Свойства отрицательных чисел: § Вычитание отрицательных чисел. Вычитание рациональных чисел

правило, примеры, умножение отрицательных чисел на положительные

В данной статье сформулируем правило умножения отрицательных чисел и дадим ему объяснение. Будет подробно рассмотрен процесс умножения отрицательных чисел. На примерах показаны все возможные случаи.

Умножение отрицательных чисел

Определение 1

Правило умножения отрицательных чисел заключается в том, что для того, чтобы умножить два отрицательных числа, необходимо перемножить их модули. Данное правило записывается так: для любых отрицательных чисел –a, -b данное равенство считается верным.

(-а)·(-b)=a·b.

Выше приведено правило умножения двух отрицательных чисел. Исходя из него, докажем выражение: (-а)·(-b)=a·b. Статья умножение чисел с разными знаками рассказывает о том, что равенств а·(-b)=-a·b справедливое, как и (-а)·b=-a·b. Это следует из свойства противоположных чисел, благодаря которому равенства запишутся следующим образом:

(-a)·(-b)=(-a·(-b))=-(-(a·b))= a·b.

Тут явно видно доказательство правила умножения отрицательных чисел. Исходя из примеров явно, что произведение двух отрицательных чисел – положительное число. При перемножении модулей чисел результат всегда положительное число.

Данное правило применимо для умножения действительных чисел, рациональных чисел, целых чисел.

Примеры умножения отрицательных чисел

Теперь рассмотрим подробно примеры умножения двух отрицательных чисел. При вычислении необходимо пользоваться правилом, написанным выше.

Пример 1

Произвести умножение чисел -3 и -5.

Решение.

По модулю умножаемые данные два числа равны положительным числам 3 и 5. Их произведение дает  в результате 15. Отсюда следует, что произведение заданных чисел равно 15

Запишем кратко само умножение отрицательных чисел:

(-3)·(-5)=3·5=15

Ответ: (-3)·(-5)=15.

При умножении отрицательных рациональных чисел, применив разобранное правило, можно мобилизоваться к умножению дробей, умножению смешанных чисел, умножению десятичных дробей.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 2

Вычислить произведение (-0,125)·(-6).

Решение.

Используя правило умножения отрицательных чисел, получим, что  (−0,125)·(−6)=0,125·6. Для получения результата необходимо выполнить умножение десятичной дроби на натуральное число столбиков. Это выглядит так:

Получили, что выражение примет вид (−0,125)·(−6)=0,125·6=0,75.

Ответ:  (−0,125)·(−6)=0,75.

В случае, когда множители – иррациональные числа, тогда их произведение может быть записано в виде числового выражения. Значение вычисляется только по необходимости.

Пример 3

Необходимо произвести умножение отрицательного -2 на неотрицательное log5 13.

Решение

Находим модули заданных чисел:

-2=2 и log513=-log5 3=log5 3.

Следуя из правил умножения отрицательных чисел, получим результат -2·log5 13=-2·log5 3=2·log5 3. Это выражение и является ответом.

Ответ:  -2·log5 13=-2·log5 3=2·log5 3.

Для продолжения изучения темы необходимо повторить раздел умножение действительных чисел.

Вычитание отрицательного числа, правило, примеры

Данная статья посвящена разбору такой темы, как выполнение вычитания отрицательных чисел. Материал представляет собой полезную информацию о правиле вычитания отрицательных чисел и других определениях. Для закрепления сути параграфа мы детально разберем примеры типичных упражнений и задач.

Правило вычитания отрицательных чисел

Для того, чтобы разобраться в данной теме, следует узнать основные определения и понятия.

Определение 1

Правило вычитания отрицательных чисел формулируется так: чтобы из числа a вычесть число b со знаком минус, необходимо к уменьшаемому a прибавить число −b, которое является противоположным вычитаемому b.

Если представить данное правило вычитания отрицательного числа b из произвольного числа a в буквенном виде, то оно будет выглядеть так: a−b=a+(−b).

Для того, чтобы использовать данное правило, необходимо доказать его справедливость.

Возьмем числа a и b. Чтобы вычесть из числа a число b, необходимо найти такое число с, которое в сумме с числом b будет равняться числу a. Другими словами, если найдено такое число c, что c+b=a, то разность a−b равна c.

Для того, чтобы доказать правило вычитания, необходимо показать, что сложение суммы a+(−b) с числом b – это есть число a. Необходимо вспомнить о свойствах действий с действительными числами. Так как в этом случае работает сочетательное свойство сложения, то равенство (a+(−b)) +b=a+((−b) +b) будет верным.

Так, как сумма чисел с противоположными знаками равняется нулю, то a+((−b) +b) =a+0, а сумма a+0= а (если к числу прибавить нуль, то оно не изменится). Равенство a−b=a+(−b)считается доказанным, значит, доказана и справедливость приведенного правила вычитания чисел со знаком минус.

Мы рассмотрели, как работает данное правило для действительных чисел a и b. Но оно также считается справедливым для любых рациональных и целых чисел a и b. Действия с рациональными и целыми числами также обладают свойствами, использованными при доказательстве. Следует добавить, что с помощью разобранного правила можно выполнять действия числа со знаком минус как из положительного числа, так и из отрицательного или нуля.

Рассмотрим разобранное правило на типичных примерах.

Примеры использования правила вычитания

Рассмотрим примеры с вычитанием чисел. Для начала рассмотрим простой пример, который поможет легко разобраться со всеми тонкостями процесса.

Пример 1

Необходимо отнять от числа −13 число −7.

Возьмем число, противоположное вычитаемому −7. Это число 7. Тогда по правилу вычитания отрицательных чисел имеем (−13) −(−7) =(−13) +7. Выполняем сложение. Теперь получаем: (−13) +7=−(13−7) =−6.

Вот все решение: (−13) −(−7) =(−13) +7=−(13−7) =−6. (−13)−(−7)=−6. Вычитание дробных отрицательных чисел также можно выполнять. Необходимо перейти к обыкновенным дробям, смешанным числам или десятичным дробям. Выбор числа зависит от того, с каким вариантом вам удобнее работать.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 2

Необходимо выполнить вычитание из числа 3,4 числа -2323.

Применяем описанное выше правило вычитания, получаем 3,4—2323=3,4+2323. Заменяем дробь на десятичное число: 3,4=3410=175=325 (как переводить дроби, можно посмотреть в материале по теме), получаем 3,4+2323=325+2323. Выполняем сложение. На этом вычитание отрицательного числа -2323 из числа 3,4 завершено.

Приведем краткую запись решения: 3,4—2323=27115.

Пример 3

Необходимо выполнить вычитание числа −0,(326) от нуля.

По правилу вычитания, которое мы изучили выше, 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326).

Последний переход верен, так как здесь работает свойство сложения числа с нулем: 0−(−0,(326))=0,(326).

Из рассмотренных примеров видно, что при вычитании отрицательного числа может получиться как положительное, так и отрицательное число. Вычитание отрицательного числа может в результате дать и число 0, это происходит, когда уменьшаемое равно вычитаемому.

Пример 4

Необходимо вычислить разность отрицательных чисел -5—5.

По правилу вычитания мы получаем -5—5=-5+5.

Мы пришли к сумме противоположных чисел, которая всегда равна нулю: -5—5=-5+5=0 

Итак,-5—5=0.

В некоторых случаях результат вычитания необходимо записать в виде числового выражения. Это справедливо в тех случаях, когда уменьшаемое или вычитаемое является иррациональным числом. К примеру, вычитание из отрицательного числа −2 отрицательного числа –π проводится так: (−2)−(−π)=(−2)+π=π−2. Значение полученного выражения может быть вычислено максимально точно только в том случае, если это необходимо. Для подробной информации можно изучить другие разделы, связанные с данной темой.

7. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

п. 35. УМНОЖЕНИЕ

ПОЛУЧЕНИЕ НОВОГО ЗНАНИЯ.

ОТРАБОТКА УМЕНИЙ И НАВЫКОВ.

Данный модуль представляет собой задание с пошаговым контролем и состоит из пяти шагов. Задание предназначено для отработки умения и навыков учащихся умножать положительные и отрицательные числа. Загрузить модуль.

КОНТРОЛЬ УМЕНИЙ И НАВЫКОВ.

ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ.

Данный модуль представляет собой задание повышенной сложности, состоящее из трех уровней. Задание направлено на проверку знаний свойств нуля при умножении. Загрузить модуль.

п. 36. ДЕЛЕНИЕ 

ПОЛУЧЕНИЕ НОВОГО ЗНАНИЯ.

Правила и примеры.

ОТРАБОТКА УМЕНИЙ И НАВЫКОВ.

КОНТРОЛЬ УМЕНИЙ И НАВЫКОВ.

ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ.

п. 37. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

ПОЛУЧЕНИЕ НОВОГО ЗНАНИЯ.

ОТРАБОТКА УМЕНИЙ И НАВЫКОВ.

Данный модуль состоит из 5 заданий. Задания предназначены для отработки умений и навыков учащихся умножать и делить отрицательные числа; числа с разными знаками; применять эти умения при решении уравнений. Загрузить модуль.

КОНТРОЛЬ УМЕНИЙ И НАВЫКОВ.

Данный модуль состоит из 5 заданий. Задания предназначены для проверки умений и навыков учащихся умножать и делить отрицательные числа; числа с разными знаками; применять эти умения при решении уравнений. Загрузить модуль.

п. 38. СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЙ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

ПОЛУЧЕНИЕ НОВОГО ЗНАНИЯ.

ОТРАБОТКА УМЕНИЙ И НАВЫКОВ.

КОНТРОЛЬ УМЕНИЙ И НАВЫКОВ.

ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ.

Данный модуль представляет собой задания повышенной сложности, состоящее из трех уровней. Задание направлено на формирование рациональных вычислительных приемов: умение применять переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения для нахождения значения числового выражения. Загрузить модуль.

 ОБОБЩЕНИЕ ПО ТЕМЕ

Игра «Плюс и минус». Можно выбрать действия с положительными и отрицательными числами, а также скорость игры. И проверить себя как вы умеете определять знак результата.

Почему минус на минус дает плюс?

«Враг моего врага — мой друг».

Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.

Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, … Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т.  д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.

Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу. ) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.

В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).

Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.

Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3.

Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.

Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.

Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции… Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).

В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.

Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.

Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:

• сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A)), что A + (–A) = 0;
• умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
• сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.

Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.

Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B), а во-вторых (–(–A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.

Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значит, B = C.

Заметим теперь, что и A, и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A), поэтому они должны быть равны.

Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B, то есть (–A)·B противоположно A·B, значит, оно равно –(A·B).

Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.

А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.

Ответил: Евгений Епифанов

Правила сложения, вычитания, умножения чисел | fizmat.by

Тестирование онлайн

• Сложение и вычитание

Сложение чисел

Результат сложения двух или более чисел называется суммой, а сами числа — слагаемыми.

Сумма двух отрицательных чисел. Складываем числа, аналогично положительным, записываем результат со знаком «минус». Например, (-6)+(-5,3)=-(6+5,3)=-11,3.

От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется a+b=b+a.

Вычитание чисел

Результат действия называется разностью. Сами числа — уменьшаемое и вычитаемое.

Сложение положительного и отрицательного числа — это не что иное, как вычитание! Мало кто задумывается, что вычитание 7-2 можно представить в виде 7+(-2), получили сложение отрицательного и положительного числа. Для того, чтобы сложить два числа с противоположными знаками, необходимо от большего числа вычесть меньшее, а знак суммы должен совпадать со знаком большего числа.

Например, —8+3=—(8-3)=—5; или -7+45=+(45-7)=+38=38.

Умножение чисел

Результат умножения двух или более чисел называется произведением, а сами числа — множителями.

Умножить число а на b — значит найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a.

Например,

Произведение двух чисел одного знака есть число положительное. Например,

Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Например,

От перестановки множителей значение произведения не изменяется ab=ba.

1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство a+b=b+a. Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом сложения, который формулируется так: от перестановки слагаемых значение суммы не изменяется.

2) Для любых натуральных a, b и c верно равенство (a+b)+с=a+(b+с). Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом сложения, который формулируется так: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой.

1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство ab=ba. Это свойство называют переместительным законом умножения, который формулируется так: от перестановки множителей значение произведения не изменяется.

2) Для любых натуральных a, b и c верно равенство (ab)с=a(bс). Это свойство называют сочетательным законом умножения, который формулируется так: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

3) При любых значениях a, b и c верно равенство (a+b)с=aс+bс. Это свойство называют распределительным (дистрибутивным) законом умножения (относительно сложения), который формулируется так: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения. Аналогично можно записать: (a-b)с=aс-bс.

Умножение положительных и отрицательных чисел

Задача 1. Точка движется по прямой слева направо со скоростью 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через точку A. Где будет находиться движущаяся точка по прошествии 5 секунд?

Нетрудно сообразить, что точка будет находиться на 20 дм. вправо от A. Запишем решение этой задачи относительными числами. Для этого условимся в следующих знакоположениях:

1) скорость вправо будем обозначать знаком +, а влево знаком –, 2) расстояние движущейся точки от A вправо будем обозначать знаком + и влево знаком –, 3) промежуток времени после настоящего момента знаком + и до настоящего момента знаком –. В нашей задаче даны, след., такие числа: скорость = + 4 дм. в секунду, время = + 5 секунд и получилось, как сообразили арифметически, число + 20 дм., выражающее расстояние движущейся точки от A через 5 секунд. По смыслу задачи мы видим, что она относится к умножению. Поэтому решение задачи удобно записать:

(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.

Задача 2. Точка движется по прямой слева направо со скоростью по 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через точку A. Где находилась эта точка 5 секунд назад?

Ответ ясен: точка находилась влево от A на расстоянии 20 дм.

Решение удобно, согласно условиям относительно знаков, и, имея в виду, что смысл задачи не изменился, записать так:

(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.

Задача 3. Точка движется по прямой справа налево со скоростью 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через точку A. Где будет находиться движущаяся точка спустя 5 секунд?

Ответ ясен: на 20 дм. слева от A. Поэтому, согласно тем же условиям относительно знаков, мы можем записать решение этой задачи так:

(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.

Задача 4. Точка движется по прямой справа налево со скоростью по 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через точку A. Где находилась движущаяся точка 5 секунд тому назад?

Ответ ясен: на расстоянии 20 дм. справа от A. Поэтому решение этой задачи следует записать так:

(– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Рассмотренные задачи указывают, как следует распространить действие умножения на относительные числа. Мы имеем в задачах 4 случая умножения чисел со всевозможными комбинациями знаков:

1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Во всех четырех случаях абсолютные величины данных чисел следует перемножить, у произведения приходится ставить знак + тогда, когда у множителей одинаковые знаки (1-й и 4-й случаи) и знак –, когда у множителей разные знаки (случаи 2-й и 3-й).

Отсюда же видим, что от перестановки множимого и множителя произведение не изменяется.

Упражнения.

Выполним один пример на вычисление, где входят и сложение и вычитание и умножение.

Чтобы не спутать порядка действий, обратим внимание на формулу

ab + cd.

Здесь написана сумма произведений двух пар чисел: надо, следовательно, сперва число a умножить на число b, потом число c умножить на число d и затем полученные произведения сложить. Также в формуле

a – bc

надо сперва число b умножить на c и затем полученное произведение вычесть из a.

Если бы требовалось произведение чисел a и b сложить с c и полученную сумму умножить на d, то следовало бы написать: (ab + c)d (сравнить с формулой ab + cd).

Если бы надо было разность чисел a и b умножить на c, то написали бы (a – b)c (сравнить с формулой a – bc).

Поэтому установим вообще, что если порядок действий не обозначен скобками, то надо сначала выполнить умножение, а потом уже сложение или вычитание.

Приступаем к вычислению нашего выражения: выполним сначала сложения, написанные внутри всех маленьких скобок, получим:

Теперь надо выполнить умножение внутри квадратных скобок и затем из вычтем полученное произведение:

Теперь выполним действия внутри витых скобок: сначала умножение и потом вычитание:

Теперь останется выполнить умножение и вычитание:

16. Произведение нескольких множителей. Пусть требуется найти

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).

Здесь надо первое число умножить на второе, полученное произведение на 3-е и т. д. Не трудно на основании предыдущего установить, что абсолютные величины всех чисел надо между собою перемножить.

Если бы все множители были положительны, то на основании предыдущего найдем, что и у произведения надо написать знак +. Если бы какой-либо один множитель был отрицателен

напр., (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),

то произведение всех предшествующих ему множителей дало бы знак + (в нашем примере (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, от умножения полученного произведения на отрицательное число (в нашем примере +24 умножить на –1) получили бы у нового произведения знак –; умножив его на следующий положительный множитель (в нашем примере –24 на +5), получим опять отрицательное число; так как все остальные множители предполагаются положительными, то знак у произведения более изменяться не может.

Если бы было два отрицательных множителя, то, рассуждая, как выше, нашли бы, что сначала, пока не дошил до первого отрицательного множителя, произведение было бы положительно, от умножения его на первый отрицательный множитель новое произведение получилось бы отрицательным и таковы бы оно и оставалось до тех пор, пока не дойдем до второго отрицательного множителя; тогда от умножения отрицательного числа на отрицательно новое произведение получилось бы положительным, которое таким останется и в дальнейшем, если остальные множители положительны.

Если бы был еще третий отрицательный множитель, то полученное положительно произведение от умножения его на этот третий отрицательный множитель сделалось бы отрицательным; оно таковым бы и осталось, если остальные множители были все положительны. Но если есть еще четвертый отрицательный множитель, то от умножения на него произведение сделается положительным. Рассуждая так же, найдем, что вообще:

Чтобы узнать знак произведения нескольких множителей, надо посмотреть, сколько среди этих множителей отрицательных: если их вовсе нет, или если их четное число, то произведение положительно: если же отрицательных множителей нечетное число, то произведение отрицательно.

Итак, теперь мы легко узнаем, что

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.

Также

(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.

Теперь нетрудно видеть, что знак произведения, а также и его абсолютная величина, не зависят от порядка множителей.

Удобно, когда имеем дело с дробными числами, находить произведение сразу:

Удобно это потому, то не приходится делать бесполезных умножений, так как предварительно полученное дробное выражение сокращается, сколько возможно.

Пример на вычисление:

 
Поиск

Поиск

• 
  Школьный помощник
  • математика 5 класс
  • математика 6 класс
  • алгебра 7 класс
  • алгебра 8 класс
  • геометрия 7 класс
  • русский язык 5 класс
  • русский язык 6 класс
  • русский язык 7 класс

  
  

• 
  

• математика
• алгебра
• геометрия
• русский язык

«»

следующая
предыдущая

вернуться на предыдущую страницу

Такой страницы нет !!!

• Популярные запросы
  
  • Обстоятельство
  • Дополнение
  • Определение
  • Деление дробей
  • Алгебра 8 класс
  • Русский язык 7 класс
  • Математика 6 класс
  • Алгебра 7 класс
  • Русский язык 5 класс
  • Русский язык 6 класс
  • Математика 5 класс
  • Наименьшее общее кратное
  • Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
  • Деление и дроби
  • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
  • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
  • Квадратный корень из неотрицательного числа
  • Доли. Обыкновенные дроби
  • Окружность и круг
  • Антонимы. Синонимы
  • Десятичная запись дробных чисел
  • Буквы о – а в корнях -лаг- / -лож-, -рос- / -раст- (-ращ-)

  
  

Правила использования положительных и отрицательных целых чисел

Целые числа, цифры, не имеющие дробей и десятичных знаков, также называются целыми числами. Они могут иметь одно из двух значений: положительное или отрицательное.

• Положительные целые числа имеют значения больше нуля.
• Отрицательные целые числа имеют значения меньше нуля.
• Ноль не является ни положительным, ни отрицательным.

Правила работы с положительными и отрицательными числами важны, потому что вы столкнетесь с ними в повседневной жизни, например, при балансировании банковского счета, вычислении веса или приготовлении рецептов.

Советы для успеха

Как и любой другой предмет, успех в математике требует практики и терпения. Некоторым людям легче работать с числами, чем другим. Вот несколько советов по работе с положительными и отрицательными целыми числами:

• Контекст может помочь вам разобраться в незнакомых концепциях. Попробуйте подумать о практическом применении как о ведении счета, когда вы тренируетесь.
• Использование числовой линии , показывающей обе стороны нуля, очень полезно для развития понимания работы с положительными и отрицательными числами / целыми числами.
• Отрицательные числа легче отслеживать, если вы заключите их в скобки .

Дополнение

Независимо от того, добавляете ли вы положительные или отрицательные значения, это простейший расчет, который вы можете сделать с целыми числами. В обоих случаях вы просто вычисляете сумму чисел. Например, если вы складываете два положительных целых числа, это выглядит так:

Если вы вычисляете сумму двух отрицательных целых чисел, это выглядит так:

Чтобы получить сумму отрицательного и положительного числа, используйте знак большего числа и вычтите.Например:

• (–7) + 4 = –3
• 6 + (–9) = –3
• (–3) + 7 = 4
• 5 + (–3) = 2

Знак будет у большего числа. Помните, что добавление отрицательного числа — это то же самое, что вычитание положительного.

Вычитание

Правила вычитания аналогичны правилам сложения. Если у вас есть два положительных целых числа, вы вычитаете меньшее из большего. Результатом всегда будет положительное целое число:

Точно так же, если вы вычтите положительное целое число из отрицательного, вычисление станет вопросом сложения (с добавлением отрицательного значения):

• (–5) — 3 = –5 + (–3) = –8

Если вы вычитаете отрицательные из положительных, два отрицательных результата уравновешиваются, и это становится сложением:

• 5 — (–3) = 5 + 3 = 8

Если вы вычитаете отрицательное число из другого отрицательного целого числа, используйте знак большего числа и вычтите:

• (–5) — (–3) = (–5) + 3 = –2
• (–3) — (–5) = (–3) + 5 = 2

Если вы запутались, часто помогает сначала написать положительное число в уравнении, а затем отрицательное. Это может упростить определение того, происходит ли смена знака.

Умножение

Умножение целых чисел довольно просто, если вы помните следующее правило: если оба целых числа либо положительные, либо отрицательные, сумма всегда будет положительным числом. Например:

• 3 х 2 = 6
• (–2) x (–8) = 16

Однако, если вы умножаете положительное целое число на отрицательное, результатом всегда будет отрицательное число:

• (–3) x 4 = –12
• 3 x (–4) = –12

Если вы умножаете большую серию положительных и отрицательных чисел, вы можете сложить, сколько положительных и отрицательных чисел.Последний знак будет лишним.

Дивизион

Как и в случае с умножением, правила деления целых чисел следуют тому же положительному / отрицательному руководству. Разделение двух негативов или двух позитивов дает положительное число:

• 12/3 = 4
• (–12) / (–3) = 4

Деление одного отрицательного целого числа и одного положительного целого числа дает отрицательное число:

• (–12) / 3 = –4
• 12 / (–3) = –4

Арифметика — числа и их свойства — целые, сложение, отрицательные и положительные

Эти аксиомы применимы ко всем действительным числам. Важно отметить, что действительные числа — это общий класс всех чисел, который включает целые числа, целые числа, рациональные числа и иррациональные числа. Для каждого из этих числовых типов применимы только определенные аксиомы.

Целые числа, также называемые натуральными числами , включают только числа, которые являются целыми положительными числами и нулем. Эти числа обычно являются первыми, с которыми знакомится человек, и они широко используются для подсчета предметов. Сложение целых чисел предполагает их объединение для получения суммы.Умножение целых чисел — это просто метод повторного сложения. Например, 2 × 4 совпадает с 2 + 2 + 2 + 2. Поскольку целые числа не включают отрицательных, чисел или дробей, два обратных свойства не применяются. Наименьшее целое число равно нулю, но нет ограничений на размер наибольшего.

Целые числа — это целые числа, включающие отрицательные числа. Для этих чисел действительно применяется свойство, обратное сложению. Для этих чисел ноль — не наименьшее число, а среднее число с бесконечным количеством положительных и отрицательных целых чисел, существующих до и после него.Целые числа используются для измерения значений, которые могут увеличиваться или уменьшаться, например, количество денег в кассовом аппарате. Стандартные правила сложения соблюдаются, когда два положительных или два отрицательных числа складываются вместе, а знак остается неизменным. Когда положительное целое число добавляется к отрицательному, числа вычитаются и применяется соответствующий знак. Используя аксиомы умножения, можно показать, что при умножении двух отрицательных целых чисел результатом является положительное число .Кроме того, когда положительное и отрицательное умножаются, получается отрицательное число.

Числа, к которым применяются оба обратных свойства, называются рациональными числами. Рациональные числа — это числа, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел, например, ¹ ⁄ ₂ . В этом примере число 1 называется числителем, а число 2 — знаменателем. Хотя рациональные числа представляют больше чисел, чем целые числа или целые числа, они не представляют все числа.Существует другой тип чисел, называемый иррациональным числом , которое не может быть представлено как отношение двух целых чисел. Примеры этих типов чисел включают квадратные корни из чисел, которые не являются точными квадратами, и кубические корни из чисел, которые не являются идеальными кубами. Кроме того, такие числа, как универсальные константы π и e, являются иррациональными числами.

Принципы арифметики создают основы для всех других разделов математики. Они также представляют собой наиболее практическое применение математики в повседневной жизни.От определения сдачи, полученной от покупки, до расчета количества сахара в партии печенья, обучение арифметическим навыкам очень важно.

Отрицательные числа — объяснение и примеры

Некоторым людям может показаться немного скучным изучение отрицательных чисел.

У этих людей есть вопросы, например, зачем изучать отрицательные числа?

Как отрицательные числа связаны с их повседневной жизнью?

Что ж, в этой статье мы узнаем, что такое отрицательные числа, как они действуют и как числа связаны в реальной жизни.

История отрицательных чисел началась тысячу лет назад, когда математики с Индийского субконтинента начали их использовать. Позже европейцы проявили интерес к отрицательным числам, но очень не хотели их принимать.

Египтяне также пренебрегли отрицательными числами и в какой-то момент посчитали отрицательные числа смешными. Это потому, что математика, которую они использовали в то время, основывалась только на геометрических понятиях, таких как окружность и площадь. Позже европейцы начали догонять отрицательные числа, когда ученые начали переводить арабские тексты, полученные из Северной Африки.

Из этой краткой истории мы узнали, что, тем не менее, эти поколения блестящих и умных людей поначалу оказались трудными для принятия концепции отрицательных чисел.

Они наконец приняли эту идею после открытия значения отрицательных чисел.

Что такое отрицательное число?

Отрицательное число — это число, значение которого меньше нуля. Отрицательные числа обозначаются знаком минус или тире (-) перед числом.

Они представлены на числовой строке слева от исходной точки.Отрицательные числа могут быть целыми, дробными или десятичными. Например, — 2, — 3, — 4, — 5, -2/3, -5/7, -3/4, -0,5, -0,7. и т.д. являются примерами отрицательных чисел. В этом случае эти числа произносятся как отрицательные два, отрицательные три, отрицательные четыре и так далее.

Отрицательное число может интерпретироваться по-разному. А это:

• Отрицательное число — это число, которое меньше нуля
• Числа, которые находятся слева от нуля в числовой строке
• Число, противоположное положительному числу
• Отрицательное число представляет потерю или отсутствие чего-либо.
• Количество, имеющее направление

Что такое отрицательное целое число?

Отрицательное целое число — это целое число, значение которого меньше нуля. Отрицательные целые числа обычно представляют собой целые числа, например, -3, -5, -8, -10 и т. Д.

Операции с отрицательными целыми числами

Отрицательные целые числа имеют правила для выполнения различных вычислений. Это:

• Сложение отрицательного и положительного целого числа

При сложении отрицательного и положительного целого числа вычтите целые числа и запишите знак большего абсолютного значения.Другими словами, когда небольшое отрицательное целое число добавляется к большему положительному целому числу, целые числа вычитаются и им присваивается положительный знак. Например,

8 + (- 2) = 6. Точно так же, когда добавляются небольшое положительное и большое отрицательное целое число, сумма всегда отрицательна. Например, — 5 + 3 = — 2.

При сложении отрицательных целых чисел числа складываются, и сумма принимает знак исходных целых чисел. Например, — 5 + (-1) = — 6.

• Вычитание целых чисел со знаком

Вычитание положительного целого числа из отрицательного целого числа эквивалентно сложению отрицательного числа этого целого числа. Например, -10-15 = -10 + (-15) = -25.

Вычитание отрицательного целого числа из другого отрицательного целого числа равносильно сложению положительного целого числа. Например, 13 — (-14) = 13 + 14 = 27.

• Умножение и деление отрицательных целых чисел

Когда отрицательное целое число умножается на другое отрицательное целое, произведение оказывается положительным. Пример: -4 x -4 = 16. Аналогично, деление отрицательного целого числа на другое отрицательное целое число дает положительное частное.

Умножение положительного целого числа на другое отрицательное целое число дает отрицательный результат. Например, -2 х 5 = -10. И деление положительного целого числа на отрицательное дает отрицательное частное.

Применение отрицательных целых чисел в реальной жизни

Отрицательные целые числа, независимо от их значения, широко применяются в различных сферах жизни. Следующие ниже примеры применения отрицательных чисел в реальной жизни побудят вас увидеть преимущества их изучения.

• Банковско-финансовый сектор.

Банки и финансовые учреждения предполагают дебет, кредит и деньги. По этой причине необходимо иметь номера, которые различают кредитную и дебетовую транзакции. Прибыль и убыток также определяются положительным и отрицательным числом соответственно. Еще одно поле, в котором используются отрицательные числа, — это фондовый рынок. Положительные и отрицательные числа используются для обозначения взлетов и падений цены акций.

Депозиты обычно обозначаются положительным знаком, тогда как снятие средств обозначается отрицательным знаком.

• Наука, техника и медицина

Отрицательные числа используются в прогнозировании погоды, чтобы показать температуру в регионе. Отрицательные целые числа используются для отображения температуры по шкале Фаренгейта и Цельсия.

В технике, например, такие приборы, как котлы и паровые двигатели, используют манометры и термометры, откалиброванные от отрицательного до положительного целого числа.

Все приборы для измерения артериального давления, массы тела и тестирования на наркотики работают по концептуальной отрицательной или положительной шкале.

• Другие практические применения отрицательных целых чисел

Разница мячей в таких видах спорта, как футбол, хоккей и баскетбол, обозначается отрицательными целыми числами.

Лифты, спидометры и выдувные устройства Alco используют отрицательные и положительные значения.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Десятичные и целые числа — свойства целых чисел

те же знакомые свойства целых чисел применимы и к целым числам.Если ты
как и многие студенты, всякий раз, когда вы видите одно из этих «свойств»,
вы стонете внутри и думаете: «Зачем мне это учить?»
Вы не поверите, но свойства чисел не изобрели злые математики.
мучить студентов-математиков! Это основные правила нашей математической системы,
и вы будете использовать их всю оставшуюся жизнь. Очень важно, чтобы ты
понять, как применять каждый из них при решении математических задач.Когда ты
переходя к алгебре, вы будете использовать эти свойства снова и снова!
Давайте рассмотрим каждый подробно и простым языком.

Коммутативное свойство сложения
Коммутативное свойство
Свойство сложения говорит о том, что мы можем складывать числа в любом порядке. Ты можешь вспомнить
коммутативное свойство, думая о числах «коммутирующих»,
или меняются местами. Этот пример показывает нам, что «два отрицательных плюс положительный
«четыре» — это то же самое, что «положительные четыре плюс два отрицательных».«

-2
+ 4 = 4 + (-2)

Коммутативный
свойство умножения
Коммутативность умножения очень похожа. Он говорит, что мы
можем умножать числа в любом порядке, не меняя результата. В
пример показывает нам, что «отрицательное дважды положительное четыре» — это
то же самое, что «положительный, четыре раза отрицательный, два»

-2 (4)
= 4 (-2)

Ассоциативный
свойство сложения
Ассоциативное свойство сложения говорит нам, что мы можем группировать числа в
сумма, как мы хотим, и все равно получим тот же ответ.Вы можете вспомнить
ассоциативное свойство, думая о двух числах, связанных друг с другом,
а затем один уходит, чтобы связать с другим числом.

Пример
показывает нам, что мы можем сложить «два отрицательных и четыре положительных».
вместе, а затем прибавьте эту сумму к положительным трем, чтобы получить окончательный ответ,
или мы можем сначала сложить «положительную четверку и положительную тройку»
а затем прибавьте эту сумму к отрицательным двум, чтобы получить окончательный ответ.Ответ
будет таким же независимо от того, как мы это сделаем.

(-2 + 4) + 3 = -2 + (4 + 3)

Ассоциативный
свойство умножения
Ассоциативное свойство умножения говорит нам, что мы можем группировать
числа в продукте любым желаемым образом и при этом получаем тот же ответ.

Пример
показывает нам, что мы можем перемножить «два отрицательных и четыре положительных».
вместе, а затем умножьте это произведение на положительное три, чтобы получить окончательный
ответ, или мы можем умножить «положительные четыре и положительные три» вместе
сначала, а затем умножьте это произведение на два отрицательных, чтобы получить окончательный ответ.Ответ будет одним и тем же независимо от того, как мы это сделаем.

-2 (4) x 3 = -2 (4 x 3)

Распределительный
недвижимость
Распределительное свойство вступает в игру, когда выражение, включающее сложение
затем на что-то умножается. Он говорит нам, что мы можем сначала добавить, а затем
умножьте или сначала умножьте, а затем сложите. В любом случае умножение
«распределено» по всем терминам в круглых скобках.

В этом примере
мы можем либо сначала сложить числа в скобках — 4 + 3 —
а затем умножьте результат на -2 ; или мы можем умножить -2 и
каждый термин отдельно, а затем сложите два продукта вместе. Ответ
то же самое в обоих случаях.

-2 (4
+ 3) = (-2 х 4) + (-2 х 3)

Часы
вне!

Вычитание
не является ни коммутативным, ни ассоциативным.

Дивизия
ни коммутативные, ни ассоциативные.

Примеры

1. Мы можем добавить
номера в любом порядке. (Коммутативное свойство сложения.)

-2
+ 4 = 4 + -2

2. Мы умеем умножать
номера в любом порядке. (Коммутативное свойство умножения)

-2
х 4 = 4 х-2

3. Мы можем сгруппировать
числа в сумме, как мы хотим. (Ассоциативное свойство сложения.)

(-2 + 4) + 3 = -2 + (4 + 3)

4. Мы можем сгруппировать
номера в продукте так, как мы хотим. (Ассоциативное свойство умножения)

(-2 х 4) х 3 = -2 х (4 х3)

5. С этим типом
выражения, мы можем сначала сложить, а затем умножить,

ИЛИ

сначала умножить,
затем добавьте.(Распределительное свойство умножения над сложением.)

-2 х (4 + 3) = (-2 х 4) + (-2 х 3)

назад
наверх

чисел со знаком (положительные и отрицательные числа)

Числа со знаком (положительные и отрицательные числа)

Термин чисел со знаком относится к положительным и отрицательным числам. Если знак не отображается, число автоматически считается положительным.

Номер строки

В числовой строке числа справа от 0 положительны. Числа слева от 0 отрицательны, как показано на рисунке 1.

Рис. 1. Числовая строка с целыми числами.

Для любых двух чисел в числовой строке число справа всегда больше, независимо от его знака (положительного или отрицательного). Обратите внимание, что дроби также могут быть помещены в числовую линию, как показано на рисунке 2.

Рис. 2. Числовая прямая с использованием дробей.

Добавление чисел со знаком

Когда складывает два числа с одинаковым знаком (как положительными, так и отрицательными), сложите абсолютные значения (число без знака) и сохраните тот же знак. Задачи сложения могут быть представлены как в вертикальной форме (вверх и вниз), так и в горизонтальной форме (поперек).

Пример 1

Добавьте следующее.

При сложении двух чисел с разными знаками (одно положительное и одно отрицательное) вычтите абсолютные значения и сохраните знак того числа с большим абсолютным значением.

Пример 2

Добавьте следующее.

Пример 3

Добавьте следующее.

1. 15

2. 3

3. 3

4. 5

Вычитание чисел со знаком

Чтобы вычесть положительные и / или отрицательные числа, просто изменит знак вычитаемого числа и затем сложит.

Пример 4

Вычтите следующее.

Вычитание положительных и / или отрицательных чисел также может выполняться «по горизонтали».

Пример 5

Вычтите следующее.

1. +12 — (+4) = +12 + (–4) = 8

2. +16 — (–6) = +16 + (+6) = 22

3. –20 — (+3) = –20 + (–3) = –23

4. –5 — (–2) = –5 + (+2) = –3

Минус предшествующая скобка

Если перед скобкой стоит минус, то означает, что все в скобках должно быть вычтено. Поэтому, используя то же правило, что и при вычитании чисел со знаком, просто замените каждый знак в круглых скобках на противоположный, а затем сложите.

Пример 6

Вычтите следующее.

Умножение и деление чисел со знаком

Чтобы умножать или делить числа со знаком, обрабатывает их как обычные числа, но помните следующее правило: нечетное количество отрицательных знаков дает отрицательный ответ.Четное количество отрицательных знаков даст положительный ответ.

Пример 7

Умножьте или разделите следующее.

1. (–3) (+ 8) (- 5) (- 1) (- 2) = +240

2. (–3) (+ 8) (- 1) (- 2) = –48

Отрицательные числа — предалгебра

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или несколько ваших авторских прав, сообщите нам об этом, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
то
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Как складывать, вычитать, умножать и делить положительные и отрицательные числа

Давайте посмотрим на следующую числовую строку и заметим, что каждая точка (точка) на числовой прямой соответствует одному числу:

В числовой строке выше мы видим три типа чисел или целых чисел: отрицательные числа, ноль и положительные числа. Отрицательные числа находятся слева от нуля, поэтому они меньше нуля. Положительные числа справа от нуля, поэтому они больше нуля. Ноль, точка разделения, не является ни положительным, ни отрицательным.

Для числовой строки выше «1» соответствует или относится к красной точке, «2» относится к зеленой точке, «3» относится к синей точке и так далее. Когда мы перемещаемся вправо по числовой строке, мы увеличиваем числа. Мы определили это как дополнение. Когда мы движемся влево, мы уменьшаемся.И мы определили это как вычитание. Обычно так работает числовая линия.

Когда мы складываем два положительных числа или умножаем два положительных числа, мы получаем положительное число. Однако мы можем вычесть положительное число из положительного, и внезапно мы не получим положительное число!

Например, если мы вычтем 7 из 4, мы начнем с 4 в числовой строке и переместимся влево на 7 позиций. Это подводит нас к -3. Поскольку -3 находится слева от 0, оно меньше нуля.

Глядя на обратную операцию, мы можем сказать, что если 4-7 = -3, то -3 + 7 = 4. И это правильно. Если мы начнем с -3 и переместим на 7 делений вправо, мы получим 4.

Положительные числа — это не только целые числа справа от нуля, но и все типы чисел, такие как дроби, десятичные дроби и радикалы. Отрицательные числа также включают различные формы и различные типы чисел, которые появляются слева от нуля.

У нас не всегда есть числовая строка, с которой можно работать, поэтому нам нужно изучить несколько правил работы с отрицательными числами.Во-первых, нам нужно определить абсолютное значение. Абсолютное значение числа — это количество единиц, отсчитываемых от нуля. Он всегда выражается положительно, но без знака «плюс».

Абсолютное значение 3 равно 3. Абсолютное значение -3 также равно 3. И 3, и -3 — три единицы от нуля. Абсолютное значение обозначается путем написания числа между двумя вертикальными полосами.

| 3 | = 3 и | -3 | = 3

Если перед числом вы не видите отрицательный или положительный знак, это положительный знак.

При сложении чисел одного знака (положительного или отрицательного) сложите их абсолютные значения и дайте результату тот же знак.

6 + 5 = 11 (6 и 5 положительны; 6 + 5 равно 11, что положительно)

-7 + -8 = -15

(-7 и -8 оба отрицательны; сложите | 7 | + | 8 |, что равно 7 + 8, чтобы получить 15; ответ -15)

Если все числа в добавляемой группе отрицательные: -2 + -3 + -4 = -9, снова сложите абсолютные значения 2 + 3 + 4, чтобы получить 9 и поставить отрицательный знак.

При сложении чисел противоположного знака возьмите их абсолютные значения, вычтите меньшее из большего и присвойте результату знак числа с большим абсолютным значением.

7 + -3 = | 7 | — | 3 | = 4

-8 + 6 = | 8 | что равно 8 и | 6 | что равно 6. Вычтите меньшее из большего:

8-6, что дает результат 2 и дает ему знак большего числа, равного 8.

Ответ — -2.

При вычитании положительного числа из отрицательного используйте то же правило, что и для сложения двух отрицательных чисел: сложите абсолютные значения и присвойте разнице отрицательный знак.

-5 — 4 = | 5 | + | 4 | = | 9 | = -9 (это как -5 + -4 = -9)

-2 — 12 = | 2 | + | 12 | = | 14 | = -14

При вычитании отрицательного числа из положительного, двойной отрицательный результат вычитания отрицательного становится положительным, поэтому используйте то же правило, что и для сложения двух положительных чисел: сложите абсолютные значения и присвойте разнице положительный знак.

5 — -4 = | 5 | + | 4 | = 5 + 4 = 9

Если бы вы использовали числовую строку, вы бы пошли влево для вычитания, а затем перевернули (вправо) для отрицательного числа, так что окончательный ответ будет справа от исходного числа.

16 — -10 = | 16 | + | 10 | = 16 + 10 = 26

Аддитивное обратное число — это число с противоположным знаком, так что при сложении двух результат равен нулю.

а + (-а) = 0

Как видите, это положительные и отрицательные числа одного и того же абсолютного значения.

10 + -10 = 0

-24 + 24 = 0

При умножении положительного числа и отрицательного числа (или отрицательного числа на положительное число) умножьте абсолютные значения и дайте ответ отрицательный знак.

8 х -5 = | 8 | х | 5 | = 8 x 5 = 40, но дайте ему отрицательный знак, и получится -40

-13 x 3 = -39

9 х -3 = -27

Чтобы умножить несколько чисел, посчитайте количество отрицательных знаков в числах, которые нужно умножить.Если это четное число, произведение будет положительным, а если нечетное, произведение будет отрицательным.

6 х -2 х -3 х 5 = | 6 | х | 2 | х | 3 | х | 5 |

6 x 2 = 12, 12 x 3 = 36 и 36 x 5 = 180

Имеется два отрицательных знака (четное число), поэтому ответ положительный.

Если бы было -6 x -2 x -3 x 5, ответ был бы -180

При умножении двух отрицательных чисел два отрицательных числа компенсируют друг друга, поэтому умножьте абсолютные значения и дайте ответ положительный знак.

-21 х -3 = | 21 | х | 3 | = 63 (остается положительным)

-7 х -8 = | 7 | х | 8 | = 56

Чтобы разделить два числа с одинаковым знаком (два положительных или два отрицательных), используйте абсолютные значения, и результат будет положительным.

16 ¸ 4 = | 16 | ¸ | 4 | = 4

-20 ¸ -10 = | 20 | ¸ | 10 | = 2

Деление положительного числа на отрицательное или отрицательного числа на положительное

Чтобы разделить пару чисел с разными знаками (отрицательное на положительное или положительное на отрицательное), используйте абсолютные значения двух чисел и присвойте результату отрицательный знак.

-12 ¸ 3 = | 12 | ¸ | 3 | = 4, но это -4

18 ¸ -3 = | 18 | ¸ | 3 | = 6, но это -6

Отрицательные числа используются для обозначения низких температур. Цифры ниже 0 ° C отрицательны и ниже точки замерзания. (Помните, что значения ниже 32 ° F ниже точки замерзания, но температура часто опускается ниже 0 ° F.)

Отрицательные числа используются для отображения измерений ниже уровня моря.Уровень моря равен 0.

.

Отрицательные числа используются с деньгами, чтобы показать задолженность или денежную задолженность. Если человек или домохозяйство тратят больше денег, чем зарабатывают, мы говорим, что они «отрицательные на определенную сумму», или называем это «красным», потому что бухгалтеры используют красные чернила для отображения отрицательных чисел.

Набор чисел — это группа чисел, которая соответствует заданному описанию.Например, набор целых чисел меньше 0 будет выражен как n <0. В этом предложении набор чисел, удовлетворяющий условиям, будет состоять из отрицательных целых чисел.

Все целые числа больше 0 будут выражены как n> 0. Набор чисел, удовлетворяющий этим условиям, будет набором всех положительных целых чисел. Каждое из этих целых чисел будет называться членом или элементом этого набора.

Какие целые числа от 3 до 8? Это будет 4, 5, 6 и 7.Другой способ выразить это — набор чисел больше 3, но меньше 8, которые можно представить в виде математического предложения, которое выглядит так:

3

Прочтите это: n такое, что n больше 3 и меньше 8

Поскольку 3

И n <8 или n меньше 8 или 8 больше n

п = 4, 5, 6, 7

Мы могли бы сказать 3 n <8, и в этом случае в ответ было бы включено 3, поэтому n = 3, 4, 5, 6, 7.Знак означает «меньше или равно», а знак означает «больше или равно».