Восьмеричная система счисления в информатике: Восьмеричная система счисления – как переводить, таблица

Восьмеричная система счисления

☰

При описании двоичной системы счисления было упомянуто, почему современное «железо» понимает только двоичную систему. Однако человеку трудно воспринимать длинные записи нулей и единиц, а переводить числа из двоичной в десятичную систему и обратно трудоемко.

Поэтому в программировании иногда используют другие системы счисления – восьмеричную и шестнадцатеричную. Поскольку 8 и 16 являются степенями двойки,

8 = 23, 16 = 24

преобразование двоичного числа в эти системы, также как обратная операция, выполняются просто.

В восьмеричной системе счисления используется восемь знаков-цифр (от 0 до 7). Каждой цифре соответствует число из трех цифр в двоичной системе счисления:

000 – 0
001 – 1
010 – 2
011 – 3
100 – 4
101 – 5
110 – 6
111 – 7

Для преобразования двоичного числа в восьмеричное надо разбить его на тройки цифр и заменить каждую тройку соответствующей ей одной цифрой из восьмеричной системы счисления. Разбивать двоичное число на тройки следует с конца, а вместо недостающих цифр в начале можно записать нули.

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

В примере число 1011101 в двоичной системе приводится к числу 135 в восьмеричной системе счисления.

10111012 = 1358

Обратный перевод, когда восьмеричное число переводится в двоичное, выполняется аналогично. Только здесь на место восьмеричных цифр подставляются двоичные числа, состоящие из трех цифр.

135 = 001 011 101

Как перевести восьмеричное число в десятичное? Здесь действует тот же алгоритм, как при преобразовании двоичного числа в десятичное. Вспомним его:

11012 = 1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310

Однако в случае восьмеричного числа за основание степени берется десятичное число 8:

1358 = 1 * 82 + 3 * 81 + 5 * 80 = 64 + 24 + 5 = 9310

Преобразование десятичного числа в восьмеричное также похоже на перевод в двоичное, за исключением того, что делить надо на 8:

93 / 8 = 11, остаток 5
11 / 8 =  1, остаток 3
 1 / 8 =  0, остаток 1

Собираем остатки с конца и получаем число 135 в восьмеричной системе счисления.

1.3. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. — Основы информатики

1.3.1.ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Все фантастические возможности вычислительной техники (ВТ) реализуются путем создания разнообразных комбинаций сигналов высокого и низкого уровней, которые условились называть «единицами» и «нулями».

Система счисления(СС) — это система записи чисел с помощью определенного набора цифр.CС называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется ее местом в числе. Десятичная СС является позиционной: 999.Римская СС является непозиционной. Значение цифры Х в числе ХХІ остается неизменным при вариации ее положения в числе.Количество различных цифр, употребляемых в позиционной СС, называется основанием СС.

Развернутая форма числа — это запись, которая представляют собой сумму произведений цифр числа на значение позиций.

Например: 8527=8*10³+5*10²+2*10¹+7*10⁰

Развернутая форма записи чисел произвольной системы счисления имеет вид

, где

X — число;
a — основа системыисчисления;
i — индекс;
m — количество разрядов числа дробной части;
n — количество разрядов числа целой части.

Например: 327.46 n=3, m=2, q=10

Если основание используемой СС больше десяти, то для цифр вводят условное обозначение со скобкой вверху или буквенное обозначение.

Например: если 10=А, а 11=В, то число 7А.5В₁₂ можно расписать так:

7А.5В₁₂ = В·12^-2 + 5 ·2^-1 +А ·12⁰ + 7 ·12¹.

В шестнадцатеричной СС основа — это цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 с соответствующими обозначениями 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Примеры чисел: 17D.ECH, F12AH.

ДвоичнаяСС— это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число 2.

Двоичный код числа — запись этого числа в двоичной системе счисления. Например,

0=0₂
1=1₂
2=10₂
3=11₂ …
7=111₂
120=1111000₂.

В ВТ применяют позиционные СС с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Для обозначения используемой СС число снабжают верхним или нижним индексом, в котором записывают основание СС. Другой способ – использование латинских букв после записи числа:

D – десятичная СС
В – двоичная СС
О – восьмеричная СС
Н – 16-ричная СС.

Несмотря на то, что 10-тичная СС имеет широкое распространение, цифровые ЭВМ строятся на двоичных элементах, т.к. реализовать элементы с 10 четко различимыми состояниями сложно. Историческое развитие ВТ сложилось таким образом, что ЭВМ строятся на базе двоичных цифровых устройств: триггеров, регистров, счетчиков, логических элементов и т.д.

16-ричная и 8-ричная СС используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов – команд, данных, адресов и операндов.

Задача перевода из одной СС в другую часто встречается при программировании, особенно, на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, Си, HTML требуют задания параметров в 16-ричной СС. Для непосредственного редактирования данных, записанных на жесткий диск, также необходимо умение работать с 16-ричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ невозможно без представлений о двоичной СС.

В таблице приведены некоторые числа, представленные в различных СС.

1.3.2. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СС В ДЕСЯТИЧНУЮ И ОБРАТНО.

Перевод чисел из произвольной системы в десятичную. Для перевода числа из любой позиционной СС в десятичную необходимо использовать развернутую форму числа, заменяя, если это необходимо, буквенные обозначения соответствующими цифрами. Например:

1101₂=1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=13₁₀

17D.ECH=12·16^-2 + 14·16^-1 +13·16⁰ + 7·16¹ + 1·16²=381.921875

Перевод чисел из десятичной СС в заданную.

1) Для преобразования целых чисел десятичной системы счисления в число любой системы счисления последовательно выполняют деление нацело на основание СС, пока не получат нуль. Числа, которые возникают как остаток от деления на основание СС, представляют собой последовательную запись разрядов числа в выбранной СС от младшего разряда к старшему. Поэтому для записи самого числа остатки от деления записывают в обратном порядке.

Например:

Читая остатки от деления снизу вверх, получим 111011011.

Проверка:

1*2⁸+1*2⁷+1*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+1*2³+0*2 ²+1*2¹+1*2⁰=1+2+8+16+64+128+256=475₁₀.

2) Для преобразования десятичных дробей десятичной СС в число любой СС последовательно выполняют умножение на основание системы счисления , пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Полученные целые части являются разрядами числа в новой системе, и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления. Целые части в дальнейшем отбрасываются.

Например: перевести число 0.375 ₁₀ в двоичную СС.

Полученный результат — 0.011₂.

Необходимо отметить, что не каждое число может быть точно выражено в новой системе счисления, поэтому иногда вычисляют только требуемое количество разрядов дробной части, округляя последний разряд.

1.3.3. ПЕРЕВОД МЕЖДУ ОСНОВАНИЯМИ, СОСТАВЛЯЮЩИМИ СТЕПЕНЬ 2.

Для того, чтобы из восьмеричной системы счисления перевести число в двоичный код, необходимо каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.

Например:

1234.777₈ = 001 010 011 100.111 111 111₂ = 1 010 011 100.111 111 111₂

1234567₈ = 001 010 011 100 101 110 111₂ = 1 010 011 100 101 110 111₂

Обратный перевод: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой, при этом, если необходимо, число выравнивается путем дописывания нулей перед целой частью или после дробной.

Например:

1100111₂ = 001 100 111₂ = 147₈

11.1001₂ = 011.100 100₂ = 3.44₈

110.0111₂ = 110.011 100₂ = 6.34₈

При переводах между двоичной и шестнадцатеричной СС используются четверки цифр. При необходимости выравнивание выполняется до длины двоичного числа, кратной четырем.

Например:

1234.AB77₁₆ = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂ =1 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂

CE4567₁₆ = 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂

0.1234AA₁₆ = 0.0001 0010 0011 0100 1010 1010₂

1100111₂ = 0110 0111₂ = 67₁₆

11.1001₂ = 0011.1001₂ = 3.9₁₆

110.0111001₂ = 0110.0111 0010₂ = 65.72₁₆

При переходе из восьмеричного счисления в шестнадцатеричное счисление и обратно используется вспомогательный двоичный код числа.

Например:

1234567₈ = 001 010 011 100 101 110 111₂ = 0101 0011 1001 0111 0111₂ = 53977₁₆

0.12034₈ = 0.001 010 000 011 100₂ = 0.0010 1000 0011 1000₂ = 0.2838₁₆

120.34₈ = 001 010 000. 011 100₂ = 0101 0000.0111 0000₂ = 50.7₁₆

1234.AB77₁₆ = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂ =

= 001 001 000 110 100.101 010 110 111 011 100₂ = 11064.526734₈

CE4567₁₆ = 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂ = 110 011 100 100 010 101 100 111₂ = 63442547₈

0.1234AA₁₆ =0.0001 0010 0011 0100 1010 1010₂ =0.000 100 100 011 010 010 101 010₂ =0.04432252₈

таблица и алфавит, история, применение в информатике

Восьмеричная система счисления — позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Является одной из самых популярных в информатике, наряду с двоичной, десятичной и шестнадцатеричной.

Немного истории

Возникновение восьмеричной системы счисления связывают с техникой счета на пальцах. Однако, если классический счет на пальцах, подразумевает задействование всех десяти, то эта техника использует не пальцы, а промежутки между ними, которых — 8.

Основание и алфавит

Восьмеричная система является традиционной системой счисления с основанием 8. Алфавит состоит их цифр от 0 до 7.

Развернутая форма записи числа будет выглядеть следующим образом:

a_n-1a_n-2…a₁a₀ = a_n-1 ∙ 8^n-1 + a_n-2 ∙ 8^n-2 + ∙∙∙ + a₀ ∙ 8⁰

Например:

367₈=3 ∙ 8² + 6 ∙ 8¹ + 7 ∙ 8⁰ = 3 ∙ 64 + 6 ∙ 8 + 7 ∙ 1 = 192 + 48 + 7 = 247₁₀

Применение восьмеричной системы счисления

Многие знают, что компьютеры используют двоичную систему счисления. Однако простому человеку использовать её не удобно, из-за больших вычислений и переводов. В этом случае, гораздо удобнее воспользоваться более емкими системами, такими как восьмеричная или шестнадцатеричная. Восьмеричная очень схожа с десятичной, за исключение двух цифр в алфавите (8,9). Благодаря этому – легка в восприятии. С её помощью можно легко переводить числа с одной системы счисления в другую и совершать арифметические действия.

Практическое применение восьмеричная система находила в программировании, однако с развитием компьютерных технологий, практически полностью уступила — шестнадцатеричной. На сегодняшний день, частичное использование можно встретить в Linux-системах.

Таблица десятичных чисел в восьмеричной системе

Таблица восьмеричных чисел в двоичной системе

Оцените материал:

Загрузка…

Поделиться с друзьями:

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Замечание 1

Данные системы счисления относятся к позиционным.

Двоичная система счисления

Эта система счисления свое название получила в результате того, что содержит в своем основании всего две цифры – $0$ и $1$. Таким образом, число $2$ и его степени $2, 4, 8$ и т.д. играют особую роль. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая – число двоек, следующая — число четверок и т.д.

В двоичной системе счисления для формирования числа используются всего две цифры: $0$ и $1$. Пределом разряда является $1$, и как только при счете разряд достигает своего максимального значения, он обнуляется, а при этом образуется новый разряд. Ниже в таблице приведены соответствия двоичных и десятичных чисел.

Рисунок 1.

Замечание 2

Используя двоичную систему счисления, можно закодировать любое натуральное число, представляя его как последовательность нулей и единиц.
В двоичном виде можно представить не только числа, но и любую другую информацию: тексты, изображения, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что оно легко реализуется технически.

Именно на принципе двоичного кодирования работает вся вычислительная техника: $1$ означает, что электрический сигнал прошел, а $0$ – сигнал отсутствует. Наглядно это можно рассмотреть на примере перфокарт, которые использовались в вычислительных машинах первых поколений. Как уже упоминалось выше: в перфокартах пробивались отверстия в соответствующих рядах и столбцах цифр, таким образом, кодировались и сохранялись программы, поскольку жестких дисков, и тем более оптических, в те времена не было. Затем программы считывались при помощи электрического сигнала, который, если проходил в отверстие, значит, это был код $1$ и, наоборот, если не проходил сигнал – это был код $0$. Аналогичным способом в настоящее время записываются оптические диски при помощи лазерного луча, прожигающего невидимые микроотверстия на поверхности специальных дисков. Принцип считывания закодированной информации с диска аналогичен предыдущему.

Готовые работы на аналогичную тему

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что компьютер «понимает» всего два числа: $0$ и $1$. И именно один двоичный разряд и является минимальной единицей измерения памяти компьютера, которая называется «бит», т.е. бит – это ячейка памяти компьютера, в которую можно записать $1$ или $0$.

Другой единицей измерения информации является байт.

Байт – это восемь подряд расположенных битов. Общее количество комбинаций двоичных значений в байте равно $28 = 256$.

$1 \ байт = 8 \ битам$;
$1 \ Кб = 210 \ байта = 1024 \ байта$;
$1 \ Мб = 210 \ Кбайт = 1024 \ Кбайта$;
$1 \ Гб = 210 \ байта = 1024 \ килобайта$;
$1 \ Тб = 210 \ гигабайта = 1024 \ гигабайта$.

Замечание 3

Достоинства двоичной системы счисления заключаются в ее простоте, благодаря которой она широко используется в технике. Устройства, работающие в двух состояниях (включено, выключено), наиболее помехоустойчивы, и, как следствие, более надежны.

Восьмеричная система счисления

В основе данной системы счисления находятся $8$ цифр: от $0$ до $7$. Цифра $1$, указанная в самом младшем разряде, означает, как и в десятичном числе просто $1$. Та же цифра $1$ в следующем разряде означает $8$, в следующем $64$ и т.д. Число $100$ (восьмеричное) – это число $64$ (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число $611$ (восьмеричное), необходимо каждую цифру числа заменить эквивалентной тройкой двоичных чисел. Для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему счисления необходимо разбить его на тройки по правую сторону и по левую и заменить каждую тройку соответствующей восьмеричной цифрой.

В таблице приведены соответствия чисел в восьмеричной и десятичной системах.

Рисунок 2.

В технике данная система находит широкое применение, так с помощью нее можно компактно записывать двоичные числа.

Шестнадцатеричная система счисления

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактная, но еще компактнее она выглядит в шестнадцатеричной системе. В основу данной системы входят цифры от $0$ до $9$ и первые буквы латинского алфавита: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$.

Цифра $1$, записанная в самом младшем разряде, означает просо единицу. Цифра $1$ в следующем разряде – $16$ (десятичное число), в следующем – $256$ и т.д. Цифра, обозначенная латинской буквой $F$, расположенная в самом младшем разряде означает $15$ ( десятичное число).

В таблице приведены соответствия чисел в шестнадцатеричной и десятичной системах.

Рисунок 3.

Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является $8$-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Такое использование началось с системы $IBM/360$, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему, в то время как в документации других компьютерных систем того времени (даже с $8$-битными символами, как, например, $PDP-11$ или $БЭСМ-6$) использовали восьмеричную систему.

Восьмеричная система счисления

Тип урока: урок введения нового материала в 8 классе.

Дидактическая цель урока: ознакомление учащихся с восьмеричной системой счисления, с переводом чисел из восьмеричной в десятичную систему счисления, и обратно, а так же с переводом из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления и обратно. Отработка навыков перевода из одной системы счисления в другую.

Развивающая цель урока: развитие умения рассуждать, сравнивать, делать выводы. Развитие памяти, внимательности, познавательного интереса к предмету с использованием соответствующих заданий.

Воспитательная: формирование самоконтроля у школьников. 

Этапы урока:

1. Организация начала урока – 2 мин.
2. Проверка домашнего задания – 10 мин.
3. Подготовка учащихся к усвоению новых знаний – 5 мин.
4. Введение нового материала – 8 мин.
5. Первичное закрепление нового материала – 5 мин.
6. Контроль и самопроверка знаний – 10 мин.
7. Информация о домашнем задании – 3 мин.
8. Подведение итогов урока – 2 мин.

Структура урока:

• Проверка домашнего задания.
• Знакомство с записями восьмеричных чисел.
• Перевод целого числа из восьмеричной системы счисления в десятичную с проверкой.
• Перевод числа из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно.
• Информация о домашнем задании.
• Подведение итогов урока.

Средства обучения:

1. Приложение операционной системы Windows XP-Калькулятор.
2. Индивидуальная карточка учащегося.
3. Алгоритм работы в приложении о.с. Windows XP-Калькулятор.
4. Презентация.
5. Карточка с заданием для перевода чисел из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления.
6. Карточка с заданиями для перевода из одной системы счисления в другую с помощью двоично-восьмеричной таблицы.
7. Карточка с творческим заданием.

Ход урока

1 этап. Организация начала урока.

Цель этапа: подготовка учащихся к работе на занятиях.

Здравствуйте, ребята!

Сегодня на уроке мы с вами познакомимся с восьмеричной системой счисления и отработаем навыки перевода из одной системы счисления в другую.

Получают индивидуальные карточки, которые подписывают и куда будут вносить ответы заданий.

Приложение 1

2 этап. Проверка выполнения домашнего задания.

Цель этапа: установление правильности и осознанности выполнения домашнего задания всеми учащимися, выявление пробелов и их коррекция.

Проверим выполнение домашнего задания с помощью стандартного приложения ОС Windows XP-Калькулятор.

Домашнее задание: переведите числа из двоичной системы счисления в десятичную и сделайте проверку.

Получают листы с алгоритмом работы в приложении Калькулятор, проверяют домашнее задание за ПК.

Приложение 2

Ответы проверим с помощью презентации к уроку.

1. 10₂=2₁₀
2. 11₂=3₁₀
3. 100₂=4₁₀
4. 101₂=5₁₀
5. 110₂=6₁₀
6. 111₂=7₁₀

3 этап. Введение нового материала.

Цель этапа: обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания знаний и способов действий, связей и отношений в объекте изучения.

Запишите тему сегодняшнего урока: «Восьмеричная система счисления».

Основание: 8

Алфавит цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Рассмотрим перевод целого числа из восьмеричной системы счисления в десятичную и выполним проверку.

Алгоритм перевода целого числа из восьмеричной системы счисления в десятичную.

Записать восьмеричное число в развернутой форме и вычислить ее значение.

Пример 1.

₁₀

21₈=2*8¹+1*8⁰=16+1=17₁₀

Выполним проверку.

Алгоритм перевода целого числа из десятичной системы счисления в восьмеричную.

1. Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа на 8 до получения результата строго меньше основания системы.
2. Полученные остатки записать в обратной последовательности.

17₁₀→А₈

17₁₀=21₈

Пример 2.

₁₀

71₈=7*8¹+1*8⁰=56+1=57₁₀

4 этап. Первичное закрепление нового материала.

Цель этапа: установление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала.

Задание №1 на первичное закрепление нового материала. Приложение 3

Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную и выполнить проверку.

₂₁₀

114₈ =1*8²+1*8¹+4*8⁰=64+8+4=76₁₀

Проверка:

76₁₀=114₈

Выбрать правильный ответ под соответствующей буквой и записать букву в индивидуальную карточку.

О) 84₁₀
У) 76₁₀

Е) 97₁₀

5 этап. Контроль и самопроверка знаний.

Цель этапа: выявление качества и уровня овладения знаниями и способами действий.

Мы научились переводить числа из одной системы в другую, а теперь рассмотрим способы переводов, которые не требуют от нас каких-либо вычислений. Для этого в тетради начертим таблицу, состоящую из двух столбцов. Число в 8-ой системе счисления соответствует тройке цифр двоичной системы счисления. Например, 0₈=000₂, 1₈=001₂, далее обратимся к проверяемому в начале урока домашнему заданию. Таблица легко заполняется.

Двоично-восьмеричная система счисления.

При переводе восьмеричного числа в двоичное заменяют каждую восьмеричную цифру на соответствующую тройку цифр из таблицы. Для обратной операции, то есть для перевода из двоичной в восьмеричную систему, двоичное число разбивают на тройки цифр, потом заменяют каждую группу одной восьмеричной цифрой.

Например:

714₈=111 001 100₂

101 110 100₂=564₈.

Учащимся раздаются карточки с заданиями. После их решения, правильные ответы помещаются в индивидуальную карточку ученика.

Задания №2, №3 на контроль и самопроверку знаний. Приложение 4

Переведите числа из одной системы счисления в другую (с помощью двоично-восьмеричной таблицы).

2. Переведите число из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления.

532₈ =А₂

ц) 1101001₂; р)101 011 010₂; в) 111001100₂;

3. Переведите из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

111 111₂ =А₈

а) 77₈; о) 64₈; в) 29₈;

Сдайте индивидуальные карточки и раздаточный материал. Проверим ответы с помощью слайда № 7 презентации к уроку.

Правильные ответы:

№2 р)101 011 010₂

№3 а) 77₈

Индивидуальная карточка примет вид:

Ученики получают раздаточный материал с творческим заданием. Даны координаты точек в разных системах счисления. Необходимо выполнить перевод координат в десятичную систему счисления, отметить и соединить точки на координатной плоскости.

Творческое задание. Приложение 5

Даны координаты точек:

1(100₂,1₂)
2(100₂, 110₂)
3(100₂, 1000₂)
4(10₈,10₈)
5(6₈,7₈)
6(10₈,6₈)

Выполните перевод чисел в десятичную систему счисления и в координатной плоскости поставьте и соедините все точки.

Ответ (в десятичной системе счисления):

Рисунок 1

6 этап. Информация о домашнем задании.

Цель этапа: обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Переведите числа из восьмеричной системы счисления в двоичную, затем в десятичную систему счисления.

35₈ →А₂→А₁₀

65₈ → А₂→А₁₀

215₈ → А₂→А₁₀

7 этап. Подведение итогов урока.

Цель этапа: дать анализ и оценку успешности достижения цели.

Если у вас в индивидуальной карте получилось слово: УРА, то вы получили «5».

Если справились с 2-мя заданиями, то оценка «4».

Если решили 1-о задание, то вы получили «3».

Сегодня на уроке мы познакомились с восьмеричной системой счисления, рассмотрели разные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую. Одни из способов требовали от нас решать задачи математическими методами, другие с привлечением компьютера, третьи не требовали от нас каких-либо вычислений.

Спасибо за урок.

Простая информатика — Система счисления

Система счисления – это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с помощью специальных знаков – цифр (хотя и не всегда). Если вы никогда не изучали данный вопрос, то, по крайней мере, вам должны быть известны две системы счисления – это арабская и римская. В первой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и это позиционная система счисления. А во второй – I, V, X, L, C, D, M и это непозиционная система счисления.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет. Например:

11 – здесь первая единица обозначает десять, а вторая – 1.
 II – здесь обе единицы обозначают единицу.

345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором – 50, а в третьем – 500.

XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик, сравнение двух чисел). 

В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.

Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.

Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр.

Разряд — это позиция цифры в числе. Разрядность числа — количество цифр, из которых состоит число (например, 264 — трехразрядное число, 00010101 — восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка — третий).

Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления. (придумать схему)

Одно и тоже число (значение) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни. 

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Попробуем считать в двоичной системе:
 0 – это ноль
 1 – это один (и это предел разряда)
 10 – это два
 11 – это три (и это снова предел)
 100 – это четыре
 101 – пять
 110 – шесть
 111 – семь и т.д.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные. 

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить так:

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 — это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

10001001 = 1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰

Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:

1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

10001001₂ = 13710
Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.
Перевод десятичного числа в двоичное

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

77 / 2 = 38 (1 остаток)
 38 / 2 = 19 (0 остаток)
 19 / 2 = 9 (1 остаток)
 9 / 2 = 4 (1 остаток)
 4 / 2 = 2 (0 остаток)
 2 / 2 = 1 (0 остаток)
 1 / 2 = 0 (1 остаток)

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1001101 = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Восьмеричная система счисления

Итак, современное «железо понимает» лишь двоичную систему счисления. Однако человеку трудно воспринимать длинные записи нулей и единиц с одной стороны, а с другой – переводит числа из двоичной в десятичную систему и обратно, достаточно долго и трудоемко. В результате, часто программисты используют другие системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. И 8 и 16 являются степенями двойки, и преобразовывать двоичное число в них (так же как и выполнять обратную операцию) очень легко.

В восьмеричной системе счисления используется восемь знаков-цифр (от 0 до 7). Каждой цифре соответствуют набор из трех цифр в двоичной системе счисления:

000 – 0
 001 – 1
 010 – 2
 011 – 3
 100 – 4
 101 – 5
 110 – 6
 111 – 7

Для преобразования двоичного числа в восьмеричное достаточно разбить его на тройки и заменить их соответствующими им цифрами из восьмеричной системы счисления. Разбивать на тройки нужно начинать с конца, а недостающие цифры в начале заменить нулями. Например:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Т.е число 1011101 в двоичной системе счисления равно числу 135 в восьмеричной системе счисления. Или 1011101₂ = 1358.

Обратный перевод. Допустим, требуется перевести число 1008 (не заблуждайтесь! 100 в восьмеричной системе – это не 100 в десятичной) в двоичную систему счисления.

100₈ = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002 

Перевод восьмеричного числа в десятичное можно осуществить по уже знакомой схеме:

6728 = 6 * 8² + 7 * 8¹ + 2 * 8⁰ = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
 1008 = 1 * 8² + 0 * 8¹ + 0 * 8⁰ = 6410

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления, так же как и восьмеричная, широко используется в компьютерной науке из-за легкости перевода в нее двоичных чисел. При шестнадцатеричной записи числа получаются более компактными.

В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры от 0 до 9 и шесть первых латинских букв – A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15). 

При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке соответствует цифра шестнадцатеричной системе счисления:

Например:
 10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5

Если потребуется, то число 4C5 можно перевести в десятичную систему счисления следующим образом (C следует заменить на соответствующее данному символу число в десятичной системе счисления – это 12):

4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Максимальное двухразрядное число, которое можно получить с помощью шестнадцатеричной записи — это FF.

FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255 

255 – это максимальное значение одного байта, равного 8 битам: 1111 1111 = FF. Поэтому с помощью шестнадцатеричной системы счисления очень удобно кратко (с помощью двух цифр-знаков) записывать значения байтов. Внимание! Состояний у 8-ми битного байта может быть 256, однако максимальное значение – 255. Не забывайте про 0 – это как раз 256-е состояние

Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная — 8 КЛАСС ► Информатика в школе и дома

Урок: Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная

Общие сведения о системах счисления

С древних времен в практической деятельности человека часто возникала потребность счета и измерения. Результаты счета предметов выражались вначале весьма примитивно: зарубки на палочках, узелки на веревках и др. С развитием письменности человек начал отображать с помощью знаков (записывать) информацию о количестве предметов на подручных материалах: глиняных табличках, папирусе, бересте и др. Таким образом, для обозначения чисел стали использовать знаки. 

Способ записи чисел с помощью письменных знаков называют системой счисления. Знаки, с помощью которых записываются числа, называют цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Одной из наиболее древних являлась египетская иероглифическая система счисления. В ней числа представлялись в виде отдельных знаков, например:

Так, число   означало:

100+10+10+1+1+1=123. 

Существовали системы счисления, в которых для записи чисел использовались буквы алфавита, например старославянская система счисления.

Десятичная система счисления зародилась в Индии приблизительно в 5 в., затем она появилась в арабских рукописях. Из арабских рукописей эта система пришла в Европу в 9-12 вв. Поэтому современную десятичную систему счисления называют арабской.

В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

Пример:

У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловые числа — это 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно  I, V, X, L, C, D, M.

Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:

• унарная система;
• непозиционные системы;
• позиционные системы.

Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления.

В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта.

Унарную систему ещё называют системой бирок.

Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждый знак (цифра) в записи любого числа имеет одно и то же значение и не зависит от своего расположения в числе.

В большинстве непозиционных систем счисления числа образуются путём сложения узловых чисел.

В непозиционной римской системе счисления для обозначения чисел используются следующие знаки:

Например, число записанное в римской системе счисления, в десятичной системе счисления означает: 10+10+5+1+1+1=28.

Древнеегипетская и старославянская система также являются непозиционными.

Позиционными называют такие системы счисления, в которых значение каждого знака (цифры) в записи любого числа зависит от расположения (позиции) этого знака в числе. Количество цифр, используемых для записи чисел в позиционной системе счисления, называется ее основанием. 

Мы используем позиционную десятичную систему счисления. Основанием этой системы является число 10.

Для записи любого числа в десятичной системе счисления используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Комбинируя эти цифры, можно записывать любые числа.

Например, цифры числа 737 в десятичной системе счисления являются коэффициентами его записи в виде суммы степеней числа 10:

737=7⋅102+3⋅101+7⋅100=7⋅100+3⋅10+7⋅1

Из этого примера  видно, что цифра 7 в зависимости от своей позиции в этом числе означает и 7 сотен, и 7 единиц, а цифра 3 означает три десятка.

Пример:

Рассмотрим десятичное число 13456,7. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развернутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:

1⋅104+3⋅103+4⋅102+5⋅101+6⋅100+7⋅10−1. 

Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная

Для кодирования информации в компьютере вместо привычной десятичной системы счисления используется двоичная система счисления.

Двоичной системой счисления люди начали пользоваться очень давно. Древние племена Австралии и островов Полинезии использовали эту систему в быту. Так, полинезийцы передавали необходимую  информацию, выполняя два вида ударов по барабану: звонкий и глухой. Это было примитивное представление двоичной системы счисления.

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2.

Для записи чисел в ней использовали только две цифры:  0 и 1.

Для обозначения системы счисления, в которой представляется число, используют нижний индекс, указывающий основание системы. Например, 110112 —  число в двоичной системе счисления.

Цифры в двоичном числе являются коэффициентами его представления в виде суммы степеней с основанием 2, например:

1012=1⋅22+0⋅21+1⋅20.

В десятичной системе счисления это число будет выглядеть так:

1012=4+0+1=5.

Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём десятичное число 13 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

Получили 1310=11012.

Пример:

Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

22410=111000002.

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8.

Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в восьмеричной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём восьмеричное число  154368 в десятичную систему счисления.

154368=1⋅84+5⋅83+4⋅82+3⋅81+6⋅80=694210

Пример:

Переведём десятичное число 94 в восьмеричную систему счисления.

9410=1368

Шестнадцатеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 16.

Для записи чисел в шестнадцатеричной системе счисления используются цифры:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и латинские буквы A, B, C, D, E, F. Буквы A, B, C, D, E, F имеют значения 1010, 1110, 1210, 1310, 1410, 1510.

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Для перевода целого десятичного числа в шестнадцатеричную  систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 16 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём шестнадцатеричное число 2A7 в десятичное. В соответствии с вышеуказанными правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

2A716=2⋅162+10⋅161+7⋅160=512+160+7=679.

Пример:

Переведём десятичное число 158 в шестнадцатеричную систему счисления.

15810=9E16.

Для перевода числа из любой позиционной системы счисления в десятичную необходима использовать развернутую формулу числа, заменяя, если это необходимо, буквенные обозначения соответствующими цифрами.

Для перевода целых чисел десятичной системы счисления в число любой системы счисления последовательно выполняют деление нацело на основание системы счисления, пока не получат нуль. Числа, которые возникают как остаток от деления на основание системы счисление, представляют собой последовательную запись разрядов числа в выбранной системе счисления от младшего разряда к старшему. Поэтому для записи самого числа остатки от деления записывают в обратном порядке.

Рекомендованный список литературы

Босова Л.Л. Информатика —  Учебник для 8 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний

Что такое восьмеричный? — Определение из Техопедии

Что означает восьмеричное число?

Octal относится к системе счисления по основанию 8. Оно происходит от латинского слова «восемь». В восьмеричной системе счисления используются цифры 0-1-2-3-4-5-6-7. В вычислительных средах он обычно используется как более короткое представление двоичных чисел путем группирования двоичных цифр в тройки. Команда chmod в Linux или UNIX использует восьмеричное число для назначения прав доступа к файлам.

Techopedia объясняет Octal

Octal — еще один способ подсчета чисел.Хотя люди обычно считают десятками, а машины — двойками, можно использовать любое число в качестве основы для подсчета и вычислений. Некоторые индейские племена использовали восьмеричное число, считая промежутки между пальцами. Персонажи фильма «Аватар» 2009 года использовали восьмеричное число, потому что у них было по четыре пальца на каждой руке. Некоторые математики предложили более широкое распространение восьмеричного.

Использование восьмеричных чисел — удобный способ сокращения двоичных чисел. Начиная справа, сгруппируйте все двоичные цифры в наборы по три.Если в последней группе слева нет трех цифр, добавьте ноль. Каждая трехзначная двоичная группа преобразуется в однозначное восьмеричное число.

Начните с двоичного числа:

01011101

Сгруппируйте двоичное число в тройки. При необходимости добавьте слева ноль:

001-011-101

Преобразуйте каждую группу из трех цифр в восьмеричное число:

1-3-5

Объедините цифры, чтобы получить восьмеричное число:

135

Использование восьмеричного числа вместо двоичного позволяет сохранить цифры.На заре компьютерных технологий восьмеричное число часто использовалось для сокращения 12-битных, 24-битных или 36-битных слов. Шестнадцатеричные числа теперь чаще используются в программировании, что делает представления чисел даже короче восьмеричных.

В языках программирования для обозначения восьмеричной системы использовались различные символы, включая цифру 0, буквы o или q, комбинацию цифр и букв 0o или символ & или $. База-8 также может быть показана с помощью числа 8 в качестве нижнего индекса (например, 135 ₈ ).

Пожалуй, наиболее распространенное использование восьмеричного числа в современной вычислительной среде — это права доступа к файлам и каталогам Linux или UNIX.Используя команду chmod, администраторы могут назначать права чтения, записи и выполнения пользователям, группам и другим пользователям.

Восьмеричная система счисления и преобразование двоичной системы в восьмеричную

Восьмеричная система счисления в принципе очень похожа на предыдущую шестнадцатеричную систему счисления, за исключением того, что в восьмеричной системе двоичное число делится на группы всего по 3 бита, причем каждая группа или набор битов имеют различное значение от 000 (0) и 111 (4 + 2 + 1 = 7).

Таким образом, восьмеричные числа

имеют диапазон только «8» цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), что делает их системой нумерации Base-8, и поэтому q равно «8».

Тогда основными характеристиками системы восьмеричной нумерации является то, что имеется только 8 отдельных счетных цифр от 0 до 7, причем каждая цифра имеет вес или значение всего 8, начиная с младшего значащего бита (LSB). В первые дни вычислений восьмеричные числа и восьмеричная система счисления были очень популярны для подсчета входов и выходов, потому что, поскольку они работают в счетах до восьми, входы и выходы были в счетах по восемь, по байту за раз.

Поскольку основание системы Octal Numbers — 8 (основание 8), которое также представляет количество отдельных чисел, используемых в системе, индекс 8 используется для обозначения числа, выраженного в восьмеричном формате.Например, восьмеричное число выражается как: 237 ₈

Как и шестнадцатеричная система, «восьмеричная система счисления» обеспечивает удобный способ преобразования больших двоичных чисел в более компактные и меньшие группы. Однако в наши дни восьмеричная система счисления используется реже, чем более популярная шестнадцатеричная система счисления, и почти исчезла как цифровая система счисления.

Представление восьмеричного числа

Поскольку восьмеричная система счисления использует только восемь цифр (от 0 до 7), числа или буквы, превышающие 8, не используются, но преобразование из десятичной системы в восьмеричную и из двоичной в восьмеричную происходит по той же схеме, что и для шестнадцатеричной.

Чтобы считать больше 7 в восьмеричном, нам нужно добавить еще один столбец и начать заново аналогично шестнадцатеричному.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21… и т. Д.

Снова не путайте, 10 или 20 это НЕ десять или двадцать это 1 + 0 и 2 + 0 в восьмеричной системе, точно так же, как в шестнадцатеричной. Соотношение между двоичными и восьмеричными числами показано ниже.

Восьмеричные числа

Тогда мы можем видеть, что 1 восьмеричное число или цифра эквивалентно 3 битам, а с двумя восьмеричными числами, 77 ₈ , мы можем считать до 63 в десятичном виде, с тремя восьмеричными числами, 777 ₈ до 511 в десятичной системе с четырьмя восьмеричными числами, от 7777 ₈ до 4095 в десятичной системе и так далее.

Восьмеричные числа Пример №1

Используя наше предыдущее двоичное число 1101010111001111 ₂ , преобразуйте это двоичное число в его восьмеричный эквивалент (с основанием 2 в основание 8).

Таким образом, 001101010111001111 ₂ в двоичной форме эквивалентно 152717 ₈ в восьмеричной форме или 54,735 в денарной.

Восьмеричные числа Пример №2

Преобразует восьмеричное число 2322 ₈ в его десятичный эквивалент (с основанием 8 в основание 10).

Затем преобразование восьмеричного числа в десятичное показывает, что 2322 ₈ в восьмеричной форме эквивалентно 1234 ₁₀ в десятичной форме.

Хотя Octal является другим типом цифровой системы нумерации, в наши дни он мало используется, вместо этого используется более широко используемая шестнадцатеричная система счисления, поскольку она более гибкая.

Восьмеричная система счисления

— значение, преобразование, решаемые примеры, практические вопросы

Восьмеричная система счисления

— это тип системы счисления с основанием из восьми и цифрами от 0 до 7.Система счисления — это система именования, представления или выражения чисел в различных типах форм. Основные способы представления чисел выполняются четырьмя способами: восьмеричная система счисления, двоичная система счисления, десятичная система счисления и шестнадцатеричная система счисления.

Определение восьмеричной системы счисления

Система счисления, основанная на восьми и использующая цифры от 0 до 7, называется восьмеричной системой счисления. Слово восьмеричное используется для обозначения чисел, в основе которых лежит восемь.Восьмеричные числа имеют много применений и важности, например, они используются в компьютерах и цифровых системах счисления. В системе счисления восьмеричные числа можно преобразовать в двоичные числа, двоичные числа в восьмеричные числа, сначала преобразовав двоичное число в десятичное число, а затем десятичное число в восьмеричное число.

Подобно восьмеричной системе счисления, двоичная система счисления представлена ​​основанием 2, десятичная система счисления представлена ​​основанием 10, а шестнадцатеричная система счисления представлена ​​основанием 16.Вот несколько примеров этих систем счисления:

• \ ((10) _ {2} \) — двоичное число
• \ ((119) _ {10} \) — десятичное число
• \ ((51) _ {6} \) — шестнадцатеричное число

При решении восьмеричного числа каждое место представляет собой степень восьми. Например: \ ((347) _ {8} \) = 3 x 8 ² + 4 x 8 ¹ + 7 x 8 ⁰

Преобразование восьмеричных в двоичные числа

Для процесса преобразования нам нужно преобразовать каждое число из восьмеричного числа в двоичное.Каждую цифру необходимо преобразовать в 3-битное двоичное число и, следовательно, получить двоичный эквивалент восьмеричного числа. Ниже приведено табличное представление двоичных чисел в восьмеричные числа и наоборот.

Пример 1 — Преобразование \ ((14) _ {8} \) в двоичное число

Решение — Учитывая \ ((14) _ {8} \) восьмеричное число, с помощью приведенной выше таблицы мы можем написать \ ((14) _ {8} \) _{= \ ((001 100 ) _ {2} \). Нули слева не имеют значения.Следовательно, \ ((14) _ {8} \) = \ ((001 100) _ {2} \).}

Пример 2 — Преобразование \ ((11100101) _ {2} \) _{в восьмеричное число.}

Решение — Учитывая, что \ ((11100101) _ {2} \) является двоичным числом, с помощью приведенной выше таблицы мы сначала записываем число в его 3-битное двоичное число, поскольку перед цифрами необходимо добавить ноль. для формирования 3-битного двоичного числа. Итак, число можно записать как \ ((011100101) _ {2} \). Следовательно, 3-битное двоичное число — это 011, 100, 101. Глядя на ту же таблицу выше, мы можем преобразовать эти двоичные числа в их восьмеричные числа, чтобы получить окончательное число.Следовательно, числа 3, 4, 5

Следовательно, \ ((11100101) _ {2} \) = \ ((345) _ {8} \)

Преобразование восьмеричного числа в десятичное

Преобразование восьмеричных чисел в десятичные выполняется очень просто. Число расширяется с основанием восемь, где каждое число умножается с уменьшающей степенью 8. В десятичной системе счисления после преобразования используется основание 10.

Например, — Преобразует восьмеричное число \ ((121) _ {8} \) в его десятичную форму.

Решение — \ ((121) _ {8} \) _{= 1 x 8 ² + 2 x 8 ¹ + 1 x 8 ⁰}

= 1 х 64 + 2 х 8 + 1 х 1

= 64 + 16 + 1

Следовательно, \ ((121) _ {8} \) = \ ((81) _ {10} \)

Преобразование десятичного числа в восьмеричное

Для преобразования десятичного числа в восьмеричное используется другой метод. В этом методе десятичное число делится на 8 каждый раз, когда получается напоминание из предыдущей цифры.Первый полученный остаток — это младшая значащая цифра (LSD), а последний остаток — самая старшая цифра (MSD). Разберемся с преобразованием на примере.

Например, — Преобразуйте десятичное число 321 в восьмеричную форму.

Решение — Нам нужно начать делить число 321 на 8

321/8 дает частное 40, а остаток равен 1

40/8 дает частное 5, а остаток равен 0

Итак, здесь частное равно 5, а остаток равен 0.Восьмеричное число начинается от MSD до LSD, то есть 501

.

Следовательно, \ ((321) _ {10} \) = \ ((501) _ {8} \)

Преобразование восьмеричных в шестнадцатеричные числа

Шестнадцатеричный формат представлен с основанием 16 и состоит как из чисел, так и из букв. Цифры от 0 до 9 представлены в обычной форме, но от 10 до 15, это обозначается как A, B, C, D, E, F. Преобразование восьмеричного в шестнадцатеричное выполняется в два этапа, т.е. сначала выполняется преобразование восьмеричного. число в десятичное число, а затем преобразовать его в шестнадцатеричное число.Давайте посмотрим на пример, чтобы лучше понять этот метод.

Например, — \ ((121) _ {8} \) = \ ((81) _ {10} \)

Решение — У нас уже есть десятичное число 81 ₁₀ , поэтому нам нужно только преобразовать его в шестнадцатеричное число. Чтобы определить шестнадцатеричное число, нам нужно разделить число 81 на 16, пока остаток не станет меньше 16. Оно полностью делится с ответом 5 и остатком 1.

Следовательно, \ ((121) _ {8} \) = \ ((51) _ {16} \)

Восьмеричная система счисления Связанные темы

Прочтите эти интересные статьи, чтобы узнать больше о восьмеричной системе счисления и связанных с ней темах.

Важные моменты

• Преобразование восьмеричных чисел в двоичные и наоборот очень просто.
• Для преобразования восьмеричных чисел в шестнадцатеричные числа необходимо преобразовать восьмеричное число в десятичное, а затем в шестнадцатеричное.
• Основание каждой из четырех систем счисления очень важно.

Часто задаваемые вопросы по восьмеричной системе счисления

Что такое восьмеричная система счисления?

Система счисления, основанная на восьми и использующая цифры от 0 до 7, называется восьмеричной системой счисления.Слово восьмеричное используется для обозначения чисел, в основе которых лежит восемь. Восьмеричные числа имеют много применений и важности, например, они используются в компьютерах и цифровых системах счисления. Слово Octal — это краткая форма латинского слова Oct, что означает короткий.

Как используются восьмеричные числа?

Система восьмеричного счисления широко используется в компьютерных приложениях и цифровых системах счисления. Вычислительные системы используют 16-битное, 32-битное или 64-битное слово, которое дополнительно делится на 8-битные слова.Восьмеричное число также используется в авиационном секторе в виде кода.

В чем важность восьмеричной системы счисления?

В восьмеричной системе счисления используются цифры от 0 до 7, которые могут быть образованы из двоичных чисел путем группировки двоичных цифр в его 3-битном представлении. В восьмеричных числах используется меньшее количество цифр по сравнению с десятичными и шестнадцатеричными, что упрощает вычисление за меньшее количество шагов.

Какие четыре типа системы счисления?

Четыре основных типа системы счисления:

Какие символы используются в восьмеричной системе счисления?

Восьмеричная система счисления — это система счисления с основанием 8, что означает, что для представления любого числа в восьмеричной системе необходимо 8 различных символов.Это символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Наименьшее двузначное число в этой системе — \ ((10) _ {8} \), что эквивалентно десятичному числу 8.

Каковы преимущества и недостатки восьмеричной системы счисления?

Преимущества восьмеричной системы счисления заключаются в том, что она составляет одну треть от двоичной системы счисления, процесс преобразования восьмеричной системы счисления в двоичную и наоборот очень прост, а в восьмеричной форме легко обрабатывать ввод и вывод. Недостатки восьмеричной системы счисления состоят в том, что существует дополнительное требование к системе внутри компьютера, которая обеспечивает более легкое преобразование восьмеричных чисел в двоичные числа до того, как она будет фактически применена к цифровой платформе.

Как преобразовать восьмеричное число в десятичное?

Чтобы преобразовать восьмеричное в десятичное, нам нужно расширить число с основанием восемь, где каждое число умножается с уменьшающей степенью 8. После получения произведения мы складываем числа, чтобы получить десятичное число. В десятичной системе счисления после преобразования используется основание 10.

Как преобразовать десятичное число в восьмеричное?

Чтобы преобразовать десятичное число в восьмеричное, десятичное число делится на 8 каждый раз, когда получается напоминание из предыдущей цифры.Первый полученный остаток — это младшая значащая цифра (LSD), а последний остаток — самая старшая цифра (MSD).

Как преобразовать восьмеричную систему в шестнадцатеричную?

Шестнадцатеричный формат представлен с основанием 16 и состоит как из чисел, так и из букв. Цифры от 0 до 9 представлены в обычной форме, но от 10 до 15, это обозначается как A, B, C, D, E, F. Преобразование восьмеричного в шестнадцатеричное выполняется в два этапа, т.е. сначала выполняется преобразование восьмеричного. число в десятичное число, а затем преобразовать его в шестнадцатеричное число.

Какое использование системы счисления в компьютере? — Mvorganizing.org

Какое использование системы счисления в компьютере?

Когда мы вводим какие-то буквы или слова, компьютер переводит их в числа, поскольку компьютеры могут понимать только числа. Компьютер может понять позиционную систему счисления, где есть только несколько символов, называемых цифрами, и эти символы представляют разные значения в зависимости от позиции, которую они занимают в числе.

Что такое система счисления в компьютере?

Системы счисления — это метод представления чисел в архитектуре компьютерной системы, каждое значение, которое вы сохраняете или получаете в / из памяти компьютера, имеет определенную систему счисления.Архитектура компьютера поддерживает следующие системы счисления. Двоичная система счисления. Восьмеричная система счисления.

Почему важна система счисления?

Система счисления определяется как система записи чисел. Это математическая нотация для представления чисел данного набора с использованием цифр или других символов согласованным образом. Он обеспечивает уникальное представление каждого числа и представляет арифметическую и алгебраическую структуру фигур.

Какие системы счисления обычно используются в компьютерных системах?

В компьютерах основные системы счисления основаны на позиционной системе с основанием 2 (двоичная система счисления) с двумя двоичными цифрами, 0 и 1.Обычно используются позиционные системы, полученные группировкой двоичных цифр по трем (восьмеричная система счисления) или четырем (шестнадцатеричная система счисления).

Почему мы используем двоичную систему счисления в компьютере?

Компьютеры используют двоичный код — цифры 0 и 1 — для хранения данных. Цепи в процессоре компьютера состоят из миллиардов транзисторов. Транзистор — это крошечный переключатель, который активируется электронными сигналами, которые он получает. Цифры 1 и 0, используемые в двоичном формате, отражают включенное и выключенное состояния транзистора.

Что такое восьмеричная система счисления в компьютере?

Восьмеричная система счисления, или для краткости oct, является системой счисления с основанием 8 и использует цифры от 0 до 7. Восьмеричные числа могут быть образованы из двоичных чисел путем группирования последовательных двоичных цифр в группы по три (начиная справа) . Например, двоичное представление для десятичного числа 74 — 1001010.

Какая система счисления является взвешенной?

Взвешенные коды Взвешенные двоичные коды — это те двоичные коды, которые подчиняются принципу позиционного веса.Каждая позиция числа обозначает определенный вес. Несколько систем кодов используются для выражения десятичных цифр от 0 до 9. В этих кодах каждая десятичная цифра представлена ​​группой из четырех битов.

Почему это называется восьмеричной системой счисления?

Определение: Система счисления с основанием 8 известна как восьмеричная система счисления. Основание 8 означает, что система использует восемь цифр от 0 до 7. Все восемь цифр от 0 до 8 имеют то же физическое значение, что и десятичные числа.

19 — восьмеричное число?

В восьмеричной системе счисления (или сокращенно окт) в качестве основания (основания) используется число 8. В системе счисления с основанием 8 используются восемь символов: числа от 0 до 7, а именно 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7… Таблица преобразования десятичных чисел в восьмеричные.

Как называется база 26?

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание двадцать шесть.В этой системе используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L. , M, N, O и P. Имя множественного числа — base-26.

Какое число не восьмеричное?

Мы используем только 3 бита для представления восьмеричных чисел. Каждая группа будет иметь различное значение от 000 до 111. Примечание. Восьмеричная система счисления поддерживает только цифры от 0 до 7. Сверх 7, такие как 8 и 9, не являются восьмеричными цифрами.

15 — восьмеричное число?

Восьмеричная система счисления, или для краткости oct, является системой счисления с основанием 8 и использует цифры от 0 до 7….Таблица преобразования десятичных чисел в восьмеричные.

Что такое восьмеричное число в Python?

восемь

Как написать 10 восьмеричных?

Таким образом, восьмеричные числа

имеют диапазон только «8» цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), что делает их системой нумерации Base-8, и поэтому q равно «8» … .Восьмеричные числа.

Что означает восьмеричное число?

: относящаяся к системе счисления с основанием восемь, относящаяся к ней или являющаяся системой счисления.

Для чего используется восьмеричная система?

Произошло от латинского слова «восемь». В восьмеричной системе счисления используются цифры 0-1-2-3-4-5-6-7. В вычислительных средах он обычно используется как более короткое представление двоичных чисел путем группирования двоичных цифр в тройки. Команда chmod в Linux или UNIX использует восьмеричное число для назначения прав доступа к файлам.

Почему он называется шестнадцатеричным?

По мере того, как компьютеры становились больше, было удобнее группировать биты по четырем, а не по трем.Это удваивает числа, которые будет представлять символ; он может иметь 16 значений вместо восьми. Шестнадцатеричный = 6 и десятичный = 10, поэтому он называется шестнадцатеричным. На компьютерном жаргоне четыре бита составляют кусок (иногда пишется nybble).

Где используется шестнадцатеричный формат?

Шестнадцатеричный может использоваться для записи больших двоичных чисел всего несколькими цифрами. Это упрощает жизнь, поскольку позволяет группировать двоичные числа, что упрощает чтение, запись и понимание. Он более удобен для человека, поскольку люди привыкли группировать числа и вещи для облегчения понимания.

Какое использование шестнадцатеричной системы счисления в компьютере?

Шестнадцатеричная или шестнадцатеричная система счисления обычно используется в компьютерных и цифровых системах для сокращения больших строк двоичных чисел до наборов из четырех цифр, чтобы мы могли их легко понять.

Почему Hex используется в компьютерах?

Основная причина, по которой мы используем шестнадцатеричные числа, заключается в том, что они обеспечивают более удобное для человека представление и намного проще выразить представления двоичных чисел в шестнадцатеричной системе, чем в любой другой системе счисления.Компьютеры на самом деле не работают в шестнадцатеричном формате. Давайте возьмем пример, используя байт.

Какая система счисления используется в повседневной жизни?

десятичная система счисления

Каковы применения системы счисления?

Наиболее распространенное применение двоичной системы счисления можно найти в компьютерных технологиях. Весь компьютерный язык и программирование основаны на 2-значной системе счисления, используемой в цифровом кодировании. Цифровое кодирование — это процесс получения данных и их представления с помощью дискретных битов информации.

Что такое номер?

Помимо криптографии, теория чисел применялась в других областях, таких как: Коды с исправлением ошибок. Численное интегрирование. Компьютерная арифметика.

Какие ключевые навыки применения числа?

Численные и математические навыки используются для описания и решения широкого круга задач. Эти ключевые навыки связаны с пониманием того, когда следует использовать определенные методы, как их точно выполнять и какие методы следует применять в конкретных ситуациях.

Восьмеричное определение

Восьмеричная система, также известная как «основание 8», — это система счисления, в которой восемь цифр (0–7) используются для представления любого целого числа. Восьмеричные значения иногда используются для представления данных в информатике, поскольку байты содержат восемь бит. Например, восьмеричное значение «10» может представлять 8 бит или 1 байт. «20» представляет 2 байта, 30 — 3 и т. Д. Восьмеричные значения также легко переводятся из двоичного кода, в котором используются две цифры, и из шестнадцатеричного, в котором используются 16 цифр.

Чтобы преобразовать восьмеричное значение в стандартное десятичное или «денарное» значение, умножьте каждую цифру на 8 ⁿ , где n — место цифры, начиная с 0, справа налево.Затем сложите результаты. Итак, 123 в восьмеричном виде можно преобразовать в десятичное значение следующим образом:

8 ⁰ x 3 + 8 ¹ x 2 + 8 ² x 1 = 3 + 16 + 64 = 83

В таблице ниже показаны несколько одинаковых значений в восьмеричном, десятичном, шестнадцатеричном и двоичном форматах:

Двоичное преобразование в восьмеричное

Чтобы преобразовать двоичное значение в восьмеричное, разделите цифры на группы по три, начиная справа налево.Затем умножьте каждую 1 или 0 на 2 ⁿ , где n — место каждой цифры справа налево, начиная с 0. Например, чтобы преобразовать двоичное значение 1010011100 из приведенной выше таблицы, сначала разделите цифры как: 1 010 011 100. Затем умножьте значения следующим образом:

1. 0x1 + 0x2 + 1×4 = 4
2. 1×1 + 1×2 + 0x4 = 3
3. 0x0 + 1×2 + 0x4 = 2
4. 1×1 + 0x2 + 0x4 = 1

Полученное значение: окт. 1234 .Восьмеричные значения также могут отображаться с нижним индексом «8», например 1234 ₈ . Нижнюю строку вышеприведенной таблицы можно записать в нижнем индексе как:

.

1010011100 ₂ = 1234 ₈ = 668 ₁₀ = 29C ₁₆

Обновлено: 12 марта 2021 г.

TechTerms — Компьютерный словарь технических терминов

Эта страница содержит техническое определение Octal. Он объясняет в компьютерной терминологии, что означает Octal, и является одним из многих технических терминов в словаре TechTerms.

Все определения на веб-сайте TechTerms составлены так, чтобы быть технически точными, но также простыми для понимания. Если вы найдете это восьмеричное определение полезным, вы можете сослаться на него, используя приведенные выше ссылки для цитирования. Если вы считаете, что термин следует обновить или добавить в словарь TechTerms, отправьте электронное письмо в TechTerms!

Подпишитесь на рассылку TechTerms, чтобы получать избранные термины и тесты прямо в свой почтовый ящик. Вы можете получать электронную почту ежедневно или еженедельно.

Подписаться

Что такое восьмеричная система счисления? — Определение, восьмеричное в десятичное и десятичное преобразование в восьмеричное

Определение: Система счисления с основанием 8 известна как восьмеричная система счисления .База 8 означает, что система использует восемь цифр от 0 до 7. Все восемь цифр от 0 до 8 имеют то же физическое значение, что и десятичные числа. Следующая цифра восьмеричного числа представлена ​​числами 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, которые представляют собой десятичные цифры 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Таким образом, восьмеричное число число 20 представляет собой десятичное число 16, а затем 21, 22, 23… .октальные числа будут отображать десятичные цифры 17, 18, 19… и т. д. и так далее.

Основным недостатком восьмеричной системы счисления является то, что компьютер не понимает восьмеричной системы счисления.Таким образом, для цифровых систем, преобразующих восьмеричное число в двоичное, требуется дополнительная схема. В миникомпьютере используется восьмеричная система счисления.

Восьмеричное преобразование в десятичное

В восьмеричной системе счисления каждая позиция имеет вес восемь относительно степени восемь , показанный на рисунке ниже.

Пример — Рассмотрим восьмеричное число 354,42 в его эквивалентное десятичное число. Целочисленная часть 354 преобразуется в восьмеричную, как показано ниже.

А дробная часть 0,42 преобразуется в восьмеричную

В десятичной системе счисления это 236,53125.

Преобразование десятичного числа в восьмеричное

Для преобразования десятичного числа в восьмеричное используется восьмеричный метод . В восьмеричном двойном методе целое восьмеричное число представляет собой , разделенное на цифрой 8. А для преобразования дробного десятичного числа в восьмеричное число оно умножается на цифру 8 и записывает перенос.Когда эти переносы считываются вниз, получается дробное восьмеричное число.

Пример: Рассмотрим преобразование десятичного числа 236,53. Преобразование целой части показано ниже.

И дробная часть

Таким образом, восьмеричное число равно 354,4172.

Двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная система счисления

Двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная системы относятся к разным системам счисления.Тот, который мы обычно используем, называется десятичным. Эти системы счисления относятся к количеству символов, используемых для представления чисел. В десятичной системе мы используем десять различных символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. С помощью этих десяти символов мы можем представить любую величину. Например, если мы видим 2, значит, мы знаем, что есть два чего-то. Например, в конце этого предложения 2 точки.

Когда у нас заканчиваются символы, мы переходим к размещению следующей цифры. Чтобы представить единицу больше 9, мы используем 10, что означает одну единицу из десяти и ноль единиц.Это может показаться элементарным, но очень важно понимать нашу систему счисления по умолчанию, если вы хотите понимать другие системы счисления.

Например, когда мы рассматриваем двоичную систему, в которой используются только два символа, 0 и 1, когда у нас заканчиваются символы, нам нужно перейти к размещению следующей цифры. Итак, мы будем считать в двоичном формате 0, 1, 10, 11, 100, 101 и так далее.

В этой статье более подробно рассматриваются двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления и объясняется их использование.

Системы счисления используются для описания количества чего-либо или представления определенной информации.В связи с этим могу сказать, что слово «калькулятор» состоит из десяти букв. Наша система счисления, десятичная система, использует десять символов. Следовательно, десятичным считается Base Ten . Описывая системы с помощью оснований, мы можем понять, как работает эта конкретная система.

Когда мы считаем по базе десять, мы считаем, начиная с нуля и заканчивая девятью по порядку.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…

Как только мы дойдем до последнего символа, мы создадим новое размещение перед первым и посчитаем его.

8, 9, 1 0, 11, 12,…, 19, 2 0,…

Это продолжается, когда у нас заканчиваются символы для этого места размещения. Итак, после 99 мы переходим к 100.

Размещение символа указывает, сколько он стоит. Каждое дополнительное размещение дает дополнительную степень 10. Рассмотрим число 2853. Мы знаем, что это число довольно велико, например, если оно относится к количеству яблок в корзине. Это много яблок. Как мы узнаем, что он большой? Смотрим количество цифр.

Каждое дополнительное размещение — это дополнительная степень 10, как указано выше. Рассмотрим эту диаграмму.

Каждая дополнительная цифра представляет все большее и большее количество.Это применимо как для Base 10, так и для других баз. Знание этого поможет вам лучше понять другие основы.

двоичный

Binary — это еще один способ сказать Base Two. Итак, в двоичной системе счисления для представления чисел используются только два символа: 0 и 1. Когда мы считаем с нуля в двоичной системе счисления, символы заканчиваются гораздо чаще.

Отсюда символов больше нет. Мы не переходим к 2, потому что в двоичном формате 2 не существует. Вместо этого мы используем 10.В двоичной системе 10 равно 2 в десятичной системе счисления.

Мы можем считать дальше.

Как и в десятичной системе счисления, мы знаем, что чем больше цифр, тем больше число.Однако в двоичном формате мы используем степени двойки. В двоичном числе 1001101 мы можем создать диаграмму, чтобы узнать, что это на самом деле означает.

Однако, поскольку это основание два, числа не становятся такими большими, как в десятичном.Тем не менее, двоичное число из 10 цифр будет больше 1000 в десятичном.

Двоичная система используется в информатике и электротехнике. Транзисторы работают от двоичной системы, и транзисторы можно найти практически во всех электронных устройствах. 0 означает отсутствие тока, а 1 означает разрешение тока. При включении и выключении различных транзисторов сигналы и электричество отправляются для выполнения различных действий, например, для совершения звонка или вывода этих букв на экран.

Компьютеры и электроника работают с байтами или восьмизначными двоичными числами. Каждый байт содержит закодированную информацию, которую компьютер способен понять. Многие байты объединяются в цепочки для формирования цифровых данных, которые можно сохранить для дальнейшего использования.

восьмеричный

Octal — это еще одна система счисления, в которой используется меньше символов, чем в нашей традиционной системе счисления. Восьмеричный формат является модным для Base Eight, что означает, что восемь символов используются для представления всех величин. Это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.Когда мы считаем единицу из 7, нам нужно новое размещение, чтобы представить то, что мы называем 8, поскольку 8 не существует в Octal. Итак, после 7 будет 10.

Точно так же, как мы использовали степень десяти в десятичной системе и степень двойки в двоичной системе, для определения значения числа мы будем использовать степень восьмерки, поскольку это основание восемь.Рассмотрим число 3623 по основанию восемь.

Каждое дополнительное размещение слева имеет большую ценность, чем в двоичном формате. Третья цифра справа в двоичном формате представляет только 2 ^3-1 , то есть 4.В восьмеричном формате это 8 ^3-1 , что равно 64.

Шестнадцатеричный

Шестнадцатеричная система счисления — основание шестнадцати. Как следует из ее основания, эта система счисления использует шестнадцать символов для представления чисел. В отличие от двоичного и восьмеричного, шестнадцатеричный имеет шесть дополнительных символов, которые он использует помимо обычных, найденных в десятичном. Но что будет после 9? 10 — это не одна цифра, а две… К счастью, по соглашению, когда необходимы дополнительные символы помимо обычных десяти, должны использоваться буквы.Итак, в шестнадцатеричном формате общий список используемых символов составляет 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F. На цифровом дисплее. , числа B и D строчные.

При шестнадцатеричном счете вы считаете 0, 1, 2 и так далее. Однако, когда вы достигнете 9, вы перейдете прямо к A. Затем вы считаете B, C, D, E и F. Но что дальше? У нас закончились символы! Когда у нас заканчиваются символы, мы создаем новое расположение цифр и идем дальше. Таким образом, после F будет 10. Вы продолжаете считать, пока не дойдете до 19. После 19 следующее число — 1A.Это продолжается вечно.

Цифры объясняются как степень 16.Рассмотрим шестнадцатеричное число 2DB7.

Как видите, размещение в шестнадцатеричной системе счисления намного дороже, чем в любой из трех других систем счисления.

Важно знать, что 364 в восьмеричной системе счисления — это , а не , равное нормальному 364.Это похоже на то, как 10 в двоичном формате определенно не является 10 в десятичном. 10 в двоичном формате (с этого момента будет записываться как 10 ₂ ) равно 2. 10 ₈ равно 8. Откуда мы это знаем? Что такое 20C.38F ₁₆ и как нам узнать?

Вот почему важно понимать, как работают системы счисления. Используя нашу степень основного числа, становится возможным преобразовать любое число в десятичное, а из десятичного — в любое.

от основания к десятичной системе

Итак, мы знаем, что 364 ₈ не равно десятичному числу 364.{p-1} + … + v_1B + v_0 \ end {формула}

Где V ₁₀ — десятичное значение, v — цифра в расположении, p — это размещение справа от числа, предполагая, что крайнее правое расположение равно 0, а B — начальная база. Не пугайтесь формулы! Мы собираемся пройти через это шаг за шагом.

Итак, допустим, у нас есть простое шестнадцатеричное число 2B. Мы хотим знать, что это за число в десятичной системе, чтобы лучше понять его. как нам это сделать?

Воспользуемся формулой выше.Сначала определите каждую переменную. Мы хотим найти V ₁₀ , так что это неизвестно. Число 2B ₁₆ имеет две позиции, так как оно состоит из двух цифр. Следовательно, p на единицу меньше, поэтому p равно 1. Число в базе 16, поэтому B равно 16. Наконец, мы хотим знать, что такое v, но есть несколько v. У вас v ₁ и v ₀ . Это относится к значению цифры в позиции индекса. v ₁ относится к цифре в первой позиции (вторая цифра справа).0) \\ V_ {10} = 2 (16) +11 (1) \\ V_ {10} = 32 + 11 \\ V_ {10} = 43 \\ \ end {align}

Следовательно, 2B ₁₆ равно 43.

Теперь позвольте мне объяснить, как это работает. Помните, как расположение цифр влияет на фактическое значение? Например, в десятичном числе 123 «1» представляет 100, что составляет 1 * 10 ² . «2» — это 20 или 2 * 10 ¹ . Аналогично, в числе 2B ₁₆ «2» — это 2 * 16 ¹ , а B — 11 * 16 ⁰ .

Таким образом мы можем определить значение чисел.Для числа 364 ₈ мы создадим диаграмму, которая показывает десятичное значение каждой отдельной цифры. Затем мы можем сложить их, чтобы получить целое. Число состоит из трех цифр, поэтому, начиная справа, у нас есть позиция 0, позиция 1 и позиция 2. Поскольку это основание восемь, мы будем использовать степень 8.

Теперь 8 ² это 64. 8 ¹ это 8. 8 ⁰ это 1. Что теперь?

Помните, что мы сделали с десятичным числом 123? Мы взяли значение цифры , умноженное на соответствующей степени.Итак, учитывая это дальше…

Теперь мы складываем значения вместе, чтобы получить 244. Следовательно, 364 ₈ равно 244 ₁₀ .

Точно так же, как для 123, мы говорим, что есть одна группа по 100, две группы по 10 и три группы по 1, для восьмеричной системы и числа 364 существуют три группы по 64, шесть групп по 8 и четыре группы по 1.

с десятичной системой счисления по основанию

Точно так же, как мы можем преобразовать из любого основания в десятичное, можно преобразовать десятичное в любое основание.p \\ (4) \ hspace {6pt} Повторяйте шаги \ hspace {4pt} с \ hspace {4pt} 1 \ hspace {4pt} через \ hspace {4pt} 3 \ hspace {4pt}, пока \ hspace {4pt} p = 0 \\ \ end {align}

Сначала этот алгоритм может показаться запутанным, но давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как его можно использовать. Мы хотим представить 236 в двоичном, восьмеричном и шестнадцатеричном формате. Итак, давайте сначала попробуем преобразовать его в двоичный код.

Первый шаг — сделать p равным $ \ operatorname {int} (\ sqrt [B] {V}) $. B — это база, в которую мы хотим преобразовать 2.V — это число, которое мы хотим преобразовать, 236. По сути, мы извлекаем квадратный корень из 236 и игнорируем десятичную часть. В результате p становится равным 7.

Шаг второй говорит, что пусть v равно нашему числу V, деленному на B ^p . B ^p равно 2 ⁷ , или 128, а целая часть 236, деленная на 128, равна 1. Следовательно, наша первая цифра слева равна 1. Теперь мы фактически меняем V, чтобы стать V минус цифра, умноженная на В ^стр . Итак, V теперь будет 236-128 или 108.

Мы просто повторяем процесс до тех пор, пока p не станет равным нулю. Когда p становится равным нулю, мы завершаем шаги в последний раз, а затем заканчиваем.

Итак, поскольку V теперь равно 108, p становится 6. P \ end {уравнение}

На человеческом языке: значение шифра в числе равно значению самого шифра, умноженному на основание системы счисления в степень позиции шифра слева направо в числе, начиная с при 0.Прочтите это несколько раз и попытайтесь понять.

Таким образом, значение цифры в двоичном формате удваивается на каждый раз, когда мы перемещаемся влево. (см. таблицу ниже)

Из этого следует, что каждый шестнадцатеричный шифр можно разбить на 4 двоичных разряда. На компьютерном языке: кусочек. Теперь взгляните на следующую таблицу:

Еще один интересный момент: посмотрите на значение в верхней части столбца.Тогда посмотрите на значения. Вы понимаете, о чем я? Да, ты прав! Биты включаются и выключаются в зависимости от своего значения. Значение первой цифры (начиная справа) выглядит следующим образом: 0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,… Вторая цифра: 0,0,1,1,0 , 0,1,1,0,0,1,1,0,0… Третья цифра (значение = 4): 0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0 , 1,1,1,1,… И так далее…

А как насчет больших чисел? Поэтому нам понадобится дополнительная цифра. (но я думаю, вы догадались сами). Для значений начиная с 16 наша таблица выглядит так:

Для восьмеричных чисел это аналогично, с той лишь разницей, что нам нужно всего 3 цифры для выражения значений 1-> 7.Наша таблица выглядит так:

В последней теме я объяснил логику двоичной, шестнадцатеричной и восьмеричной систем счисления.Теперь я объясню кое-что более практичное. Если вы полностью поняли предыдущее, можете пропустить эту тему.

Из десятичного числа в двоичное

• Шаг 1. Убедитесь, что ваш номер нечетный или четный.
• Шаг 2: Если четный, напишите 0 (двигаясь в обратном направлении, добавляя двоичные цифры слева от результата).
• Шаг 3: В противном случае, если он нечетный, напишите 1 (таким же образом).
• Шаг 4: Разделите ваше число на 2 (отбрасывая любую дробь) и вернитесь к шагу 1. Повторяйте, пока ваше исходное число не станет 0.

Пример:
Преобразование 68 в двоичное:

• 68 четное, поэтому пишем 0.
• Разделив 68 на 2, получим 34.
• 34 тоже четное, поэтому пишем 0 (пока результат — 00)
• Разделив 34 на 2, получим 17.
• 17 является нечетным, поэтому мы пишем 1 (пока результат — 100 — не забудьте добавить его слева)
• Разделив 17 на 2, мы получим 8,5, или всего 8.
• 8 четное, поэтому пишем 0 (пока результат — 0100)
• Разделив 8 на 2, получим 4.
• 4 четное, поэтому пишем 0 (пока результат — 00100)
• Разделив 4 на 2, получим 2.
• 2 чётно, поэтому пишем 0 (пока результат — 000100)
• Разделив 2 на 2, получим 1.
• 1 нечетное, поэтому пишем 1 (пока результат — 1000100)
• Разделив на 2, мы получим 0,5 или просто 0, так что все готово.
• Конечный результат: 1000100

Из двоичного в десятичный

• Запишите значения в таблицу, как показано выше. (или мысленно)
• Добавьте значение в заголовке столбца к своему номеру, если цифра включена (1).
• Пропустить, если значение в заголовке столбца выключено (0).
• Переходите к следующей цифре, пока не закончите все.

Пример:
Преобразование 101100 в десятичное:

• Наивысшая цифра значения: 32. Текущий номер: 32
• Пропустите цифру «16», ее значение равно 0. Текущий номер: 32
• Добавить 8. Текущий номер: 40
• Добавить 4. Текущий номер: 44
• Пропустите цифры «2» и «1», так как их значение равно 0.
• Окончательный ответ: 44

Из десятичного в шестнадцатеричный.

ЭТО ТОЛЬКО ОДИН ИЗ МНОГИХ СПОСОБОВ!

• Преобразуйте десятичное число в двоичное
• Разделить на 4 полубайта, начиная с конца
• Посмотрите на первую таблицу на этой странице и напишите правильный номер вместо полубайта

(вы можете добавить нули в начале, если количество битов не делится на 4, потому что, как и в десятичном, это не имеет значения)

Пример:
Преобразование 39 в шестнадцатеричное:

• Сначала преобразуем в двоичный (см. Выше).Результат: 100111
• Затем мы разбиваем его на полубайты: 0010/0111 (Примечание: я добавил два нуля, чтобы прояснить тот факт, что это полубайты)
• После этого преобразуем полубайты отдельно.
• Окончательный результат: 27

Из шестнадцатеричного в десятичный

* Проверьте формулу в первом абзаце и используйте ее для шифров в шестнадцатеричном числе. (это действительно работает для любого преобразования в десятичную систему счисления)

Пример:
Преобразование 1AB в десятичное:

• Значение B = 16 ⁰ × 11.Это дает 11, очевидно,
• Значение A = 16 ¹ × 10. Это дает 160. Наш текущий результат — 171.
• Значение 1 = 16 ² × 1. Это дает 256.
• Окончательный результат: 427

От десятичной к восьмеричной

• Преобразовать в двоичный.
• Разбивается на части по 3 цифры, начиная справа.
• Преобразует каждую часть в восьмеричное значение от 0 до 7

Пример: преобразовать 25 в восьмеричное

• Сначала преобразуем в двоичный.Результат: 11001
• Далее мы разделились: 011/001
• Преобразование в восьмеричное: 31

От восьмеричного к десятичному

Снова применим формулу сверху

Пример: преобразовать 42 в десятичное

• Значение 2 = 8 ⁰ × 2 = 2
• Значение 4 = 8 ¹ × 4 = 32
• Результат: 34

Хорошо, это может быть не на 100% «забавным», но тем не менее интересно.

• Вы склонны видеть числа, начинающиеся с 0x? Это обычная нотация для указания шестнадцатеричных чисел, поэтому вы можете увидеть что-то вроде:

  0x000000
0x000002
0x000004 
 

Эта нотация чаще всего используется для перечисления адресов компьютеров, а это совсем другая история.

• Это довольно очевидно, но вы можете «писать» слова, используя шестнадцатеричные числа. Например:
  • CAB = 3243 в десятичной системе счисления.

Вы все поняли? Если вы так думаете, проверьте себя:

Сделайте несколько упражнений самостоятельно, если хотите еще.