Что называется системой счисления: 4.1. Что такое система счисления?

4.1. Что такое система счисления?

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения
(позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в
числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а
третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•10² + 5•10¹ + 7•10⁰ + 7•10^-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2+ … + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + … + a_-m q^-m,

где a_i — цифры системы счисления; n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно.

Например:

Системы счисления. Позиционная и непозиционная системы счисления

☰

Систему счисления можно определить как способ записи чисел как количественной характеристики (отвечает на вопрос «сколько») чего-либо. Синонимом понятию «система счисления» является слово «нумерация».

В любой системе счисления числа записываются с помощью специальных, используемых в данной системе знаков-символов, которые все вместе формируют алфавит этой системы счисления. Пользуясь десятичной системой счисления мы привыкли называть символы ее алфавита цифрами.

Одно и тоже число (значение, количество) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

Широко известны две системы счисления – арабская и римская.

Алфавит арабской системы счисления:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Арабская система счисления – это позиционная система счисления.

Алфавит римской системы счисления:

I, V, X, L, C, D, M

Римская система счисления относится к непозиционным.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, в непозиционных такой однозначной зависимости нет. Например:

• 11 – здесь первая единица обозначает десять количественных единиц, вторая – только одну единицу.

• II – здесь обе единицы обозначают одну единицу.

• 345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5 единиц, во втором – 50, в третьем – 500.

• XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, так как они легко описываются с помощью универсальных алгоритмов. Например, умножение в столбик или поразрядное сравнение двух чисел.

В связи с этим позиционные системы счисления нашли более широкое распространение. Помимо всем известной десятичной, в которой используются десять цифр от 0 до 9, в вычислительных технике и технологиях нашли применение такие системы как двоичная (алфавит состоит из цифр 0 и 1), восьмеричная (алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) и шестнадцатеричная (алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Следует отметить, важную роль нуля. Открытие этой цифры в истории человечества сыграло большое значение в формировании позиционных систем счисления.

Ключевые понятия позиционных систем счисления

Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр. Так основанием десятичной системы счисления является число десять, так как ее алфавит состоит из десяти знаков. Основание двоичной системы счисления является число два.

Основание системы счисления равно размерности алфавита системы счисления. Размерность алфавита – это количество цифр, составляющих алфавит.

Разряд – это позиция цифры в числе. От того, в каком месте числа находится цифра, зависит обозначаемое ею количество, то есть то, что она значит.

Разрядность числа – количество цифр, из которых состоит число. Например, 264 – трехразрядное число в десятичной системе счисления, 00010101 – восьмиразрядное число в двоичной системе счисления. Разряды нумеруются справа налево. Например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка – третий.

В позиционных системах счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий при движении справа налево разряд больше другого на одну степень основания системы счисления.

Другими словами, у каждого разряда есть свой вес, представляющий собой основание системы счисления, возведенное в степень, соответствующую данному разряду. Показатель степени соотносится с разрядом как разряд-1. Например, в примере десятичного числа ниже цифра 8 находится в четвертом разряде числа. Значит, обозначаемое ею количество вычисляется вычисляется как произведение числа 8 на основание системы счисления (здесь 10) в степени 3.

8325 = 8 * 1000 + 3 * 100 + 2 * 10 + 5

8325 = 8 * 10³ + 3 * 10² + 2 * 10¹ + 5 * 10⁰

Система счисления. Позиционная система счисления.

Задумывались ли вы над тем, почему при сложении тех или иных чисел получается строго определённое число? А почему мы обходимся всего десятью цифрами? Странные вопросы… Дело в том, что мы привыкли проводить вычисления, используя всего одну и ту же систему счисления. Однако это было так не всегда.

Системой счисления принято называть знаковую систему, в которой были приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записывают числа, мы называем цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Для любой системы счисления, цифры которые служат для обозначения чисел, называемые узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате операций над узловыми числами.

В Древнем Вавилоне узловыми числами выступали 1,10,60;

Системы счисления отличаются друг от друга выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. В информатике выделяют такие виды систем счисления, как:

• унарная система;
• непозиционная система;
• позиционная система.

Унарная система

В самой древней и простой унарной системе счисления, для записи любых чисел использовался всего лишь один символ — в виде зарубки, выемки, узелка или камушка.

Чем больше зарубок — тем больше число. По сути, эта система является основой любого счёта. Унарная система, по-другому, ещё называется системой бирок.

Если вы думаете, что не пользуетесь этой системой счисления, тогда не считайте на пальцах!

Непозиционная система счисления

Для такой системы счисления количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Примерно в III тысячелетии до н.э. древние египтяне разработали десятичную непозиционную систему счисления, в которой для обозначения узловых чисел 1, 10, 100 использовались символы – иероглифы.

В большинстве непозиционных систем счисления новые числа образуются путём сложения узловых чисел.

Каноническим примером непозиционной системы счисления всегда приводится римская система счисления. В качестве узловых цифр здесь применялись заглавные буквы латинского алфавита:

I = 1,
V = 5,
X = 10,
L = 50,
C = 100,
D = 500,
M = 1000

Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает единицу независимо от места в числе.

Однако римская система не может быть полностью непозиционной, так как меньшая цифра, которая стоящая слева перед большей, должна вычитаться из неё:

IV = 4, в то время как:
VI = 6

Непозиционной системой счисления являлась и кириллическая система счисления — система счисления, применяемая на территории Древней Руси до XVIII века, основанная на алфавитной записи чисел с использованием кириллицы.

Позиционная система счисления

В позиционной системе счисления, количественный эквивалент цифры как раз зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления соответствует количеству цифр, которые составляют её алфавит.

Основным примером позиционной системы счисления является десятичная система записи чисел, к которой мы все так уже привыкли с детства, и в которой производим все основные математические вычисления.

Алфавитом десятичной системы являются цифры от 0 до 9. Образование чисел в ней происходит следующим образом: значения цифр умножаются на их «веса» соответствующих разрядов, а затем все полученные значения складываются.

Числительными русского языка, такое значением хорошо отражается, к примеру: «пять-сот семь-десят два».

Основанием позиционной системы счисления является любое натуральное число q>1. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0,1,…,q−1, каждое из которых записывается при помощи одного уникального символа; младшей цифрой всегда выступает 0.

Основными преимуществами любой позиционной системы счисления являются простота выполнения арифметических операций и небольшое количество символов, используемых в записи чисел.

Представление числа в позиционной системе счисления

В позиционной системе счисления с основанием q всякое число может быть представлено по формуле (развёрнутая форма записи):

A_q=±(a_n−1⋅qⁿ⁻¹+a_n−2⋅qⁿ⁻²+…+a₀⋅q⁰+a₋₁⋅q⁻¹+…+a_−m⋅q^−m).

где:

А — число;

q — основание системы счисления;

a_i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

n — количество целых разрядов числа;

m — количество дробных разрядов числа;

q_i — «вес» i-го разряда.

Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде:

±a_n−1a_n−2…a₁a₀…a_−m

в качестве примера, возьмём десятичное число 21466,12. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме мы переходим сразу к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и суммируя все полученные перемножения:

2⋅10⁴+1⋅10³+4⋅10²+6⋅10¹+6⋅10⁰+1⋅10⁻¹+2⋅10⁻².

Десятичная система счисления, несмотря на свою универсальность, имеет большой недостаток — она избыточна, так как имеет большой алфавит. Для компьютерной техники наиболее удобной оказалась двоичная система счисления, поэтому мы рассмотрим её в следующем уроке.

Кодирование информации Двоичная система счисления

Системы счисления (СС): основание СС, базисные цифры

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.
Каждое число изображается в виде последовательности цифр, а для изображения каждой цифры используется некоторый физический элемент, который может находиться в одном из нескольких устойчивых состояний.
Для проведения расчетов в повседневной жизни общепринятой является десятичная система счисления. В этой системе для записи любых чисел используются только десять различных знаков (цифр):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Эти цифры введены для обозначения десяти последовательных целых чисел от 0 до 9. Обозначая число «ДЕСЯТЬ», мы используем уже имеющиеся цифры «10». При этом значение каждой из цифр поставлено в зависимость от того места (позиции), где она стоит в изображении числа. Такая система счисления называется позиционной. (Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления).

 
В десятичной системе счисления десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего, более старшего разряда.

Так, число 123,45 можно записать в виде выражения

123,45 = 1·10²+2·10¹+3·10⁰+4·10^-1+5·10^-2.

Аналогично десятичная запись произвольного числа x в виде последовательности цифр a_na_n-1…a₁a₀,a_-1a_-2…a_-m основана на представлении этого числа в виде полинома:

x = a_n·10ⁿ+a_n-1·10^n-1+…+a₁·10¹+a₀·10⁰+

+a_-1·10^-1+a_-2·10^-2+…+a_-m·10^-m

где a_i — десятичные цифры. При этом запятая, отделяющая целую часть от дробной, является, по существу, началом отсчета.

 
Число P единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называется основанием системы счисления, а сама система счисления называется P-ичной. Так, в десятичной системе счисления основанием системы является число 10.

Для записи произвольного числа в P-ичной системе счисления достаточно иметь P различных цифр. Цифры, служащие для обозначения чисел в заданной системе счисления называются базисными.
Запись произвольного числа x в позиционной системе счисления с основанием P в виде полинома:

x = a_n·Pⁿ+a_n-1·P^n-1+…+a₁·P¹+a₀·P⁰+a_-1·P^-1+a_-2·P^-2+…+a_-m·P^-m

Каждый коэффициент данной записи может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой. Числа в P-ичной системе счисления записываются в виде перечисления всех коэффициентов полинома с указанием положения запятой.

В качестве базисных чисел обычно используются числа от 0 до P-1 включительно. Для указания того, в какой системе счисления записано число, основание системы указывается в виде нижнего индекса. В десятичной записи, например 12,438₁₀.

Назад: Представление данных и архитектура ЭВМ

Системы счисления

Основные понятия систем счисления

Система счисления — это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: ; ;  и т. д.

Различают два типа систем счисления:

 позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

 непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

где S — основание системы счисления;

 — цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n — количество разрядов числа.

Пример. Число  запишется в форме многочлена следующим образом:

Виды систем счисления

Римская система счисления является непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква — V пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — пятьсот, M — тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.

Таблица 2. Запись чисел в римской системе счисления

Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

Десятичня система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.

Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 — углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке — наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание — число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры — 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII — ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.

Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы — триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.

С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки — точки и тире, может передать практически любой текст.

Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной — восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.

Таблица 3. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 4. Степени числа 2

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число  перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1. Число  перевести в восьмеричную систему счисления.

Пример 2. Число  перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Основание позиционной системы счисления — это… Что такое Основание позиционной системы счисления?

Основание позиционной системы счисления

Основание позиционной системы счисления

Основание позиционной системы счисления — в широком смысле — конечный набор знаков (цифр), для представления чисел.
Основание позиционной системы счисления — в узком смысле — количество знаков, используемых для записи чисел в той или иной позиционной системе счисления. Основание показывает, во сколько раз вес каждой цифры в записи числа меньше веса цифры, стоящей в старшем соседнем разряде.

См. также:  Позиционные системы счисления  

Финансовый словарь Финам.

.

• Основа выборки
• Основание совершения записи по счету депо

Смотреть что такое «Основание позиционной системы счисления» в других словарях:

• основание (позиционной системы счисления) — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN base radix …   Справочник технического переводчика

• ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ — Интуитивное представление о числе, по видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения… …   Энциклопедия Кольера

• Нега-позиционные системы счисления — Нега позиционная система счисления это позиционная система счисления с отрицательным основанием. Особенностью таких систем является отсутствие знака перед отрицательными числами и, следовательно, отсутствие правил знаков. Всякое число любой из… …   Википедия

• Позиционные системы счисления — Позиционная система счисления система счисления, в которой один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на… …   Википедия

• Позиционная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… …   Википедия

• Комбинированная система счисления — В комбинированных системах счисления для записи чисел используются две или более систем счисления с разными основаниями. В общем случае возможно бесконечное множество комбинированных систем счисления. В спаренных (сдвоенных, двойных) системах… …   Википедия

• Нега-позиционная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… …   Википедия

• Троичная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… …   Википедия

• Система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… …   Википедия

• Десятичная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… …   Википедия

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ | Энциклопедия Кругосвет

Содержание статьи

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (нумерация) – совокупность способов обозначения натуральных чисел.

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая бóльшее число предметов, объединялась в понятии «много». Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. В древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись буквы славянского алфавита; при изображении чисел над ними ставился знак ~ (титло).

Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем «римской нумерации», в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. Сейчас ею пользуются для обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т.д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:

I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если бóльшая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед бóльшей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из бóльшей). Например, VI = 6, т.е. 5 + 1, IV = 4, т.е. 5 – 1, XL = 40, т е. 50 – 10, LX = 60, т.е. 50 + 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Другие же числа записываются, например, как:

XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 в., а в других странах Западной Европы – до 16 в.

В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде ~ СЛА (C – 200, Л – 30, А – 1).

Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций.

Более удобной и общепринятой и наиболее распространенной является десятичная система счисления, которая была изобретена в Индии, заимствована там арабами и затем через некоторое время пришла в Европу. В десятичной системе счисления основанием является число 10.

Существовали системы исчисления и с другими основаниями. В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты – на 60 секунд.

Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда – числа 12 – «дюжина». Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжинами, например, столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре. Название единицы третьего разряда в двенадцатеричной системе – гросс – встречается теперь редко, но в торговой практике начала столетия оно еще бытовало. Например, в написанном в 1928 стихотворении Плюшкин В.В.Маяковский, высмеивая людей, скупающих все подряд, писал: «…укупил двенадцать гроссов дирижерских палочек». У ряда африканских племен и в Древнем Китае была употребительна пятеричная система счисления. В Центральной Америке (у древних ацтеков и майя) и среди населявших Западную Европу древних кельтов была распространена двадцатеричная система. Все они также связаны со счетом на пальцах.

Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах.

Позиционные и непозиционные системы счисления.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятeричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки.

Однако наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.

Различие между позиционой и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Бóльшая цифра соответствует бóльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Позиционные системы счисления.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 555₇ – число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы – это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как x = a_n·pⁿ +a_n – 1·pⁿ–1 + a1·p1 + a0·p0, где a_n…a0 – цифры в представлении данного числа. Так, например,

1035₁₀=1·10³ + 0·10² + 3·10¹ + 5·10⁰;

1010₂ = 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 10.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему же не используются другие системы счисления? В основном, потому, что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Наиболее часто встречающиеся системы счисления – это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления? Есть различные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую на конкретных примерах.

Пусть нужно перевести число 567 из десятичной в двоичную систему. Сначала определяется максимальная степень двойки, такая, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу. В данном случае это 9, т.к. 2⁹ =^{512, а 210 = 1024, что больше начального числа. Таким образом получается число разрядов результата, оно равно 9 + 1 = 10, поэтому результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х могут стоять любые двоичные цифры. Вторая цифра результата находится так – двойка возводится в степень 9 и вычитается из исходного числа: 567 – 29 = 55. Остаток сравнивается с числом 28 = 256. Так как 55 меньше 256, то девятый разряд – нуль, т.е. результат имеет вид 10хххххххх. Рассмотрим восьмой разряд. Так как 27 = 128 > 55, то и он будет нулевым.}

Седьмой разряд также оказывается нулевым. Искомая двоичная запись числа принимает вид 1000хххххх. 2⁵ = 32 ххххх). Для остатка 55 – 32 = 23 справедливо неравенство 2⁴ = 16

567 = 1·2⁹ + 0·2⁸ + 0·2⁷ + 0·2⁶ + 1·2⁵ + 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 1·2⁰

При другом способе перевода чисел используется операция деления в столбик. Если взять то же число 567 и разделить его на 2, получается частное 283 и остаток 1. Та же операция производится и с числом 283. Частное – 141, остаток – 1. Опять полученное частное делится на 2 и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, т.е. 1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки.

Результат, естественно, не изменился: 567 в двоичной системе счисления записывается как 1 000 110 111.

Эти два способа применимы при переводе числа из десятичной системы в систему с любым основанием. Например, при переводе числа 567 в систему счисления с основанием 16 число сначала разлагается по степеням основания. Искомое число состоит из трех цифр, т.к. 16² = 256 3 = 4096. Определяется цифра старшего разряда. 2·16² = 512 2 = 768, следовательно, искомое число имеет вид 2хх, где вместо х могут стоять любые шестнадцатеричные цифры. Остается распределить по следующим разрядам число 55 (567 – 512). 3·16 = 48

Второй способ состоит в последовательном делении в столбик, с единственным отличием в том, что делить надо не на 2, а на 16, и процесс деления заканчивается, когда частное становится строго меньше 16.

Конечно, для записи числа в шестнадцатеричной системе счисления, необходимо заменить 10 на A, 11 на B и так далее.

Операция перевода в десятичную систему выглядит гораздо проще, так как любое десятичное число можно представить в виде x = a0·pⁿ + a1·pⁿ–1 +… + a_n–1·p1 + a_n·p0, где a0 … a_n – это цифры данного числа в системе счисления с основанием p.

Например,так можно перевести число 4A3F в десятичную систему. По определению, 4A3F= 4·16³ + A·16² + 3·16 + F. При замене A на 10, а F на 15, получается 4·16³ + 10·16² + 3·16 + 15= 19007.

Проще всего переводить числа из двоичной системы в системы с основанием, равным степеням двойки (8 и 16), и наоборот. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием 2ⁿ, нужно данное двоичное число разбить справа налево на группы по n-цифр в каждой; если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее нулями до нужного числа разрядов; рассмотреть каждую группу, как n-разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2ⁿ.

Известный французский астроном, математик и физик Пьер Симон Лаплас (1749–1827) писал об историческом развитии систем счисления, что «Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой.»

Сравнение десятичной системы исчисления с иными позиционными системами позволило математикам и инженерам-конструкторам раскрыть удивительные возможности современных недесятичных систем счисления, обеспечившие развитие компьютерной техники.

Анна Чугайнова

Система счисления | математика | Britannica

Система счисления , любой из различных наборов символов и правила их использования для представления чисел, которые используются для обозначения количества объектов в данном наборе. Таким образом, идея «единства» может быть представлена ​​римской цифрой I, греческой буквой альфа α (первая буква), используемой в качестве числительного, еврейской буквой алеф (первая буква), используемой в качестве числительного, или современная цифра 1, которая имеет индуистско-арабское происхождение.

Далее следует краткое описание систем счисления.Для дальнейшего обсуждения, см. числительные и системы счисления: Системы счисления.

Подробнее по этой теме

математика: Система счисления и арифметические операции

Египтяне, как и римляне после них, выражали числа по десятичной схеме, используя отдельные символы для 1, 10, 100, 1000, …

Очень вероятно, что самой ранней системой письменных символов в древней Месопотамии была система символов для чисел.Современные системы счисления — это системы счисления. То есть значение символа зависит от положения или места символа в представлении; например, 2 из 20 и 200 представляют две десятки и две сотни соответственно. Большинство древних систем, таких как египетская, римская, еврейская и греческая системы счисления, не имели позиционной характеристики, что усложняло арифметические вычисления. Однако в других системах, включая вавилонскую, по одной версии китайской и индийской, а также в системе майя, действительно использовался принцип числовой стоимости.Наиболее часто используемая система счисления — десятичная позиционная система счисления, десятичная относится к использованию 10 символов — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — для построения всех чисел. Это было изобретение индейцев, усовершенствованное средневековым исламом. В компьютерах и информатике используются две другие общие системы позиционирования, а именно двоичная система с двумя символами 0, 1 и шестнадцатеричная система с ее 16 символами 0, 1, 2,…, 9, A, B,… , F.

Система счисления — определение, типы, примеры, правила преобразования

Число — это математическое значение, используемое для подсчета и измерения объектов, а также для выполнения арифметических вычислений.У чисел есть различные категории, такие как натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные числа и так далее. Точно так же существуют различные типы систем счисления, которые имеют разные свойства, такие как двоичная система счисления, восьмеричная система счисления, десятичная система счисления и шестнадцатеричная система счисления.

Что такое системы счисления?

Система счисления — это система, представляющая числа. Ее также называют системой счисления, и она определяет набор значений для представления количества.Эти числа используются как цифры, и наиболее распространенными являются 0 и 1, которые используются для представления двоичных чисел. Цифры от 0 до 9 используются для обозначения других типов систем счисления.

Определение систем счисления

Система счисления определяется как представление чисел с помощью последовательного использования цифр или других символов. Значение любой цифры в числе может быть определено цифрой, ее положением в числе и основанием системы счисления. Числа представлены уникальным образом и позволяют нам выполнять арифметические операции, такие как сложение, вычитание и деление.

Типы систем счисления

Существуют различные типы систем счисления, в которых четыре основных типа:

Мы изучим каждую из этих систем по порядку.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1. Числа в этой системе имеют основание 2. Цифры 0 и 1 называются битами, а 8 битов вместе составляют байт. Данные в компьютерах хранятся в битах и ​​байтах.Двоичная система счисления не работает с другими числами, такими как 2,3,4,5 и так далее. Например: \ (10001_2, 111101_2, 1010101_2 \) — примеры чисел в двоичной системе счисления.

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления используются восемь цифр: 0,1,2,3,4,5,6 и 7 с основанием 8. Преимущество этой системы состоит в том, что она имеет меньшее количество цифр по сравнению с несколькими другими системами, следовательно, было бы меньше вычислительных ошибок.Такие числа, как 8 и 9, не входят в восьмеричную систему счисления. Как и двоичная, в миникомпьютерах используется восьмеричная система счисления, но с цифрами от 0 до 7. Например: \ (35_ {8}, 923_ {8}, 141_ {8} \) — некоторые примеры чисел в восьмеричной системе счисления. система счисления.

Десятичная система счисления

В десятичной системе счисления используются десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9 с основным числом 10. Десятичная система счисления — это система, которую мы обычно используем для представления чисел в реальная жизнь.Если какое-либо число представлено без основания, это означает, что его основание равно 10. Например: \ (723_ {10}, 32_ {10}, 4257_ {10} \) — некоторые примеры чисел в десятичной системе счисления.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления использует шестнадцать цифр / алфавитов: 0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9 и A, B, C, D, E, F с основным числом 16. Здесь , AF в шестнадцатеричной системе счисления означает числа 10-15 десятичной системы счисления соответственно.Эта система используется в компьютерах для уменьшения больших строк двоичной системы. Например: \ (7B3_ {16}, 6F_ {16}, 4B2A_ {16} \) — некоторые примеры чисел в шестнадцатеричной системе счисления.

Правила преобразования систем счисления

Число может быть преобразовано из одной системы счисления в другую. Подобно тому, как двоичные числа могут быть преобразованы в восьмеричные числа и наоборот, восьмеричные числа могут быть преобразованы в десятичные числа и наоборот, и так далее.Давайте посмотрим, какие шаги необходимы для преобразования этих систем счисления.

Преобразование двоичной / восьмеричной / шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления

Чтобы преобразовать число из двоичной / восьмеричной / шестнадцатеричной системы в десятичную, мы используем следующие шаги. Шаги показаны на примере числа в двоичной системе счисления.

Пример:

Преобразовать \ (100111_2 \) в десятичную систему.

Решение:

Шаг 1: Определите основание данного числа.Здесь основание \ (100111_2 \) равно 2.

Шаг 2: Умножьте каждую цифру данного числа, начиная с крайней правой цифры, на степень основания. Показатели должны начинаться с 0 и увеличиваться на 1 каждый раз при движении справа налево. Поскольку основание здесь 2, мы умножаем цифры данного числа на 2 ⁰ , 2 ¹ , 2 ² и так далее справа налево.

Шаг 3: Мы просто упрощаем каждый из перечисленных выше продуктов и добавляем их.0) \ [0,3 см]
& = (1 \ times 32) + (0 \ times 16) + (0 \ times 8) + (1 \ times 4) + (1 \ times 2) + (1 \ times 1) \\ [0,3 см]
& = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 \ [0,3 см]
& = 39
\ end {align} \]
Таким образом,

\ (\, следовательно, 100111_2 = 39_ {10} \)

Преобразование десятичной системы счисления в двоичную / восьмеричную / шестнадцатеричную систему счисления

Чтобы преобразовать число из десятичной системы счисления в двоичную / восьмеричную / шестнадцатеричную систему счисления, мы используем следующие шаги.Показаны шаги по преобразованию числа из десятичной системы в восьмеричную.

Пример:

Преобразует \ (4320_ {10} \) в восьмеричную систему.

Решение:

Шаг 1: Определите основание необходимого числа. Поскольку мы должны преобразовать данное число в восьмеричную систему, основание требуемого числа — 8.

Шаг 2: Разделите данное число на основание требуемого числа и запишите частное и остаток в форме частичного остатка.Повторите этот процесс (снова разделив частное на основание), пока мы не получим частное меньше, чем основание.

Шаг 3: Данное число в восьмеричной системе счисления получается простым чтением всех остатков и последнего частного снизу вверх.

\ (\, следовательно, 4320_ {10} = 10340_ {8} \)

Преобразование одной системы счисления в другую систему счисления

Чтобы преобразовать число из одной из двоичных / восьмеричных / шестнадцатеричных систем в одну из других систем, мы сначала преобразуем его в десятичную систему, а затем преобразуем его в требуемые системы, используя вышеупомянутые процессы.

Пример:

Преобразовать \ (1010111100_2 \) в шестнадцатеричную систему.

Решение:

Шаг 1: Преобразуйте это число в десятичную систему счисления, как описано выше.

Таким образом, \ [1010111100_2 = 700_ {10} \ rightarrow (1) \]

Шаг 2: Преобразуйте указанное выше число (в десятичной системе) в требуемую систему счисления.

Здесь мы должны преобразовать \ (700_ {10} \) в шестнадцатеричную систему, используя вышеупомянутый процесс.Следует отметить, что в шестнадцатеричной системе числа 11 и 12 записываются как B и C соответственно.

Таким образом, \ [700_ {10} = 2BC_ {16} \ rightarrow (2) \]

Из уравнений (1) и (2) \ (1010111100_2 = 2BC_ {16} \)

Рекомендуемые темы:

Ниже приведены несколько рекомендуемых тем, связанных с концепцией систем счисления:

Системы счисления — Викиверситет

Ознакомьте учащегося с методом выражения чисел и преобразуйте один метод в другой.

Метод записи чисел называется «системой счисления». В наиболее распространенной системе счисления мы пишем числа с комбинациями из 10 символов {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Эти символы называются цифрами, а числа, выраженные с помощью 10 цифр, называются десятичными числами или числами с основанием 10. Другие наиболее распространенные системы счисления — двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная. Двоичная система счисления или система счисления с основанием 2 представляет числовые значения с использованием двух символов: 0 и 1. Более конкретно, обычная система счисления с основанием 2 представляет собой позиционную систему счисления с основанием 2.Благодаря простой реализации в цифровых электронных схемах с использованием логических вентилей, двоичная система используется внутри почти всех современных компьютеров.

В первом обсуждаемом методе мы записываем числа с комбинациями из 10 символов {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, называемых цифрами. Числа, которые выражаются 10 цифрами, называются числами с основанием 10 или десятичной системой счисления.
Например:

2 (одна цифра)

45 (две цифры)

643 (трехзначный)

8785 (четыре цифры)

и т. Д.3 = 1000

и т. Д.

Например:

20 = (2 * 10) + (0 * 1) = 20 + 0 = 20

456 = (4 * 100) + (5 * 10) + (6 * 1) = 400 + 50 + 6

84568 = (8 * 10000) + (4 * 1000) + (5 * 100) + (6 * 10) + (8 * 1) = 80000 + 4000 + 500 + 60 + 8

Числа, выраженные двумя символами (0, 1), называются двоичными числами или числами с основанием 2.

Например:

1 (однозначное считывание: 1)

10 (двузначное чтение: 1, 0)

100 (трехзначное чтение: 1,0,0)

1101 (четырехзначное чтение: 1, 1, 0, 1)

и т. Д.0) = 1 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 59 → 111011 (двоичный) = 59 (десятичный )

Преобразование десятичного числа в двоичное [править | править источник]

Для преобразования десятичного числа в двоичное

Разделите десятичное число на 2

• Если есть остаток, крайний правый столбец будет 1
• Если нет остатка, крайний правый столбец будет 0.

Затем повторите процесс, перемещая один столбец влево каждый раз, пока вы не разделите его до 1.

Пример 1
15/2 = 7 остаток 1 (двоичное число = ??? 1)
7/2 = 3 остатка 1 (двоичное число = ?? 11)
3/2 = 1 остаток 1 (двоичное число =? 111)
Окончательный результат всегда будет 1 в крайнем левом столбце (двоичное число = 1111)

Пример 2
74/2 = 37 остаток 0 (двоичное число = ?????? 0)
37 / 2 = 18 остаток 1 (двоичное число = ????? 10)
18/2 = 9 остаток 0 (двоичное число = ???? 010)
9/2 = 4 остаток 1 (двоичное число = ??? 1010)
4/2 = 2 остатка 0 (двоичное число = ?? 01010)
2/2 = 1 остаток 0 (двоичное число =? 001010)
Окончательный результат всегда будет 1 в крайнем левом столбце (двоичное число = 1001010 )

NB — Хотя я ставил? на каждом этапе вы не узнаете, сколько столбцов необходимо, пока не завершите процесс.

Чтобы быстро узнать, сколько столбцов необходимо, найдите наибольший множитель 2, который меньше десятичного числа, с которого вы начали, например
Пример 1: Наибольший множитель меньше 74 равен 64, что равно 2 в степени 6. Поскольку крайний правый столбец равен 2 в степени 0, это означает, что нам нужно 7 столбцов.

Шестнадцатеричная система счисления [править | править источник]

Числа, написанные с помощью 16 символов {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F}, называются числами с основанием 16. Например:

A (одна цифра)

B5 (две цифры)

6C3 (трехзначный)

AF85 (четыре цифры)

и т. Д.0) = 10 * 4096 + 15 * 256 + 8 * 16 + 5 * 1 = 40960 + 3840 + 128 + 5 = 44933 → AF85 (шестнадцатеричный) = 44933 (десятичный)

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное [править | править источник]

Для преобразования десятичного числа в шестнадцатеричное

• Разделите десятичное число на 16 — полученный остаток является последним шестнадцатеричным значением.

• Затем частное делится на 16, чтобы получить другой остаток. Как и при двоичном вычислении, значения читаются справа налево (первое значение остатка — последнее в шестнадцатеричном числе, затем предпоследнее, третье до последнего и т. Д.)

• Процесс завершается, когда достигается значение дивиденда (числитель) меньше 16. Если продолжить деление на 16, получится неделимое частное 0.

• Помните, что 10-15 представлены как односимвольные «числа» в шестнадцатеричной системе. A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 — остатки должны отражать соответствующее шестнадцатеричное значение.

Примеры

• Десятичный 15

o остаток 15/16 равен 15 (> 16, поэтому процесс завершается), поэтому «числовое» значение равно F

• Десятичное число 16

o остаток 16/16 равен 0 [шестнадцатеричный? 0]

o Затем частное от 1 делится — 1/16, в результате чего остается 1 (частное равно 0, поэтому процесс завершается) [шестнадцатеричное 10]

• Десятичное число 45

o 45/16 — остаток 13 [шестигранник? D]

o Коэффициент 2 | 2/16 — остаток 2 [шестнадцатеричное 2D]

• Десятичное число 47825

o 47825/16 — остаток 1 [шестнадцатеричный ??? 1]

o Частное 2989 | 2989/16 — остаток 13 [шестнадцатеричный ?? D1]

o Частное 186 | 186/16 — остаток 10 [шестнадцатеричный? AD1]

o Коэффициент 11 | 11/16 — остаток 11 [шестнадцатеричный BAD1]

двоичная система счисления | Энциклопедия.com

Двоичная система счисления, также называемая системой счисления с основанием 2 и , представляет собой метод представления чисел, который считается с использованием комбинаций только двух цифр: нуля (0) и единицы (1). Компьютеры используют двоичную систему счисления для управления и хранения всех своих данных, включая числа, слова, видео, графику и музыку.

Термин «бит», наименьшая единица цифровой техники, означает «двоичную цифру». Байт — это группа из восьми бит. Килобайт равен 1024 байтам или 8192 битам.

Используя двоичные числа, 1 + 1 = 10, потому что «2» не существует в этой системе. Другая система счисления, обычно используемая десятичная система счисления или система счисления с основанием 10, , считает, используя 10 цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), поэтому 1 + 1 = 2 и 7 + 7 = 14. Другая система счисления, используемая программистами, — это шестнадцатеричная система счисления с основанием 16 , в которой используется 16 символов (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F), поэтому 1 + 1 = 2 и 7 + 7 = E. Системы счисления с основанием 10 и 16 более компактны, чем двоичная.Программисты используют шестнадцатеричную систему счисления как удобный и более компактный способ представления двоичных чисел, потому что ее очень легко преобразовать из двоичной системы в шестнадцатеричную и наоборот. Сложнее преобразовать из двоичного в десятичное и из десятичного в двоичное.

Достоинством двоичной системы является ее простота. Вычислительное устройство может быть создано из всего, что имеет ряд переключателей, каждый из которых может переключаться между положением «включено» и положением «выключено». Эти переключатели могут быть электронными, биологическими или механическими, если их можно перемещать по команде из одного положения в другое.Большинство компьютеров имеют электронные переключатели.

Когда переключатель находится в положении «включено», он представляет значение единицы, а когда переключатель находится в положении «выключено», он представляет значение нуля. Цифровые устройства выполняют математические операции, включая и выключая двоичные переключатели. Чем быстрее компьютер может включать и выключать переключатели, тем быстрее он выполняет свои вычисления.

9047 3 9047 3 9047 3 9047 3 9047

9047 9047 9047 9047 13473

Позиционная нотация

Каждая цифра в двоичном числе принимает значение, которое зависит от его позиции .Это называется позиционным обозначением. Это понятие также применимо к десятичным числам.

Например, десятичное число 123 представляет десятичное значение 100 + 20 + 3. Число один представляет сотни, число два представляет десятки, а число три представляет единицы. Математическая формула для создания числа 123 может быть создана путем умножения числа в столбце сотен (1) на 100 или 10 ² ; умножение числа в
столбец десятков (2) на 10, или 10 ¹ ; умножение числа в столбце единиц (3) на 1, или 10 ⁰ ; а затем сложить продукты вместе.Формула: 1 × 10 ² + 2 × 10 ¹ + 3 × 10 ⁰ = 123.

Это показывает, что каждое значение умножается на основание (10) в возрастающей степени. Значение мощности начинается с нуля и увеличивается на единицу в каждой новой позиции в формуле.

Эта концепция позиционного обозначения также применима к двоичным числам с той разницей, что основание равно 2. Например, чтобы найти десятичное значение двоичного числа 1101, формула имеет вид 1 × 2 ³ + 1 × 2 ² + 0 × 2 ¹ + 1 × 2 ⁰ = 13.

Двоичные операции

Двоичными числами можно управлять с помощью тех же знакомых операций, которые используются для вычисления десятичных чисел, но с использованием только нулей и единиц. Чтобы сложить два числа, нужно запомнить только четыре правила:

Поэтому, чтобы решить следующую задачу сложения, начните с самого правого столбца и сложите 1 + 1 = 10; запишите 0 и перенесите 1. Работая с каждым столбцом слева, продолжайте добавлять, пока проблема не будет решена.

Чтобы преобразовать двоичное число в десятичное, каждая цифра умножается на степень двойки.Затем продукты складываются. Например, чтобы преобразовать двоичное число 11010 в десятичное, формула будет иметь следующий вид:

Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, разделите двоичное число на группы по четыре, начиная справа, а затем преобразуйте каждую группу в свое шестнадцатеричный эквивалент. Слева от двоичного числа можно добавить нули, чтобы завершить группу из четырех человек. Например, чтобы перевести число 11010 в шестнадцатеричное, формула будет иметь следующий вид:

Цифровые данные

Биты являются фундаментальным элементом цифровых вычислений.Термин «оцифровка» означает преобразование аналогового сигнала — диапазона напряжений — в цифровой сигнал,
или ряд чисел, представляющих напряжения. Музыкальное произведение можно оцифровать, взяв из него очень частые сэмплы, называемые сэмплами, и переведя их в дискретных чисел, которые затем преобразуются в нули и единицы. Если сэмплы берутся очень часто, музыка при воспроизведении звучит как непрерывный тон.

Черно-белую фотографию можно оцифровать, наложив на изображение мелкую сетку и вычислив количество серого на каждом пересечении сетки, называемое пикселем .Например, используя 8-битный код, чисто белая часть изображения может быть оцифрована как 11111111. Аналогичным образом, чисто черная часть может быть оцифрована как 00000000. Каждое из 254 чисел, находящихся между этими двумя крайностями. (числа от 00000001 до 11111110) представляет собой оттенок серого. Когда приходит время восстановить фотографию, используя набор двоичных цифр, компьютер декодирует изображение, назначает правильный оттенок серого каждому пикселю, и изображение появляется. Чтобы улучшить разрешение, можно использовать более мелкую сетку, чтобы изображение можно было увеличить до большего размера без потери деталей.

Цветная фотография оцифровывается аналогичным образом, но для сохранения цвета пикселя требуется гораздо больше битов. Например, 8-битная система использует восемь битов, чтобы определить, какой из 256 цветов представлен каждым пикселем (2 ⁸ равно 256). Точно так же 16-битная система использует шестнадцать битов для определения каждого из 65 536 цветов (2 ¹⁶ равно 65 536). Поэтому для цветных изображений требуется гораздо больше места для хранения, чем для черно-белых.

см. Также Ранние компьютеры; Объем памяти.

Энн МакИвер МакХоуз

Библиография

Блиссмер, Роберт Х. Знакомство с компьютерными концепциями, системами и приложениями. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., 1989.

Диллиган, Роберт Дж. Вычислительная техника в эпоху Интернета: интерактивное веб-введение. New York: Plenum Press, 1998.

White, Ron. Как работают компьютеры: издание тысячелетия. Индианаполис: Que Corporation, 1999.

Натуральные, Целые, Рациональные, Иррациональные, Действительные и другие числа

Натуральные числа

натуральные (или , считая ) числа — это 1,2,3,4,5 и т. Д.Есть бесконечно
много натуральных чисел. Набор натуральных чисел, {1,2,3,4,5, …},
иногда для краткости пишут N .

целых чисел — натуральные числа вместе с 0.

(Примечание: некоторые учебники расходятся во мнениях и говорят, что натуральные числа включают 0.)

Сумма
любые два натуральных числа также являются натуральными числами (например, 4 + 2000 = 2004), а произведение любых двух натуральных чисел
натуральное число (4 × 2000 = 8000). Этот
однако это неверно для вычитания и деления.

Целые числа

целых чисел — это набор действительных чисел, состоящий из натуральных чисел, их аддитивных обратных чисел и нуля.

{…, — 5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5, …}

Набор целых чисел иногда
написано J или Z для краткости.

сумма, произведение и разность любых двух целых чисел также являются целыми числами. Но это не относится к делению … просто попробуйте 1 ÷ 2.

Рациональные числа

рациональных чисел
те числа, которые можно выразить как отношение между
два целых числа.Например, дроби 13 и −11118 являются
рациональное число. Все числа входят в рациональные числа,
поскольку любое целое число z можно записать как отношение z1.

Все десятичные дроби, которые заканчиваются, являются рациональными числами (с версии 8.27 можно записать как 827100.) Десятичные дроби
которые после некоторой точки имеют повторяющийся узор, также являются рациональными:
например,

0,0833333 …. = 112.

Множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех основных операций, то есть для любых двух рациональных чисел их
сумма, разница, произведение и частное также являются рациональным числом
(пока мы не делим на 0).

Иррациональные числа

Иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде отношения (или дроби). В десятичной форме он никогда не заканчивается и не повторяется. В
древние греки обнаружили, что не все числа рациональны; там
— это уравнения, которые нельзя решить с помощью отношений целых чисел.

Первое такое уравнение
для изучения было 2 = x2. Какие
само число раз равно 2?

2 является
около 1,414, поскольку 1,4142 = 1,999396, что близко к
2. Но вы никогда не попадете точно, возведя дробь в квадрат (или завершив
десятичный).Квадратный корень из 2 — иррациональное число, то есть его
десятичный эквивалент продолжается вечно, без повторяющегося образца:

2 = 1,41421356237309 …

Другой известный иррациональный
числа золотое сечение , число с большим
значение для биологии:

1 + 52 = 1,61803398874989 …

π (пи),
отношение длины окружности к ее диаметру:

π = 3,14159265358979 …

и е,
самое важное число в исчислении:

е = 2.71828182845904 …

Иррациональные числа могут быть далее подразделены на алгебраических числа, которые являются решениями некоторого полиномиального уравнения (например, 2 и золотое сечение), и трансцендентных чисел, которые не являются решениями какого-либо полиномиального уравнения. π и e оба трансцендентны.

Реальные числа

Действительные числа — это набор чисел, содержащий все рациональные числа и все иррациональные числа. Настоящие числа — это «все числа» в числовой строке.Существует бесконечно много действительных чисел, как и бесконечно много чисел в каждом из других наборов чисел. Но можно доказать, что бесконечность действительных чисел на больше бесконечности.

«Меньший»,
или счетных бесконечности целых чисел и
rationals иногда называют ℵ0 (alef-naught),
и бесчисленных бесконечности реалов
называется ℵ1 (алеф-он).

Есть еще «большие» бесконечности,
но для этого вам следует пройти курс теории множеств!

Комплексные числа

Комплексные числа
— множество {a + bi | a и b — действительные числа}, где i — мнимая единица, −1.(нажмите здесь, чтобы
подробнее о мнимых числах и операциях с комплексными числами).

Комплексные числа включают набор действительных чисел. Действительные числа в сложной системе записываются в виде a + 0i = a. реальное число.

Этот набор иногда бывает
записывается как C для краткости. Набор комплексных чисел
важно, потому что для любого полинома p (x) с коэффициентами действительного числа все решения p (x) = 0 будут в C .

За гранью …

Есть и «большие» наборы
чисел, используемых математиками.Кватернионы ,
открытые Уильямом Х. Гамильтоном в 1845 году, образуют систему счисления с тремя
разные мнимые единицы!

Amazon.com: Беспроводная система набора номера с 2-значным дисплеем и кнопкой «Далее» Ycall: Офисные продукты

Размер: 2-х значный приемник +1 кнопка вызова

Отдать дополнительную кнопку NEXT в качестве запасной, так что пакет включает в себя 1 дисплей с номером билета и 2 кнопки вызова.

Как работает система управления очередью?
1. Клиент идет на СТО и берет номерной билет на термопринтере.
2. Клиент ждет их обслуживания.
3. Когда наступит их очередь, работник счетчика нажмет передатчик «Далее», чтобы позвонить.
4. Номер клиента отобразится на экране дисплея со звуковым сопровождением, чтобы клиент знал, на какой стойке он должен присутствовать.

Полный комплект включает:
(1) Дисплей Монитор
Для отображения номера билета.
(2) Пульт дистанционного управления
Для вызова номеров билетов один за другим.
(3) Винт
Для крепления дисплея на столе или стене.
(4) Адаптер для дисплея (5) Открывашка для кнопки следующего вызова
Для замены новой батареи 12 В 23 А, когда она разряжена.
(6) Руководство пользователя на английском языке

Характеристики:
1 Применение: ресторан, кафе, сеть быстрого питания, ресторанный дворик, KTV, паб, сервисный центр, поликлиника, супермаркет. Обеспечивает ярмарку, организованное и эффективное обслуживание клиентов.
2 Материал: ABS
3 Преимущество: позволяет не стоять в длинной очереди
4 Размер дисплея: 29 * 15.5 * 4 см
Размер кнопки: 6 * 6 * 2 см
5 Упаковочная коробка: 40 * 19,5 * 5,5 см

Спецификация дисплея K-Q12:
Светодиодный индикатор счетчика для очередей
1. Беспроводной приемник сигнала
2,2-значный номер
3 .Показать текущий телефонный номер
4.Можно указать зону ожидания для обозначения клиента.
5. Сенсорный экран и голосовая подсказка на английском языке.
6. Можно установить на стену и стол.
7.110V-240V Источник питания
8.Рабочее напряжение: DC12V
9.Размеры: 29 * 15,5 * 4 см
10.С высокопрочным корпусом из АБС-пластика

Спецификация кнопки K-N next:
Водонепроницаемая кнопка вызова
Простота работы с аккумулятором
Гладкая поверхность для пластикового корпуса
Добавляйте цифры по одному
Размер: 60 * 60 * 20 мм

Системы счисления и система Base-Ten — Видео и стенограмма урока

Использование нашей десятичной системы счисления

Мы называем системы счисления на основе количества цифр, которые используются в системе. Наша стандартная система счисления называется с десятичным основанием , потому что в нем десять основных цифр.Это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Любое число больше 9, и мы должны перейти в другой слот.

В прошлом вы, вероятно, слышали о разных слотах для цифр. Первый слот слева от десятичной дроби предназначен для единиц. Второй — на десятки. Третий — на сотни и так до бесконечности. Это кажется довольно универсальным, но правда в том, что он работает только с числами в десятичном формате. Так как бы выглядели другие системы? Давайте взглянем.

Построение двоичной системы

Компьютеры могут быть довольно умными, но каждый чип в компьютере способен ответить только на один вопрос: включен или выключен? Мы выражаем эту идею включения или выключения (или да или нет, если вы предпочитаете этот вопрос) с помощью единиц и нулей.

Компьютер не может обработать десятичное число, поэтому первое, что он делает, — это доводит его до понимания, которое он может понять. Это число с основанием два, также называемое двоичным числом . В то время как числа с основанием десять имеют 10 возможных цифр, число с основанием два состоит только из двух: 0 и 1. Давайте посмотрим, как это работает. Если бы вы записали ноль в системе счисления два, вы бы просто написали 0. Теперь, если бы вы написали единицу, вы бы просто написали 1.

Но здесь все становится сложным.Как бы вы написали два? Вы не можете написать 2, потому что в основании два нет символа для двух. Вместо этого вам нужно переместить точку влево и написать 1. Это слот для двоек. Вы должны написать ноль в месте с единицами, точно так же, как с числом десять по основанию десять, число полностью выражается в том предыдущем слоте. В то время как слоты в базе десять идут в единицах, десятках, сотнях, тысячах; слоты в базе два идут на единицы, двойки, четверки, восьмерки, шестнадцать и так далее.

Сделаем большее число. Допустим, вы хотели записать одиннадцать по основанию два.Сначала нарисуйте несколько пробелов и напишите под каждым, какое место над каждым проходит. Предположим, вы нарисовали одну для восьмерок, четверок, двоек и единиц; итого четыре заготовки. Работая слева направо, вычтите значение из 11. Восемь превратится в 11 один раз, поэтому запишите 1 в разряде восьмерок. Затем двигайтесь на четвереньках. Теперь у вас осталось только три. Четыре войдут в тройку? Нет, так напиши 0. Теперь двойки. Два войдут в тройку? Да, так что напишите 1. Наконец, у вас остался 1; когда вы войдете в 1, напишите 1 в месте единиц.Следовательно, 1011 — это одиннадцать в двоичном формате.

Создание систем счисления

Эта концепция урока все еще может быть немного нечеткой в ​​вашем мозгу, поэтому мы собираемся построить еще две разные системы счисления, каждая с парой примеров. Во-первых, давайте посмотрим на систему с основанием четыре. Это тот, который использует числа 0, 1, 2 и 3. Предположим, вы хотите записать число тридцать по основанию четыре. Что бы вы сделали? Сначала определите свои слоты. В системе с основанием четыре это будут четверки, шестнадцать и шестьдесят четыре.Если вы не заметили, все, что вы делаете, это умножение последнего определенного слота на базовую систему.

Во-вторых, начиная слева, двигайтесь дальше. Шестьдесят четыре войдут в 30? Нет, так что напишите 0. Будет ли шестнадцать на 30? Да, один раз, так что напишите 1. Переходите на четвереньки. Сколько раз четыре войдут в 14? Три, так что напишите 3. Наконец, у вас останется 2, так что напишите это в последнем месте. Это означает, что 30 в системе с основанием четыре — это 0132.

Давайте теперь рассмотрим систему с основанием пять, но давайте преобразуем 206 в систему с основанием пять.Во-первых, какими, по вашему мнению, должны быть наши слоты? Пять, двадцать пять, сто двадцать пять. Не забудьте поставить дополнительный слот в крайнем правом углу для любых остатков, как и наши юниты в десятичной системе счисления.

Теперь к вопросам. Сколько раз сто двадцать пять войдут в число 206? Один раз поставьте 1 в этом месте. Остается 81. Сколько раз двадцать пять попадут в 81? Три, поэтому напишите 3. У нас останется 6. Пять войдут один раз, то есть мы можем написать 1, а затем у нас будет 1 в качестве остатка.Следовательно, 206 в системе счисления 5 — это 1311.

Резюме урока

В этом уроке мы рассмотрели, как работает система счисления . Система счисления позволяет нам писать с местами и снова использовать те же числа, вместо того, чтобы запоминать бесконечное количество чисел.

Мы склонны использовать стандартную систему счисления, называемую с основанием десяти и , потому что существует десять основных цифр, но другие системы счисления, такие как основание два, четыре и пять, тем не менее, важны. Компьютеры используют систему с основанием два, также известную как двоичная система .

Помните, как наши слоты — это единицы, десятки, сотни и так далее, другие базы используют слоты на основе их собственных максимальных чисел. Следовательно, двоичная система — это единицы, двойки, четверки, восьмерки и так далее, а система с основанием пять — это единицы, пятерки, двадцать пять и сто двадцать пять.

Номер Обзор систем

Результаты обучения

Установите эти цели, просматривая урок выше:

• Экспресс-знание числовой системы
• Используйте десятичную систему счисления
• Построение двоичной и числовой систем

.