками вызывал бы у нас искреннее недоумение: «Что за бред, считать числом AD? Гораздо удобнее считать от Ø до E!»

То, как мы шифруем и записываем числа, — это следствие многовековой традиции и физиологии. Вселенной, космосу, природе и стадам коров глубоко безразлично, что мы считаем степенями десятки. Природа не укладывается в эту нашу систему счёта.

Например, свет распространяется в вакууме со скоростью 299 792 458 метров в секунду. Ему плевать, что нам для ровного счёта хотелось бы, чтобы он летел со скоростью 300 тысяч километров в секунду. А ускорение свободного падения тела возле поверхности Земли — 9,81 м/с2. Так и хочется спросить: «Тело, а ты не могло бы иметь ускорение 10 м/с2?» — но телу плевать на наши системы счисления.

Двоичная система (тоже нормальная)

Внутри компьютера работают транзисторы. У них нет знаков 0, 1, 2, 3… 9. Транзисторы могут быть только включёнными и выключенными — обозначим их 💡 и ⚫.

Мы можем научить компьютер шифровать наши числа этими транзисторами так же, как шестипалые люди шифровали наши числа буквами. Только у нас будет не 6 букв, а всего две: 💡 и ⚫. И выходит, что в каждом разряде будет стоять не число десяток в разной степени, не число шестёрок в разной степени, а число… двоек в разной степени. И так как у нас всего два знака, то получается, что мы можем обозначить либо наличие двойки в какой-то степени, либо отсутствие:

0 — ⚫
1 — 💡

2 — 💡⚫
3 — 💡💡

4 — 💡⚫⚫
5 — 💡⚫💡
6 — 💡💡⚫
7 — 💡💡💡

8 — 💡⚫⚫⚫
9 — 💡⚫⚫💡
10 — 💡⚫💡⚫
11 — 💡⚫💡💡
12 — 💡💡⚫⚫
13 — 💡💡⚫💡
14 — 💡💡💡⚫
15 — 💡💡💡💡
16 — 💡⚫⚫⚫⚫
17 — 💡⚫⚫⚫💡
18 — 💡⚫⚫💡⚫
19 — 💡⚫⚫💡💡
20 — 💡⚫💡⚫⚫
21 — 💡⚫💡⚫💡
21 — 💡⚫💡💡⚫
23 — 💡⚫💡💡💡
24 — 💡💡⚫⚫⚫
25 — 💡💡⚫⚫💡
26 — 💡💡⚫💡⚫
27 — 💡💡⚫💡💡
28 — 💡💡💡⚫⚫
29 — 💡💡💡⚫💡
30 — 💡💡💡💡⚫
31 — 💡💡💡💡💡
32 — 💡⚫⚫⚫⚫⚫
33 — 💡⚫⚫⚫⚫💡
34 — 💡⚫⚫⚫💡⚫
35 — 💡⚫⚫⚫💡💡
36 — 💡⚫⚫💡⚫⚫
37 — 💡⚫⚫💡⚫💡
38 — 💡⚫⚫💡💡⚫
39 — 💡⚫⚫💡💡💡
40 — 💡⚫💡⚫⚫⚫
41 — 💡⚫💡⚫⚫💡
42 — 💡⚫💡⚫💡⚫
43 — 💡⚫💡⚫💡💡
44 — 💡⚫💡💡⚫⚫
45 — 💡⚫💡💡⚫💡
46 — 💡⚫💡💡💡⚫
47 — 💡⚫💡💡💡💡
48 — 💡💡⚫⚫⚫⚫
49 — 💡💡⚫⚫⚫💡
50 — 💡💡⚫⚫💡⚫
51 — 💡💡⚫⚫💡💡
52 — 💡💡⚫💡⚫⚫
53 — 💡💡⚫💡⚫💡
54 — 💡💡⚫💡💡⚫
55 — 💡💡⚫💡💡💡
56 — 💡💡💡⚫⚫⚫
57 — 💡💡💡⚫⚫💡
58 — 💡💡💡⚫💡⚫
59 — 💡💡💡⚫💡💡
60 — 💡💡💡💡⚫⚫
61 — 💡💡💡💡⚫💡
62 — 💡💡💡💡💡⚫
63 — 💡💡💡💡💡💡

Если перед нами число 💡 ⚫💡⚫⚫ 💡💡⚫⚫, мы можем разложить его на разряды, как в предыдущих примерах:

💡 = 1 × 28 = 256

⚫ = 0 × 27 = 0

💡 = 1 × 26 = 64

⚫ = 0 × 25 = 0

⚫ = 0 × 24 = 0

💡 = 1 × 23 = 8

💡 = 1 × 22 = 4

⚫ = 0 × 21 = 0

⚫ = 0 × 20 = 0

256 + 0 + 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 = 332

Получается, что десятипалые люди могут записать это число с помощью цифр 332, а компьютер с транзисторами — последовательностью транзисторов 💡⚫💡⚫⚫ 💡💡⚫⚫.

Если теперь заменить включённые транзисторы на единицы, а выключенные на нули, получится запись 1 0100 1100. Это и есть наша двоичная запись того же самого числа.

Почему говорят, что компьютер состоит из единиц и нулей (и всё тлен)

Инженеры научились шифровать привычные для нас числа в последовательность включённых и выключенных транзисторов.

Дальше эти транзисторы научились соединять таким образом, чтобы они умели складывать зашифрованные числа. Например, если сложить 💡⚫⚫ и ⚫⚫💡, получится 💡⚫💡.  Мы писали об этом подробнее в статье о сложении через транзисторы.

Дальше эти суммы научились получать супербыстро. Потом научились получать разницу. Потом умножать. Потом делить. Потом всё это тоже научились делать супербыстро. Потом научились шифровать не только числа, но и буквы. Научились их хранить и считывать. Научились шифровать цвета и координаты. Научились хранить картинки. Последовательности картинок. Видео. Инструкции для компьютера. Программы. Операционные системы. Игры. Нейросети. Дипфейки.

И всё это основано на том, что компьютер умеет быстро-быстро складывать числа, зашифрованные как последовательности включённых и выключенных транзисторов.

При этом компьютер не понимает, что он делает. Он просто гоняет ток по транзисторам. Транзисторы не понимают, что они делают. По ним просто бежит ток. Лишь люди придают всему этому смысл.

Когда человека не станет, скорость света будет по-прежнему 299 792 458 метров в секунду. Но уже не будет тех, кто примется считать метры и секунды. Такие дела.

Системы счисления (Реферат)

Содержание:

  1. Единичная система счисления
  2. Двоичная система счисления
  3. Восьмеричная система счисления
  4. Шестнадцатеричная система счисления
  5. Заключение
Предмет: Информатика
Тип работы: Реферат
Язык: Русский
Дата добавления: 23.08.2019

 

 

 

 

 

  • Данный тип работы не является научным трудом, не является готовой работой!
  • Данный тип работы представляет собой готовый результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала для самостоятельной подготовки учебной работы.

Если вам тяжело разобраться в данной теме напишите мне в whatsapp разберём вашу тему, согласуем сроки и я вам помогу!

 

По этой ссылке вы сможете найти рефераты по информатике на любые темы и посмотреть как они написаны:

 

 

Посмотрите похожие темы возможно они вам могут быть полезны:

 

 

Введение:

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры. Они с нами везде.

Понятие числа — фундаментальное понятие как математики, так и информатики. Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления.

А что такое система счисления? Система счисления — это способ записи (изображения) чисел. Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число.

Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и «вносит» в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и «вносит» в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными. Позиционные системы счисления — результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

 

Единичная система счисления

 

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой — либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве. Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка.

Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита. Учёные назвали этот способ записи чисел единичной системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков — «палочка». Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Можно предложить, что для облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

 

Двоичная система счисления

 

В этой системе всего две цифры — 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц.

В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.

В основу поисков инженеры и математики положили двоичную двухпозиционную — природу элементов вычислительной техники.

Возьмите, к примеру, двухполюсный электронный прибор — диод. Он может находиться только в двух состояниях: или проводит электрический ток — «открыт», или не проводит его — «заперт». А триггер? Он тоже имеет два устойчивых состояния. По такому же принципу работают запоминающие элементы.

Почему же не использовать тогда двоичную систему счисления? Ведь в ней только две цифры: 0 и 1. А это удобно для работы на электронной машине. И новые машины стали считать с помощью 0 и 1.

Не думайте, что двоичная система — современница электронных машин. Нет, она намного старше. Двоичным счислением люди интересуются давно. Особенно им увлекались с конца XVI до начала XIX века.

Лейбниц считал двоичную систему простой, удобной и красивой. Он говорил, что «вычисление с помощью двоек … является для науки основным и порождает новые открытия … При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».

По просьбе ученого в честь «диадической системы» — так тогда называли двоичную систему — была выбита медаль. На ней изображалась таблица с числами и простейшие действия с ними. По краю медали вилась лента с надписью: «Чтобы вывести из ничтожества все, достаточно единицы».

Перевод из двоичной в десятичную систему счисления

Задача перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную чаще всего возникает уже при обратном преобразовании вычисленных либо обработанных компьютером значений в более понятные пользователю десятичные цифры.

Алгоритм перевода двоичных чисел в десятичные достаточно прост (его иногда называют алгоритмом замещения): Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа. Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:

101101102 = (1·27)+(0·26)+(1·25)+(1·24)+(0·23)+(1·22)+(1·21)+(0·20) = 128+32+16+4+2 = 18210

В электронике устройство, осуществляющее похожее преобразование, называется дешифратором. Дешифратор — это схема преобразующая двоичный код, подаваемый на входы, в сигнал на одном из выходов, то есть дешифратор расшифровывает число в двоичном коде, представляя его логической единицей на выходе, номер которого соответствует десятичному числу.

Перевод из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.

Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Перевод из двоичной в восьмеричную систему счисления

Перевести двоичное число в восьмеричную систему достаточно просто, для этого нужно: Разбить двоичное число на триады (группы из 3-х двоичных цифр), начиная с младших разрядов.

Если в последней триаде (старшие разряды) будет меньше трех цифр, то дополним ее до трех нулями слева. Под каждой триадой двоичного числа записать соответствующую ей цифру восьмеричного числа.

 

Восьмеричная система счисления

 

Восьмеричная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе используется 8 цифр от нуля до семи (0,1,2,3,4,5,6,7).

Применение: восьмеричная система наряду с двоичной и шестнадцатеричной используется в цифровой электронике и компьютерной технике, однако в настоящее время применяется редко (ранее использовалась в низкоуровневом программировании, вытеснена шестнадцатеричной).

 

 

Широкое применение восьмеричной системы в электронной вычислительной технике объясняется тем, что для нее характерен легкий перевод в двоичную и обратно с помощью простой таблицы, в которой все цифры восьмеричной системы от 0 до 7 представлены в виде двоичных триплетов.

История восьмеричной системы счисления

История возникновение восьмеричной системы связывают с такой техникой счета на пальцах, когда считались не пальцы, а промежутки между ними (их всего восемь).

В 1716 году король Швеции Карл XII предложил известному шведскому философу Эмануэлю Сведенборгу разработать числовую систему, основанную на 64 вместо 10. Однако Сведенборг считал, что для людей с меньшим интеллектом, чем король, оперировать такой системой счисления будет слишком трудно и предложил в качестве основания число 8. Система была разработана, но смерть Карла XII в 1718 году помешала ввести ее как общепринятую, данная работа Сведенборга не опубликована.

Перевод из восьмеричной в десятичную систему счисления

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания восьмеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах восьмеричного числа.

Например, требуется перевести восьмеричное число 2357 в десятичное. В этом числе 4 цифры и 4 разряда ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит).

В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 8:

23578 = (2·83)+(3·82)+(5·81)+(7·80) = 2·512 + 3·64 + 5·8 + 7·1 = 126310

Перевод из восьмеричной в двоичную систему счисления Для перевода из восьмеричной в двоичную систему нужно каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр триаду.

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления Для перевода из шестнадцатеричной в двоичную систему нужно каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр тетраду.

 

Шестнадцатеричная система счисления

 

Позиционная система счисления по целочисленному основанию 16.

Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 1010 до 1510, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.

В стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости — с ведущими нулями).

Шестнадцатеричный цвет — запись трёх компонент цвета (R, G и B) в шестнадцатеричном виде.

История шестнадцатеричной системы счисления

Шестнадцатеричная система счисления внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. Минимальной адресуемой (пересылаемой между компонентами компьютера) единицей информации является байт, состоящий, как правило, из 8 бит (англ. bit — binary digit — двоичная цифра, цифра двоичной системы), а два байта, то есть 16 бит, составляют машинное слово (команду). Таким образом, для записи команд удобно использовать систему с основанием 16.

Перевод из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления

Алгоритм перевода чисел из шестнадцатеричной системы счисления двоичную крайне прост. Необходимо только заменить каждую цифру шестнадцатеричного числа ее эквивалентом в двоичной системе счисления (в случае положительных чисел). Отметим только, что каждое шестнадцатеричное число следует заменять двоичным, дополняя его до 4 разрядов (в сторону старших разрядов).

Перевод из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число F45ED23C в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (помним, что разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит).

В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

F45ED23C16 = (15·167)+(4·166)+(5·165)+(14·164)+(13·163)+(2·162)+(3·161)+(12·160) = 409985490810

Перевод из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления

Обычно при переводе чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления вначале шестнадцатеричное число переводят в двоичное, затем разбивают его на триады, начиная с младшего бита, а потом заменяют триады соответствующими им эквивалентами в восьмеричной системе.

 

Заключение

 

Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что они говорят на разных языках, они считают одно и то же «по-арабски». Но так было не всегда. Даже около пятисот лет назад такого не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о Африке или Америке. Тем не менее, люди все-таки как-то записали цифры.

У каждой нации была своя или заимствованная система регистрации чисел у соседа. Некоторые использовали буквы, другие использовали значки, а другие использовали загогулины. Кому-то было удобнее, кому-то нет. На данный момент мы используем разные системы счисления разных наций, несмотря на то, что десятичная система счисления имеет ряд преимуществ перед другими.

Вавилонская шестизначная система счисления все еще используется в астрономии. Ее след сохранился до наших дней. Мы все еще измеряем время в шестидесяти секундах, в часах шестьдесят минут, и оно также используется в геометрии для измерения углов. Римская непозиционная система счисления используется нами для обозначения абзацев, разделов и, конечно, в химии.

Компьютерная технология использует двоичную систему. Именно из-за использования только двух чисел 0 и 1 он лежит в основе работы компьютера, поскольку он имеет два стабильных состояния: низкое или высокое напряжение, есть ток или нет тока, намагничен или не намагничен. Для людей двоичная система счисления неудобна из-за громоздкости написания кода, но не так удобно преобразовывать числа из двоичных в десятичные и наоборот, поэтому мы начали использовать восьмеричные и шестнадцатеричные системы обозначений.

Запиши ответы. ( запиши данное число в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системе

Запиши ответы. ( запиши данное число в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления)
Системы счисления:
Десятичная: 10
Двоичная:
Во

сьмеричная:
Шестнадцатеричная:

1) Какие существуют два вида электронно-цифровой графики? 2) Какое значение параметра Resolution (Расширение) необходимо использовать для экранной кар

тинки? 3) Какое значение параметра Resolution (Расширение) необходимо использовать для печати картинки? 4) В чем разница применения Vibrance (Красочность) и Saturation (Насыщенность)?​

нет компонентов на виндовс 10 в «панель управления» «программв и компоненты» «вкл.или откл.компонентов виндовс»​

ПОМОГИТЕ ПРОШУ ВАС УМОЛЯЮ УЖЕ 3 ДЕНЬ ПИШУ 100 БАЛЛОВ (┬┬﹏┬┬)ಥ_ಥС помощью HTML разметки создать простейшую WEB-страницу на тему «Мои увлечения». На стр

анице разместите информацию о ваших увлечениях, добавьте иллюстрацию, подходящую по смыслу.На проверку нужно прислать скриншоты созданных страниц и скриншоты с отображением HTML-кода.За неправильный ответ УДАЛЕНИЕ ヽ(≧□≦)ノ

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА 100 БАЛЛОВ ПРОШУ С помощью HTML разметки создать простейшую WEB-страницу на тему «Мои увлечения». На странице разместите информаци

ю о ваших увлечениях, добавьте иллюстрацию, подходящую по смыслу.На проверку нужно прислать скриншоты созданных страниц и скриншоты с отображением HTML-кода.За не правильный или не полный ответ удалю

Здравствуйте, помогите мне. Даю 100 баллов.Скажите какой это шифр (название)И если не сложно то и расшифровать, можно и не расшифровывать, но скажите

хотябы название.Вот шифрMTEwMDAxIDExMDEwMCAxMDExMDEgMTEwMDAxIDExMDEwMSAxMDExMDEgMTEwMDAxIDExMDExMCAxMDExMDEgMTEwMTAwIDEwMTEwMSAxMTAwMDEgMTEwMDAwIDEwMTEwMSAxMTAxMTAgMTAxMTAwIDEwMDAwMCAxMTAwMTEgMTEwMDAxIDEwMTEwMSAxMTAwMTAgMTEwMDAwIDEwMTEwMSAxMTAwMDEgMTEwMTEwIDEwMTEwMSAxMTAwMDEgMTEwMDAxIDEwMDAwMCAxMTAwMTEgMTEwMDAxIDEwMTEwMSAxMTAwMTAgMTEwMDAwIDEwMTEwMSAxMTAwMTAgMTEwMDAxIDEwMDAwMCAxMTAwMTAgMTEwMDAwIDEwMTEwMSAxMTAwMTAgMTEwMDAxIDEwMTEwMSAxMTAxMDEgMTAxMTAxIDExMDAwMSAxMDAwMDAgMTEwMDEwIDEwMDAwMCAxMTAwMDEgMTEwMDAwIDEwMTEwMSAxMTAxMDEgMTAxMTAxIDExMDAwMSAxMTAwMDAgMTAwMDAwIDExMDExMCAxMDExMDEgMTEwMTEwIDExMTExMSAxMDAwMDAgMTEwMDAxIDExMDAwMCAxMDAwMDAgMTEwMDAxIDExMDExMSAxMDExMDEgMTEwMDEwIDExMDAwMSAxMDExMDEgMTEwMDEwIDExMDAwMCAxMDExMDEgMTEwMDAxIDExMDEwMSAxMDExMDEgMTEwMDAxIDExMDAwMCAxMDExMDEgMTEwMDAxIDExMDAxMCAxMDAwMDAgMTEwMTEwIDEwMTEwMSAxMTAxMTAgMTAwMDAwIDExMDAxMSAxMDExMDEgMTEwMTEwIDEwMTEwMSAxMTAwMTAgMTEwMTExIDEwMTEwMSAxMTAwMTEgMTEwMDAwIDEwMDAwMCAxMTAwMDEgMTEwMTEwIDEwMTEwMSAxMTAwMDEgMTEwMTAxIDEwMTEwMSAxMTAwMDEgMTAwMDAwIDExMDAxMCAxMTAwMTEgMTAxMTAxIDExMDAwMSAxMTAxMTAgMTAxMTAxIDExMDAxMCAxMTAwMDAgMTAxMTAxIDExMDAxMSAxMTAwMTEgMTAxMTAxIDExMDAxMCAxMTAwMDAgMTAwMDAwIDExMDAwMSAxMTAwMDAgMTAwMDAwIDExMDAwMSAxMTAxMDEgMTAxMTAxIDExMDAwMSAxMTAxMTAgMTAwMDAwIDExMDAwMSAxMTAxMTAgMTAxMTAxIDExMDAxMCAxMTAwMDAgMTAxMTAxIDExMDAwMSAxMTAwMTAgMTAxMTAxIDExMDAxMCAxMTAwMDEgMTAxMTAxIDExMDEwMSAxMDExMDEgMTEwMDAxIDEwMDAwMCAxMTAwMDEgMTEwMDAwIDEwMTEwMSAxMTAxMDAgMTAxMTAxIDExMDAwMSAxMTEwMDAgMTAxMTAxIDExMDAwMSAxMTAxMTAgMTAxMTAxIDExMDAwMSAxMTAwMTAgMTAxMTAxIDExMDAwMSAxMDAwMDAgMTEwMDExIDExMDAwMSAxMDExMDEgMTEwMDEwIDExMDAwMCAxMDExMDEgMTEwMDAxIDExMDExMCAxMDExMDEgMTEwMDAxIDExMDAwMSAxMDAwMDAgMTEwMDAxIDExMDAwMCAxMDExMDEgMTEwMDAxIDExMDEwMCAxMDExMDEgMTEwMTEwIDEwMTEwMSAxMTAwMTEgMTEwMDEwIDEwMTEwMSAxMTAwMTAgMTEwMDAwIDEwMDAwMCAxMTAwMDEgMTEwMTAwIDEwMTEwMSAxMTAwMDEgMTEwMTAxIDEwMTEwMSAxMTAwMDEgMTEwMTEwIDEwMTEwMSAxMTAxMDAgMTAxMTAxIDExMDAwMSAxMTAxMTAgMTAwMDAwIDExMDAxMSAxMDExMDEgMTExMDAxIDEwMTEwMSAxMTAwMTEgMTEwMDExIDEwMTEwMSAxMTAwMDEgMTEwMDExIDEwMTEwMSAxMTAwMDEgMTAxMTAxIDExMDAwMSAxMTEwMDEgMTAxMTAxIDExMDAxMSAxMTAwMDAgMTAwMDAwIDExMDAwMSAxMTAwMDAgMTAxMTAxIDExMDEwMSAxMDExMDEgMTEwMDAxIDExMDAwMCAxMDAwMDAgMTEwMDExIDEwMTEwMSAxMTAxMTAgMTAxMTAxIDExMDAxMCAxMTAxMTEgMTAxMTAxIDExMDAwMSAxMTAwMDA=

Лесенки Лесенкой называется набор кубиков, в котором каждый следующий горизонтальный слой содержит меньше кубиков, чем слой под ним. Требуется подсчит

ать количество различных лесенок, которые могут быть построены ровно из кубиков.
даю 100 баллов

Постройте графическую модель Вашей комнаты, указав на ней расположение всех предметов мебели, окон и дверей. Запишите название построенной модели (кар

та, схема, чертеж, график).
Что такое иерархическая система? Приведите три различных примера иерархических структур.
помогите vimmortal2

задание на фото помогите с++

Висоти трикутника
Обчислити висоти трикутника зі сторонами a, b, c.
Вхідні дані
У єдиному рядку через пропуск три натуральні числа — сторони трикутник

а: a, b, c. Всі вхідні дані не перевищують 100.
Вихідні дані
Висоти, опущені до відповідних сторін через пропуск: ha, hb, hc. Результат вивести з точністю 2 цифри після десяткової крапки.
Вхідні дані
3 4 5
Вихідні дані
4.00 3.00 2.40

Позиционные системы счисления (2) (Реферат)

РАБОТА
ПО

ИНФОРМАТИКЕ

ТЕМА
«Позиционные системы счисления»

Ученицы

11
класса «А»

Калашниковой
Анны

МОСКВА 2004 год

План

  1. Арифметические
    основы построения ЭВМ

  2. Непозиционные
    и позиционные системы счисления

  3. Непозиционные
    системы счисления

  4. Позиционные
    системы счисления

  5. Системы
    счисления

  6. Десятичная
    система счисления

  7. Двоичная
    система счисления

  8. Восьмеричная
    система счисления

  9. Шестнадцатиричная
    система счисления

  10. Перевод
    из одной системы счисления в другую

  11. Перевод
    целых чисел

  12. Перевод
    правильных дробей

  13. Правила
    перевода из системы счисления в систему
    счисления

  14. Представление
    чисел в различных системах счисления

  15. Вопросы
    и задачи. Ответы и решения.

  16. Средства
    процессора Word, используемые
    в данной работе.

  17. Список
    литературы.

Арифметические
основы построения ЭВМ

Непозиционные и позиционные
системы счисления

Системой
счисления называется совокупность
правил для обозначения (записи)
действительных чисел с помощью цифровых
знаков. Для записи чисел в конкретных
системах счисления используется
некоторый конечный алфавит, состоящий
из цифр а

1, а2,
а3,….,аn.
При этом каждой цифре аi
в записи числа ставится в соответствие
определенный количественный
эквивалент. Различают непозиционные и
позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

В
ней количественный эквивалент каждой
цифры, входящей в запись данного числа,
не зависит от места (позиции) этой цифры
в ряду других цифр. Пример: римская
система счисления. В ней для записи
различных целых чисел используются
символы I,
V, X, L, C, D, M и
т.д., обозначающие соответственно 1, 5,
10, 50, 100, 500, 1000 и т.д. Например, запись
MCMLXXXV
означает
число 1985. Общим недостатком непозиционных
систем является сложность представления
в них достаточно больших чисел, так как
при этом получается чрезвычайно
громоздкая запись чисел или требуется
очень большой алфавит используемых
цифр. В ЭВМ применяют только позиционные
системы счисления, в которых количественный
эквивалент каждой цифры алфавита зависит
не только от вида этой цифры, но и от ее
местоположения в записи числа.

Позиционные системы счисления

В
позиционных системах счисления вес
каждой цифры изменяется в зависимости
от ее позиции в последовательности
цифр, изображающих число. Любая позиционная
система характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления
— это количество различных знаков или
символов, используемых для изображения
цифр в данной системе. За основание
можно принять любое натуральное число
— два, три, четыре, шестнадцать и т.д.
Следовательно, возможно бесконечное
множество позиционных систем.

Системы счисления

Десятичная система счисления.

Пришла
в Европу из Индии, где она появилась не
позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не
только цифра, но и место, на котором
цифра стоит (то есть ее позиция). В
десятичной системе счисления особую
роль играют число 10 и его степени: 10,
100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа
показывает число единиц, вторая справа
— число десятков, следующая — число сотен
и т.д. Позиции цифр в записи числа называют
его разрядами. В десятичной системе
счисления вес каждого разряда в 10 раз
больше веса предыдущего. Всякое число
в десятичной системе счисления можно
представить в виде суммы различных
целых степеней десяти с соответствующими
коэффициентами аi
(0-9), взятыми из алфавита данной системы
счисления. Например: 245,83 = 2 * 102 + 4
* 101 + 5 * 100 + 8 * 10-1 + 3 *
10-2. Любое десятичное позиционное
число N можно представить
с помощью целых степеней десяти, взятых
с соответствующими коэффициентами,
т.е.

N10
= am
* 10m
+ am-1
* 10m-1
+ …+ a1*10+
+a0 *
100 +
a-1 *
10-1 +…+
a-n *
10-n.

Двоичная система счисления.

В
этой системе всего две цифры — 0 и 1. Особую
роль здесь играет число 2 и его степени:
2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа
показывает число единиц, следующая
цифра — число двоек, следующая — число
четверок и т.д. Двоичная система счисления
позволяет закодировать любое натуральное
число — представить его в виде
последовательности нулей и единиц. В
двоичном виде можно представлять не
только числа, но и любую другую информацию:
тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи.
Инженеров двоичное кодирование привлекает
тем, что легко реализуется технически.
Наиболее простыми с точки зрения
технической реализации являются
двухпозиционные элементы, например,
электромагнитное реле, транзисторный
ключ.

Восьмеричная система счисления.

В
этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем
разряде, означает — как и в десятичном
числе — просто единицу. Та же цифра 1 в
следующем разряде означает 8, в следующем
64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не
что иное, как 64 (десятичное). Чтобы
перевести в двоичную систему, например,
число 611 (восьмеричное), надо заменить
каждую цифру эквивалентной ей двоичной
триадой (тройкой цифр). Легко догадаться,
что для перевода многозначного двоичного
числа в восьмиричную систему нужно
разбить его на триады справа налево и
заменить каждую триаду соответствующей
восьмеричной цифрой.

Шестнадцатиричная система
счисления.

Запись
числа в восьмеричной системе счисления
достаточно компактна, но еще компактнее
она получается в шестнадцатеричной
системе. В качестве первых 10 из 16
шестнадцатеричных цифр взяты привычные
цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве
остальных 6 цифр используют первые буквы
латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра
1, записанная в самом младшем разряде,
означат просто единицу. Та же цифра 1 в
следующем — 16 (десятичное), в следующем
— 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная
в самом младшем разряде, означает 15
(десятичное). Перевод из шестнадцатеричной
системы в двоичную и обратно производится
аналогично тому, как это делается для
восьмеричной системы.

Перевод из одной
системы счисления в другую

Перевод целых чисел

Для
перевода целых чисел из одной системы
счисления с основанием S
в другую с основанием S1
надо это число последовательно делить
на основание S1 новой
системы счисления до тех пор, пока не
получится частное меньше S1.
Число в новой системе запишется в
виде остатков деления, начиная с
последнего. Это последнее частое дает
цифру старшего разряда в новой системе
счисления. Деление выполняют в исходной
системе счисления. Например:

37710=1011110012

Перевод правильных дробей

Для
перевода правильной дроби из одной
системы счисления в другую необходимо
эту дробь последовательно умножать на
основание той системы , в которую она
переводится, перемножаются только
дробные части. Дробь в новой системе
записывается в виде целых частей
получающихся произведений, начиная с
первого. Например:

0,6875 0,67510=0,100112

* 2

1,3750

* 2

0,7500

* 2

1,5000

* 2

1,0000

При
переводе неправильных десятичных дробей
необходимо пользуясь рассмотренными
правилами выполнить отдельно перевод
целой и дробной частей.

Правила перевода
из системы счисления в систему счисления

  1. Для
    перевода чисел из любой системы счисления
    в десятичную необходимо:

А) Старшую цифру
исходного числа умножить на основание
старой системы счисления и прибавить
следующую цифру исходного числа

Б)Результат
опять умножить на основание старой
системы счисления и прибавить следующую
цифру исходного числа

В) Процесс
перевода заканчивается после прибавления
последней самой младшей цифры исходного
числа

  1. Для
    перевода чисел из десятичной системы
    счисления в любую необходимо делить
    исходное число на основание новой
    системы счисления до тех пор пока
    последнее частное не станет меньше
    основания новой системы счисления.
    Результат складывается из остатков
    деления, начиная с последнего.

  2. Для
    перевода чисел из любой системы счисления
    в любую необходимо исходное число
    перевести в десятичную систему по
    первому правилу (умножением), полученное
    десятичное число перевести в искомую
    систему по второму правилу (деление).

  3. Для
    перевода чисел из систем счисления,
    которые являются степенью двойки
    необходимо:

А) из 16-ричной
в 2-ичную: для перевода 16-ричного числа
в двоичную систему необходимо каждую
цифру 16-ричного числа заменить 4-х
разрядным двоичным значением.

Б) из 8-ричной в
2-ичную: Каждую цифру 8-ричного числа
необходимо заменить 3-х разрядным
двоичным значением.

Представление
чисел в различных системах счисления

Системы
счислений

Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадцатиричная

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

А

11

1011

13

В

12

1100

14

С

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

Вопросы и задачи.
Ответы и решения

  1. Дать
    определение системы счисления. Назвать
    и охарактеризовать свойства системы
    счисления.

  2. Какие
    символы используются для записи чисел
    в двоичной системе счисления, восьмеричной,
    шестнадцатеричной?

  3. Зашифруйте
    следующие десятичные числа, преобразовав
    их в двоичные (восьмеричные,
    шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128.

  4. Дешифруйте
    следующие двоичные числа, преобразовав
    их в десятичные: 0010, 1011, 11101, 0111, 0101.

  5. Дешифруйте
    следующие восьмеричные числа, преобразовав
    их в десятичные: 777, 375, 111, 1015.

  6. Дешифруйте
    следующие шестнадцатеричные числа,
    преобразовав их в десятичные: 15, A6, 1F5,
    63.

  7. 2.
    Перевести данное число в десятичную
    систему счисления: 0000012;
    1000011111,01012; 1216,048; 29A,516

  8. Перевести
    данное число из десятичной системы
    счисления в двоичную: а) 46410; б)
    380,187510; в) 115,9410

  • 10000012=1×
    26+0× 25+0× 24+0× 23+0×
    22+ 0× 21+1× 20 = 64+1=6510.

  • 1000011111,01012=1×29
    + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 1×21
    + 1×20 + 1×2-2 + 1×2-4 = 512 +
    16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,312510.

  • 1216,048=1×83+2×82+1×81+6×80+4×
    8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,062510.

  • 29A,516=
    2×162+9×161+10×160+5×16-1
    = 512+144+10+0,3125 = 656,312510.

  • а)
    46410  1110100002;
    б) 380,187510
    101111100,00112; в) 115,9410
    1110011,11110(2)

Средства
процессора Word,
используемые в данной работе.

  • Главным
    средством процессора Word,
    использованный в этой работе, является
    форматирование текста. Основной текст
    расположен «по ширине», заголовки –
    выравнивание «по центру», остальные
    части текста – «по левому краю» или
    «по правому краю».

  • В
    данной работе было применено форматирование
    абзацев, изменение шрифтов и стилей,
    использование списков и использование
    границ.

  • Также
    в тексте присутствует таблица, созданная
    в программе Excel, а затем
    копированная в данный текст. Этот способ
    более удобен, чем создание таблиц
    непосредственно в Word’е.

Список литературы

  • Л.З.Шауцукова,
    «Основы информатики в вопросах и
    ответах», Издательский центр «Эль-Фа»,
    Нальчик, 1994

Система нумерации для отслеживания вашего тура по цифровой фотографии Фотографии

Одна из первых вещей, о которой должен подумать любой цифровой фотограф, — это система нумерации цифровых фотографий. Тем не менее, очень немногие задумываются об этом. Одно из истинных преимуществ цифровой фотографии — это возможность систематизировать фотографии. Однако без хорошей системы нумерации это преимущество резко сокращается.

Система нумерации фотографий в папках (Щелкните изображение, чтобы увеличить)

Примером того, как что-то может сбиться с пути, может быть следующий сценарий, к которому, я уверен, мы все можем относиться.Допустим, вы много путешествуете и в конце года решаете встретить Новый год, чтобы показать друзьям и семье все замечательные места, которые вам посчастливилось побывать. Если вы путешествовали со мной и Таней в одном из наших фото-туров, возможно, вы посетили Кению, Коста-Рику, Йеллоустон зимой, Канадские Скалистые горы, Индию или любое количество других сказочных мест. Готовясь к большой праздничной презентации, вы начинаете выбирать изображения из разных папок с цифровыми фотографиями для путешествий.Чтобы собрать все свои лучшие фотографии, вы создаете папку на рабочем столе под названием «Фотографии путешествий». Вы начинаете добавлять фотографии в эту папку, одно из Кении, одно из Индии, еще несколько из Коста-Рики и еще несколько из Йеллоустона зимой. Когда вы перетаскиваете одно изображение за другим в папку Travel Photo, внезапно начинает появляться сообщение с предупреждением: «Файл, который вы пытаетесь добавить, уже существует. Вы хотите перезаписать этот файл? » или что-то подобное. Если вы ответите «да», вы замените один файл фотографии чем-то совершенно другим.Почему это происходит? Это потому, что вы отказались от внедрения системы нумерации файлов цифровых фотографий, которая гарантирует, что каждому изображению будет присвоен собственный уникальный номер.

В большинстве случаев эта проблема возникает из-за того, что камера или камеры присваивают номер каждому отдельному файлу. Большинство цифровых камер создают постоянный текущий номер, который увеличивается на единицу для каждого захваченного файла. Обычно наибольшее количество камер составляет 10 000. Когда камера достигает 10 000 кадров, она сбрасывается и начинает новую серию из 10 000 кадров.Если у вас есть две камеры, каждая из которых создает свои собственные номера файлов фотографий от 1 до 10 000, и если вы не введете обозначение, идентифицирующее каждую отдельную камеру, у вас будет 10 000 возможностей иметь изображения, которые будут перезаписывать друг друга. Если вы используете какой-то идентификатор камеры, вы дадите себе дополнительное время, прежде чем ваши файлы начнут спотыкаться. В любом случае, если вы сделаете изрядное количество снимков, что делает большинство цифровых шутеров, вскоре вы начнете видеть предупреждение о перезаписи одного изображения поверх другого.

Фото индивидуального фото с номером

Какой ответ? Есть пара, которая мне нравится. Что касается меня, я решил внедрить постоянный текущий номер. Другими словами, мои цифровые файлы начали с номера 1 еще в 2003 году и сейчас продолжают работать. В настоящее время моя текущая числовая система только что превысила 300 000, что означает все фотографии, которые я сделал с тех пор в цифровом формате. Эта опция присваивает каждому цифровому файлу собственный конкретный номер и делает это с наименьшим возможным количеством цифр.

Второй вариант нумерации заключается в присвоении имени каждому цифровому файлу номеров, созданных на основе даты и времени съемки изображения. Единственная ситуация, в которой я могу представить, что этот вариант не сработает, — это если фотограф снимал одну или несколько камер удаленно на высокой скорости. Тогда у вас будет возможность делать снимки в одно и то же время. Но для большинства фотографов это хороший вариант, поскольку никто из моих знакомых не снимает двумя камерами одновременно. Многие из нас снимают на две камеры, но не в одно и то же время.Единственным недостатком этой системы является то, что номера файлов могут быть довольно длинными и громоздкими.

Оба эти параметра доступны в процессе загрузки / выгрузки большинства качественных программных пакетов. Программное обеспечение, которое я использовал для выполнения любого из упомянутых выше вариантов нумерации / переименования, включает Nikon View NX2, Adobe Lightroom, Apple Aperture и мое любимое программное обеспечение, специально предназначенное для нумерации, Photo Mechanic. У Photo Mechanic и Apple’s Aperture больше всего возможностей. Adobe Lightroom занимает второе место, но в нем отсутствует возможность выбора размещения изображений в папках по дате их загрузки, а не по дате их съемки.То, что кажется незначительной проблемой, превращается в большую проблему, когда система нумерации постоянно работает. Если у вас есть изображения на камере, которые, возможно, не использовались какое-то время, изображения будут загружены в какую-то более раннюю папку, что приведет к выходу вашей текущей системы нумерации из строя. Это одна из причин, по которой мне нравится система номеров по дате, но я начал с порядкового номера и пока планирую придерживаться его. Все упомянутые программы предлагают множество различных возможностей. Найти тот, который вам понравится, будет личным выбором.

Я надеюсь, что приведенная выше информация поможет дать вам представление о том, как вы, возможно, захотите реализовать качественную систему нумерации для себя. Я напишу дополнительную партию статей с более подробной информацией о том, как я использую систему, которая есть у меня в другом обновлении блога. Вы можете подумать, как может быть еще? Что ж, следите за обновлениями, и я думаю, вы будете удивлены.

Индус — арабская система счисления и римские цифры

Цели обучения

  • Ознакомьтесь с эволюцией системы подсчета, которую мы используем каждый день
  • Запись чисел римскими цифрами
  • Преобразование между индуистско-арабскими и римскими цифрами

Развитие системы

Наша собственная система счисления, состоящая из десяти символов {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, называется Hindu — арабская система .Это десятичная (десятичная) система счисления, поскольку разряды увеличиваются в степени десяти. Кроме того, эта система является позиционной, что означает, что положение символа влияет на значение этого символа в числе. Например, позиция символа 3 в числе 435 681 дает ему значение, намного большее, чем значение символа 8 в том же числе. Позже мы рассмотрим базовые системы более подробно. Разработка этих десяти символов и их использование в позиционной системе пришла к нам в первую очередь из Индии.

Рис. 10. Аль-Бируни

Только в пятнадцатом веке символы, с которыми мы знакомы сегодня, впервые обрели форму в Европе. Однако история этих чисел и их развития насчитывает сотни лет. Одним из важных источников информации по этой теме является писатель аль-Бируни, фотография которого показана на рисунке 10. Аль-Бируни, который родился в современном Узбекистане, несколько раз посещал Индию и делал комментарии по индийской системе счисления.Когда мы смотрим на происхождение чисел, с которыми столкнулся аль-Бируни, мы должны вернуться к третьему веку до нашей эры, чтобы исследовать их происхождение. Именно тогда и использовались цифры Брахми.

Цифры Брахми были более сложными, чем те, которые используются в нашей современной системе. У них были отдельные символы для чисел от 1 до 9, а также отдельные символы для 10, 100, 1000,…, а также для 20, 30, 40,… и другие символы для 200, 300, 400,…, 900. Брахми символы для 1, 2 и 3 показаны ниже.

Эти цифры использовались вплоть до четвертого века нашей эры, с вариациями в зависимости от времени и географического положения. Например, в первом веке нашей эры один конкретный набор цифр Брахми принял следующую форму:

Начиная с четвертого века, вы фактически можете проследить несколько различных путей, по которым числа Брахми шли к разным точкам и воплощениям. Один из этих путей привел к нашей нынешней системе счисления и прошел через так называемые числа Гупта.Цифры Гупта были заметны во времена правления династии Гуптов и были распространены по всей империи, когда они завоевывали земли в течение четвертого-шестого веков. Они имеют следующий вид:

Вопрос о том, как числа попали в форму Гупты, является предметом серьезных споров. Было предложено множество возможных гипотез, большинство из которых сводятся к двум основным типам. Гипотеза первого типа гласит, что цифры произошли от начальных букв названий чисел. Это не редкость.. . греческие цифры развивались таким образом. Второй тип гипотез утверждает, что они произошли из какой-то более ранней системы счисления. Однако есть и другие гипотезы, одна из которых принадлежит исследователю Ифрах. Его теория состоит в том, что изначально было девять цифр, каждая из которых была представлена ​​соответствующим количеством вертикальных линий. Одна из возможностей такова:

Поскольку для написания этих символов потребовалось бы много времени, они в конечном итоге превратились в курсивные символы, которые можно было писать быстрее.Если мы сравним их с числами Гупта, указанными выше, мы можем попытаться увидеть, как мог происходить этот эволюционный процесс, но наше воображение было бы почти всем, на что нам пришлось бы полагаться, поскольку мы не знаем точно, как этот процесс разворачивался.

Цифры Гупта в конечном итоге превратились в другую форму цифр, названную цифрами Нагари, и они продолжали развиваться до одиннадцатого века, в то время они выглядели так:

Обратите внимание, что к этому времени появился символ 0! Однако у майя в Америке задолго до этого был символ нуля, как мы увидим позже в этой главе.

Эти цифры были приняты арабами, скорее всего, в восьмом веке во время исламских вторжений в северную часть Индии. Считается, что арабы способствовали их распространению в других частях мира, включая Испанию (см. Ниже).

Другие примеры вариаций до одиннадцатого века включают:

Рисунок 11. Девангари, восьмой век

Рисунок 12. Западно-арабский гобар, 10 век

Рисунок 13. Испания, 976 г. до н. Э.

Наконец, на рис. 14 показаны различные формы этих цифр по мере их развития и в конечном итоге схождения в Европе в пятнадцатом веке.

Рисунок 14.

Римские цифры

Числовая система, представленная римскими цифрами возникла в Древнем Риме ( 753 до н.э. — 476 н.э.) и оставалась обычным способом записи чисел по всей Европе вплоть до позднего средневековья (обычно включающего 14 и 15 века (ок. 1301–1500)). Числа в этой системе представлены комбинациями букв латинского алфавита. Римские цифры, используемые сегодня, основаны на семи символах:

Символ I В X л С D M
Значение 1 5 10 50 100 500 1 000

Использование римских цифр продолжалось еще долгое время после упадка Римской империи.Начиная с XIV века римские цифры в большинстве случаев стали заменяться более удобными индо-арабскими цифрами; однако этот процесс был постепенным, и римские цифры используются в некоторых второстепенных приложениях и по сей день.

Цифры от 1 до 10 обычно выражаются римскими цифрами следующим образом:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X .

Числа образуются путем комбинирования символов и сложения значений, таким образом, II — это два (две единицы), а XIII — тринадцать (десять и три единицы).Поскольку каждая цифра имеет фиксированное значение, а не представляет собой число, кратное десяти, ста и так далее, в соответствии с позицией , позиция , нет необходимости в нулях «с сохранением места», как в числах типа 207 или 1066; эти числа записываются как CCVII (две сотни, пять и две единицы) и MLXVI (тысяча, пятьдесят, десять, пять и один).

Символы располагаются слева направо в порядке значений, начиная с самого большого. Однако в некоторых конкретных случаях, чтобы избежать последовательного повторения четырех символов (например, IIII или XXXX), используется вычитающая запись: как в этой таблице:

Номер 4 9 40 90 400 900
Римская цифра IV IX XL XC CD СМ

Итого:

  • Я поставил перед V или X означает на единицу меньше, поэтому четыре — это IV (один меньше пяти), а девять — IX (один меньше десяти)
  • X, помещенный перед L или C, означает на десять меньше, поэтому сорок — это XL (десять меньше, чем пятьдесят), а девяносто — это XC (десять меньше, чем сто)
  • C, помещенная перед D или M, означает, что на сто меньше, поэтому четыреста — это CD (сто меньше пятисот), а девятьсот — это CM (сто меньше тысячи).

Пример

Напишите индусско-арабскую цифру для MCMIV.

Показать решение

Одна тысяча девятьсот четыре, 1904 г. (M — тысяча, CM — девятьсот, IV — четыре)

Современное применение

К XI веку индуистско-арабские цифры были завезены в Европу из Аль-Андалуса через арабских торговцев и арифметические трактаты. Римские цифры, однако, оказались очень стойкими, оставаясь обычным явлением на Западе вплоть до 14-15 веков, даже в бухгалтерских и других деловых записях (где фактические расчеты производились бы с использованием счётов).Замена их более удобными «арабскими» эквивалентами была довольно постепенной, и римские цифры все еще используются сегодня в определенных контекстах. Вот несколько примеров их текущего использования:

Испанский реал с использованием «IIII» вместо IV

  • Имена монархов и пап, например Елизавета II Соединенного Королевства, Папа Бенедикт XVI. Они называются королевскими числами; например II произносится как «второй». Эта традиция спорадически зародилась в Европе в средние века и получила широкое распространение в Англии только во время правления Генриха VIII.Раньше монарх был известен не по цифрам, а по эпитету, например, Эдуард Исповедник. Некоторые монархи (например, Карл IV в Испании и Людовик XIV во Франции), кажется, предпочитали использовать IIII вместо IV на своих монетах (см. Иллюстрацию).
  • Суффиксы поколений, особенно в США, для людей, носящих одно и то же имя из поколения в поколение, например William Howard Taft IV.
  • Во французском республиканском календаре, инициированном во время Французской революции, годы были пронумерованы римскими цифрами — от года I (1792 г.), когда этот календарь был введен, до года XIV (1805 г.), когда он был заброшен.
  • Год производства фильмов, телешоу и других произведений искусства в рамках самого произведения. BBC News предположили, возможно, шутливо, что это было первоначально сделано «в попытке скрыть век фильмов или телевизионных программ». [23] Вне ссылки на работу будут использоваться обычные индо-арабские цифры.
  • Часовые метки на часах. В этом контексте 4 обычно пишется как IIII.
  • Год постройки фасадов и краеугольных камней зданий.
  • Нумерация страниц предисловий и вступлений к книгам, а иногда и приложений.
  • Номера томов и глав книги, а также несколько актов в пьесе (например, Акт III, Сцена 2).
  • Продолжение некоторых фильмов, видеоигр и других произведений (как в Rocky II ).
  • Контуры, в которых используются числа для отображения иерархических отношений.
  • Возникновение повторяющихся грандиозных событий, например:
    • Летние и зимние Олимпийские игры (e.г. XXI зимние Олимпийские игры; Игры ХХХ Олимпиады)
    • Суперкубок, ежегодный чемпионат Национальной футбольной лиги (например, Суперкубок XXXVII; Суперкубок 50 — единовременное исключение [24] )
    • WrestleMania, ежегодное мероприятие по профессиональному рестлингу для WWE (например, WrestleMania XXX). Это использование также было непоследовательным.

Что такое двоичный? (с иллюстрациями)

Двоичная система — это система счисления, в которой для представления всех действительных чисел используются две цифры.В то время как наиболее распространенная система счета, десятичная, использует десять цифр, в двоичной системе используются только 0 и 1.

В двоичной системе счисления используются только два числа: 1 и 0.

Таким образом, каждая цифра в двоичной системе счисления представляет собой степень двойки.Первая цифра справа представляет 0-ю степень, вторая представляет 1-ю степень, третья представляет 2-ю степень и так далее. Таким образом, число 1 в десятичной системе счисления также представлено как 1 в двоичной системе. Число 23, напротив, представлено как 10111 (16 + 0 + 4 + 2 + 1).

В общем смысле двоичные системы могут быть чем угодно, что предлагает только два варианта, не обязательно ограничиваясь числовыми системами.

Десятичная система имеет смысл для людей. У нас десять пальцев на руках и десять пальцев на ногах, поэтому, когда первые люди начали считать вещи, они обратились к этим легко доступным маркерам. Позже, когда системы счета были кодифицированы, было естественным преобразовать уже использовавшуюся десятичную систему в репрезентативную.Однако двоичная система также является довольно естественной, поскольку многие вещи либо «есть», либо «не являются». Многие спиритуалистические традиции, такие как пифагорейцы и некоторые индийские мистики, поэтому использовали эту систему, начиная с 6 века до нашей эры.

В 1854 году математик Джордж Буль опубликовал центральную статью о двойных системах.В этой статье заложена основа того, что в конечном итоге будет называться булевой алгеброй. С появлением электроники эти системы внезапно приобрели невероятный смысл. Большинство электронных систем работают в системе с переключателем, при этом ток либо работает, либо нет. В 1937 году Клод Шеннон заложил основы теории схемотехники, используя двоичную арифметику. В 1940 году эра двоичных вычислений началась с выпуска Bell Labs Complex Number Computer, который смог выполнять чрезвычайно сложные математические вычисления с использованием этого типа системы.

В более общем смысле двоичные системы могут быть чем угодно, что предлагает только два варианта, не обязательно ограничиваясь числовыми системами. В случае электронных переключателей, например, система состоит из тока — нет. Другой пример — экзамен «верно-неверно».Вопросы типа «да-нет» также имеют бинарный характер.

Существуют математические методы преобразования двоичных чисел в десятичные и наоборот. Существуют также математические устройства для выполнения таких функций, как сложение, вычитание, умножение и деление в различных системах счисления, включая двоичную.В то время как преобразование в десятичную или из десятичной системы несколько затруднено, преобразование между двоичной и восьмеричной или шестнадцатеричной системами, основанием восемь и основание 16 соответственно, намного проще. Это связано с тем, что и восемь, и 16 являются степенями двойки, что позволяет им хорошо интегрироваться с двоичными системами. По этой причине и восьмеричные, и шестнадцатеричные системы широко используются в компьютерных приложениях.

Системы счисления

Смысл числа

Чувство числа — это не способность считать, а способность распознавать изменения в небольшой коллекции.Некоторые виды животных на это способны.

Если изменить количество детенышей у материнского животного, это заметят все млекопитающие и большинство птиц. Млекопитающие имеют более развитый мозг и вырастают меньше детенышей, чем другие виды, но лучше заботятся о своем потомстве в течение гораздо более длительного периода времени.

Многие птицы хорошо умеют считать. Если в гнезде четыре яйца, одно можно безопасно взять, но когда два удалены, птица обычно дезертирует.Птица может отличить двоих от трех. 1

Эксперимент, проведенный с щеглом, показал способность различать груды семян: три от одного, три от двух, четыре от двух, четыре от трех и шесть от трех. Щеглы почти всегда путали пять и четыре, семь и пять, восемь и шесть, десять и шесть.

В другом эксперименте участвовал оруженосец, пытавшийся застрелить ворону, устроившую себе гнездо на сторожевой башне его поместья.Сквайр пытался удивить ворона, но при его приближении ворона уходила, наблюдала издали и не возвращалась, пока человек не покидал башню. Затем оруженосец взял с собой в башню еще одного человека. Один человек ушел, а другой остался, чтобы забрать ворону, когда она вернется в гнездо, но ворона не обманулась. Ворона держалась подальше, пока не вышел другой мужчина. На следующий день эксперимент повторили с тремя мужчинами, но ворона не вернулась в гнездо. На следующий день четыре человека попытались, но только на следующий день с пятью людьми ворона вернулась в гнездо, а один человек все еще был в башне. 2

В мире насекомых одиночная оса, казалось, имела лучшее чувство числа. Мать-оса откладывает яйца в отдельные клетки и снабжает каждое яйцо несколькими живыми гусеницами, которыми кормятся детеныши, когда вылупляются. Некоторые виды ос всегда дают пять гусениц, другие — двенадцать, а третьи — до двадцати четырех гусениц на клетку. Одиночная оса из рода Eumenus поместит пять гусениц в клетку, если это будет самец (самец меньше), и десять гусениц в клетку самки.Эта способность кажется инстинктивной, а не усвоенной, поскольку поведение ос связано с основной жизненной функцией. 3

Можно было подумать, что у людей есть очень хорошее чувство числа, но, как оказалось, у людей нет. Эксперименты показали, что средний человек имеет чувство числа около четырех. 4

Сегодняшним группам людей в мире, которые не разработали счетчик по пальцам, трудно определить количество четыре. Они склонны использовать величины один, два и многие, включая четыре.

Маленькие дети в возрасте около четырнадцати месяцев почти всегда будут замечать что-то, чего не хватает в группе, с которой они знакомы. Ребенок того же возраста обычно может снова собирать предметы, которые снова были разделены в одну группу. Но способность ребенка воспринимать числовые различия в людях или объектах вокруг него или ее очень ограничена, когда их число превышает три или четыре. 5

Так что же отличает людей от остального животного царства? Он может включать в себя много вещей, но умение считать — одна из них.Счету, который обычно начинается с кончика наших рук или пальцев, обычно обучает другой человек или, возможно, обстоятельства. Это то, к чему мы никогда не должны относиться легкомысленно, поскольку это помогло человечеству продвинуться бесчисленным количеством способов.

Чувство чисел — это то, что есть у многих существ в этом мире так же хорошо, как и у нас. Хотя, как мы видим, наши человеческие способности не намного лучше, чем способности обычных ворон. Мы рождены с чувством числа, но мы учимся считать.


1 Данциг, стр. 1.
2 Dantzig, p. 3.
3 Infrah, p. 4.
4 Dantzig, p. 5.
5 Infrah, p. 6.

Предоставлено Брюсом Уайтом


Ссылки:

  1. Данциг, Тобиас. Число: язык науки. Нью-Йорк: компания Macmillan, 1930.
  2. Ифра, Жорж.От единицы к нулю: универсальная история чисел. Нью-Йорк: Viking Penguin, Inc., 1985.

Содержание | Далее | Предыдущий

Quipu — система подсчета инков

Представьте себе высокоразвитую цивилизацию. Эта цивилизация правит более чем миллионом людей, они построили огромные города, разработали обширные дорожные системы, справедливо относились к своим гражданам и построили каменные стены настолько плотно, что даже лезвие ножа не могло пройти между огромными валунами.А теперь представьте, что вы можете делать все это без письменности.

Это была древняя южноамериканская цивилизация Империи инков. Высокоразвитая цивилизация, способная отслеживать все важные факты, необходимые для управления такой огромной империей. Они делали это с помощью инструмента запоминания, сделанного из завязанных узлов, называемого кипу. Люди, отвечающие за поддержание кипу, были известны как «кипу камайочс» или «хранители кипу».

Поскольку у них не было письменности и осталось очень мало древних кипу, мы можем только предполагать, для чего на самом деле использовалось кипу.К счастью, кипу все еще используются сегодня, поэтому мы сможем узнать о древних, посмотрев, как используются современные. Объедините это с устными традициями, и окажется, что они использовались для учета количества вещей.

Остается еще одна загадка: какую базу использовали инки? Все их соседи использовали базу 60, но, похоже, инки использовали базу 10. Недавние открытия, пока еще не подтвержденные, подтверждают эту теорию. Для наших целей предположим, что это была база 10.

Сделать кипу было легко. Тонкие струны были обвиты вокруг более крупного шнура. Затем вокруг более тонких ниток завязывались узлы цветной нити или веревки. Где были размещены сучки, указывала стоимость. Чем ближе к большому шнуру был завязан узел, тем больше его стоимость. То, как был завязан узел, и использованный цвет может иметь значение, но без письменного языка мы просто не знаем.

Некоторые найденные кипу были длиной несколько футов, поэтому для кипу камайока было очень важно запомнить, кто, где и что на каждой струне, и ее расположение на более крупном шнуре.

Предоставлено Стивеном Таком


Ссылки.

Макинтайр, Лорен. Затерянная империя инков, National Geographic, декабрь 1973 г., 729–766.


Содержание | Далее | Предыдущая

Дроби и Древний Египет

Древние египтяне понимали дроби, однако они не записывали простые дроби как 3/5 или 4/9 из-за ограничений в обозначениях.Египетский писец записывал дроби с числителем 1. Они использовали иероглиф «открытый рот» над числом, чтобы указать обратное. Цифра 5, записанная как дробь 1/5, будет записана. Есть некоторые исключения. Существовал специальный иероглиф для 2/3, и некоторые свидетельства того, что 3/4 также имел особый иероглиф. Все остальные дроби записывались как сумма дробей единиц. Например, 3/8 было записано как 1/4 + 1/8.

У египтян была потребность в дробях, таких как разделение пищи, припасов, поровну или в определенном соотношении.Например, разделение 3 буханок между 5 людьми потребует доли 3/5. По мере того, как возникали новые ситуации, египтяне разработали специальные методы работы с обозначениями, которые у них уже были, что означало, что дробь выражалась как сумма единичной дроби. Сегодня, когда появляются новые концепции, математики придумывают новые обозначения, чтобы справиться с ситуацией.

Дроби были настолько важны для египтян, что из 87 задач Математического папируса Райнда только шесть не включали дроби.Поскольку египтяне выполняли свои операции умножения и деления путем удвоения и деления вдвое, было необходимо иметь возможность удваивать дроби. Писцы создавали таблицы с вычислением дробей и целых чисел. Эти таблицы будут использоваться в качестве справочных, чтобы храмовый персонал мог произвести дробное деление на еду и припасы.

Предоставлено Одри Смолли


Ссылки.

Жиллингс, Ричард Дж. Математика во времена фараонов. (1982), Дувр.


Содержание | Далее | Предыдущая

Система счисления майя

Система счисления майя восходит к четвертому веку и была примерно на 1000 лет более развитой, чем европейцы того времени. Эта система уникальна для нашей нынешней десятичной системы с основанием 10, поскольку майя использовали десятичную систему с основанием 20.Считается, что эта система использовалась, потому что, поскольку майя жили в таком теплом климате и редко приходилось носить обувь, общее количество пальцев рук и ног составляло 20, что делало систему работоспособной. Поэтому двумя важными маркерами в этой системе являются 20, которые относятся к пальцам рук и ног, и пять, которые относятся к количеству цифр на одной руке или ноге.

В системе майя использовалась комбинация двух символов. Точка (.) Использовалась для обозначения единиц (от одного до четырех), а тире (-) использовалась для обозначения пяти.Считается, что майя, возможно, использовали счеты из-за использования их символов, и, следовательно, может существовать связь между японцами и некоторыми американскими племенами (Ortenzi, 1964). Майя написали свои числа вертикально, а не горизонтально, с наименьшим номиналом внизу. Их система была настроена таким образом, что первые пять значений были основаны на множителях 20. Это были 1 (20 0 ), 20 (20 1 ), 400 (20 2 ), 8000 (20 ). 3 ) и 160 000 (20 4 ).В арабской форме мы используем разряды 1, 10, 100, 1000 и 10 000. Например, число 241083 можно вычислить и записать следующим образом:

Это число, написанное на арабском языке, будет 1.10.2.14.3 (Маклиш, 1991, стр. 129).

Майя также были первыми, кто символизировал концепцию ничто (или нуля). Самым распространенным символом была ракушка (), но было несколько других символов (например, голова). Интересно узнать, что вместе со всеми великими математиками и учеными, существовавшими в Древней Греции и Риме, именно индейцы майя независимо придумали этот символ, который обычно означал завершение, а не ноль или ничего.Ниже представлены визуальные изображения различных чисел и того, как они были бы написаны:

В таблице ниже представлены некоторые числа майя. В левом столбце указан десятичный эквивалент каждой позиции числа майя. Помните, что числа читаются снизу вверх. Под каждым числом майя находится его десятичный эквивалент.

Было высказано предположение, что для обозначения единиц могли использоваться счетчики, такие как зерно или галька, а для обозначения пятерок — короткая палка или стручок фасоли.С помощью этой системы штрихов и точек можно было легко сложить вместе, в отличие от таких систем счисления, как у римлян, но, к сожалению, от этой формы записи не осталось ничего, кроме системы счисления, относящейся к календарю майя.

Для дальнейшего изучения: календарь на 360 дней также произошел от индейцев майя, которые фактически использовали основание 18 при работе с календарем. Каждый месяц состоял из 20 дней от 18 месяцев до года. Осталось пять дней в конце года, который сам по себе был месяцем, полным опасностей и неудач.Таким образом, майя изобрели календарь на 365 дней, вращающийся вокруг Солнечной системы.

Предоставлено Микель Мерсер


Ссылки.

  1. Маклиш Дж. (1991). История чисел. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Фосетт Колумбайн.
  2. Ортенци, Э. К. (1964). Числа в древности. Портленд, Мэн: Дж. Уэстон Уолч.
  3. Ройс, Р.Л. (1972). Индийский фон колониального Юкатана. Норман, ОК: Университет Оклахомы Press.
  4. Томпсон, Дж. Э. С. (1967). Взлет и падение цивилизации майя. Норман, ОК: Университет Оклахомы Press.
  5. Форель, Л. (1991). Майя. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Chelsea House.

Содержание | Далее | Предыдущий

Египетская система счисления

Как мы узнаем, что такое египетский язык чисел? Он был найден на надписях на камнях стен памятников древности.Цифры также были найдены на керамике, известняковых бляшках и на хрупких волокнах папируса. Язык состоит из иероглифов, графических знаков, которые представляют людей, животных, растения и числа.

Египтяне использовали письменную нумерацию, которая была заменена иероглифическим письмом, что позволяло им записывать целые числа до 1 000 000. Он имел десятичную основу и учитывал аддитивный принцип. В этой записи для каждой степени десяти был специальный знак.Для I — вертикальная линия; для 10 — знак в виде перевернутой буквы U; на 100 — спиральный канат; за 1000 — цветок лотоса; за 10 000 — поднятый, слегка согнутый палец; на 100 000 головастик; а для 1000000 — джинн на коленях с поднятыми руками.

Эта иероглифическая нумерация была письменной версией конкретной системы счета с использованием материальных объектов. Чтобы представить число, знак для каждого десятичного порядка повторялся столько раз, сколько необходимо. Чтобы облегчить чтение повторяющихся знаков, они были размещены группами по два, три или четыре и расположены вертикально.

Пример 1.



При записи чисел первым будет записан самый большой десятичный порядок. Цифры были написаны справа налево.

Пример 2.

46,206 =
Ниже приведены некоторые примеры надписей на гробницах.

А B С D
77 700 7000 760,00

Сложение и вычитание

Для этого египтяне использовали те же методы, что и современные математики.Египтяне добавляли путем комбинирования символов. Они объединят все единицы () вместе, затем все десятки () вместе, затем все сотни () и т. Д. Если у писца будет более десяти единиц (), он заменит эти десять единиц на. Он будет продолжать делать это до тех пор, пока количество оставшихся единиц не станет меньше десяти. Этот процесс был продолжен для десятков, заменив десять десятков на и т. Д.

Например, если писец хотел сложить 456 и 265, его задача выглядела бы так:

(= 456)
(= 265)

Затем писец объединял все похожие символы, чтобы получить что-то вроде следующего

Затем он заменил одиннадцать единиц () единицей () и десятью
().Тогда у него будет одна единица и двенадцать десятков. Двенадцать десятков будут заменены двумя десятками и одной сотней. Когда он закончит, у него будет 721, которые он запишет как

.

Вычитание выполнялось почти так же, как и мы, за исключением того, что когда нужно заимствовать, это делается путем написания десяти символов вместо одного.

Умножение

Египетский метод умножения довольно умен, но может занять больше времени, чем современный метод.Вот как они умножили бы 5 на 29

* 1 29
2 58
* 4 116
1 + 4 = 5 29 + 116 = 145

При умножении они начинали с числа, которое они умножали на 29, и удваивали его для каждой строки. Затем они вернулись и выбрали числа в первом столбце, которые в сумме составили первое число (5).Они использовали распределительное свойство умножения над сложением.
29 (5) = 29 (1 + 4) = 29 + 116 = 145

Отдел

То, как они делали деление, было похоже на их умножение. Для задачи 98/7 они думали об этой проблеме как о том, что 7 умноженное на какое-то число равно 98. И снова задача решалась по столбцам.

1 7
2 * 14
4 * 28
8 * 56
2 + 4 + 8 = 14 14 + 28 + 56 = 98

На этот раз отмечены числа в правом столбце, сумма которых равна 98, затем соответствующие числа в левом столбце суммируются, чтобы получить частное.

Итак, ответ равен 14. 98 = 14 + 28 + 56 = 7 (2 + 4 + 8) = 7 * 14.

Предоставлено Ллойдом Холтом

Использованная литература:

  1. Бойер, Карл Б. — История математики, Джон Вили, Нью-Йорк, 1968 г.
  2. Джиллингс, Ричард Дж. — Математика во времена фараонов, Довер, Нью-Йорк, 1982
  3. Джейсон Гилман, Дэвид Славит — Древнеегипетская математика., Университет штата Вашингтон, 1995 г.

Содержание | Далее | Предыдущая

Греческая система счисления

Греческая система нумерации основывалась исключительно на их алфавите. Греческий
алфавит пришел от финикийцев около 900 г. до н. э. Когда финикийцы изобрели
алфавит, он содержал около 600 символов.Эти символы занимали слишком много места, поэтому они
в итоге сузил его до 22 символов. Греки позаимствовали некоторые символы
и придумали свои собственные. Но греки были первыми, кто разделили
символы или буквы, обозначающие гласные звуки. Наше собственное слово «алфавит» происходит от
первые две буквы или цифры греческого алфавита — «альфа» и «бета».
Использование букв своего алфавита позволило им использовать эти символы более широко.
сокращенная версия их старой системы, названная Чердаком.Система чердаков была похожа на другие
формы систем счисления той эпохи. Он был основан на символах, выстроенных в ряды и
заняло много места для написания. Это могло быть не так уж плохо, если бы они все еще
вырезать каменные скрижали, а символы алфавита позволяли штамповать ценности
на монетах в меньшем, более сжатом варианте.

Например, представлено число 849

Первоначальный греческий алфавит состоял из 27 букв и был написан слева.
Направо.Эти 27 букв составляют основные 27 символов, используемых в их нумерации.
система. Позже специальные символы, которые использовались только для математики vau, koppa и
sampi, вымерли. В современном новогреческом алфавите всего 24 буквы.

Если вы заметили, у греков не было символа нуля. Они могли натянуть эти
27 символов вместе представляют любое число до 1000. Поставив запятую перед
любой символ в первой строке, теперь они могли записывать любое число до 10 000.

Вот представления для 1000, 2000 и числа, которое мы дали выше 849.

Это отлично подходит для меньших чисел, но как насчет больших чисел? Здесь
Греки вернулись к аттической системе и использовали символ М для обозначения 10 000. И использовал
кратно 10000, поместив символы над M.

Предоставил Эрик Сорум

Использованная литература:

Бертон, Дэвид М.История математики — Введение. Дубьюк, Айова: Уильям
К. Браун, 1988.


Содержание | Далее |
Предыдущий

Вавилонская система счисления

Вавилоняне жили в Месопотамии, которая находится между реками Тигр и Евфрат. Они начали систему нумерации около 5000 лет назад.Это одна из старейших систем нумерации. Первая математика восходит к древней стране Вавилон в третьем тысячелетии до нашей эры. Таблицы были самым выдающимся достижением вавилонян, которое помогало им решать задачи.

Одна из вавилонских табличек, Плимптон 322, датированная периодом между 1900 и 1600 годами до нашей эры, содержит таблицы пифагорейских троек для уравнения a 2 + b 2 = c 2 . В настоящее время находится в британском музее.

Набу-риманни и Кидину — два единственных известных математика из Вавилонии. Однако о них известно немногое. Историки считают, что Набу-Риманни жил около 490 г. до н.э., а Кидину — около 480 г. до н.э.

Вавилонская система счисления начиналась со счетных отметок, как и большинство древних математических систем. Вавилоняне разработали форму письма, основанную на клинописи. Клинопись в переводе с латыни означает «клиновидная форма». Они написали эти символы на влажных глиняных табличках, обожженных на палящем солнце.Многие тысячи этих планшетов все еще существуют. Вавилоняне использовали стилиста для печати символов на глине, поскольку изогнутые линии не могли быть нарисованы.

У вавилонян была очень продвинутая система счисления даже по сегодняшним стандартам. Это была система с основанием 60 (шестнадцатеричная), а не десятичная (десятичная). База десять — это то, что мы используем сегодня.

Вавилоняне делили день на двадцать четыре часа, каждый час на шестьдесят минут и каждую минуту на шестьдесят секунд.Эта форма счета просуществовала четыре тысячи лет.

У любого числа меньше 10 клин был направлен вниз.

Пример: 4

Число 10 символизировалось клином, указывающим налево.

Пример: 20

Числа меньше 60 были составлены путем объединения символов 1 и 10.

Пример: 47

Как и в нашей системе счисления, в вавилонской системе счисления использовались единицы, то есть десятки, сотни, тысячи.

Пример: 64

Однако у них не было символа для нуля, но они использовали идею нуля. Когда они хотели выразить ноль, они просто оставляли пробел в написанном числе.

Когда они писали «60», они ставили одинарный клин на втором месте числа.

Когда они писали «120», они ставили две отметки клина на втором месте.

Ниже приведены несколько примеров больших чисел.

Пример: 79883
(22 * 602 2 ) + (11 * 60) +23
Пример: 5220062
(24 * 60 3 ) + (10 * 60 2 ) + (1 * 60) + 2
Предоставлено Джереми Траутманом

Использованная литература:

  1. URL: http: // www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Babylonian_and_Egyptian.html 6-12-00 18:00
  2. URL: http: //www.angelfire.com/il2/babylonianmath/mathematicians.html 6-12-00 18:00
  3. Бойер, Мерцбах. История математики. Джон Вили и сыновья, 1989. Второе издание.
  4. Бант, Джонс и Бедиент. Исторические корни элементарной математики. Dover Publications. 1988 г.

Содержание | Далее |
Назад

Откуда произошли числа?

Тысячи лет назад не существовало чисел, представляющих два или три.Вместо этого для представления чисел использовались пальцы, камни, палки или глаза. Не было ни часов, ни календарей, чтобы отслеживать время. Солнце и луна использовались, чтобы различать 13:00 и 16:00. У большинства цивилизаций не было слов для обозначения чисел больше двух, поэтому им приходилось использовать знакомую им терминологию, например, стада овец, груды зерна или множество людей. В числовой системе не было необходимости, пока группы людей не образовали кланы, деревни и поселения и не начали систему бартера и торговли, которая, в свою очередь, не создавала спроса на валюту.Как бы вы отличили пять от пятидесяти, если бы могли использовать только вышеуказанную терминологию?

Не было бумаги и карандашей для расшифровки чисел. Были изобретены и другие методы для общения и обучения системам счисления. Вавилоняне штамповали числа на глине, используя палку и вдавливая ее в глину под разными углами или давлением, а египтяне рисовали на керамике и вырезали числа на камне.

Вместо чисел использовались числовые системы, состоящие из символов.Например, египтяне использовали следующие числовые символы:

От Эстер Ортенци, Числа в древности. Мэн:
Дж. Вестон Уолч, 1964, стр. 9.

У китайцев была одна из самых старых систем счисления, основанная на палках, положенных на таблицы для представления расчетов. Это выглядит следующим образом:

От Дэвида Смита и Джекутиэля Гинзбурга, «Числа и цифры».
У. Д. Рив, 1937, стр. 11.

Примерно с 450 г. до н.э. у греков было несколько способов написания чисел, наиболее распространенным способом было использование первых десяти букв в их алфавите для обозначения первых десяти чисел.Чтобы различать цифры и буквы, они часто ставили отметку (/ или) возле каждой буквы:

От Дэвида Смита и Джекутиэля Гинзбурга, «Числа и цифры».
У. Д. Рив, 1937, стр. 12.

Римская система счисления используется до сих пор, хотя символы время от времени менялись. Римляне часто писали четыре как IIII вместо IV, I из V. Сегодня римские цифры используются для обозначения числовых глав книг или для основных частей контуров.Самые ранние формы римских числовых значений:

От Дэвида Смита и Джекутиэля Гинзбурга, «Числа и цифры».
У. Д. Рив, 1937, стр. 14.

Цифры на пальцах использовались древними греками, римлянами, европейцами в средние века, а затем и азиатами. До сих пор вы можете видеть, как дети учатся считать по нашей собственной системе счисления пальцев. Старая система выглядит следующим образом:

От Тобиаса Данцига, Номер: Язык науки.
Macmillan Company, 1954, стр. 2.

Наша нынешняя числовая система эволюционировала от индусских цифр до современных чисел. Путешествие продлилось от 2400 года до нашей эры до наших дней, и мы до сих пор используем некоторые старые системы счисления и символы. Наша система исчисления постоянно меняется, и кто знает, как она будет выглядеть в 2140 году нашей эры. Будем ли мы по-прежнему считать пальцами или человечество изобретет новый числовой инструмент?

Эта таблица была реконструирована на основе книги Эстер Ортенци, «Числа в древние времена».
Мэн: Дж. Уэстон Уолч,
1964, стр.23.

Предоставлено Кэри Эскридж Либаргер

Использованная литература:

  1. Дэвид Смит и Джекутиэль Гинзбург. Цифры и цифры. У. Д. Ривз, 1937 г.
  2. Эстер К. Ортенци. Числа в древности. Дж. Уэстон Уолш, 1964.
  3. Тобиас Данциг. Число: язык науки. Компания Macmillan, 1954 год.

Содержание | Далее |
Предыдущий

3 НОМЕР: ЧТО ЭТО ЗНАТЬ? | Сложим: помощь детям в изучении математики

классических времен, написал бумагу в форме письма королю своего города, объясняя, как писать такие очень большие числа.Архимед, однако, не зашел так далеко, чтобы изобрести десятичную систему счисления с возможностью неограниченного расширения.

22.

Knuth, 1974, стр. 323.

23.

Steen, 1990. См. Морроу и Кенни, 1998, чтобы узнать больше об алгоритмах.

24.

Точки с многоточием «…» в выражении являются важной частью абстрактной математической записи, компактно обозначающей пропуск необходимых терминов (для достижения м, в данном случае ).

Ссылки

Бер, М.Дж., Харел, Г., Пост, Т., И Леш Р. (1992). Рациональное число, соотношение и пропорция. В Д.А. Гроуза (ред.), Справочник по исследованиям в области преподавания и обучения математике (стр. 296–333). Нью-Йорк: Макмиллан.

Bruner, J.S. (1966). К теории обучения . Кембридж, Массачусетс: Belknap Press.

Куоко, А. (Ред.). (2001). Роли представления в школьной математике (Ежегодник Национального совета учителей математики 2001 г.).Рестон, Вирджиния: NCTM.

Дюваль Р. (1999). Представление, видение и визуализация: когнитивные функции в математическом мышлении. Основные вопросы для обучения. В F.Hitt & M.Santos (Eds.), Proceedings of the двадцать первого ежегодного собрания Североамериканского отделения Международной группы психологии математического образования (том 1, стр. 3–26). Колумбус, Огайо: Информационный центр ERIC по естествознанию, математике и экологическому образованию. (ERIC Document Reproduction Service No.ED 433 998).

Фройденталь, Х. (1983). Дидактическая феноменология математических структур . Дордрехт, Нидерланды: Рейдел.

Грино, Дж. Г., и Холл, Р. (1997). Практика репрезентации: изучение репрезентативных форм и их изучение. Дельта Фи Каппан , 78 , 1–24. Доступно: http://www.pdkintl.org/kappan/kgreeno.htm. [10 июля 2001 г.].

Капут,]. (1987). Системы представлений и математика.В C.Janvier (Ed.), Проблемы представления в преподавании и изучении математики (стр. 19–26). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.

Knuth, D.E. (1974). Информатика и ее отношение к математике. Американский математический ежемесячник , 81 , 323–343.

Лакофф, Г., & Нуньес, Р.Э. (1997). Метафорическая структура математики: наброски когнитивных основ математики, основанной на разуме. В Л.D.English (Ed.), Математические рассуждения: аналогии, метафоры и изображения (стр. 21–89). Махва, Нью-Джерси: Эрлбаум.

Морроу, Л.Дж., и Кенни, М.Дж. (ред.). (1998). Преподавание и изучение алгоритмов в школьной математике (Ежегодник Национального совета учителей математики за 1998 год). Рестон, Вирджиния: NCTM.

Пимм Д. (1995). Символы и значения в школьной математике . Лондон: Рутледж.

Рассел, Б.(1919). Введение в математическую философию . Нью-Йорк: Макмиллан.

Сфард А. (1997). Комментарий: О метафорических корнях концептуального роста. В L.D. English (Ed.), Математические рассуждения: аналогии, метафоры и изображения (стр. 339–371). Махва, Нью-Джерси: Эрлбаум.

Основная система в картинках -1

The Major System — продуманная и очень эффективная

The Major System — довольно сложная система памяти.Чтобы овладеть им, потребуется некоторое время и усилия, но как только вы это сделаете, вы сможете использовать его для запоминания чего угодно. Вы можете использовать звуки и мысленные образы Большой системы, чтобы запоминать списки всех видов — вы можете запоминать столицы штатов, столицы стран, список монархов, список президентов или премьер-министров, олимпийские объекты или что угодно. как.

Поскольку основная система основана на переносе звуков (а не букв) на числа, она дает вам большую свободу действий — вы можете создавать разные слова и изображения, чтобы помочь вам запоминать списки.

Вот первые 25 изображений для основной системы:

Основная система в картинках, 1-25

1 — Галстук

2 — Ной

3 — Пн

4 — Ray

5 — Ли

6 — Ясень

7 — Шпонка

8 — Плата

9 — Пчела

10 — Пальцы

11 — Ted

12 — Олово

13 — Гробница

14 — Шина

15 — Кукла

16 — Тарелка

17 — Прихватка

18 — Dove

19 — Лента

20 — Петля

21 — Нетто

22 — Монахиня

23 — Nemo

24 — Nero

25 — Гвоздь

The Major System может помочь вам запомнить что угодно

Я включил эти страницы в основную систему в изображения, чтобы вы могли на самом деле увидеть , как работает основная система и как она может помочь вам запомнить что угодно.Каждая из картинок представляет собой слово, и каждое слово состоит из двух согласных звуков, один для первой цифры, другой для второй цифры (очевидно, каждое слово связано с определенным числом). Если вы новичок в этой системе памяти, загляните на мою страницу, посвященную основной системе. Также см. Мою страницу об основах основной системы, в которой объясняется, как звуки связаны с числами.

Найдите время, чтобы выучить эти слова и ознакомиться с соответствующими изображениями, чтобы вы могли в полной мере воспользоваться этой удивительной системой памяти и использовать ее для запоминания всего, что вам нравится.Просто имейте в виду, что это слова, которые придумал я, — существует множество возможных слов для двузначных чисел от 00 до 99, и вы можете использовать любые слова, которые подходят вам.

Я старался, чтобы они были более или менее однородными; почти все они представляют собой простые, легко визуализируемые элементы, которые легко связать с их числами и просто использовать, чтобы связать друг друга для создания небольших «мысленных фильмов». Слова должны быть как можно короче (вы можете использовать более длинные слова, если хотите — просто добавьте дополнительные слоги, если вы не добавляете согласные звуки по пути).

Используйте любые слова, которые

вы сочтете подходящими

Например, «монахиня» — это самое простое слово, которое вы могли бы использовать для 22 (или, по крайней мере, простейшее хорошее слово — хорошо в том смысле, что его легко визуализировать). Он состоит из двух звуков «н» и не более того. Это также очень наглядное слово: вы можете легко представить себе монахиню в разных ситуациях, в зависимости от того, что вы пытаетесь запомнить.

Но вы можете, например, использовать «любой» вместо 22.Опять же, в слове есть только два согласных звука, оба ‘n’, но в этом слове также есть несколько гласных звуков. Однако, на мой взгляд, «любой» не лучший выбор — оно не начинается с буквы «n» или звука «n», что затрудняет сохранение в памяти и (что, вероятно, более важно) , это не визуальное слово. «Любой» может относиться… ну, к кому угодно! Как можно кого-нибудь визуализировать? Это слишком расплывчато, поэтому, на мой взгляд, не подходит для включения в основную систему.

Сейчас, наверное, лучше выучить предложенные мной слова.По мере того, как вы ближе познакомитесь с основной системой, вы можете изменить некоторые из них по своему усмотрению, особенно если вы находите некоторые слова неудобными для визуализации. Примером может быть 11, Тед. Если вы на самом деле не видели отличный ситком, отец Тед, то я полагаю, что использовать Теда для 11 с изображением, которое я показал, довольно бессмысленно. В этом случае вы можете оставить слово «тед» и использовать изображение плюшевого мишки. Или плюшевого мальчика. Или кого-то, кого вы знаете лично, по имени Тед. Или Тедди Кеннеди. Или Тед Кэссиди («Крен в семье Адамсов» и Харви Логан в «Бутч Кэссиди и Сандэнс Кид»).

Итак, как видите, у вас есть много возможностей для маневра. Конечно, вам даже не нужно использовать «Теда» — вы можете использовать «папу» (и визуализировать своего собственного отца или, может быть, актера, который был известен тем, что играл чьего-то папу в сериале). Или вы можете использовать «Дейта», персонаж «Звездного пути».

Вы начинаете понимать, сколько свободы есть в Главной Системе? Единственное, что действительно важно, это то, что вы привязываете вещь (или человека) к номеру, и что он соответствует «правилам» работы в основной системе.Как только вы определитесь со своим списком слов, вы будете хорошо подготовлены, чтобы начать запоминать практически все с помощью этой системы памяти.

Чтобы узнать больше об основной системе, взгляните на эти другие страницы: выучите ключевые слова для основной системы (они помогут вам освоить эту удивительную систему) и узнайте, как использовать основную систему в качестве мысленной записной книжки. И, конечно же, просмотрите другие страницы, на которых представлены остальные изображения для основной системы.

Все необходимые ссылки также находятся на боковой панели >>

Верх

<< Методы памяти

Дом


Хотите отправить страницу для RMI? Это просто, просто заполните детали ниже.

Реальные числа Типы действительных чисел Исходные числа изображения-рационально-иррационально-экот-калвер-математика-образование-ppt-powerpoint-

Презентация на тему: «Реальные числа Типы действительных чисел Исходные числа изображения-рациональное-иррациональное-ecot-culver-math-education-ppt-powerpoint -» — стенограмма презентации:

ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}}
@media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}}
@media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}}
@media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}}
]]>

1

Действительные числа Типы действительных чисел Источник изображения http: // c.asstatic.com/images/sunnyrain43229-70600-real- numbers-рациональные-иррациональные-ecot-culver-math-education-ppt-powerpoint- 180_135.jpgh http://c.asstatic.com/images/sunnyrain43229-70600-real- числа-рациональные-иррациональные-ecot-culver-math-education-ppt-powerpoint- 180_135.jpg

2

Реальные числа ✦ Две основные группы — ✦ Рациональные ✦ и Иррациональные изображения из http://2.bp.blogspot.com/_gWQaU40Ph34/S4BfSLW_ONI/AAAAAAAAF wM / t3H-Sngze0A / s320 / рациональный.gif Источник изображения http://3.bp.blogspot.com/_r9OeV7enT6s/SctQz4 QiPLI / AAAAAAAAApM / aZVDaddjsmc / S220 / 321.j pg http://3.bp.blogspot.com/_r9OeV7enT6s/SctAjAzAp / AAAAJA / AAA / AAA / AAA / AA / AQA / AQSA /S220/321.j стр.

3

Рациональные числа ✦ Что значит действовать рационально? Хммм …. ✦ Рациональность — это то, что имеет смысл. ✦ Рациональные числа имеют смысл, потому что они предсказуемы. ✦ Рациональные числа делятся на 1 из 2 категорий.Изображение взято с http://2.bp.blogspot.com/_gWQaU40Ph34/S4BfSLW_ONI/AAAAAAAAF wM / t3H-Sngze0A / s320 /rational.gif http://2.bp.blogspot.com/_gWQaU40Ph34/S4BfSAHA_ONI/tAFSLWA_ONI/ -Sngze0A / s320 /rational.gif

4

Рациональные числа — Категория 1 ✦ Что общего у этих чисел? ✦ Обратите внимание, что все они останавливаются или прекращаются. ✦ А как насчет дробей? Измените их на десятичные дроби. ✦ Они прекращают работу сейчас? ✦ Рациональные числа похожи на терминатор, потому что они заканчиваются или заканчиваются.✦ Первая категория, в которую могут попасть Rational Numbers, — это оконечные числа.

5

Рациональные числа — Категория 2 ✦ Что общего у этих чисел? ✦ Можете ли вы угадать, каким будет следующее число для каждого из этих чисел? ✦ А как насчет дробей? ✦ Измените их на десятичные дроби. Можете ли вы предсказать следующее число? ✦ Обратите внимание, что эти цифры следуют предсказуемой схеме. ✦ Вторая категория, в которую может попасть Rational Number, следует предсказуемой схеме.

6

Иррациональные числа ✦ Что значит, когда человек иррационален? Хм …. ✦ Что вы замечаете в этих числах? ✦ Можете ли вы предсказать следующее число? ✦ Когда они заканчиваются? (Поместите квадратные корни в калькулятор, чтобы проанализировать их десятичный эквивалент.) ✦ Иррациональные числа — непредсказуемые числа, точно так же, как иррациональный человек ведет себя непредсказуемо. ✦ Иррациональные числа никогда не заканчиваются, и следующее число невозможно угадать, потому что не существует шаблона.Изображение с http://bulk2.destructoid.com/ul/181777-IrrationalMainImage.jpghttp://bulk2.destructoid.com/ul/181777-IrrationalMainImage.jpg

7

Типы рациональных чисел ✦ Натуральные числа (также называемые счетными числами) ✦ С какого числа вы, естественно, начинаете при счете? ✦ 1. ✦ Натуральные числа — это числа, которые мы считаем, начиная с 1. ✦ 1, 2, 3, 4, … ✦ Белые числа — натуральные числа плюс ноль ✦ 0, 1, 2, 3, 4 ,… ✦ Целые числа — все целые числа и их противоположности. Другими словами, все положительные и отрицательные числа без десятичных знаков и дробей. ✦ … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ✦ Обратите внимание, что некоторые числа попадают в более чем одну категорию.

8

Действительные числа Рациональные иррациональные целые числа Целые натуральные

9

Убедитесь, что вы можете сделать следующее… ✦ Опишите разницу между иррациональным и рациональным числом. ✦ Опишите характеристики натурального числа. ✦ Опишите характеристики целого числа. ✦ Опишите характеристики целого числа. ✦ Приведите пример ✦ иррационального числа. ✦ рациональное число, не являющееся целым. ✦ целое и не целое число. ✦ целое число и одно, не являющееся натуральным числом.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *