Восьмеричная система счисления отличается от двоичной: Восьмеричная система счисления отличается от шестнадцатеричной

Содержание

Восьмеричная система счисления отличается от шестнадцатеричной

Двоичная система счисления

Для представления чисел в микропроцессоре используется двоичная система счисления .
При этом любой цифровой сигнал может иметь два устойчивых состояния: «высокий уровень» и «низкий уровень». В двоичной системе счисления для изображения любого числа используются две цифры, соответственно: 0 и 1. Произвольное число x=anan-1..a1a,a-1a-2…a-m запишется в двоичной системе счисления как

где ai — двоичные цифры (0 или 1).

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 7. 8 единиц младшего разряда объединяются в единицу старшего.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 15 включительно. Для обозначения базисных цифр больше 9 одним символом кроме арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной системе счисления используются буквы латинского алфавита:

Например, число 17510 в шестнадцатеричной системе счисления запишется как AF16. Действительно,

10·16 1 +15·16 0 =160+15=175

В таблице представлены числа от 0 до 16 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10

Двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатеричные преобразования

Двоичная система счисления удобна для выполнения арифметических действий аппаратными средствами микропроцессора, но неудобна для восприятия человеком, поскольку требует большого количества разрядов. Поэтому в вычислительной технике помимо двоичной системы счисления широкое применение нашли восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления для более компактного представления чисел.

Три разряда восьмеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации восьмеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (000) до 7(111). Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 3 разряда (триады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от него тоже можно добавить незначащие нули до заполнения всех триад. Затем каждая триада заменяется восьмеричной цифрой.

Пример: Преобразовать число 1101110,012 в восьмеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в триады справа налево. Получаем

Чтобы перевести число из восьмеричной системы в двоичную, нужно каждую восьмеричную цифру записать ее двоичным кодом:

Четыре разряда шестнадцатеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации шестнадцатеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (0000) до F(1111). Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 4 разряда (тетрады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от нее тоже нужно добавить незначащие нули до заполнения всех тетрад. Затем каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой.

Пример: Преобразовать число 1101110,112 в шестнадцатеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в тетрады справа налево. Получаем

Чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную, нужно каждую шестнадцатеричную цифру записать ее двоичным кодом:

Такие системы счисления относятся к двоично-кодированным системам, когда основание системы счисления представляют целые степени двойки: 2 3 — для восьмеричной и 2 4 — для шестнадцатеричной систем счисления. Изображения целых чисел в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления вместе с их двоичным и десятичными эквивалентами представлены в табл. 2.4 и 2.6

Большим достоинством восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления является:

-возможность более ком­пактно представить запись двоичного числа. Запись од­ного и того же двоичного числа в восьмеричной в 3 раза, а в шестнадцатерич­ной системе в 4 раза короче двоичной;

-сравнительно просто осуществляется преобразование чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы и наоборот.

Действительно, так как для восьмеричного числа каж­дый разряд представляется группой из трех двоичных разрядов (триад), а для шестнадцатеричного — группой из четырех двоич­ных разрядов (тетрад), то для такого преобразования достаточно объединить двоичные цифры в группы по 3 и 4 бита соответственно, продвигаясь от разделительной запятой вправо и влево. При этом в случае необходимости добавляют нули в начале и в конце числа и каждую такую группу — триаду или тетраду — заменяют экви­валентной восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Указанные достоинства восьмеричных и шестнадцатеричных систем счисления определили использование их при составлении программ для более короткой и удобной записи двоичных чисел, команд и специальных двоичных слов, с которыми оперирует ЭВМ. Особенно оказалось удобным использование шестнадцатеричной системы, когда разрядность чисел и команд выбрана кратной бай­ту, при этом каждый двоичный код байта запишется в виде 2-раз­рядного шестнадцатеричного числа.

Использование шестнадцатеричной системы счисления в ЭВМ общего назначения, как будет видно из дальнейшего изложения, позволяет расширить допустимый диапазон представления норма­лизованных чисел.

Шестнадцатеричная система счисления.

Наиболее удобной и короткой по записи является шестнадцатеричной СС. Данная СС имеет набор цифр <0, 1, 2, 3,. . ., 9, А, В, С, D, Е, F>, т.е основание системы р = 16. Для изображения чисел в шестнадцатеричной СС требуются 16 цифр. Для обозначения первых десяти цифр используются цифры десятичной СС, а для изображения шести ос­тальных — шесть заглавных (прописных) букв латинского алфавита А, В, С, D, Е, F, хотя можно было бы использовать любые другие шесть знаков.

По формуле (2.2) шестнадцатеричное число можно представить так:

А 16 = an 16 n + an-1 16 n-1 + an-2 16 n-2 + … + a1 16 1 + a 16 0 + a-1 16 -1 + a-2 16 -2 + … + a-m 16 -m

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

8 класс. Системы счисления.

1. В какой системе счисления представлена информация, хранящаяся в компьютере?

а) троичной; б) двоичной; в) десятичной; г) двенадцатеричной.

2 . Преимущество двоичной системы счисления состоит в том, что

а) двоичный код позволяет экономить память компьютера;

б) электронные элементы с двумя состояниями наиболее просты в конструктивном исполнении;

в) электронные элементы с двумя состояниями потребляют меньше электроэнергии;

г) двоичный код не вызывает сбоя компьютера.

3. Восьмеричная система счисления отличается от шестнадцатеричной

а) количеством операций над числом в секунду;

б) глубиной вложенности операций;

в) количеством цифр, используемых для записи числа;

г) степенью компьютеризации.

4. Какое количество цифр используется в троичной системе счисления?

а) 3; б)11; в) 10;г) 2.

5. В шестнадцатеричной системе счисления символ F используется для обозначения

а) конца файла; б) числа 16;в) конца строки; г) числа 15.

6. Переведите из двоичной системы счисления в десятичную число 101010101.

а) 361; б) 564; в) 455; г) 341.

7. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную число 216.

а) 11001100; б) 11011000; в) 11100000; г) 11001000.

8. Число 1116 в двоичной системе счисления равно

а) 1010101; б) 10011; в) 10001; г) 1000010.

9. Число ЕЕ16 в двоичной системе счисления равно

а) 110011; б) 11101110; в) 11110000; г) 10101010.

10. Число Е216 в десятичной системе счисления равно

а) 10000; б) 456; в) 226; г) 2310.

11. Число 3210 равно числу

а) 1000002; б) 358; в) 2116; г) 100002.

12. Сумма 1012 + 1002 + 1102, равна

а) 10112; б) 10012; в) 00012; г) 11112.

13. Выполните действие: 1111000012 + 1000112.

а) 10000001002; б) 10011001102; в) 10000111102; г) 10000011002.

14. Какое из равенств верно?

а) 510 = 000001112; б) 4710 = 1011112; в) 1310 = 000111112; г) 2 10 = 000010002.

15. Запись числа 100

а) отсутствует в двоичной системе счисления;

б) существует в двоичной, десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления;

в) отсутствует в десятичной системе счисления;

г) отсутствует в восьмеричной системе счисления;

д) отсутствует в шестнадцатеричной системе счисления.

8 класс. Системы счисления.

1. В какой системе счисления представлена информация, хранящаяся в компьютере?

а) троичной; б) двоичной; в) десятичной; г) двенадцатеричной.

2 . Преимущество двоичной системы счисления состоит в том, что

а) двоичный код позволяет экономить память компьютера;

б) электронные элементы с двумя состояниями наиболее просты в конструктивном исполнении;

в) электронные элементы с двумя состояниями потребляют меньше электроэнергии;

г) двоичный код не вызывает сбоя компьютера.

3. Восьмеричная система счисления отличается от шестнадцатеричной

а) количеством операций над числом в секунду;

б) глубиной вложенности операций;

в) количеством цифр, используемых для записи числа;

г) степенью компьютеризации.

4. Какое количество цифр используется в троичной системе счисления?

а) 3; б)11; в) 10;г) 2.

5. В шестнадцатеричной системе счисления символ F используется для обозначения

а) конца файла; б) числа 16;в) конца строки; г) числа 15.

6. Переведите из двоичной системы счисления в десятичную число 101010101.

а) 361; б) 564; в) 455; г) 341.

7. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную число 216.

а) 11001100; б) 11011000; в) 11100000; г) 11001000.

8. Число 1116 в двоичной системе счисления равно

а) 1010101; б) 10011; в) 10001; г) 1000010.

9. Число ЕЕ16 в двоичной системе счисления равно

а) 110011; б) 11101110; в) 11110000; г) 10101010.

10. Число Е216 в десятичной системе счисления равно

а) 10000; б) 456; в) 226; г) 2310.

11. Число 3210 равно числу

а) 1000002; б) 358; в) 2116; г) 100002.

12. Сумма 1012 + 1002 + 1102, равна

а) 10112; б) 10012; в) 00012; г) 11112.

13. Выполните действие: 1111000012 + 1000112.

а) 10000001002; б) 10011001102; в) 10000111102; г) 10000011002.

14. Какое из равенств верно?

а) 510 = 000001112; б) 4710 = 1011112; в) 1310 = 000111112; г) 2 10 = 000010002.

15. Запись числа 100

а) отсутствует в двоичной системе счисления;

б) существует в двоичной, десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления;

в) отсутствует в десятичной системе счисления;

г) отсутствует в восьмеричной системе счисления;

д) отсутствует в шестнадцатеричной системе счисления.

  • Гончаровская Светлана АнатольевнаНаписать 4424 10.12.2015

Номер материала: ДВ-247864

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, десятиричная

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют системы позиционные и непозиционные. В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т. д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Десятичная система счисления

Эта система пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н. э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени; 10, 100, 1000 и т. д. Крайняя правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа — число десятков, следующая — число сотен и т. д. Причина наибольшей распространенности десятичной системы счисления состоит в том, что первым счетным аппаратом человека являлись его руки. Число пальцев и стало отправным пунктом для системы счета.

Двоичная система счисления

В этой системе всего две цифры — 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т. д. Крайняя правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т. д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.

Восьмеричная система счисления

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает — как и в десятичном числе — просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т. д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатеричная система счисления

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: А, В, С, D, Е, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означает просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде — 16 (десятичное), в следующем — 256 (десятичное) и т. д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.

Вопрос 4. Чем отличаются друг от друга десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

1. Основаниями этих систем счисления являются соответственно числа 10, 2, 8, 16. При записи чисел в десятичной системе используются цифры от 0 до 9; в двоичной системе любое число записывается в виде последовательности 0 и 1; в восьмеричной системе для записи чисел используются цифры от 0 до 7; в шестнадцатеричной системе числа можно записывать 16-ю символами — цифрами от 0 до 9 и латинскими буквами от А до F;

2. Основаниями этих систем счисления являются соответственно числа 10, 2, 8, 16. При записи чисел в десятичной системе используются цифры от 0 до 10; в двоичной системе любое число записывается в виде последовательности 0 и 1; в восьмеричной системе для записи чисел используются цифры от 0 до 8; в шестнадцатеричной системе числа можно записывать цифрами от 0 до 16.

3. Основаниями этих систем счисления являются соответственно числа 10, 2, 8, 16. При записи чисел в десятичной системе используются цифры от 0 до 8; в двоичной системе любое число записывается в виде последовательности 0 и 1; в восьмеричной системе для записи чисел используются цифры от 0 до 10; в шестнадцатеричной системе числа можно записывать цифрами от 0 до 16.

4. Основаниями этих систем счисления являются соответственно числа 10, 2, 8, 16. При записи чисел в десятичной системе используются цифры от 0 до 9; в двоичной системе любое число записывается в виде последовательности 0 и 1; в восьмеричной системе для записи чисел используются цифры от 0 до 8; в шестнадцатеричной системе числа можно записывать цифрами от 0 до 17. В вычислительной технике используется только десятичная система счисления.

5. Основаниями этих систем счисления являются соответственно числа 10, 2, 8, 16. При записи чисел в десятичной системе используются цифры от 0 до 9; в двоичной системе любое число записывается в виде последовательности 0 и 1; в восьмеричной системе для записи чисел используются цифры от 0 до 8; в шестнадцатеричной системе числа можно записывать цифрами от 0 до 16.

Вопрос 5. Десятичное число 30 запишется в двоичной системе как:

1. 10011;

2. 11110;

3. 10101;

4. 100111;

5. 100001.

 

Задание 2

Вопрос 1. Элементарная единица измерения количества информации — это:
1. Байт;

2. Кбайт;

3. Мбайт;

4. Бит;

5. Восемь бит.

Вопрос 2. Даны системы счисления: с основанием 2, 8, 10, 16. Запись вида 100
1. отсутствует в двоичной;
2. существует во всех перечисленных;
3. отсутствует в десятичной;
4. отсутствует в восьмеричной;
5. отсутствует в 16-ной.

Вопрос 3. Если вариант теста в среднем имеет объем 20 килобайт (на каждой странице теста 40 строк по 64 символа в каждой , 1 символ занимает 1 байт), то количество страниц в тесте равно (ответ округлен до целой страницы): 1. 10;

2. 16;

3. 8;

4. 4;

5. 12.

Вопрос 4. Емкость одного печатного текста равна приблизительно 60 Кбайт

(1 символ занимает 1 байт), скорость печати — 100 символов в секунду. Без учета смены бумаги для распечатки текста на принтере потребуется минут (ответ округлен до целого числа):

1. 256;

2. 10;

3. 17;

4. 12;

5. 1024.

Вопрос 5 Важнейшими свойствами информации являются:

Достоверность и полнота;

2. ценность;

3. актуальность;

4. ясность и понятность;

5. все вышеперечисленное.

 

АППАРАТНЫЕ СРЕДСТВА СОВРЕМЕННОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Задание 3

Вопрос 1. Даны утверждения:
1. Емкость жесткого диска определяет производительность компьютера.
2. К характеристикам мониторов, определяющим качество изображения, относятся габариты, вес, материал корпуса.
3. Процессор содержит два основных устройства: арифметико-логическое устройство и устройство управления.
Среди них верными являются только

1. 1;

2. 2;

3. 3;

4. 1, 2 и 3;

5. 1 и 2.

Вопрос 2. Кнопочное устройство ввода символьной информации в компьютер — это:
1. сканер

2. мышь

3. трекбол

4. джойстик

5. клавиатура.

Вопрос 3. Для чего предназначены ПЗУ?

1. для временного хранения и считывания информации;

2. для постоянного хранения и считывания информации, которая не подлежит изменению;

3. для длительного хранения и считывания информации, которая изменяется крайне редко;

4. для любого вида хранения информации (как временного, так и длительного) и считывания информации;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 4. Для чего предназначены ОЗУ?

1. для временного хранения, записи и считывания информации;

2. для постоянного хранения и считывания информации, которая не подлежит изменению;

3. для длительного хранения, записи и считывания информации, которая изменяется крайне редко;

4. для любого вида хранения информации (как временного, так и длительного), записи и считывания информации;

5. нет правильного ответа.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, десятичная двойка является основанием двоичной системы счисления, аналогично тому, как в десятичной системе основанием является число десять.

Чтобы научиться считать в двоичной системе счисления, рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами: от 0 до 9. Когда счет достигает числа 9, вводится новый более старший разряд – десятки. При этом разряд единиц обнуляется и счет в этом разряде опять начинается с нуля. После числа 19 разряд десятков увеличивается на 1, а разряд единиц снова обнуляется. Получается число 20. Когда десятки дойдут до 9, впереди них появится третий разряд – сотни.

Формирование каждого последующего числа в двоичной системе счисления аналогично тому, как это происходит в десятичной за исключением того, что используются всего-лишь две цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела, то есть единицы, появляется новый разряд, а старый обнуляется.

  0
  1
 10
 11
100
101
110
111

Итак, число три в двоичной системе записывается как 11, в десятичной – как 3. Количественно это одинаковые числа. Это одно и то же число, выраженное в различных системах счисления. Если есть вероятность неоднозначной трактовки числа, к нему приписывается нижний индекс в десятичной системе счисления, обозначающий, в какой системе счисления выражено данное число:

112 = 310

Индекс для числа, выраженного в десятичной системе, обычно опускается.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

В двоичной системе счисления с увеличением значения количество разрядов растет очень быстро. Как определить, что значит двоичное число 10001001? Нам сложно понять, сколько это, мы привыкли мыслить в десятичной системе. Поэтому часто используется перевод двоичных чисел в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и так далее. Например:

5476 = 5000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить число, используя основание системы счисления, возводимое в показатель степени, равный разряду цифры, уменьшенному на единицу:

5476 = 5 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

После равенства числа 5, 4, 7 и 6 – это набор цифр из которых состоит число 5476. Все эти цифры умножаются на десять, возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы. Так, например, 6 находится в первом разряде, поэтому она умножается на 10(1-1). Натуральное число в нулевой степени равно единице. Таким образом, мы умножаем 6 на 1.

Точно также производится разложение числа в двоичной системы счисления, кроме того, что основанием выступает двойка, а не десятка. Здесь до знака равенства число представлено в двоичной системе счисления, после «равно» запись идет в десятичной:

10001001 = 1 * 27 + 0 * 26 + 0 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20

Результат вычислений дает десятичное число, количественно равное двоичному 10001001:

1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 =
= 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

То есть число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10:

100010012 = 13710

Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык современной вычислительной техники.

Когда любые данные сохраняются на компьютере, они кодируются числами. С числами же компьютер выполняет операции, изменяя эти данные.

Допустим, у нас есть десятичное число 14, которое требуется сохранить в компьютерной памяти. Мы задействуем участок памяти, в данном случае состоящий как минимум из двух элементов, отводимых под разряды. В одном из разрядов мы сохраняем десятичное число 1, в другом – число 4.

Элемент памяти – это физическое устройство. Если проектировать его для хранения десятичной цифры, потребуется создать такое устройство, которое может находиться в десяти разных физических состояниях и способно переключаться между ними. Каждое из этих состояний будет соответствовать числу от 0 до 9.

Создать такой элемент памяти возможно, однако сложнее и дороже, чем создать элемент, способный находиться только в двух состояниях. Одно состояние сопоставить нулю, второе – единице. Кроме того, подобное хранение данных является более надежным.

Поэтому оказалось проще перевести число 14 в двоичную систему счисления, получив число 1110, и именно его сохранить в памяти. И пусть даже при этом будут задействованы не два, а четыре разряда, то есть четыре элементарных единиц памяти.

Перевод десятичного числа в двоичное

Одним из алгоритмов перевода десятичного числа в двоичное является деление нацело на два с последующим «сбором» двоичного числа из остатков. Переведем таким образом число 14 в двоичное представление.

14 / 2 = 7, остаток 0
 7 / 2 = 3, остаток 1
 3 / 2 = 1, остаток 1
 1 / 2 = 0, остаток 1

Собирать остатки надо с конца, то есть с последнего деления. Получаем 1110.

Выполним то же самое для числа 77:

77 / 2 = 38, остаток 1
38 / 2 = 19, остаток 0
19 / 2 =  9, остаток 1
 9 / 2 =  4, остаток 1
 4 / 2 =  2, остаток 0
 2 / 2 =  1, остаток 0
 1 / 2 =  0, остаток 1

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101.

Проверим, выполнив обратный перевод:

1001101 = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Как перевести числа из восьмеричной системы счисления в двоичную

В 1716 году шведский король Карл XII обратился к Эммануилу Сведенборгу с занятной идеей — ввести в Швеции систему счисления с основанием 64 вместо всеобщей десятичной. Но философ посчитал, что средний уровень интеллекта гораздо ниже королевского и предложил восьмеричную систему. Так это было или нет — неизвестно. К тому же Карл умер в 1718 году. И идея умерла вместе с ним.

Зачем нужна восьмеричная система

Для микросхем компьютера важно лишь одно. Либо сигнал есть (1), либо его нет (0). Но записывать программы в двоичном коде — дело нелегкое. На бумаге получаются очень длинные комбинации из нулей и единиц. Человеку читать их тяжело.

Использование привычной всем десятичной системы в компьютерной документации и программировании очень неудобно. Преобразования из двоичной в десятичную системы и обратно — весьма трудоемкие процессы.

Происхождение восьмеричной системы, так же как и десятичной, связывают со счетом на пальцах. Но считать нужно не пальцы, а промежутки между ними. Их как раз восемь.

Решением проблемы стала восьмеричная система счисления. По крайней мере на заре компьютерной техники. Когда разрядность процессоров была невелика. Восьмеричная система позволила с легкостью переводить как двоичные числа в восьмеричные, так и наоборот.

Восьмеричная система счисления — система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7.

Преобразование

Для того чтобы перевести восьмеричное число в двоичное, необходимо заменить каждую цифру восьмеричного числа на тройку из двоичных цифр. Важно лишь запомнить, какая двоичная комбинация соответствует цифрам числа. Их совсем немного. Всего восемь!

Во всех системах счисления,кроме десятичной, знаки читаются по одному. Например, в восьмеричной системе число 610 произносится «шесть, один, ноль».

Если вы хорошо знаете двоичную систему счисления, то можно и не запоминать соответствие одних чисел другим.

Двоичная система ничем не отличается от любой другой позиционной системы. Каждый разряд числа имеет свой предел. Как только предел достигнут, текущий разряд обнуляется, а перед ним появляется новый. Только одно замечание. Предел этот очень мал и равен единице!

Все очень просто! Ноль предстанет группой из трех нулей — 000, 1 обернется последовательностью 001, 2 превратится в 010 и т.д.

В качестве примера попробуйте преобразовать восьмеричное число 361 в двоичное.
Ответ — 011 110 001. Или, если отбросить незначащий ноль, то 11110001.

Перевод из двоичной системы в восьмеричную аналогичен описанному выше. Только начинать разбиение на тройки нужно с конца числа.

Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных

Системы счисления классифицируются на 2 основные разновидности — позиционные и непозиционные. В чем заключается специфика тех и других?

Что представляет собой позиционная система счисления?

Рассматриваемая система счисления характеризуется тем, что цифры в ней в зависимости от своей позиции относительно начала числа (при его прочтении слева направо) будут иметь разную силу. Чем правее расположена цифра — тем она слабее. Например, в числе 143 самая сильная цифра — 1, поскольку обозначает сотню, далее по силе — 4, поскольку она обозначает десяток, третья по силе цифра — 3, так как она соответствует единичному числу.

Систем счисления, считающихся позиционными, в мире используется довольно много. В числе самых распространенных — двоичная (применяется в программировании), десятичная (более всего распространена в повседневной жизни), восьмеричная и шестнадцатеричная (в основном они применяются в инженерном деле).

Что представляет собой непозиционная система счисления?

Соответствующая система счисления характеризуется тем, что цифры в ней не всегда делятся по силе в зависимости от позиции относительно начала числа. Разность в их силе, в принципе, возможна, но не всегда является правилом.

Например, римское число XX (двадцать) состоит из двух одинаковых по силе цифр X, каждая из которых обозначает десять. В свою очередь, в числе XV (пятнадцать) первая цифра сильнее, поскольку соответствует десятичному основанию, а вторая — единичному числу пять.

Кроме того, в непозиционной системе счисления, в которой используются римские цифры, число, расположенное левее, может быть более слабым. Например, римская цифра IV, то есть 4, состоит из более слабой, расположенной левее I(единицы) и более сильной, расположенной правее V (пять). Цифра 4 образуется, таким образом, посредством вычитания более слабой цифры из более сильной.

Сравнение

Главное отличие позиционной системы счисления от непозиционной заключается в том, что в первой в структуре числа, состоящего более чем из одной цифры, все цифры отличаются по силе (в общем случае сильнее те, что расположены левее). Во второй системе счисления данная закономерность наблюдается только в некоторых случаях. Вполне возможно, что в структуре числа будут присутствовать цифры с одинаковой силой. При этом если сила цифр разная, необязательно, что более сильные будут располагаться левее, может наблюдаться и обратная ситуация.

Определив,в чем разница между позиционной и непозиционной системой счисления, зафиксируем выводы в таблице.

Непозиционная система счисления — это такая система счисления, в которой положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Система может накладывать определенные ограничения на порядок цифр (расположение по возрастанию или убыванию).
Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.

Отличие позиционной системы счисления от непозиционной

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от местонахождения в записи числа. Например, в числе 12 цифра 1 означает десять, а в числе 122 — сотню. В непозиционных системах счисления, где бы цифра не находилась, она имеет одно и то же значение. Например, в римской системе счисления IV и XI цифра I означает единицу.

Чем отличается позиционная система счисления от непозиционной?

Позиционная система счисления отличается от непозиционной тем, что для каждого числа позиционной системы счисления – вес цифры зависит от ее положения в числе.

Основы компьютеров — Система счисления

Техника представления и работы с числами называется системой счисления . Десятичная система счисления является наиболее распространенной системой счисления. Другие популярные системы счисления включают двоичную систему счисления, восьмеричную систему счисления, шестнадцатеричную систему счисления и т. Д.

Десятичная система счисления

Десятичная система счисления — это базовая система счисления, состоящая из 10 цифр от 0 до 9. Это означает, что любая числовая величина может быть представлена ​​с использованием этих 10 цифр. Десятичная система счисления также является системой позиционных значений . Это означает, что значение цифр будет зависеть от его положения. Давайте возьмем пример, чтобы понять это.

Скажем, у нас есть три числа — 734, 971 и 207. Значение 7 во всех трех числах отличается —

  • В 734 значение 7 составляет 7 сотен, или 700, или 7 × 100, или 7 × 10 2.
  • В 971 значение 7 составляет 7 десятков или 70 или 7 × 10 или 7 × 10 1
  • В 207 значение 0f 7 равно 7 единицам или 7 или 7 × 1 или 7 × 10 0

Вес каждой позиции можно представить следующим образом:

В цифровых системах инструкции передаются с помощью электрических сигналов; изменение осуществляется путем изменения напряжения сигнала. Наличие 10 различных напряжений для реализации десятичной системы счисления в цифровом оборудовании является сложным. Таким образом, было разработано много систем счисления, которые проще реализовать в цифровом виде. Давайте посмотрим на них подробно.

Двоичная система счисления

Самый простой способ изменять инструкции с помощью электрических сигналов — это система с двумя состояниями — включение и выключение. Вкл. Представлен как 1, а выкл. Как 0, хотя на самом деле 0 — это не сигнал, а сигнал при более низком напряжении. Система счисления, имеющая только эти две цифры — 0 и 1 — называется двоичной системой счисления .

Каждая двоичная цифра также называется битом . Двоичная система счисления также является системой позиционных значений, где каждая цифра имеет значение, выраженное в степенях 2, как показано здесь.

В любом двоичном числе крайняя правая цифра называется младшим значащим битом (LSB), а крайняя левая цифра называется старшим значащим битом (MSB) .

И десятичный эквивалент этого числа — сумма произведений каждой цифры с ее позиционным значением.

11010 2 = 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0

= 16 + 8 + 0 + 2 + 0

= 26 10

Память компьютера измеряется количеством бит, которые она может хранить. Вот диаграмма для преобразования объема памяти.

  • 1 байт (B) = 8 бит
  • 1 килобайт (КБ) = 1024 байта
  • 1 мегабайт (МБ) = 1024 КБ
  • 1 гигабайт (ГБ) = 1024 МБ
  • 1 терабайт (ТБ) = 1024 ГБ
  • 1 эксабайт (EB) = 1024 ПБ
  • 1 Zettabyte = 1024 EB
  • 1 Yottabyte (YB) = 1024 ZB

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления имеет восемь цифр — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Восьмеричная система счисления — это также система позиционных значений, в которой каждая цифра имеет свое значение, выраженное в степенях 8, как показано здесь —

Десятичный эквивалент любого восьмеричного числа представляет собой сумму произведений каждой цифры с ее позиционным значением.

726 8 = 7 × 8 2 + 2 × 8 1 + 6 × 8 0

= 448 + 16 + 6

= 470 10

Шестнадцатеричная система счисления

Восьмеричная система счисления имеет 16 символов — от 0 до 9 и от A до F, где A равно 10, B равно 11 и так далее до F. Шестнадцатеричная система счисления также является системой позиционных значений, где каждая цифра имеет свое значение, выраженное в степени 16, как показано здесь —

Десятичный эквивалент любого шестнадцатеричного числа является суммой произведения каждой цифры с ее позиционным значением.

27FB 16 = 2 × 16 3 + 7 × 16 2 + 15 × 16 1 + 10 × 16 0

= 8192 + 1792 + 240 +10

= 10234 10

Система счисления

В следующей таблице показана взаимосвязь между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.

шестнадцатеричный ДЕСЯТИЧНЫЙ OCTAL BINARY
0 0 0 0000
1 1 1 0001
2 2 2 0010
3 3 3 0011
4 4 4 0100
5 5 5 0101
6 6 6 0110
7 7 7 0111
8 8 10 1000
9 9 11 1001
10 12 1010
В 11 13 1011
С 12 14 1100
D 13 15 1101
Е 14 16 1110
F 15 17 1111

ASCII

Помимо числовых данных, компьютер должен уметь обрабатывать алфавиты, знаки препинания, математические операторы, специальные символы и т. Д., Которые образуют полный набор символов английского языка. Полный набор символов или символов называется буквенно-цифровыми кодами. Полный буквенно-цифровой код обычно включает в себя —

  • 26 заглавных букв
  • 26 строчных букв
  • 10 цифр
  • 7 знаков препинания
  • От 20 до 40 специальных символов

Теперь компьютер понимает только числовые значения, независимо от используемой системы счисления. Поэтому все символы должны иметь числовой эквивалент, называемый буквенно-цифровым кодом. Наиболее широко используемым буквенно-цифровым кодом является Американский стандартный код для обмена информацией (ASCII). ASCII — это 7-битный код, который имеет 128 (27) возможных кодов.

ISCII

ISCII расшифровывается как Индийский код сценария для обмена информацией . IISCII был разработан для поддержки индийских языков на компьютере. Язык, поддерживаемый IISCI, включает в себя деванагари, тамильский, бангла, гуджарати, гурмухи, тамильский, телугу и т. Д. IISCI в основном используется правительственными департаментами, и, прежде чем он смог завоевать популярность, был введен новый универсальный стандарт кодирования под названием Unicode .

Unicode

Unicode — это международная система кодирования, предназначенная для использования с различными языковыми сценариями. Каждому символу или символу присваивается уникальное числовое значение, в основном в рамках ASCII. Ранее у каждого скрипта была своя система кодирования, которая могла конфликтовать друг с другом.

Напротив, это то, к чему официально стремится UnicodeUnicode предоставляет уникальный номер для каждого символа, независимо от того, какая платформа, какая программа, какой язык .

Системы счисления

Обзор

Эта страница посвящена системам счисления. Вы уже знакомы по крайней мере с одной системой счисления — десятичной системой счисления, которую мы используем каждый день — на работе или за покупками — даже во время досуга (подумайте о многих играх и спортивных мероприятиях, связанных с хронометражом или счетом). ).На протяжении всей письменной истории появилось множество различных систем счисления. Здесь нас в первую очередь интересуют те, с которыми мы встретимся в контексте математики, науки и техники.

Существует множество различных систем счисления, основное различие между которыми состоит в количестве используемых символов (называемых основанием или основанием системы счисления). Десятичные числа имеют основание десять , двоичные числа (которые очень важны в вычислениях) имеют основание два , восьмеричные числа имеют базу восемь , а шестнадцатеричные числа имеют базу шестнадцать .

В вычислениях используются двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа. Шестнадцатеричные числа особенно важны в области вычислений, поскольку они обеспечивают удобный способ выражения двоичных значений. Каждая шестнадцатеричная цифра может использоваться для представления группы из четырех двоичных цифр (или бит ), а пара шестнадцатеричных цифр может использоваться для представления байта (группа из восьми двоичных цифр).

Символы, используемые в большинстве стран западного мира для выражения числовых значений, представляют собой версию индуистско-арабской системы счисления, позиционной системы счисления с десятичным числом , разработанной индуистскими и индийскими математиками в девятом веке, позже принятой арабскими математиками и принятой их во многие части Европы.В системе десять символов, каждый из которых представляет одно из десяти целых значений от 0 до 9.

Символы, используемые для представления цифр, важны только в том смысле, что они обеспечивают способ идентификации различных числовых значений с целью передачи их другим. Свойства данной системы счисления зависят только от количества различных используемых символов и от того, является ли система счисления позиционной.

Цифры, используемые в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, приведены ниже.Обратите внимание, что шестнадцатеричная система счисления использует первые шесть букв алфавита (A-F) для представления чисел от десять до пятнадцать (10-15).

Цифры, используемые в общих системах счисления
Система счисления 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
двоичный 1 0
восьмеричный 7 6 5 4 3 2 1 0
Десятичный 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Десятичный Ф E D С B А 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Десятичные числа

Обычно предполагается, что использование системы счисления, основанной на десяти символах ( десятичная система счисления ), основано на том факте, что ранний человек впервые научился считать, используя пальцы обеих рук, что позволило им считать до десять с относительной легкостью.

Все интересующие нас системы счисления (включая десятичную систему счисления, с которой большинство из нас знакомо) являются позиционными. Рассмотрим, например, число 123,456. Это число с плавающей запятой , т. Е. Оно имеет дробную часть, представленную цифрами, которые появляются справа от десятичной запятой (термин «с плавающей запятой» просто означает, что десятичная запятая (или основание системы счисления ) может размещать в любом месте относительно значащих цифр номера).

Цифра в первой позиции перед десятичной точкой (3) представляет собой значение 3 × 10 0 (три, умноженные на десять до нулевой степени), что равняется трем, поскольку любое число в степени нуля равно единице. Цифра во второй позиции слева от десятичной точки (2) представляет собой значение 2 × 10 1 или 20 (любое число в степени единицы само по себе). Цифра в третьей позиции слева от десятичной точки (1) представляет собой значение 1 × 10 2 , или сто.

Каждую цифру в десятичном числе необходимо умножить на десять в степени, которая зависит от положения цифры в числе, относительно десятичной точки, отделяющей целую часть числа от дробной части (если есть). Позиция имеет значение, потому что она определяет величину значения, представленного каждой цифрой. Три цифры справа от десятичной точки в приведенном выше примере (4, 5 и 6) представляют значения 4 × 10 -1 , 5 × 10 -2 и 6 × 10 -3 соответственно.

Восьмеричные числа

Восьмеричная система счисления, как следует из названия, имеет основание восемь (8). В ней используются те же первые восемь цифр, что и в десятичной системе счисления (от 0 до 7). Восьмеричная система счисления больше не широко используется в вычислениях (или где-либо еще в этом отношении), но когда-то она была популярна, потому что все восьмеричные цифры могли быть представлены с использованием всего трех битов.

Некоторые ранние мэйнфреймы и миникомпьютеры были построены на основе 36-битной архитектуры. Восьмеричный формат часто использовался для хранения цифровой информации, потому что группировка из трех битов довольно хорошо вписывалась в слово из тридцати шести битов. Восьмеричные цифры и их двоичные представления показаны ниже.

0 = 000
1 = 001
2 = 010
3 = 011
4 = 100
5 = 101
6 = 110
7 = 111

Подобно шестнадцатеричной и двоичной системах счисления, используемым в современных компьютерах, восьмеричные числа часто требовались для представления десятичных значений.Выше мы видели, что представляет собой число 123,456 в десятичной системе счисления. Каждая цифра представляет собой некоторую степень, кратную десяти, в зависимости от ее положения относительно точки счисления. Что бы представляла эта же последовательность чисел, если бы вместо десятичной системы счисления мы использовали восьмеричную систему счисления? Давай выясним.

Чтобы преобразовать это значение в его десятичный эквивалент, нам нужно сложить значения цифр:

123.456 8 = 1 × 8 2 + 2 × 8 1 + 3 × 8 0 + 4 × 8 -1 + 5 × 8 -2 + 6 × 8 -3

123,456 8 = 64 + 16 + 3 + 0,5 + 0,078125 + 0,01171875

123,456 8 = 83,58984375

Как видите, эта последовательность цифр представляет собой совсем другое восьмеричное значение. Обратите внимание: когда мы пишем десятичное число, мы обычно не указываем явно, что это десятичное число.Однако при написании чисел в других основаниях иногда рекомендуется указывать используемую числовую основу, чтобы избежать путаницы. Мы можем сделать это, добавив нижний индекс после числа, как показано ниже:

123,456 8

Мы видели, что преобразование восьмеричных чисел в десятичные относительно несложно. Преобразование восьмеричных чисел в двоичные стало еще проще. Мы видели, что каждая цифра восьмеричного числа умножается на степень восьми, а восемь равняется двум в степени трех:

8 = 2 3

Каждая дополнительная цифра при движении справа налево в двоичном числе представляет собой последовательную степень двойки.Точно так же каждая дополнительная цифра при движении справа налево в восьмеричном числе представляет собой последовательную степень восьми. Это означает, что сдвиг на одну позицию влево в восьмеричном числе эквивалентен сдвигу на три позиции влево в двоичном числе.

Значение может быть не сразу очевидным — возможно, вам придется подумать над этим некоторое время. Важно понимать, что для преобразования восьмеричного числа в его двоичный эквивалент мы просто заменяем каждую восьмеричную цифру тремя двоичными цифрами, которые ее представляют (мы видели их, перечисленные выше).Преобразуем восьмеричное число 123,456 в двоичное:

Следовательно:

123,456 8 = 1010011.10010111 2

Обратите внимание, что мы удалили два начальных нуля и конечный ноль из двоичного результата. Вы должны увидеть, что обратный процесс (преобразование двоичных чисел в их восьмеричное представление) — это просто вопрос замены каждой группы из трех двоичных цифр ее восьмеричным представлением.Преобразуем двоичное число 111110101.10001101 в восьмеричное:

Следовательно:

111110101.10001101 2 = 765,432 8

Единственное, с чем вам нужно быть осторожным, это убедиться, что вы разбили двоичное число на правильные трехзначные группы (при необходимости добавьте начальные или конечные нули, чтобы завершить левую и крайнюю правую группы двоичных цифр.

Преобразование восьмеричных чисел в шестнадцатеричные нельзя выполнить напрямую — это двухэтапный процесс. Первый шаг — преобразовать восьмеричное число в его десятичный эквивалент, как показано выше. Второй шаг — преобразовать полученное десятичное число в шестнадцатеричное (см. Ниже).

Шестнадцатеричные числа

Шестнадцатеричная система счисления (или основание шестнадцати) — это позиционная система счисления, которая представляет числовые значения с использованием шестнадцати символов — от 0 до 9 для значений от нуля до девяти и A, B, C, D, E и F для представления чисел. без десяти пятнадцать.По этой причине считается, что его основание равняется шестнадцати. Шестнадцатеричные числа выражаются как последовательность из одной или нескольких шестнадцатеричных цифр, за которыми следует строчная буква «h» или иногда нижний индекс 16, чтобы указать, что они на самом деле являются шестнадцатеричными числами (с основанием шестнадцати). Вот десятичное число сто шестьдесят пять (165), выраженное в виде шестнадцатеричного числа:

A5h

Как и в знакомой нам десятичной системе, положение каждой цифры в шестнадцатеричном числе определяет ее значение.В то время как каждая позиция в десятичном числе представляет некоторую степень десяти, однако каждая позиция в шестнадцатеричном числе представляет степень шестнадцати. В таблице ниже показаны числа от 0 до 63 (с десятичным основанием) в виде шестнадцатеричных чисел.

Шестнадцатеричные числа
Шестигранник 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А B С D E F
декабрь 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Шестигранник 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1D 1E 1 этаж
декабрь 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Шестигранник 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2C 2D 2E 2F
декабрь 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
Шестигранник 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3A 3C 3D 3E 3F
декабрь 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

Десятичное число тридцать девять (39), выраженное шестнадцатеричным числом (27h), таким образом:

2 × 16 1 + 7 × 16 0 = 32 + 7 = 39

Шестнадцатеричная цифра в крайней правой позиции любого шестнадцатеричного целого числа содержит наименьшее значение (с максимальным значением пятнадцать).Крайняя левая шестнадцатеричная цифра имеет максимальное значение, которое отражает ее положение относительно самой правой цифры и будет кратным некоторой степени шестнадцати больше нуля. Значение самой левой шестнадцатеричной цифры (при условии, что мы игнорируем ведущие нули) всегда превышает суммарное значение всех цифр справа от нее. По этой причине общая величина шестнадцатеричного числа всегда определяется позицией самой левой цифры.

Дроби также могут быть представлены с помощью шестнадцатеричных цифр, как и действительные (дробные) числа.Как и действительные числа с основанием десять, дробная часть шестнадцатеричного числа следует за точкой. В десятичной системе счисления мы называем это десятичной точкой. В шестнадцатеричной системе счисления мы называем это шестнадцатеричной точкой .

В десятичной системе число в первой позиции после десятичной точки умножается на 10 -1 (0,1), цифра во второй позиции после десятичной точки умножается на 10 -2 (0.01) и так далее. Дробная часть шестнадцатеричного числа работает по тому же принципу, за исключением того, что цифра в первой позиции после двоичной точки умножается на 16 -1 (от 0,0625 до десятичного основания), цифра во второй позиции после двоичной точки. умножается на 16 -2 (0,003

по основанию десять) и т. д.

Обратите внимание, что, в то время как каждая последующая положительная степень шестнадцати имеет значение в шестнадцать раз больше, чем ее предшественник, каждая последующая отрицательная степень шестнадцати имеет одну шестнадцатую значение своей предшественницы.Анатомия реального шестнадцатеричного числа проиллюстрирована ниже.

Анатомия реального шестнадцатеричного числа

Поскольку так легко представить группы из четырех двоичных цифр с помощью шестнадцатеричных цифр, шестнадцатеричная система счисления часто используется для представления двоичных значений в областях вычислительной техники и цифровой электроники. Байтовые значения, которые могут представлять десятичные числа в диапазоне от 0 до 255, часто выражаются с помощью пары шестнадцатеричных цифр в диапазоне от 00h до FFh.Шестнадцатеричные числа также обычно используются для представления адресов памяти в программах на языке ассемблера.

Двоичные числа

Важность двоичной системы счисления, которая, как следует из названия, состоит только из двух символов (0 и 1), заключается в том, что это единственная система счисления, которую современные цифровые компьютеры действительно «понимают». Следует помнить, что в основе этих устройств лежит центральный процессор (ЦП), который по сути представляет собой конечный автомат, состоящий из транзисторов и микросхем, которые обеспечивают сотни миллионов взаимосвязанных высокоскоростных переключателей.Состояние каждого отдельного переключателя может быть включено или выключено, поэтому каждый переключатель может представлять только единицу или ноль.

Хотя компьютеры могут обрабатывать огромные объемы данных и выполнять миллионы вычислений в секунду, все основные машинные операции, которые достигают этого, основаны на манипулировании двоичными значениями с использованием различных типов логических схем. Даже данные, хранящиеся в оперативной памяти (RAM) и на магнитных или оптических дисках, физически хранятся как двоичные данные — миллиарды отдельных двоичных цифр («битов»), все из которых имеют значение 0 или 1.

В то время как целочисленные значения в других системах счисления могут быть точно представлены с использованием двоичной системы счисления, многие действительные числа (с дробными значениями) не могут. Таким образом, такие значения являются приблизительными, хотя достигаемая степень точности увеличивается с количеством битов, используемых в их представлении, за счет увеличения объема памяти в рабочей памяти или на диске.

Поскольку двоичная система счисления (или система счисления с основанием два) представляет числовые значения с использованием всего двух символов (0 и 1), считается, что она имеет основание, равное двум.Двоичные числа выражаются как последовательность двоичных цифр, иногда за которыми следует нижний индекс 2, чтобы указать, что они на самом деле являются двоичными числами. Вот десятичное число сто семьдесят (170), выраженное в виде двоичного числа:

10101010 2

Как и в знакомой нам десятичной системе, положение каждой цифры в двоичном числе определяет его значение.В то время как каждая позиция в десятичном числе представляет некоторую степень десяти, однако каждая позиция в двоичном числе представляет степень двойки. В таблице ниже показаны числа от 0 до 15 (до десяти) как 4-битные двоичные числа (пятнадцать — это наибольшее число, которое может быть выражено четырьмя двоичными цифрами).

4-битные двоичные числа
двоичный 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
декабрь 0 1 2 3 4 5 6 7
двоичный 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
декабрь 8 9 10 11 12 13 14 15

Десятичное число 13 может быть выражено как двоичное число следующим образом:

1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

Двоичная цифра в самой правой позиции любого двоичного целого числа содержит наименьшее значение (с максимальным значением, равным единице) и иногда называется младшим значащим битом (LSB).Самая левая двоичная цифра имеет максимальное значение, которое отражает ее положение относительно младшего разряда, и будет представлять собой некоторую степень двойки больше нуля.

Крайняя левая двоичная цифра (при условии, что мы игнорируем ведущие нули) иногда называется старшим значащим битом (MSB), и ее значение всегда превышает совокупное значение всех битов справа от нее. По этой причине общая величина двоичного числа всегда определяется позицией самого левого (ненулевого) бита.

Дроби также могут быть представлены двоичными цифрами, как и действительные (дробные) числа. Как и действительные числа с основанием десять, дробная часть двоичного числа следует за точкой счисления. В десятичной системе счисления мы называем это десятичной точкой, но в двоичной системе счисления мы называем это двоичной точкой .

В десятичной системе число в первой позиции после десятичной точки умножается на 10 -1 (0.1) цифра во второй позиции после десятичной точки умножается на 10 -2 (0,01) и т. Д. Дробная часть двоичного числа работает по тому же принципу, за исключением того, что цифра в первой позиции, следующей за двоичной точкой, умножается на 2 -1 (от 0,5 до десятичного основания), цифра во второй позиции после двоичной точки. умножается на 2 -2 (0,25 с точностью до десяти) и т. д.

Обратите внимание, что, в то время как каждая последующая положительная степень двойки имеет двойное значение своего предшественника, каждая последующая отрицательная степень двойки имеет половину значения своего предшественника.Анатомия реального двоичного числа проиллюстрирована ниже.

Анатомия реального двоичного числа

Из вышесказанного видно, что преобразование двоичных чисел в десятичные относительно просто. Просто сложите степени двойки, представленные каждой двоичной цифрой (это работает для двоичных целых чисел, дробей и действительных чисел).

Когда вы думаете об этом, почти столь же очевидным является тот факт, что точность, с которой действительные числа и дроби (с основанием десять) могут быть преобразованы в двоичные, часто будет зависеть от количества битов, доступных для представления дробной части числа.Чем больше количество используемых битов, тем точнее будет результат (с точки зрения вычислений, более высокая точность означает больший объем памяти, необходимый для хранения результата).

Преобразование двоичных чисел в шестнадцатеричные стало еще проще, и это позволяет нам представлять двоичные значения более удобным для человека способом. Мы уже видели таблицу, содержащую десятичные целые (целые числа) значения от нуля до пятнадцати (0–15) и их двоичные эквиваленты.Давайте теперь посмотрим на двоичные эквиваленты шестнадцати цифр, используемых в шестнадцатеричной системе (0–9, A – F):

Двоичное преобразование в шестнадцатеричное
двоичный 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
Шестигранник 0 1 2 3 4 5 6 7
двоичный 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Шестигранник 8 9 А B С D E F

Мы видели, что каждая цифра в шестнадцатеричном числе умножается на степень шестнадцати, а шестнадцать равно двум в степени четырех:

16 = 2 4

Каждая дополнительная цифра при движении справа налево в двоичном числе представляет собой последовательную степень двойки.Точно так же каждая дополнительная цифра при движении справа налево в шестнадцатеричном числе представляет собой последовательную степень шестнадцати. Это означает, что сдвиг на одну позицию влево в шестнадцатеричном числе эквивалентен сдвигу на четыре позиции влево в двоичном числе.

Значение может быть не сразу очевидным — возможно, вам придется подумать над этим некоторое время. Важно понимать, что для преобразования двоичного числа в его шестнадцатеричный эквивалент достаточно просто заменить каждую группу из четырех двоичных цифр ее шестнадцатеричным представлением.Преобразуем двоичное число 110111110101.100011010011 в шестнадцатеричное:

Следовательно:

110111110101.100011010011 2 = DF5.8D3h

Единственное, с чем вам нужно быть осторожным, это убедиться, что вы разбили двоичное число на правильные четырехзначные группы (при необходимости добавьте начальные или конечные нули, чтобы завершить левую и крайнюю правую группы двоичных цифр.Кстати, если вы хотите проверить какой-либо из примеров преобразования, приведенных на этой странице, вы можете найти здесь удобный онлайн-инструмент для преобразования:

Набор инструментов кодера — преобразование чисел

Преобразование из шестнадцатеричного в двоичное — это просто вопрос обратного процесса. Другими словами, мы просто заменяем каждую цифру шестнадцатеричного числа четырьмя двоичными цифрами, которые ее представляют.После того, как мы выполнили преобразование, мы можем безопасно удалить все нули в начале и в конце. Преобразуем шестнадцатеричное число F08.7A5h в двоичное:

Следовательно:

F08.7A5h = 111100001000.011110100101 2

Преобразование десятичного числа в восьмеричное

Один из методов, который можно использовать для преобразования десятичного числа в его восьмеричный эквивалент, — выполнить целочисленное деление с использованием восьми в качестве делителя.Преобразуемое число делится на восемь, а остаток записывается в крайней правой позиции (восьмеричной цифрой). Целочисленный результат деления затем снова делится на восемь, а остаток записывается (снова как восьмеричная цифра) слева от восьмеричной цифры, полученной на предыдущем шаге. Этот процесс повторяется до тех пор, пока целочисленный результат деления не станет нулевым. Пример послужит иллюстрацией процесса. Чтобы преобразовать десятичное число 16895 в восьмеричное, выполните следующие действия:

Десятичное преобразование в восьмеричное
Целочисленное деление Целочисленный результат Остаток Восьмеричное
16895 ÷ 8 2111 7 7 8
2111 ÷ 8 263 7 7 8
263 ÷ 8 32 7 7 8
32 ÷ 8 4 0 0 8
4 ÷ 8 0 4 4 8

Следовательно:

16,895 10 = 40777 8

Мы можем выполнить относительно простой процесс, который мы уже видели, чтобы преобразовать число обратно в десятичное (и в то же время подтвердить, что полученный ответ правильный).Просто умножьте каждую шестнадцатеричную цифру на соответствующую степень шестнадцати и сложите полученные десятичные значения, как показано ниже:

4 × 8 4 + 0 × 8 3 + 7 × 8 2 + 7 × 8 1 + 7 × 8 0

= 4 × 4,096 + 0 × 512 + 7 × 64 + 7 × 8 + 7 × 1

= 16,384 + 0 + 448 + 56 + 7

= 16,895 10

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное

Один из методов, который можно использовать для преобразования десятичного числа в его шестнадцатеричный эквивалент, заключается в выполнении целочисленного деления с использованием шестнадцати в качестве делителя.Преобразуемое число делится на шестнадцать, а остаток записывается в крайнем правом положении (в виде шестнадцатеричной цифры). Целочисленный результат деления затем снова делится на шестнадцать, а остаток записывается (снова как шестнадцатеричная цифра) слева от шестнадцатеричной цифры, полученной на предыдущем шаге. Этот процесс повторяется до тех пор, пока целочисленный результат деления не станет нулевым. Пример послужит иллюстрацией процесса. Чтобы преобразовать десятичное число 13,337 в шестнадцатеричное, выполните следующие действия:

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное
Целочисленное деление Целочисленный результат Остаток Hex
13,337 ÷ 16 833 9 9h
833 ÷ 16 52 1 1h
52 ÷ 16 3 4 4 часа
3 ÷ 16 0 3 3 часа

Следовательно:

13,337 10 = 3419 ч

Мы можем выполнить относительно простой процесс, который мы уже видели, чтобы преобразовать число обратно в десятичное (и в то же время подтвердить, что полученный ответ правильный).Просто умножьте каждую шестнадцатеричную цифру на соответствующую степень шестнадцати и сложите полученные десятичные значения, как показано ниже:

3 × 16 3 + 4 × 16 2 + 1 × 16 1 + 9 × 16 0

= 3 × 4096 + 4 × 256 + 1 × 16 + 9 × 1

= 12 288 + 1,024 + 16 + 9

= 13,337 10

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Преобразование десятичных чисел в двоичные не так просто, но не так уж и сложно.Чтобы упростить задачу, мы будем иметь дело с целыми числами и дробями (или целыми числами и дробными частями действительных чисел) отдельно. Начнем с двоичных целых чисел («целое» — это имя, которое мы используем для целого числа). Описанный здесь метод — один из нескольких, которые можно использовать, но, вероятно, он самый простой. Чтобы преобразовать десятичное число n в двоичное, действуйте следующим образом:

  1. Разделите n на два и запишите остаток (ноль или один).
  2. Если результат предыдущего шага больше нуля, разделите его на два и запишите остаток. В противном случае переходите к шагу 4.
  3. Повторите шаг 2.
  4. Запишите последовательность значений остатка в обратном порядке.

Следующий пример должен прояснить этот процесс. Мы собираемся преобразовать десятичное число сто шестьдесят девять (169) в его двоичный эквивалент.

Преобразование десятичного числа в двоичное целое
Целочисленное деление Целочисленный результат Остаток Бит
169 ÷ 2 84 1 LSB
84 ÷ 2 42 0
42 ÷ 2 21 0
21 ÷ 2 10 1
10 ÷ 2 5 0
5 ÷ 2 2 1
2 ÷ 2 1 0
1 ÷ 2 0 1 MSB

Двоичное число считывается из столбца остатка, начиная с самого нижнего бита ( старший значащий бит или MSB) и заканчивая самым верхним битом ( младший бит или LSB), что дает нам двоичное значение:

169 10 = 10101001 2

Преобразование десятичных дробей в двоичные — аналогичный процесс.Как и в случае с целочисленным преобразованием, описанным выше, показанный ниже метод не единственный доступный, но относительно простой в использовании. Его можно использовать для дробных значений, выраженных как собственных дробей (например, 3 / 4 ) или десятичных дробей (например, 0,75). Чтобы преобразовать десятичную дробь в двоичную, действуйте следующим образом:

  1. Начните с записи двоичной точки, перед которой стоит ноль.
  2. Умножьте дробное значение на два.
  3. Если результат меньше единицы, добавьте ноль.
  4. Если результат один, добавьте единицу и переходите к шагу 7.
  5. Если результат больше единицы, добавьте единицу и отбросьте целую часть результата, чтобы создать новое дробное значение.
  6. Переходите к шагу 2.
  7. Стоп.

В следующем примере показано, как работает этот процесс. Мы собираемся преобразовать дробь 1 / 3 в ее двоичный эквивалент.

Преобразование десятичной дроби в двоичное
Дробь × 2 Результат <1 или> 1? Двоичная
дробь
1 / 3 × 2 2 / 3 <1 (добавить 0) 0,0
2 / 3 × 2 1 1 / 3 > 1 (добавить 1) 0.01
1 / 3 × 2 2 / 3 <1 (добавить 0) 0,010
2 / 3 × 2 1 1 / 3 > 1 (добавить 1) 0,0101
1 / 3 × 2 2 / 3 <1 (добавить 0) 0,010
2 / 3 × 2 1 1 / 3 > 1 (добавить 1) 0.0101

Быстро должно быть очевидно, что преобразовываемая десятичная дробь в этом случае представлена ​​ повторяющимся двоичным шаблоном . Следовательно, точность преобразования будет зависеть от того, сколько битов доступно для хранения дробного значения. В этом случае мы разрешили шесть битов справа от двоичной точки, что дает нам двоичное значение:

0,010101 2

Обратите внимание, что 1 / 3 , выраженный в виде десятичной дроби, равен 0.333, и точность десятичного представления, таким образом, зависит от количества двоичных цифр, следующих за точкой счисления. Поэтому при выполнении вычислений с использованием дробных значений всегда рекомендуется определять степень точности, требуемую для ответа. Для двоичных вычислений обычно существует верхний предел количества бит, доступных для дробной части результата.

Восьмеричная система счисления — значение, преобразование, решенные примеры, практические вопросы

Восьмеричная система счисления — это тип системы счисления с основанием из восьми и цифрами от 0 до 7.Система счисления — это система именования, представления или выражения чисел в различных типах форм. Основные способы представления чисел выполняются четырьмя способами: восьмеричная система счисления, двоичная система счисления, десятичная система счисления и шестнадцатеричная система счисления.

Определение восьмеричной системы счисления

Система счисления, основанная на восьми и использующая цифры от 0 до 7, называется восьмеричной системой счисления. Слово восьмеричное используется для обозначения чисел, в основе которых лежит восемь.Восьмеричные числа имеют много применений и важности, например, они используются в компьютерах и цифровых системах счисления. В системе счисления восьмеричные числа можно преобразовать в двоичные числа, двоичные числа в восьмеричные числа, сначала преобразовав двоичное число в десятичное число, а затем десятичное число в восьмеричное число.

Подобно восьмеричной системе счисления, двоичная система счисления представлена ​​основанием 2, десятичная система счисления представлена ​​основанием 10, а шестнадцатеричная система счисления представлена ​​основанием 16.Вот несколько примеров этих систем счисления:

  • \ ((10) _ {2} \) — двоичное число
  • \ ((119) _ {10} \) — десятичное число
  • \ ((51) _ {6} \) — шестнадцатеричное число

При решении восьмеричного числа каждое место представляет собой степень восьми. Например: \ ((347) _ {8} \) = 3 x 8 2 + 4 x 8 1 + 7 x 8 0

Преобразование восьмеричных в двоичные числа

Для процесса преобразования нам нужно преобразовать каждое число из восьмеричного числа в двоичное.Каждую цифру необходимо преобразовать в 3-битное двоичное число и, следовательно, получить двоичный эквивалент восьмеричного числа. Ниже приведено табличное представление двоичных чисел в восьмеричные числа и наоборот.

Пример 1 — Преобразование \ ((14) _ {8} \) в двоичное число

Решение — Учитывая \ ((14) _ {8} \) восьмеричное число, с помощью приведенной выше таблицы мы можем написать \ ((14) _ {8} \) = \ ((001 100) _ {2} \). Нули слева не имеют значения.Следовательно, \ ((14) _ {8} \) = \ ((001 100) _ {2} \).

Пример 2 — Преобразование \ ((11100101) _ {2} \) в восьмеричное число.

Решение — Учитывая \ ((11100101) _ {2} \) является двоичным числом, с помощью приведенной выше таблицы мы сначала записываем число в его 3-битное двоичное число, так как перед цифрами необходимо добавить ноль. для формирования 3-битного двоичного числа. Итак, число можно записать как \ ((011100101) _ {2} \). Следовательно, 3-битное двоичное число — 011, 100, 101.Глядя на ту же таблицу выше, мы можем преобразовать эти двоичные числа в их восьмеричные числа, чтобы получить окончательное число. Следовательно, числа 3, 4, 5

Следовательно, \ ((11100101) _ {2} \) = \ ((345) _ {8} \)

Преобразование восьмеричного числа в десятичное

Преобразование восьмеричных чисел в десятичные выполняется очень просто. Число расширяется с основанием восемь, где каждое число умножается с уменьшающей степенью 8. В десятичной системе счисления после преобразования используется основание 10.

Например, — Преобразует восьмеричное число \ ((121) _ {8} \) в его десятичную форму.

Решение — \ ((121) _ {8} \) = 1 x 8 2 + 2 x 8 1 + 1 x 8 0

= 1 х 64 + 2 х 8 + 1 х 1

= 64 + 16 + 1

Следовательно, \ ((121) _ {8} \) = \ ((81) _ {10} \)

Преобразование десятичного числа в восьмеричное

Для преобразования десятичного числа в восьмеричное используется другой метод.В этом методе десятичное число делится на 8, и каждый раз напоминание получается из предыдущей цифры. Первый полученный остаток — это младшая значащая цифра (LSD), а последний остаток — самая старшая цифра (MSD). Разберемся с преобразованием на примере.

Например, — Преобразует десятичное число 321 в восьмеричную форму.

Решение — Нам нужно начать делить число 321 на 8

321/8 дает частное 40, а остаток равен 1

40/8 дает частное 5, а остаток равен 0

Итак, здесь частное равно 5, а остаток равен 0.Восьмеричное число начинается от MSD до LSD, то есть 501

.

Следовательно, \ ((321) _ {10} \) = \ ((501) _ {8} \)

Преобразование восьмеричных в шестнадцатеричные числа

Шестнадцатеричный формат представлен с основанием 16 и состоит как из чисел, так и из букв. Цифры от 0 до 9 представлены в обычной форме, но от 10 до 15, это обозначается как A, B, C, D, E, F. Преобразование восьмеричного в шестнадцатеричное выполняется в два этапа, т.е. сначала выполняется преобразование восьмеричного. число в десятичное число, а затем преобразовать его в шестнадцатеричное число.Давайте посмотрим на пример, чтобы лучше понять этот метод.

Например, — \ ((121) _ {8} \) = \ ((81) _ {10} \)

Решение — У нас уже есть десятичное число 81 10 , поэтому нам нужно только преобразовать его в шестнадцатеричное число. Чтобы определить шестнадцатеричное число, нам нужно разделить число 81 на 16, пока остаток не станет меньше 16. Оно полностью делится с ответом 5 и остатком 1.

Следовательно, \ ((121) _ {8} \) = \ ((51) _ {16} \)

Восьмеричная система счисления Связанные темы

Прочтите эти интересные статьи, чтобы узнать больше о восьмеричной системе счисления и связанных с ней темах.

Важные моменты

  • Преобразование восьмеричных чисел в двоичные и наоборот очень просто.
  • Для преобразования восьмеричных чисел в шестнадцатеричные числа необходимо преобразовать восьмеричное число в десятичное, а затем в шестнадцатеричное.
  • Основание каждой из четырех систем счисления очень важно.

Часто задаваемые вопросы по восьмеричной системе счисления

Что такое восьмеричная система счисления?

Система счисления, основанная на восьми и использующая цифры от 0 до 7, называется восьмеричной системой счисления.Слово восьмеричное используется для обозначения чисел, в основе которых лежит восемь. Восьмеричные числа имеют много применений и важности, например, они используются в компьютерах и цифровых системах счисления. Слово Octal — это краткая форма латинского слова Oct, что означает короткий.

Как используются восьмеричные числа?

Система восьмеричного счисления широко используется в компьютерных приложениях и цифровых системах счисления. Вычислительные системы используют 16-битное, 32-битное или 64-битное слово, которое далее делится на 8-битные слова.Восьмеричное число также используется в авиационном секторе в виде кода.

В чем важность восьмеричной системы счисления?

В восьмеричной системе счисления используются цифры от 0 до 7, которые могут быть образованы из двоичных чисел путем группировки двоичных цифр в его 3-битном представлении. В восьмеричных числах используется меньшее количество цифр по сравнению с десятичными и шестнадцатеричными, что упрощает вычисление за меньшее количество шагов.

Какие четыре типа системы счисления?

Четыре основных типа системы счисления:

  • Двоичная система счисления
  • Восьмеричная система счисления
  • Десятичная система счисления
  • Шестнадцатеричная система счисления

Какие символы используются в восьмеричной системе счисления?

Восьмеричная система счисления — это система счисления с основанием 8, что означает, что для представления любого числа в восьмеричной системе необходимо 8 различных символов.Это символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Наименьшее двузначное число в этой системе — \ ((10) _ {8} \), что эквивалентно десятичному числу 8.

Каковы преимущества и недостатки восьмеричной системы счисления?

Преимущества восьмеричной системы счисления заключаются в том, что она составляет одну треть от двоичной системы счисления, процесс преобразования восьмеричной системы счисления в двоичную и наоборот очень прост, а в восьмеричной форме легко обрабатывать ввод и вывод. Недостатки восьмеричной системы счисления состоят в том, что существует дополнительное требование к системе внутри компьютера, которая обеспечивает более легкое преобразование восьмеричных чисел в двоичные числа до того, как она будет фактически применена к цифровой платформе.

Восьмеричная система счисления

Введение

В предыдущем разделе мы уже узнали о десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системах счисления. Эта система счисления очень похожа на десятичную шестнадцатеричную. Мы знаем, что десятичная система счисления имеет основание 10, так как она использует цифры 0-9, основание двоичной системы — 2, поскольку она использует цифры 0 и 1, а шестнадцатеричная десятичная система счисления имеет основание 16, так что эта система счисления использует 16 цифр, т.е. от 0 до 15. Точно так же «восьмеричная система счисления» использует только 8 чисел для представления чисел, поэтому она носит название «восьмеричная».(0-7).

Вернуться к началу

Восьмеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления мы представляем двоичные цифры как набор из 4 цифр (2 4 = 16), в восьмеричной системе счисления мы представляем двоичные числа как набор из 3 цифр (2 3 = 8). В восьмеричной системе счисления используется 8 чисел от 0 до 7. Это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Таким образом, каждая цифра восьмеричного числа состоит из цифр от 0 до 7. Основное преимущество восьмеричной системы счисления по сравнению с другими системами счисления состоит в том, что при работе с компьютерами легче записать число в восьмеричной форме, чем в двоичной.В частности, когда мы работаем с большой строкой двоичных чисел, рекомендуется сгруппировать их как набор из трех цифр, поэтому вероятность возникновения ошибки меньше. Другим преимуществом восьмеричной системы счисления является преобразование восьмеричной системы счисления в двоичную и двоичную в восьмеричную систему счисления очень просто по сравнению с другими преобразованиями.

В представлении этой системы счисления используется основание 8. Пример: (501) 8 , (480) 8

Вес значения цифры будет увеличиваться с увеличением степени 8.Это показано ниже.

Давайте посмотрим на примере, чтобы понять представление восьмеричного числа как набора из 3 цифр.

Таким образом, число 100011010 представлено в восьмеричном виде (432) 8 .

Вернуться к началу

Преобразование восьмеричных чисел

Восьмеричные числа можно преобразовать в двоичную и десятичную системы счисления, а также в десятичные числа в шестнадцатеричной системе. Некоторые из них описаны ниже.

Преобразование двоичных чисел в восьмеричные

Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, сначала мы должны разделить двоичную строку на набор из 3 двоичных чисел каждая.Запись соответствующего числа в каждый набор даст восьмеричное число двоичного числа.

Пример 1: преобразовать 110111100010 в восьмеричное.

Разделение двоичного числа на набор из 3 цифр

110 111 100 010

6 7 4 2

(110111100010) 2 равно (6742) 8

Преобразование восьмеричных чисел в двоичные

Преобразование восьмеричного числа в двоичное — это процесс, обратный преобразованию двоичного числа в восьмеричное.То есть каждая цифра восьмеричного числа должна быть записана в ее двоичной форме, и объединение всех двоичных цифр приведет к нашему требуемому двоичному числу.

Пример 1:

Преобразовать (43628) 8 в двоичное

Записать эквивалентное двоичное число в каждую цифру

4 3 6 2 8

100 011 110 010 100

Итак (43628) 8 равно равно (100011110010100) 2

Преобразование десятичных чисел в восьмеричные

Десятичное число можно преобразовать в восьмеричное путем повторного деления на 8.Напоминание на каждом этапе даст необходимое восьмеричное число.

Обратите внимание на пример, показанный ниже.

Пример 1:

Преобразовать (159) 10 в восьмеричное.

159/8 ————-> Фактическое 19 Напоминание 7 —– LSB

19/8 ————-> Фактическое 2 Напоминание 3

2/8 ————-> Фактическое 0 Напоминание 2—— MSB

Итак (159) 10 = (237) 8

Пример 2:

Преобразовать (80) 10 в восьмеричное.

80/8 ————-> Фактическое 9 Напоминание 8 —– LSB

9/8 ————-> Фактическое 1 напоминание 1

1/8 ————-> Факторное 0 Напоминание 1—— MSB

Итак (80) 10 = (118) 8

Преобразование восьмеричных чисел в десятичные

Восьмеричные числа можно преобразовать в десятичные числа, умножив каждую цифру на ее значение позиции.Это означает, что каждая цифра умножается на степень 8 с ее положением.

Давайте посмотрим на пример

Пример 1:

преобразовать (51) 8 в десятичное

Вес позиции 8 1 8 0

Значение позиции 8 1

Восьмеричное число 5 1

Эквивалентное десятичное число = 5 x 81 + 1 x 80

= 40 + 1

= 41

Следовательно (51) 8 = (41) 10

Аналогичным образом восьмеричное число можно преобразовать в любую другую систему счисления.В приведенной ниже таблице показаны значения, эквивалентные другим системам счисления.

К началу

Представление восьмеричного числа

Восьмеричные числа представлены с основанием 8, поскольку они используют только 8 цифр, как объяснено выше. Вес каждого бита восьмеричного числа показан ниже.

Восьмеричные числа представлены аналогично другим системам счисления. В наборе восьмеричной системы счисления, приведенном ниже

10 означает не десять, I t означает {(1 × 8) + (0 × 8)} & 20 означает не Двадцать означает {(2 × 8) + (0 × 8)} и так далее.

К началу

Сводка

Мы представим 3 двоичных цифры в эквиваленте 1 восьмеричной цифры, как показано выше. Таким же образом старшее двухзначное восьмеричное число (77 8 ) может представлять 63 двоичных цифры. Точно так же старшее трехзначное восьмеричное число (777 8 ) может представлять 511 двоичных цифр. Старшее трехзначное восьмеричное число (7777 8 ) может представлять 4095 двоичных цифр.

  • В восьмеричной системе счисления используется 8 чисел от 0 до 7.(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7)
  • В восьмеричной системе счисления вес значения цифры будет увеличиваться со степенью 8.
  • Десятичное число можно преобразовать в восьмеричное с помощью повторное деление на 8 метод.

Вернуться к началу

Восьмеричный преобразователь в двоичный — w3resource


Восьмеричное число:
[Введите восьмеричное число, например 377, в следующее поле и нажмите кнопку «Преобразовать».]

Двоичный номер:

Преобразование: восьмеричное в двоичное

Восьмеричная система счисления:

Восьмеричная система счисления, или для краткости oct, является системой счисления с основанием 8 и использует цифры от 0 до 7. Восьмеричные числа могут быть образованы из двоичных чисел путем группирования последовательных двоичных цифр в группы по три (начиная справа) .

Двоичная система счисления:

В математике и цифровой электронике двоичное число — это число, выраженное в двоичной системе счисления или системе счисления с основанием 2, которое представляет числовые значения с использованием двух разных символов: обычно 0 (ноль) и 1 (единица).Система с основанием 2 представляет собой позиционную систему счисления с основанием 2. Из-за ее простой реализации в цифровых электронных схемах с использованием логических вентилей двоичная система используется внутри почти всех современных компьютеров и компьютерных устройств. Каждая цифра называется битом.

Таблица преобразования восьмеричных в двоичные

Восьмеричное Двоичное
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
10 1000
11 1001
12 1010
13 1011
14 1100
15 1101
16 1110
17 1111
20 10000

Предыдущая: Преобразовать шестнадцатеричную в восьмеричную
Следующая:
Преобразовать восьмеричное в десятичное

Преобразование между двоичными, десятичными, восьмеричными и шестнадцатеричными числами — видео и стенограмма урока

Преобразования: десятичные в другие

Для преобразования десятичных в другие системы счисления мы используем повторяющийся процесс деления и деления остатков.

Мы начинаем с того, что берем наибольшую мощность нашей новой базы и делим исходное число на новую базу. Частное дает нам нашу цифру, и процесс повторяется для остатка. Этот процесс необходимо повторять до тех пор, пока мы не разделим последнюю цифру на 1, чтобы получить последнюю цифру.

Преобразуем число 35 из десятичного в двоичное, восьмеричное и шестнадцатеричное.

При преобразовании в двоичную форму нам необходимо знать степени двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т. Д. Мы начнем с 32, поскольку 32 меньше нашего исходного числа 35, а 64 больше.

35 ÷ 32 = 1, остаток 3 -> первая цифра 1
3 ÷ 16 = 0, остаток 3 -> вторая цифра 0
3 ÷ 8 = 0, остаток 3 -> третья цифра 0
3 ÷ 4 = 0, остаток 3 -> третья цифра 0
3 ÷ 2 = 1, остаток 1 -> четвертая цифра 1
1 ÷ 1 = 1, остаток 0, пятая цифра 1.

ответ состоит в том, что 35 десятичных = 100011 двоичных.

При преобразовании в восьмеричное число нам необходимо знать степени 8, которые равны 1, 8, 64, 512 и т. Д.Мы начнем с 8, поскольку 8 меньше нашего исходного числа 35, а 64 больше.

35 ÷ 8 = 4, остаток 3 -> Первая цифра 4
3 ÷ 1 = 3, остаток 0 -> Вторая цифра 3.

Ответ таков: 35 в десятичной системе счисления = 43 в восьмеричной системе.

При преобразовании в шестнадцатеричный мы будем использовать степени 16: 1, 16, 256 и так далее. Мы начинаем с 16, поскольку 16 меньше нашего исходного числа 35, а 256 больше.

35 ÷ 16 = 2, остаток 3 -> Первая цифра 2.
3 ÷ 1 = 3, остаток 0 -> Вторая цифра 3.

Ответ таков: 35 в десятичной системе счисления = 23 в шестнадцатеричной системе.

Преобразования: двоичные в другие

Для преобразования двоичных чисел в десятичные мы используем процесс умножения и сложения.

Чтобы преобразовать двоичное число 0110 1010 в десятичное, мы берем каждую цифру справа налево, умножаем ее на разряд и добавляем к нашей промежуточной сумме.

0 × 1 = 0, прибавляем 0
1 × 2 = 2, прибавляем 2, получаем 2
0 × 4 = 0, прибавляем 0, получаем 2
1 × 8 = 8, прибавляем 8, получаем 10
0 × 16 = 0, прибавляем 0, получаем 10
1 × 32 = 32, прибавляем 32, получаем 42
1 × 64 = 64, прибавляем 64, получаем 106
0 × 128 = 0, прибавляем 0, получаем 106.

Ответ: 0110 1010 двоичное = 106 десятичное.

Чтобы преобразовать двоичное в восьмеричное, мы можем использовать ярлык. Каждая восьмеричная цифра представляет 3 бита, и мы можем создавать группы по 3 бита справа налево и напрямую преобразовывать в восьмеричные цифры.

0110 1001 группируется как 01101010.

010 -> 2
101 -> 5
01 -> 1

Тогда ответ: 0110 1010 двоичный = 152 восьмеричный.

Чтобы преобразовать двоичное в шестнадцатеричное, мы воспользуемся ярлыком, аналогичным восьмеричному.Каждая шестнадцатеричная цифра представляет 4 бита, поэтому мы можем брать группы по 4 бита справа налево и напрямую преобразовывать в шестнадцатеричные цифры. Помните, что если число больше 10, мы используем буквы A, B, C, D, E и F.

0110 1010 уже сгруппированы в наборы из четырех битов.

1010 -> A
0110 -> 6

Тогда ответ будет 0110 1010 двоичный = 6A шестнадцатеричный.

Преобразования: восьмеричные числа в другие

Для преобразования восьмеричных чисел в десятичные мы используем процесс умножения и сложения.

Чтобы преобразовать восьмеричное число 123 в десятичное, мы берем каждую цифру справа налево, умножаем ее на разряд и добавляем к нашей промежуточной сумме.

3 × 1 = 3, прибавляем 3
2 × 8 = 16, прибавляем 16, получаем 19
1 × 64 = 64, прибавляем 64, получаем 83.

Тогда ответ 123 в восьмеричной системе = 83 десятичной.

Чтобы преобразовать восьмеричное в двоичное, мы можем воспользоваться ярлыком. Поскольку каждая восьмеричная цифра представляет 3 бита, мы просто расширяем каждую восьмеричную цифру на 3 бита, которые она представляет. Этот процесс можно выполнять слева направо.

1 -> 001
2 -> 010
3 -> 011

Итак, справа налево 123 восьмеричное число = 001 010 011 двоичное. Начальные нули не изменяют значение числа.

Чтобы преобразовать восьмеричное в шестнадцатеричное, сначала быстрее преобразовать в двоичное. Поскольку мы только что рассмотрели восьмеричное число 123 в двоичное число 001 010 011, мы берем и используем инструкции преобразования двоичный -> шестнадцатеричный формат из предыдущего раздела.

В группах по 4 бита у нас есть 0 0101 0011, и мы можем преобразовать слева направо

0 -> 0
0101 -> 5
0011 -> 3

И мы видим, что 123 восьмеричное = 53 шестнадцатеричное.Поскольку ведущий ноль не меняет значения числа, его можно игнорировать.

Преобразования: шестнадцатеричные числа в другие

Чтобы преобразовать шестнадцатеричные числа в десятичные, мы используем процесс умножения и сложения. Шестнадцатеричные числа могут представлять большее число в меньшем пространстве, поэтому мы будем использовать небольшое число в качестве примера. Те же принципы преобразования применяются даже к большим числам.

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число 2F в десятичное, мы берем каждую цифру справа налево, умножаем ее на разряд и добавляем к нашей промежуточной сумме.

F × 1 = 15, прибавляем 15
2 × 16 = 32, прибавляем 32, получаем 47.

Тогда ответ будет 2F шестнадцатеричный = 47 десятичный.

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное в двоичное, мы можем использовать ярлык, как и восьмеричный. Поскольку каждая шестнадцатеричная цифра представляет 4 бита, мы просто расширяем каждую шестнадцатеричную цифру на четыре бита, которые она представляет. Этот процесс можно выполнять слева направо. У каждого числа должны быть показаны все четыре бита, даже если в начале есть нули.

2 -> 0010
F -> 1111

Итак, мы видим, что 2F шестнадцатеричный = 0010 1111 двоичный.Начальные нули можно отбросить, оставив двоичное число 10 1111 в качестве одинаково правильного ответа.

Чтобы преобразовать из шестнадцатеричной системы в восьмеричную, сначала быстрее преобразовать в двоичную. Поскольку мы только что рассмотрели шестнадцатеричный формат 2F в двоичный код 0010 1111, мы можем использовать инструкции из раздела двоичного преобразования для преобразования в восьмеричное. После перегруппировки число будет 00 101 111.

00 -> 0
101 -> 5
111 -> 7

И это показывает нам, что 2F в шестнадцатеричной системе счисления = 57 восьмеричной, так как ведущий ноль можно опустить.

Резюме урока

Давайте рассмотрим системы счисления:

  • Десятичная система : основаны на базе 10, а разряды основаны на степени 10.
  • Двоичная система : где есть только два возможных значения для каждой цифры, ноль или один.
  • Восьмеричная система : значение каждого места основано на степени 8.
  • Шестнадцатеричная система : значение каждого разряда основывается на степени 16.

Вот краткое изложение преобразований:

  • Десятичное число в другие системы счисления: возьмите наибольшую степень нашей новой основы и разделите исходное число на новое основание. Частное дает нам нашу цифру, и процесс повторяется для остатка, пока мы не разделим на последнюю 1, чтобы получить последнюю цифру.
  • Двоичное преобразование в десятичное: возьмите каждую цифру справа налево, умножьте ее на значение разряда и прибавьте к промежуточной сумме.
  • Двоичное в восьмеричное: группируйте по 3 бита справа налево и напрямую преобразуйте их в восьмеричные цифры.
  • Двоичное в шестнадцатеричное: Возьмите группы по 4 бита, справа налево, и напрямую преобразуйте их в шестнадцатеричные цифры.
  • Восьмеричное в десятичное: возьмите каждую цифру справа налево, умножьте ее на значение разряда и прибавьте к промежуточной сумме.
  • Восьмеричное в двоичное: Расширить каждую восьмеричную цифру на 3 бита, которые она представляет (слева направо).
  • Восьмеричное в шестнадцатеричное: преобразование в двоичное, затем следуйте инструкциям по преобразованию двоичного в шестнадцатеричное.
  • Шестнадцатеричное в десятичное: возьмите каждую цифру справа налево, умножьте ее на разряд и прибавьте к промежуточной сумме.
  • Шестнадцатеричный в двоичный: Разложите каждую шестнадцатеричную цифру на четыре биты, которые она представляет (слева направо).
  • Шестнадцатеричное в восьмеричное: преобразование в двоичное, выполнение двоичных инструкций в восьмеричное.

Восьмеричный и шестнадцатеричный — разница между восьмеричным и шестнадцатеричным

Мы уже изучили восьмеричную систему счисления и шестнадцатеричную систему счисления и работали над несколькими решенными примерами, чтобы понять представление восьмеричных чисел и представление шестнадцатеричных чисел.

Восьмеричное и шестнадцатеричное сравнение

Шестнадцатеричные числа Восьмеричные числа
Он использует 16 различных символов или цифр для представления шестнадцатеричных чисел, [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A , B, C, D, E, F]. В восьмеричных числах для представления всех восьмеричных чисел используются только 8 символов или цифр. Следовательно, он может содержать только цифры от 0 до 7.
Основание для шестнадцатеричных чисел — 16. Основание восьмеричного числа — 8.
Легче представлять и запоминать большие числа. Легко представить в восьмеричной системе счисления, но трудно запомнить большие числа.
Пример шестнадцатеричного числа: FF (эквивалент двести пятидесяти пяти в десятичной системе) Пример двоичного числа: 377 (эквивалент двести пятьдесят пять в десятичной системе)
Требуется 4 бита или 4 двоичных цифры для представления одной шестнадцатеричной цифры. Для представления восьмеричной цифры требуется всего 3 бита или 3 двоичных цифры.
Поскольку в шестнадцатеричной системе счисления используется 16 цифр, арифметические и логические операции могут стать сложными. С другой стороны, восьмеричная система счисления использует меньшее количество цифр (8). Это упрощает выполнение арифметических и логических операций по сравнению с шестнадцатеричной системой счисления.
Представлять большие десятичные числа в шестнадцатеричной системе счисления проще. Представление больших десятичных чисел в восьмеричном виде становится сложным и большим.

восьмеричное и шестнадцатеричное

Octal — Rosetta Code

Octal — это система счета, использующая восемь цифр.

Вместо использования только 0 и 1, как в двоичной системе, или символов от «0» до «9» десятичной системы счисления; восьмеричный использует символы от «0» до «7», поэтому не нужно то, что обычно классифицируется как буквенные символы для представления цифр, как это делает шестнадцатеричный.

Восьмеричная система счисления широко использовалась в электронике и компьютерной индустрии, так как, хотя цифровая электроника основана на логических элементах с двумя состояниями и, следовательно, в основном двоичная, двоичные числа могут быстро стать длинными, и их трудно расшифровать без ошибок. Их восьмеричные эквиваленты намного короче и легче запоминаются, а также имеют простой способ преобразования в / из двоичного кода.

Компьютер PDP-11 производства Digital Equipment Corporation использовал восьмеричную систему счисления исключительно для отображения адресов и содержимого памяти.

Разрешения файловой системы Unix имеют три набора (пользователь, группа, другие) трехбитных разрешений (чтение, запись, выполнение), которые, естественно, представлены в восьмеричном формате.

Использование восьмеричных чисел уменьшилось, поскольку большинство современных компьютеров больше не основывают свою длину слова на кратных трех битах (они основаны на кратных четырех битах, поэтому шестнадцатеричные числа более широко используются).

Сравнение отсчетов от нуля в разных системах счисления [править]

C.f. Форматирование общей числовой базы и синтаксический анализ общей числовой базы

 Двоичный
         Восьмеричный
            Десятичный
     0 0 0
     1 1 1
    10 2 2
    11 3 3
   100 4 4
   101 5 5
   110 6 6
   111 7 7
  1000 10 8
  1001 11 9
  1010 12 10
  1011 13 11
  1100 14 12
  1101 15 13
  1110 16 14
  1111 17 15
 10000 20 16
 10001 21 17
 10010 22 18
 10011 23 19
 10100 24 20
 10101 25 21
 

Преобразование двоичного числа в восьмеричное [править]

  1. Разделите двоичное число на группы из трех цифр, считая справа налево.
  2. Дополните крайнюю левую группу двоичных цифр нулями слева от них, если их длина меньше трех цифр.
  3. Используйте следующую таблицу для перевода каждой группы из трех двоичных цифр по порядку в ее восьмеричный эквивалент.
 Двоичные цифры
     Восьмеричная эквивалентная цифра
000 0
001 1
010 2
011 3
100 4
101 5
110 6
111 7
 

Пример преобразования [править]

 Двоичное число: 1011010111
             Сплит: 1 011 010 111
               Pad: 001 011 010 111
  Перевести группы: 1 3 2 7
      Восьмеричный ответ: 1327
 

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *