Операнды имеют неприводимые типы: Выдаёт ошибку:операнды имеют неприводимые типы.Где я ошиблась?(Программа написана на языке

Содержание

перевод на русский, синонимы, антонимы, произношение, примеры предложений, транскрипция, значение, словосочетания

Following the equal sign are the elements to be calculated (the operands), such as constants or cell references. These are separated by calculation operators. Элементы, следующие за знаком равенства, являются используемыми в расчетах операндами (например, константами или ссылками на ячейки), которые разделяются операторами вычислений.
Alternatively, operands may be included in the thread. Кроме того, в поток могут быть включены операнды.
Where the handler operands include both values and types, the space savings over direct-threaded code may be significant. Там, где операнды обработчика включают как значения, так и типы, экономия места по сравнению с прямым потоковым кодом может быть значительной.
A quirk in the AT&T syntax for x86 is that x87 operands are reversed, an inherited bug from the original AT&T assembler. Причуда синтаксиса AT&T для x86 заключается в том, что операнды x87 реверсируются, наследуемая ошибка от исходного ассемблера AT&T.
fsubr and fdivr should be singled out as first swapping the source operands before performing the subtraction or division. fsubr и fdivr должны быть выделены как первая замена исходных операндов перед выполнением вычитания или деления.
In other words, it produces a value of true if at least one of its operands is false. Другими словами, он выдает значение true, если хотя бы один из его операндов является ложным.
In other words, it produces a value of false if at least one of its operands is true. Другими словами, он выдает значение false, если хотя бы один из его операндов истинен.
For instance, in an addition operation, one needs two operands, A and B. Each can have one of two values, zero or one. Например, в операции сложения требуется два операнда, A и B. Каждый из них может иметь одно из двух значений, ноль или один.
Moreover, when the dots stand for a logical symbol ∧ its left and right operands have to be deduced using similar rules. Более того, когда точки обозначают логический символ, его левый и правый операнды должны быть выведены по сходным правилам.
Descending precedence refers to the priority of the grouping of operators and operands. Нисходящий приоритет относится к приоритету группировки операторов и операндов.
Many operations require one or more operands in order to form a complete instruction. Для формирования полной инструкции многим операциям требуется один или несколько операндов.
Most assemblers permit named constants, registers, and labels for program and memory locations, and can calculate expressions for operands. Большинство ассемблеров допускают именованные константы, регистры и метки для программ и ячеек памяти, а также могут вычислять выражения для операндов.
In addition, except explicit load from memory instructions, the order of operand usage is identical with the order of the operands in the data stack. Кроме того, за исключением явной загрузки из памяти инструкций, порядок использования операндов идентичен порядку использования операндов в стеке данных.
AVX introduces a three-operand SIMD instruction format, where the destination register is distinct from the two source operands. AVX вводит формат команд SIMD с тремя операндами, где регистр назначения отличается от двух исходных операндов.
The alignment requirement of SIMD memory operands is relaxed. Требование выравнивания операндов памяти SIMD ослаблено.
Given two operands, each with two possible values, there are 22 = 4 possible combinations of inputs. При наличии двух операндов, каждый из которых имеет два возможных значения, существует 22 = 4 возможных комбинации входных данных.
Logical conjunction is an operation on two logical values, typically the values of two propositions, that produces a value of true if both of its operands are true. Логическая конъюнкция-это операция над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая производит значение true, если оба ее операнда истинны.
The logical NAND is an operation on two logical values, typically the values of two propositions, that produces a value of false if both of its operands are true. Логический NAND-это операция над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая производит значение false, если оба его операнда истинны.
The logical NOR is an operation on two logical values, typically the values of two propositions, that produces a value of true if both of its operands are false. Логическое ни-это операция над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая производит значение true, если оба ее операнда ложны.
Each instruction typically consists of an operation or opcode plus zero or more operands. Каждая инструкция обычно состоит из операции или кода операции плюс ноль или более операндов.
It does not need any parentheses as long as each operator has a fixed number of operands. Он не нуждается в круглых скобках, пока каждый оператор имеет фиксированное число операндов.
The operators are assumed to have a fixed arity each, and all necessary operands are assumed to be explicitly given. Предполагается, что операторы имеют фиксированную арность каждый, и все необходимые операнды должны быть явно заданы.
The leaves of a binary expression tree are operands, such as constants or variable names, and the other nodes contain operators. Листья дерева двоичных выражений являются операндами, такими как константы или имена переменных, а другие узлы содержат операторы.
The values of the outer local variables can be passed by providing additional closed operands to the agent. Значения внешних локальных переменных можно передавать, предоставляя агенту дополнительные закрытые операнды.
Другие результаты
For very large numbers, these simple methods are inefficient because they perform a large number of multiplications or divisions where one operand is very large. Для очень больших чисел эти простые методы неэффективны, потому что они выполняют большое число умножения или деления, где один операнд очень большой.
These operators return the value of the last operand evaluated, rather than True or False. Эти операторы возвращают значение последнего вычисленного операнда, а не True или False.
Like the integers, the first operand is both the first source operand and the destination operand. Как и целые числа, первый операнд является одновременно первым исходным операндом и целевым операндом.
Integer instructions can also accept one memory parameter as a destination operand. Целочисленные инструкции также могут принимать один параметр памяти в качестве конечного операнда.
Each jump operation has three different forms, depending on the size of the operand. Каждая операция перехода имеет три различных вида, в зависимости от размера операнда.
A short jump uses an 8-bit signed operand, which is a relative offset from the current instruction. Короткий переход использует 8-битный знаковый операнд, который является относительным смещением от текущей инструкции.
Also, note that the immediate, unparenthesized result of a C cast expression cannot be the operand of sizeof. Кроме того, обратите внимание, что непосредственный, непарентизированный результат выражения приведения C не может быть операндом sizeof.
Some of the density of Burroughs B6700 code was due to moving vital operand information elsewhere, to ‘tags’ on every data word or into tables of pointers. Некоторая плотность кода Burroughs B6700 была обусловлена перемещением жизненно важной информации операндов в другое место, в теги на каждом слове данных или в таблицы указателей.
For subtraction and division, which are not commutative, the first operand is given to the left of the table, while the second is given at the top. Для вычитания и деления, которые не являются коммутативными, первый операнд задается слева от таблицы, а второй-сверху.
Because it discards its first operand, it is generally only useful where the first operand has desirable side effects that must be sequenced before the second operand. Поскольку он отбрасывает свой первый операнд, он обычно полезен только там, где первый операнд имеет желательные побочные эффекты, которые должны быть упорядочены перед вторым операндом.
The machine description file contains RTL patterns, along with operand constraints, and code snippets to output the final assembly. Файл описания машины содержит шаблоны RTL, а также ограничения операндов и фрагменты кода для вывода окончательной сборки.
Bypassing is also known as operand forwarding. Обход также известен как пересылка операндов.
For example, the operator reduce is denoted by a forward slash and reduces an array along one axis by interposing its function operand. Например, оператор reduce обозначается прямой косой чертой и уменьшает массив вдоль одной оси, вставляя его операнд функции.
PostScript’s exec operator takes an operand — if it is a simple literal it pushes it back on the stack. Оператор exec PostScript принимает операнд — если это простой литерал, он возвращает его в стек.
But operand loads are separate and so stack code requires roughly twice as many instructions as the equivalent code for register machines. Но нагрузки операндов разделены, и поэтому код стека требует примерно вдвое больше инструкций, чем эквивалентный код для регистровых машин.
In the first example, the operand 61h is a valid hexadecimal numeric constant and is not a valid register name, so only the B0 instruction can be applicable. В первом примере операнд 61h является допустимой шестнадцатеричной числовой константой и не является допустимым именем регистра, поэтому может применяться только инструкция B0.
Vector subtraction is performed by adding the scalar multiple of −1 with the second vector operand to the first vector operand. Векторное вычитание выполняется путем сложения скалярного кратного -1 со вторым векторным операндом к первому векторному операнду.
Scalar division is performed by multiplying the vector operand with the numeric inverse of the scalar operand. Скалярное деление выполняется путем умножения векторного операнда на числовое значение, обратное скалярному операнду.
A valid prefix expression always starts with an operator and ends with an operand. Допустимое префиксное выражение всегда начинается с оператора и заканчивается операндом.
The rightmost operand in a valid prefix expression thus empties the stack, except for the result of evaluating the whole expression. Самый правый операнд в допустимом префиксном выражении, таким образом, опустошает стек, за исключением результата вычисления всего выражения.
If the symbol is an operand, a one-node tree is created and its pointer is pushed onto a stack. Если символ является операндом, то создается одноузловое дерево и его указатель помещается в стек.
The choice of which operations to apply the operand to, is determined by the associativity of the operators. Выбор того, к каким операциям применить операнд, определяется ассоциативностью операторов.
An operand of a conjunction is a conjunct. Операнд конъюнкции — это конъюнкт.
There are enough similarities in the modus operandi to rule out unrelated crimes. Почерк убийств имеет достаточно сходств, для того, чтобы исключить несвязанные между собой преступления.
Motive and modus operandi would be significantly more difficult to sell. Найти правдоподобные мотивы в сочетании с образом действия будет значительно сложнее.
It did not strike me as the modus operandi I would expect were the killer an expert who thrived on taking risks. Это поразило меня, так как не соответствовало поведению убийцы-профессионала, который любил игры, сопряженные с риском.
More importantly, however, consider the time and money that can be saved if we only change our modus operandi in that regard. Однако более важное значение имеет необходимость подумать о времени и средствах, которые могут быть сэкономлены в результате изменения наших методов работы в этой связи.
It is that modus operandi which encourages, inter alia, the participation of children in armed conflicts and their use as soldiers. Такой способ действия способствует, среди прочего, участию детей в вооруженных конфликтах и их использованию в качестве солдат.
Section 3 of the Guidelines explicitly provides the modus operandi for the implementation of 12 critical areas adopted by BPFA. В разделе З руководящих принципов излагаются методы работы по осуществлению мер в 12 критически важных областях согласно ППД.
This does not stop at the modus operandi alone, but extends to the details of the very fundamental issues underpinning the peace process. Она не ограничивается лишь способом действия, а распространяется на детали самых основополагающих вопросов, составляющих основу мирного процесса.
“Economic bans like that have been a Russian modus operandi for ages in that part of the world,” he says. «В этой части мира Россия давно использует экономические меры для таких целей», — говорит он.
That’s not Beijing’s modus operandi, though, so the tumult may continue for some time. Но Пекин обычно действует иначе, а поэтому суматоха будет какое-то время продолжаться.
It will also be a test as to whether Putin’s appeal to patriotism moves beyond the symbolic towards business figures and bureaucrats actually making changes in their modi operandi. Это будет также тестом, способным определить, выходит ли путинский призыв к патриотизму за рамки символики и затрагивает ли он представителей бизнеса, а также чиновников, которые, собственно, и производят изменения в образе действий (modi operandi).
Their modus operandi matches that of a highly successful team of thieves that the Interpol has dubbed The Hole In The Wall gang for obvious reasons. Сравнение их образа действий привело к очень успешной группе воров, которую в Интерполе называют Дыра в стене, по очевидным причинам.
This is the modus operandi of an aesthete. Это образ действия эстета.
The modus operandi is extremely violent and she uses the most unusual weapons Образ действия чрезвычайно жесток. И она использует самое необычное оружие.

Читать «Java: руководство для начинающих (ЛП)» — Шилдт Герберт — Страница 11

В результате выполнения данной программы на экране появится следующий результат:1.0 gallons is 3.7854 liters.2.0 gallons is 7.5708 liters.3.0 gallons is 11.356200000000001 liters.4.0 gallons is 15.1416 liters.5.0 gallons is 18.927 liters.6.0 gallons is 22.712400000000002 liters.7.0 gallons is 26.4978 liters.8.0 gallons is 30.2832 liters.9.0 gallons is 34.0686 liters.10.0 gallons is 37.854 liters.11.0 gallons is 41.6394 liters.12.0 gallons is 45.424800000000005 liters.13.0 gallons is 49.2102 liters.14.0 gallons is 52.9956 liters.15.0 gallons is 56.781 liters.16.0 gallons is 60.5664 liters.17.0 gallons is 64.3518 liters.18.0 gallons is 68.1372 liters.19.0 gallons is 71.9226 liters.20.0 gallons is 75.708 liters.21.0 gallons is 79.49340000000001 liters.22.0 gallons is 83.2788 liters.24.0 gallons is 90.84960000000001 liters25.0 gallons is 94.635 liters. 26.0 gallons is 98.4204 liters.27.0 gallons is 102.2058 liters.28.0 gallons is 105.9912 liters.29.0 gallons is 109.7766 liters.30.0 gallons is 113.562 liters.Ключевые слова Java

В настоящее время в языке Java определено пятьдесят ключевых слов (табл. 1.1). Вместе с синтаксисом операторов и разделителями они образуют определение языка Java. Ключевые слова нельзя использовать в качестве имен переменных, классов или методов.

Ключевые слова const и goto зарезервированы, но не используются. На ранних этапах развития Java для дальнейшего использования были зарезервированы и другие ключевые слова. Но в текущем определении (так называемой спецификации) Java определены только те ключевые слова, которые представлены в табл. 1.1.

Помимо ключевых слов, в Java зарезервированы также логические значения true, falsennull. Их нельзя использовать для обозначения переменных, классов и других элементов программ.

Таблица 1.1. Ключевые слова JavaabstractassertbooleanbreakbytecasecatchcharclassconstcontinuedefaultdodoubleelseenumextendsfinalfinallyfloatforgotoifimplementsimportinstanceofintinterfacelongnativenewpackageprivateprotectedpublicreturnshortstaticstrictfpsuperswitchsynchronizedthisthrowthrowstransienttryvoidvolatilewhileИдентификаторы в Java

в JavaВ Java идентификатор обозначает имя метода, переменной или элемента, определяемых пользователем. Идентификатор может содержать один или несколько символов. Имя переменной может начинаться с любой буквы, знака подчеркивания или денежной единицы. Далее могут следовать буквы, цифры, знак подчеркивания или денежной единицы. Знак подчеркивания обычно применяется для того, чтобы сделать имя более удобным для восприятия, например line count.

В Java символы нижнего и верхнего регистра различаются, т.е. myvar и MyVar — это имена разных переменных. Ниже приведен ряд примеров допустимых в Java идентификаторов.TestXУ2MaxLoad$up_topmy_varsample23

Как упоминалось выше, идентификатор на может начинаться с цифры. Например, идентификатор 12х недопустим.

В качестве идентификаторов нельзя использовать ключевые слова Java. Для этой цели нельзя использовать также имена стандартных методов, например println. Эти ограничения необходимо соблюдать. Кроме того, профессиональный стиль программирования предполагает употребление имен, отражающих назначение соответствующих элементов. Библиотеки классов Java

В примерах программ, представленных в этой главе, применяются два встроенных в Java метода: println () и print (). Эти методы являются членами класса System, который предопределен в Java и автоматически включается в состав любой программы. В более широком смысле среда Java включает в себя ряд встроенных библиотек классов, содержащих большое количество методов. Они обеспечивают поддержку ввода-вывода, операций с символьными строками, сетевого взаимодействия и отображения графики. Стандартные классы также реализуют оконный вывод. Таким образом, Java представляет собой сочетание собственно языка и стандартных классов. Как станет ясно в дальнейшем, многими своими функциональными возможностями язык Java обязан именно библиотекам классов. Поэтому научиться грамотно программировать Java невозможно, не усвоив стандартные классы. На протяжении всей остальной части книги вам будет встречаться описание различных классов и методов из стандартных библиотек. Но в одной книге невозможно описать все библиотеки, поэтому полученные знания основ Java вам придется пополнить в процессе самостоятельной работы. Упражнение для самопроверки по материалу главы 1

Что такое байт-код и почему он так важен для интернет-программирования на языке Java?

Каковы три основных принципа объектно-ориентированного программирования?

С чего начинается выполнение программы на Java?

Что такое переменная?

Какое из перечисленных ниже имен переменных недопустимо?

a. countb. $countc. count27d. 67count

Как создать однострочный комментарий? И как создать многострочный комментарий?

Как выглядит общая форма условного оператора if? И как выглядит общая форма цикла for?

Как создать кодовый блок?’

Сила тяжести на Луне составляет около 17% земной. Напишите программу, которая вычисляла бы ваш вес на Луне.

Видоизмените программу, созданную в примере для опробования 1.2, таким образом, чтобы она выводила таблицу преобразования дюймов в метры. Выводите значения длины до 12 футов через каждый дюйм. После каждых 12 дюймов выводите пустую строку. (Один метр приблизительно равен 39,37 дюйма. )

Если при вводе кода программы вы допустите опечатку, то какого рода сообщение об ошибке получите?

Имеет ли значение, в каком именно месте строки находится оператор?

Глава 2 Введение в типы данных и операторы

Основные навыки и понятия

Представление о простых типах данных в Java

Применение литералов

Инициализация переменных

Правила соблюдения области действия переменных в методе

Применение арифметических операторов

Применение операторов сравнения и логических операторов

Представление об операторах присваивания

Представление об укороченных операторах присваивания

Преобразование типов при присваивании

Представление о неприводимых типах данных

Преобразование типов в выражениях

Основу любого языка программирования составляют типы данных и операторы, и Java не является исключением из этого правила. Типы данных и операторы определяют область применимости языка и круг задач, которые можно успешно решать с его помощью. В Java поддерживаются самые разные типы данных и операторы, что делает этот язык универсальным и пригодным для написания любых программ.

Значение типов данных и операций нельзя недооценивать. Эта глава начинается с анализа основных типов данных и наиболее часто используемых операторов. А кроме того, в ней будут подробно рассмотрены переменные и выражения.Особое значение типов данных

В связи с тем, что Java относится к категории строго типизированных языков программирования, типы данных имеют в нем очень большое значение. В процессе компиляции проверяются типы операндов во всех операциях. И если в программе встречаются недопустимые операции, ее исходный код не преобразуется в байт-код. Контроль типов позволяет сократить количество ошибок и повысить надежность программы. В отличие от других языков программирования, где допускается не указывать типы данных, хранящихся в переменных, в Java все переменные, выражения и значения строго контролируются на соответствие типов данных. Более того, тип переменной определяет, какие именно операции могут быть выполнены над ней. Операции, разрешенные для одного типа данных, могут оказаться недопустимы для другого.Простые типы данных в Java

Встроенные типы данных в Java разделяются на две категории: объектно-ориентированные и необъектно-ориентированные. Объектно-ориентированные типы данных определяются в классах, о которых речь пойдет далее в книге. В основу языка Java положено восемь простых типов данных, приведенных в табл. 2.1 (их также называют элементарными, или примитивными). Термин простые указывает на то, что эти типы данных являются не объектами, а обычными двоичными значениями. Такие типы данных предусмотрены в языке для того, чтобы увеличить эффективность работы программ. Все остальные типы данных Java образуются на основе простых типов.

SymPy в Python — математические символы, функции и уравнения

SymPy — это библиотека Python для выполнения символьных вычислений. Это система компьютерной алгебры, которая может выступать как отдельное приложение, так и в качестве библиотеки для других приложений. Поработать с ней онлайн можно на https://live.sympy.org/. Поскольку это чистая библиотека Python, ее можно использовать даже в интерактивном режиме.

В SymPy есть разные функции, которые применяются в сфере символьных вычислений, математического анализа, алгебры, дискретной математики, квантовой физики и так далее. SymPy может представлять результат в разных форматах: LaTeX, MathML и так далее. Распространяется библиотека по лицензии New BSD. Первыми эту библиотеку выпустили разработчики Ondřej Čertík и Aaron Meurer в 2007 году. Текущая актуальная версия библиотеки — 1.6.2.

Вот где применяется SymPy:

  • Многочлены
  • Математический анализ
  • Дискретная математика
  • Матрицы
  • Геометрия
  • Построение графиков
  • Физика
  • Статистика
  • Комбинаторика

Установка SymPy

Для работы SymPy требуется одна важная библиотека под названием mpmath. Она используется для вещественной и комплексной арифметики с числами с плавающей точкой произвольной точности. Однако pip установит ее автоматически при загрузке самой SymPy:

pip install sympy

Такие дистрибутивы, как Anaconda, Enthough, Canopy и другие, заранее включают SymPy. Чтобы убедиться в этом, достаточно ввести в интерактивном режиме команду:

>>> import sympy
>>> sympy.__version__
'1.6.2'

Исходный код можно найти на GitHub.

Символьные вычисления в SymPy

Символьные вычисления — это разработка алгоритмов для управления математическими выражениями и другими объектами. Такие вычисления объединяют математику и компьютерные науки для решения математических выражений с помощью математических символов.

Система компьютерной алгебры же, такая как SymPy, оценивает алгебраические выражения с помощью тех же символов, которые используются в традиционных ручных методах. Например, квадратный корень числа с помощью модуля math в Python вычисляется вот так:

import math 

print(math.sqrt(25), math.sqrt(7))

Вывод следующий:

5.0 2.6457513110645907

Как можно увидеть, квадратный корень числа 7 вычисляется приблизительно. Но в SymPy квадратные корни чисел, которые не являются идеальными квадратами, просто не вычисляются:

import sympy

print(sympy.sqrt(7))

Вот каким будет вывод этого кода: sqrt(7).

Это можно упростить и показать результат выражения символически таким вот образом:

>>> import math
>>> print(math.sqrt(12))
3.4641016151377544
>>> import sympy
>>> print(sympy.sqrt(12))
2*sqrt(3)

В случае с модулем math вернется число, а вот в SymPy — формула.

Для рендеринга математических символов в формате LaTeX код SymPy, используйте Jupyter notebook:

from sympy import *
x = Symbol('x')
expr = integrate(x**x, x)
expr

Если выполнить эту команду в IDLE, то получится следующий результат:

Integral(x**x,x)

А в Jupyter:

Квадратный корень неидеального корня также может быть представлен в формате LaTeX с помощью привычных символов:

Символьные вычисления с помощью таких систем, как SymPy, помогают выполнять вычисления самого разного рода (производные, интегралы, пределы, решение уравнений, работа с матрицами) в символьном виде.

В пакете SymPy есть разные модули, которые помогают строить графики, выводить результат (LaTeX), заниматься физикой, статистикой, комбинаторикой, числовой теорией, геометрией, логикой и так далее.

Числа

Основной модуль в SymPy включает класс Number, представляющий атомарные числа. У него есть пара подклассов: Float и Rational. В Rational также входит Integer.

Класс Float

Float представляет числа с плавающей точкой произвольной точности:

>>> from sympy import Float 
>>> Float(6.32)
6.32

SymPy может конвертировать целое число или строку в число с плавающей точкой:

При конвертации к числу с плавающей точкой, также можно указать количество цифр для точности:

>>> Float('1.33E5')
133000.0

Представить число дробью можно с помощью объекта класса Rational, где знаменатель — не 0:

Если число с плавающей точкой передать в конструктор Rational(), то он вернет дробь:

Для упрощения можно указать ограничение знаменателя:

Rational(0.2).limit_denominator(100)

Выведется дробь 1/5 вместо 3602879701896397/18014398509481984.

Если же в конструктор передать строку, то вернется рациональное число произвольной точности:

Также рациональное число можно получить, если в качестве аргументов передать два числа. Числитель и знаменатель доступны в виде свойств:

>>> a=Rational(3, 5) 
>>> print(a)
3/5
>>> print("числитель:{}, знаменатель:{}".format(a.p, a.q))
числитель:3, знаменатель:5

Класс Integer

Класс Integer в SymPy представляет целое число любого размера. Конструктор принимает рациональные и числа с плавающей точкой. В результате он откидывает дробную часть:

>>> Integer(10)
10
>>> Integer(3.4)
3
>>> Integer(2/7)
0

Также есть класс RealNumber, который является алиасом для Float. В SymPy есть классы-одиночки Zero и One, доступные через S.Zero и S.One соответственно.

Другие числовые объекты-одиночки — Half, NaN, Infinity и ImaginaryUnit.

>>> from sympy import S 
>>> print(S.Half)
1/2
>>> print(S.NaN)
nan

Бесконечность представлена в виде объекта-символа oo или как S.Infinity:

ImaginaryUnit можно импортировать как символ I, а получить к нему доступ — через S.ImaginaryUnit.

Символы

Symbol — самый важный класс в библиотеке SymPy. Как уже упоминалось ранее, символьные вычисления выполняются с помощью символов. И переменные SymPy являются объектами класса Symbol.

Аргумент функции Symbol() — это строка, содержащая символ, который можно присвоить переменной.

>>> from sympy import Symbol 
>>> x = Symbol('x') 
>>> y = Symbol('y') 
>>> expr = x**2 + y**2 
>>> expr

Код выше является эквивалентом этого выражения:

Символ может включать больше одной буквы:

from sympy import Symbol
s = Symbol('side') 
s**3

Также в SymPy есть функция Symbols(), с помощью которой можно определить несколько символов за раз. Строка содержит названия переменных, разделенные запятыми или пробелами.

from sympy import symbols
x, y, z = symbols("x, y, z")

В модуле abc можно найти элементы латинского и греческого алфавитов в виде символов. Таким образом вместо создания экземпляра Symbol можно использовать метод:

from sympy.abc import x, z

Однако C, O, S, I, N, E и Q являются заранее определенными символами. Также символы с более чем одной буквы не определены в abc. Для них нужно использовать объект Symbol. Модуль abs определяет специальные имена, которые могут обнаружить определения в пространстве имен SymPy по умолчанию. сlash2 содержит однобуквенные символы, а clash3 — целые слова.

>>> from sympy.abc import _clash2, _clash3 
>>> _clash2
{'C': C,'O': O,'Q': Q,'N': N,'I': I,'E': E,'S': S}
>>> _clash3
{'beta': beta,'zeta': zeta,'gamma': gamma,'pi': pi}

Индексированные символы (последовательность слов с цифрами) можно определить с помощью синтаксиса, напоминающего функцию range(). Диапазоны обозначаются двоеточием. Тип диапазона определяется символом справа от двоеточия. Если это цифра, то все смежные цифры слева воспринимаются как неотрицательное начальное значение.

Смежные цифры справа берутся на 1 больше конечного значения.

>>> from sympy import symbols 
>>> symbols('a:5')
(a0,a1,a2,a3,a4)
>>> symbols('mark(1:4)')
(mark1,mark2,mark3)

Подстановка параметров

Одна из базовых операций в математических выражениях — подстановка. Функция subs() заменяет все случаи первого параметра на второй.

>>> from sympy.abc import x, a 
>>> expr = sin(x) * sin(x) + cos(x) * cos(x) 
>>> expr

Этот код даст вывод, эквивалентный такому выражению.

А кодом expr.subs(x,a) мы получим туже формулу, но с a вместо x.

Эта функция полезна, когда требуется вычислить определенное выражение. Например, нужно посчитать значения выражения, заменив a на 5:

>>> from sympy.abc import x 
>>> from sympy import sin, pi 
>>> expr = sin(x) 
>>> expr1 = expr.subs(x, pi) 
>>> expr1
0

Также функция используется для замены подвыражения другим подвыражением. В следующем примере b заменяется на a+b.

>>> from sympy.abc import a, b 
>>> expr = (a + b)**2 
>>> expr1 = expr.subs(b, a + b) 
>>> expr1

Это дает такой вывод:

Функция simplify()

Функция simplify() используется для преобразования любого произвольного выражения, чтобы его можно было использовать как выражение SymPy. Обычные объекты Python, такие как целые числа, конвертируются в SymPy.Integer и так далее. Строки также конвертируются в выражения SymPy:

>>> expr = "x**2 + 3*x +  2" 
>>> expr1 = sympify(expr)
>>> expr1.subs(x, 2)
12

Любой объект Python можно конвертировать в объект SymPy. Однако учитывая то, что при преобразовании используется функция eval(), не стоит использовать некорректные выражения, иначе возникнет ошибка SimplifyError.

>>> sympify("x***2")
...
SympifyError: Sympify of expression 'could not parse 'x***2'' failed, because of exception being raised:
SyntaxError: invalid syntax (<string>, line 1)

Функция simplify() принимает следующий аргумент: strict=False. Если установить True, то преобразованы будут только те типы, для которых определено явное преобразование. В противном случае также возникнет ошибка SimplifyError. Если же поставить False, то арифметические выражения и операторы будут конвертированы в их эквиваленты SumPy без вычисления выражения.

Функция evalf()

Функция вычисляет данное числовое выражение с точностью до 100 цифр после плавающей точки. Она также принимает параметр subs, как объект словаря с числовыми значениями для символов. Например такое выражение:

from sympy.abc import r 
expr = pi * r**2 
expr

Даст такой результат: 𝜋𝑟2

Вычислим выражение с помощью evalf() и заменим r на 5:

>>> expr.evalf(subs={r: 5})
78.5398163397448

По умолчанию точность после плавающей точки — 15, но это значение можно перезаписать до 100. Следующее выражение вычисляет, используя вплоть до 20 цифр точности:

>>> expr = a / b 
>>> expr.evalf(20, subs={a: 100, b: 3})
33.333333333333333333

Функция lambdify()

Функция lambdify() переводит выражения SymPy в функции Python. Если выражение, которое нужно вычислить, затрагивает диапазон значений, то функция evalf() становится неэффективной. Функция lambdify действует как лямбда-функция с тем исключением, что она конвертирует SymPy в имена данной числовой библиотеки, обычно NumPy. По умолчанию же она реализована на основе стандартной библиотеки math.

>>> expr =1 / sin(x) 
>>> f = lambdify(x, expr) 
>>> f(3.14)
627.8831939138764

У выражения может быть больше одной переменной. В таком случае первым аргументом функции является список переменных, а после него — само выражение:

>>> expr = a**2 + b**2 
>>> f = lambdify([a, b], expr) 
>>> f(2, 3)
13

Но чтобы использовать numpy в качестве основной библиотеки, ее нужно передать в качестве аргумента функции lambdify().

f = lambdify([a, b], expr, "numpy")

В этой функции использовались два массива numpy: a и b. В случае с ними выполнение гораздо быстрее:

>>> import numpy 
>>> l1 = numpy.arange(1, 6) 
>>> l2 = numpy.arange(6, 11) 
>>> f(l1, l2)
array([ 37,  53,  73,  97, 125], dtype=int32)

Логические выражения

Булевы функции расположены в модуле sympy.basic.booleanarg. Их можно создать и с помощью стандартных операторов Python: & (And), | (Or), ~ (Not), а также >> и <<. Булевы выражения наследуются от класса Basic.

BooleanTrue.
Эта функция является эквивалентом True из Python. Она возвращает объект-одиночку, доступ к которому можно получить и с помощью S.true.

>>> from sympy import *
>>> x = sympify(true)
>>> x, S.true
(True, True)

BooleanFalse.
А эта функция является эквивалентом False. Ее можно достать с помощью S.False.

>>> from sympy import * 
>>> x = sympify(false) 
>>> x, S.false
(False,False)

And.
Функция логического AND оценивает два аргумента и возвращает False, если хотя бы один из них является False. Эта функция заменяет оператор &.

>>> from sympy import * 
>>> from sympy.logic.boolalg import And 
>>> x, y = symbols('x y') 
>>> x = True 
>>> y = True 
>>> And(x, y), x & y

Or.
Оценивает два выражения и возвращает True, если хотя бы одно из них является True. Это же поведение можно получить с помощью оператора |.

>>> from sympy import * 
>>> from sympy.logic.boolalg import Or 
>>> x, y = symbols('x y') 
>>> x = True 
>>> y = False 
>>> Or(x, x|y)

Not.
Результат этой функции — отрицание булево аргумента. True, если аргумент является False, и False в противном случае. В Python за это отвечает оператор ~. Пример:

>>> from sympy import * 
>>> from sympy.logic.boolalg import Or,And,Not 
>>> x, y = symbols('x y') 
>>> x = True 
>>> y = False 
>>> Not(x), Not(y)
(False, True)

Xor.
Логический XOR (исключающий OR) возвращает True, если нечетное количество аргументов равняется True, а остальные — False. False же вернется в том случае, если четное количество аргументов True, а остальные — False. То же поведение работает в случае оператора ^.

>>> from sympy import * 
>>> from sympy.logic.boolalg import Xor 
>>> x, y = symbols('x y') 
>>> x = True 
>>> y = False
>>> Xor(x, y)
True

В предыдущем примере один(нечетное число) аргумент является True, поэтому Xor вернет True. Если же количество истинных аргументов будет четным, результатом будет False, как показано дальше.

Nand.
Выполняет логическую операцию NAND. Оценивает аргументы и возвращает True, если хотя бы один из них равен False, и False — если они истинные.

>>> from sympy.logic.boolalg import Nand
>>> a, b, c = (True, False, True) 
>>> Nand(a, c), Nand(a, b)
(False, True)

Nor.
Выполняет логическую операцию NOR. для Xor, ~ для Not, | для Or и & для And ради удобства, в Python они используются в качестве побитовых. Поэтому если операнды будут целыми числами, результаты будут отличаться.

Equivalent.
Эта функция возвращает отношение эквивалентности. Equivalent(A, B) будет равно True тогда и только тогда, когда A и B оба будут True или False. Функция вернет True, если все аргументы являются логически эквивалентными. В противном случае — False.

>>> from sympy.logic.boolalg import Equivalent 
>>> a, b = True, False
>>> Equivalent(a, b), Equivalent(a, True)
( False, True)

Запросы

Модуль assumptions в SymPy включает инструменты для получения информации о выражениях. Для этого используется функция ask().

Следующие свойства предоставляют полезную информацию о выражении:

sympy.assumptions.ask(выражение)

algebraic(x)
Чтобы быть алгебраическим, число должно быть корнем ненулевого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами. √2, потому что √2 — это решение x2 − 2 = 0. Следовательно, это выражения является алгебраическим.

complex(x)
Предикат комплексного числа. Является истиной тогда и только тогда, когда x принадлежит множеству комплексных чисел.

composite(x)
Предикат составного числа, возвращаемый ask(Q.composite(x)) является истиной тогда и только тогда, когда x — это положительное число, имеющее как минимум один положительный делитель, кроме 1 и самого числа.

even, odd
ask() возвращает True, если x находится в множестве четных и нечетных чисел соответственно.

imaginary
Свойство представляет предикат мнимого числа. Является истиной, если x можно записать как действительное число, умноженное на мнимую единицу.

integer
Это свойство, возвращаемое Q.integer(x), будет истинным только в том случае, если x принадлежит множеству четных чисел.

rational, irrational
Q.irrational(x) истинно тогда и только тогда, когда x — это любое реальное число, которое нельзя представить как отношение целых чисел. Например, pi — это иррациональное число.

positive, negative
Предикаты для проверки того, является ли число положительным или отрицательным.

zero, nonzero
Предикат для проверки того, является ли число нулем или нет.

>>> from sympy import * 
>>> x = Symbol('x') 
>>> x = 10 
>>> ask(Q.algebraic(pi))
False
>>> ask(Q.complex(5-4*I)), ask(Q.complex(100))
(True, True)
>>> x, y = symbols("x y") 
>>> x, y = 5, 10 
>>> ask(Q.composite(x)), ask(Q.composite(y))
(False, True)
>>> ask(Q.even(x)), ask(Q.even(y))
(True, None)
>>> ask(Q.imaginary(x)), ask(Q.imaginary(y))
(True, False)
>>> ask(Q.even(x)), ask(Q.even(y)), ask(Q.odd(x)), ask(Q.odd(y))
(True, True, False, False)
>>> ask(Q.positive(x)), ask(Q.negative(y)), ask(Q.positive(x)), ask(Q.negative(y))
(True, True)
>>> ask(Q.rational(pi)), ask(Q.irrational(S(2)/3))
(False, False)
>>> ask(Q.zero(oo)), ask(Q.nonzero(I))
(False, False)

Функции упрощения

SymPy умеет упрощать математические выражения. Для этого есть множество функций. Основная называется simplify(), и ее основная задача — представить выражение в максимально простом виде.

simplify

Это функция объявлена в модуле sympy.simplify. Она пытается применить методы интеллектуальной эвристики, чтобы сделать входящее выражение «проще». Следующий код упрощает такое выражение: sin^2(x)+cos^2(x)

>>> x = Symbol('x')
>>> expr = sin(x)**2 + cos(x)**2 
>>> simplify(expr)
1

expand

Одна из самых распространенных функций упрощения в SymPy. Она используется для разложения полиномиальных выражений. Например:

>>> a, b = symbols('a b') 
>>> expand((a+b)**2)

А тут вывод следующий: 𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2.

Вывод: 𝑎2−𝑏2.

Функция expand() делает выражение больше, а не меньше. Обычно это так и работает, но часто получается так, что выражение становится меньше после использования функции:

>>> expand((x + 1)*(x - 2) - (x - 1)*x)
-2

factor

Эта функция берет многочлен и раскладывает его на неприводимые множители по рациональным числам.

>>> x, y, z = symbols('x y z') 
>>> expr = (x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z) 
>>> factor(expr)

Вывод: 𝑧(𝑥+2𝑦)2.

Функция factor() — это противоположность expand(). Каждый делитель, возвращаемый factor(), будет несокращаемым. Функция factor_list() предоставляет более структурированный вывод:

>>> expr=(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z) 
>>> factor_list(expr)
(1, [(z, 1), (x + 2*y, 2)])

collect

Эта функция собирает дополнительные члены выражения относительно списка выражений с точностью до степеней с рациональными показателями.

>>> expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3 
>>> expr

Вывод: 𝑥3−𝑥2𝑧+2𝑥2+𝑥𝑦+𝑥−3.

Результат работы collect():

>>> expr = y**2*x + 4*x*y*z + 4*y**2*z + y**3 + 2*x*y 
>>> collect(expr, y)

Вывод: 𝑦3+𝑦2(𝑥+4𝑧)+𝑦(4𝑥𝑧+2𝑥).

cancel

Эта функция берет любую рациональную функцию и приводит ее в каноническую форму p/q, где p и q — это разложенные полиномы без общих множителей. Старшие коэффициенты p и q не имеют знаменателей, то есть, являются целыми числами.

>>> expr1=x**2+2*x+1 
>>> expr2=x+1 
>>> cancel(expr1/expr2)
x + 1

Еще несколько примеров:

trigsimp

Эта функция используется для упрощения тригонометрических тождеств. Стоит отметить, что традиционные названия обратных тригонометрических функций добавляются в название функции в начале. Например, обратный косинус или арккосинус называется acos():

>>> from sympy import trigsimp, sin, cos 
>>> from sympy.abc import x, y
>>> expr = 2*sin(x)**2 + 2*cos(x)**2 
>>> trigsimp(expr)
2

Функция trigsimp использует эвристику для применения наиболее подходящего тригонометрического тождества.

powersimp

Эта функция сокращает выражения, объединяя степени с аналогичными основаниями и значениями степеней.

>>> expr = x**y*x**z*y**z 
>>> expr

Вывод: 𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧.

Можно сделать так, чтоб powsimp() объединяла только основания или степени, указав combine='base' или combine='exp'. По умолчанию это значение равно combine='all'. Также можно задать параметр force. Если он будет равен True, то основания объединятся без проверок.

>>> powsimp(expr, combine='base', force=True)

Вывод: 𝑥𝑦(𝑥𝑦)𝑧.

combsimp

Комбинаторные выражения, включающие факториал и биномы, можно упростить с помощью функции combsimp(). В SymPy есть функция factorial().

Для упрощения предыдущего комбинаторного выражения эта функция используется следующим образом.

>>> combsimp(expr)
𝑥(𝑥−2)(𝑥−1)

binomial(x, y) — это количество способов, какими можно выбрать элементы y из множества элементов x. Его же можно записать и как xCy.

logcombine

Эта функция принимает логарифмы и объединяет их с помощью следующих правил:

  • log(x) + log(y) == log(x*y) — оба положительные.
  • a*log(x) == log(x**a) если x является положительным и вещественным.
>>> logcombine(a*log(x) + log(y) - log(z))
𝑎log(𝑥)+log(𝑦)−log(𝑧)

Если здесь задать значение параметра force равным True, то указанные выше предположения будут считаться выполненными, если нет предположений о величине.

Производные

Производная функции — это ее скорость изменения относительно одной из переменных. Это эквивалентно нахождению наклона касательной к функции в точке. Найти дифференцирование математических выражений в форме переменных можно с помощью функции diff() из SymPy.

>>> from sympy import diff, sin, exp 
>>> from sympy.abc import x, y 
>>> expr = x*sin(x*x) + 1
>>> expr

Вывод: 𝑥sin(𝑥2)+1.

Чтобы получить несколько производных, нужно передать переменную столько раз, сколько нужно выполнить дифференцирование. Или же можно просто указать это количество с помощью числа.

>>> diff(x**4, x, 3)
24𝑥

Также можно вызвать метод diff() выражения. Он работает по аналогии с функцией.

>>> expr = x*sin(x*x) + 1 
>>> expr.diff(x)

Вывод: 2𝑥2cos(𝑥2)+sin(𝑥2).

Неоцененная производная создается с помощью класса Derivative. У него такой же синтаксис, как и функции diff(). Для оценки же достаточно использовать метод doit.

Интеграция

SymPy включает и модуль интегралов. В нем есть методы для вычисления определенных и неопределенных интегралов выражений. Метод integrate() используется для вычисления обоих интегралов. Для вычисления неопределенного или примитивного интеграла просто передайте переменную после выражения.

Для вычисления определенного интеграла, передайте аргументы следующим образом:

Пример определенного интеграла:

С помощью объекта Integral можно создать неоцененный интеграл. Он оценивается с помощью метода doit().

Трансформации интегралов

SymPy поддерживает разные виды трансформаций интегралов:

  • laplace_tranfsorm.
  • fourier_transform.
  • sine_tranfsorm.
  • cosine_transform.
  • hankel_transform.

Эти функции определены в модуле sympy.integrals.transforms. Следующие примеры вычисляют преобразования Фурье и Лапласа соответственно:

>>> from sympy.integrals import laplace_transform 
>>> from sympy.abc import t, s, a 
>>> laplace_transform(t**a, t, s)
(s**(-a)*gamma(a + 1)/s, 0, re(a) > -1)

Матрицы

В математике матрица — это двумерный массив чисел, символов или выражений. Теория манипуляций матрицами связана с выполнением арифметических операций над матричными объектами при соблюдении определенных правил.

Линейная трансформация — одно из важнейших применений матрицы. Она часто используется в разных научных областях, особенно связанных с физикой. В SymPy есть модуль matrices, который работает с матрицами. В нем есть класс Matrix для представления матрицы.

Примечание: для выполнения кода в этом разделе нужно сперва импортировать модуль matrices следующим образом.

>>> from sympy.matrices import Matrix 
>>> m=Matrix([[1, 2, 3], [2, 3, 1]]) 
>>> m
⎡1  2  3⎤
⎣2  3  1⎦

Матрица — это изменяемый объект. Также в модуле есть класс ImmutableMatrix для получения неизменяемой матрицы.

Базовое взаимодействие

Свойство shape возвращает размер матрицы.

Методы row() и col() возвращают колонку или строку соответствующего числа.

>>> m.row(0)
[1  2  3]
>>> m.col(1)
⎡2⎤
⎣3⎦

Оператор slice из Python можно использовать для получения одного или большего количества элементов строки или колонки.

У класса Matrix также есть методы row_del() и col_del(), которые удаляют указанные строку/колонку из выбранной матрицы.

>>> m.row(1)[1:3]
[3, 1]
>>> m.col_del(1) 
>>> m
⎡1  3⎤
⎣2  1⎦

По аналогии row_insert() и col_insert() добавляют строки и колонки в обозначенные индексы:

>>> m1 = Matrix([[10, 30]]) 
>>> m = m.row_insert(0, m1)
>>> m
⎡10  30⎤
⎢ 1  3 ⎥
⎣ 2  1 ⎦

Арифметические операции

Привычные операторы +, — и * используются для сложения, умножения и деления.

>>> M1 = Matrix([[3, 0], [1, 6]]) 
>>> M2 = Matrix([[4, 5], [6, 4]]) 
>>> M1 + M2
⎡7     5 ⎤
⎣7    10 ⎦

Умножение матрицы возможно лишь в том случае, если количество колонок первой матрицы соответствует количеству колонок второй. Результат будет иметь такое же количество строк, как у первой матрицы и столько же колонок, сколько есть во второй.

Для вычисления определителя матрицы используется метод det(). Определитель — это скалярное значение, которое может быть вычислено из элементов квадратной матрицы.

>>> M = Matrix([[4, 5], [6, 4]])
>>> M.det()
-14

Конструкторы матрицы

SymPy предоставляет множество специальных типов классов матриц. Например, Identity, матрица из единиц, нолей и так далее. Эти классы называются eye, zeroes и ones соответственно. Identity — это квадратная матрица, элементы которой по диагонали равны 1, а остальные — 0.

В матрице diag элементы по диагонали инициализируются в соответствии с предоставленными аргументами.

>>> from sympy.matrices import diag 
>>> diag(1, 3)
⎡1  0 ⎤
⎣0  3 ⎦

Все элементы в матрице zero инициализируются как нули.

>>> from sympy.matrices import zeros 
>>> zeros(2, 3)
⎡0  0  0⎤
⎣0  0  0⎦

По аналогии в матрице ones элементы равны 1:

>>> from sympy.matrices import zeros 
>>> ones(2, 3)
⎡1  1  1⎤
⎣1  1  1⎦

Класс Function

В пакете SymPy есть класс Function, определенный в модуле sympy.core.function. Это базовый класс для всех математических функций, а также конструктор для неопределенных классов.

Следующие категории функций наследуются от класса Function:

  • Функции для комплексных чисел
  • Тригонометрические функции
  • Функции целого числа
  • Комбинаторные функции
  • Другие функции

Функции комплексных чисел

Набор этих функций определен в модуле sympy.functions.elementary.complexes.

re — Эта функция возвращает реальную часть выражения:

>>> from sympy import * 
>>> re(5+3*I)
5
>>> re(I)
0

im — Возвращает мнимую часть выражения:

>>> im(5+3*I)
3
>>> im(I)
1

sign — Эта функция возвращает сложный знак выражения..

Для реального выражения знак будет:

  • 1, если выражение положительное,
  • 0, если выражение равно нулю,
  • -1, если выражение отрицательное.

Если выражение мнимое, то знаки следующие:

  • l, если выражение положительное,
  • -l, если выражение отрицательное.
>>> sign(1.55), sign(-1), sign(S.Zero)
(1,-1,0)
>>> sign (-3*I), sign(I*2)
(-I, I)

Функция abs возвращает абсолютное значение комплексного числа. Оно определяется как расстояние между основанием (0, 0) и точкой на комплексной плоскости. Эта функция является расширением встроенной функции abs() и принимает символьные значения.

Например, Abs(2+3*I), вернет √13.

conjugate — Функция возвращает сопряжение комплексного числа. Для поиска меняется знак мнимой части.

>>> conjugate(4+7*I)
4−7𝑖

Тригонометрические функции

В SymPy есть определения всех тригонометрических соотношений: синуса, косинуса, тангенса и так далее. Также есть обратные аналоги: asin, acos, atan и так далее. Функции вычисляют соответствующее значение данного угла в радианах.

>>> sin(pi/2), cos(pi/4), tan(pi/6)
(1, sqrt(2)/2, sqrt(3)/3)
>>> asin(1), acos(sqrt(2)/2), atan(sqrt(3)/3)
(pi/2, pi/4, pi/6)

Функции целого числа

Набор функций для работы с целым числом.

Одномерная функция ceiling, возвращающая самое маленькое целое число, которое не меньше аргумента. В случае с комплексными числами округление до большего целого для целой и мнимой части происходит отдельно.

>>> ceiling(pi), ceiling(Rational(20, 3)), ceiling(2.6+3.3*I)
(4, 7, 3 + 4*I)

floor — Возвращает самое большое число, которое не больше аргумента. В случае с комплексными числами округление до меньшего целого для целой и мнимой части происходит отдельно.

>>> floor(pi), floor(Rational(100, 6)), floor(6.3-5.9*I)
(3, 16, 6 - 6*I)

frac — Функция представляет долю x.

>>> frac(3.99), frac(10)
(0.990000000000000, 0)

Комбинаторные функции

Комбинаторика — это раздел математики, в котором рассматриваются выбор, расположение и работа в конечной и дискретной системах.

factorial — Факториал очень важен в комбинаторике. Он обозначает число способов, которыми могут быть представлены объекты.

Кватернион

В математика числовая система кватернион расширяет комплексные числа. Каждый объект включает 4 скалярные переменные и 4 измерения: одно реальное и три мнимых.

Кватернион можно представить в виде следующего уравнения: q = a + bi + cj + dk, где a, b, c и d — это реальные числа, а i, j и k — квартенионные единицы, так что i2 == j2 == k2 = ijk.

Класс Quaternion расположен в модуле sympy.algebras.quaternion.

>>> from sympy.algebras.quaternion import Quaternion 
>>> q = Quaternion(2, 3, 1, 4) 
>>> q
2+3𝑖+1𝑗+4𝑘

Кватернионы используются как в чистой, так и в прикладной математике, а также в компьютерной графике, компьютерном зрении и так далее.

add()

Этот метод класса Quaternion позволяет сложить два объекта класса:

>>> q1=Quaternion(1,2,4) 
>>> q2=Quaternion(4,1) 
>>> q1.add(q2)
5+3𝑖+4𝑗+0𝑘

Также возможно добавить число или символ к объекту Quaternion.

>>> q1+2
3+2𝑖+4𝑗+0𝑘
>>> q1+x
(𝑥+1)+2𝑖+4𝑗+0𝑘

mul()

Этот метод выполняет умножение двух кватернионов.

>>> q1 = Quaternion(1, 2) 
>>> q2 = Quaternion(2, 4, 1) 
>>> q1.mul(q2)
(−6)+8𝑖+1𝑗+2𝑘

inverse()

Возвращает обратный кватернион.

pow()

Возвращает степень кватерниона.

>>> q1.pow(2)
(−3)+4𝑖+0𝑗+0𝑘

exp()

Вычисляет экспоненту кватерниона.

Уравнения

Поскольку символы = и == определены как символ присваивания и равенства в Python, их нельзя использовать для создания символьных уравнений. Для этого в SymPy есть функция Eq().

>>> x, y = symbols('x y') 
>>> Eq(x, y)
𝑥=𝑦

Поскольку x=y возможно только в случае x-y=0, уравнение выше можно записать как:

Модуль solver из SymPy предлагает функцию solveset():

solveset(equation,variable,domain)

Параметр domain по умолчанию равен S.Complexes. С помощью функции solveset() можно решить алгебраическое уравнение.

>>> solveset(Eq(x**2-9, 0), x)
{−3,3}
>>> solveset(Eq(x**2-3*x, -2), x)
{1,2}

Линейное уравнение

Для решения линейных уравнений нужно использовать функцию linsolve().

Например, уравнения могут быть такими:

Функция linsolve() также может решать линейные уравнения в матричной форме:

>>> a, b = symbols('a b') 
>>> a = Matrix([[1, -1], [1, 1]]) 
>>> b = Matrix([4, 1]) 
>>> linsolve([a, b], y)

Вывод будет тот же.

Нелинейное уравнение

Для таких уравнений используется функция nonlinsolve(). Пример такого уравнения:

>>> a, b = symbols('a b') 
>>> nonlinsolve([a**2 + a, a - b], [a, b])
{(−1, −1),(0, 0)}

Дифференциальное уравнение

Для начала создайте функцию, передав cls=Function в функцию symbols. Для решения дифференциальных уравнений используйте dsolve.

>>> x = ymbol('x') 
>>> f = symbols('f', cls=Function) 
>>> f(x)
𝑓(𝑥)

Здесь f(x) — это невычисленная функция. Ее производная:

Сначала создается объект Eq, соответствующий следующему дифференциальному уравнению.

Графики

SymPy использует библиотеку matplotlib в качестве бэкенда для рендеринга двухмерных и трехмерных графиков математических функций. Убедитесь, что на вашем устройстве установлена matplotlib. Если нет, установите с помощью следующей команды.

pip install matplotlib

Функции для работы с графиками можно найти в модуле sympy.plotting:

  • plot — двухмерные линейные графики.
  • plot3d — трехмерные линейные графики.
  • plot_parametric — двухмерные параметрические графики.
  • plot3d_parametric — трехмерные параметрические графики.

Функция plot() возвращает экземпляр класса Plot. Сам график может включать одно или несколько выражений SymPy. По умолчанию в качестве бэкенда используется matplotlib, но вместе нее можно взять texplot, pyglet или API Google Charts.

plot(expr,range,kwargs)

где expr — это любое валидное выражение SymPy. Если не сказано другое, то по умолчанию значение range равно (-10, 10).

Следующий график показывает квадрат для каждого значения в диапазоне от -10 до 10.

>>> from sympy.plotting import plot 
>>> from sympy import * 
>>> x = Symbol('x') 
>>> plot(x**2, line_color='red')

Чтобы нарисовать несколько графиков для одного диапазона, перед кортежем нужно указать несколько выражений.

>>> plot(sin(x), cos(x), (x, -pi, pi))

Также для каждого выражения можно задать отдельный диапазон.

plot((expr1,range1),(expr2,range2))

Также в функции plot() можно использовать следующие необязательные аргументы-ключевые слова.

  • line_color — определяет цвет линии графика.
  • title — название графика.
  • xlabel — метка для оси X.
  • ylabel — метка для оси Y.
>>> plot((sin(x), (x,-pi,pi)), line_color='red', title='Пример графика SymPy')

Функция plot3d() рендерит трехмерный график.

>>> from sympy.plotting import plot3d 
>>> x, y = symbols('x y') 
>>> plot3d(x*y, (x, -10, 10), (y, -10, 10))

По аналогии с двухмерным трехмерный график может включать несколько графиков для отдельных диапазонов:

>>> plot3d(x*y, x/y, (x, -5, 5), (y, -5, 5))

Функция plot3d_parametric_line() рендерит трехмерный линейный параметрический график:

>>> from sympy.plotting import plot3d_parametric_line 
>>> plot3d_parametric_line(cos(x), sin(x), x, (x, -5, 5))

Чтобы нарисовать параметрический объемный график, используйте plot3d_parametric_surface().

Сущности

Модуль geometry в SymPy позволяет создавать двухмерные сущности, такие как линия, круг и так далее. Информацию о них можно получить через проверку коллинеарности или поиск пересечения.

Point

Класс point представляет точку Евклидового пространства. Следующие примеры проверяют коллинеарность точек:

>>> from sympy.geometry import Point 
>>> from sympy import * 
>>> x = Point(0, 0) 
>>> y = Point(2, 2) 
>>> z = Point(4, 4) 
>>> Point.is_collinear(x, y, z)
True
>>> a = Point(2, 3) 
>>> Point.is_collinear(x, a)
False
>>> x.distance(y)
2√2

Метод distance() класса Point вычисляет расстояние между двумя точками.

Line

Сущность Line можно получить из двух объектов Point. Метод intersection() возвращает точку пересечения двух линий.

>>> from sympy.geometry import Point, Line 
>>> p1, p2 = Point(0, 5), Point(5, 0) 
>>> l1 = Line(p1,p2)
>>> l2 = Line(Point(0, 0), Point(5, 5)) 
>>> l1.intersection(l2)
[Point2D(5/2, 5/2)]
>>> l1.intersection(Line(Point(0,0), Point(2,2)))
[Point2D(5/2, 5/2)]
>>> x, y = symbols('x y') 
>>> p = Point(x, y) 
>>> p.distance(Point(0, 0))

Вывод: √𝑥2+𝑦2

Triangle

Эта функция создает сущность Triangle из трех точек.

Ellipse

Эллиптическая геометрическая сущность создается с помощью объекта Point, который указывает на центр, а также горизонтальный и вертикальный радиусы.

ellipse(center,hradius,vradius)
>>> from sympy.geometry import Ellipse, Line 
>>> e = Ellipse(Point(0, 0), 8, 3) 
>>> e.area
24𝜋

  • vradius может быть получен косвенно с помощью параметра eccentricity.
  • apoapsis — это наибольшее расстояние между фокусом и контуром.
  • метод equation эллипса возвращает уравнение эллипса.

Множества

В математике множество — это четко определенный набор объектов, которые могут быть числами, буквами алфавита или даже другими множествами. Set — это также один из встроенных типов в Python. В SymPy же есть модуль sets. В нем можно найти разные типы множеств и операции поиска пересекающихся элементов, объединения и так далее.

Set — это базовый класс для любого типа множества в Python. Но стоит отметить, что в SymPy он отличается от того, что есть в Python. Класс interval представляет реальные интервалы, а граничное свойство возвращает объект FiniteSet.

>>> from sympy import Interval 
>>> s = Interval(1, 10).boundary 
>>> type(s)
sympy.sets.sets.FiniteSet

FiniteSet — это коллекция дискретных чисел. Ее можно получить из любой последовательности, будь то список или строка.

>>> from sympy import FiniteSet 
>>> FiniteSet(range(5))
{{0,1,…,4}}
>>> numbers = [1, 3, 5, 2, 8] 
>>> FiniteSet(*numbers)
{1,2,3,5,8}
>>> s = "HelloWorld" 
>>> FiniteSet(*s)
{𝐻,𝑊,𝑑,𝑒,𝑙,𝑜,𝑟}

По аналогии со встроенным множеством, Set из SymPy также является коллекцией уникальных объектов.

ConditionSet — это множество элементов, удовлетворяющих заданному условию.

Union — составное множество. Оно включает все элементы из двух множеств. Если же какие-то повторяются, то в результирующем множестве будет только одна копия.

>>> from sympy import Union 
>>> l1 = [3, 7] 
>>> l2 = [9, 7, 1] 
>>> a = FiniteSet(*l1) 
>>> b = FiniteSet(*l2) 
>>> Union(a, b)
{1,3,7,9}

Intersection же включает только те элементы, которые есть в обоих множествах.

>>> from sympy import Intersection 
>>> Intersection(a, b)
{7}

ProductSet представляет декартово произведение элементов из обоих множеств.

>>> from sympy import ProductSet 
>>> l1 = [1, 2] 
>>> l2 = [2, 3] 
>>> a = FiniteSet(*l1) 
>>> b = FiniteSet(*l2) 
>>> set(ProductSet(a, b))
{(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}

Complement(a, b) исключает те элементы, которых нет в b.

>>> from sympy import Complement 
>>> l1 = [3, 1] 
>>> a = FiniteSet(*l1) 
>>> b = FiniteSet(*l2) 
>>> Complement(a, b), Complement(b, a)
(FiniteSet(1), FiniteSet(2))

SymmetricDifference хранит только необщие элементы обоих множеств.

>>> from sympy import SymmetricDifference 
>>> l1 = [3, 1] 
>>> a = FiniteSet(*l1) 
>>> b = FiniteSet(*l2) 
>>> SymmetricDifference(a, b)
{1,2}

Вывод в консоль

В SymPy есть несколько инструментов для вывода. Вот некоторые из них:

  • str,
  • srepr,
  • ASCII pretty printer,
  • Unicode pretty printer,
  • LaTeX,
  • MathML,
  • Dot.

Объекты SymPy также можно отправить как ввод в другие языки программирования, такие как C, Fortran, JavaScript, Theano.

SymPy использует символы Юникод для рендеринга вывода. Если вы используете консоль Python для работы с SymPy, то лучше всего применять функцию init_session().

>>> from sympy import init_session
>>> init_session()
Python console for SymPy 1.6.2 (Python 3.8.5-64-bit) (ground types: python)
...

Выполним эти команды:

>>> from __future__ import division
>>> from sympy import *
>>> x, y, z, t = symbols('x y z t')
>>> k, m, n = symbols('k m n', integer=True)
>>> f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)
>>> init_printing()
>>> Integral(sqrt(1/x), x)
⌠
⎮     ___
⎮    ╱ 1
⎮   ╱  ─  dx
⎮ ╲╱   x
⌡

Если нет LaTeX, но есть matplotlib, то последняя будет использоваться в качестве движка рендеринга. Если и matplotlib нет, то применяется Unicode pretty printer. Однако Jupyter notebook использует MathJax для рендеринга LaTeX.

В терминале, который не поддерживает Unicode, используется ASCII pretty printer (как в выводе из примера).

Для ASCII printer есть функция pprinter() с параметром use_unicode=False.

>>> pprint(Integral(sqrt(1/x), x), use_unicode=False) 
 /
 |
 |     ___
 |    / 1
 |   /  -  dx
 | \/   x
 |
/

Также доступ к Unicode printer можно получить из pprint() и pretty(). Если терминал поддерживает Unicode, то он используется автоматически. Если поддержку определить не удалось, то можно передать use_unicode=True, чтобы принудительно использовать Unicode.

Для получения LaTeX-формата используйте функцию latex().

>>> print(latex(Integral(sqrt(1/x), x)))
\int \sqrt{\frac{1}{x}}\, dx

Также доступен printer mathml. Для него есть функция pint_mathml().

>>> from sympy.printing.mathml import print_mathml
>>> print_mathml(Integral(sqrt(1/x),x))
<apply>
        <int/>
        <bvar>
                <ci>x</ci>
        </bvar>
        <apply>
                <root/>
                <apply>
                        <power/>
                        <ci>x</ci>
                        <cn>-1</cn>
                </apply>
        </apply>
</apply>
>>> mathml(Integral(sqrt(1/x),x))
<apply><int/><bvar><ci>x</ci></bvar><apply><root/><apply><power/><ci>x</ci><cn
>-1</cn></apply></apply></apply>

Vestnik of Samara State Technical University. Technical Sciences SeriesVestnik of Samara State Technical University. Technical Sciences Series1991-85422712-8938Samara State Technical University1997410.14498/tech.2014.3.%uOriginal ArticleMethods of online advertising optimization based on keywords and keypairs analysisElkinDmitry ADirector of optimization, Maxifier [email protected] ASenior Scientist, ICCS RAS-VolmanSimon IDirector of Technology, Maxifier Development-OOO Maxifier DevelopmentInstitution of the Russian Academy of Sciences Institute for the Control of Complex Systems of RAS15092014223384610022020Copyright © 2014, Samara State Technical University2014The paper describes last trends in Internet advertisement area — keyword/key-value terms and optimization methods used based on keyword statistics. Article covers technical process of ad-deliveries, different optimization methods and their comparative analysis on real life scenarios.Online advertisingad campaignad-serverskeywordskeywords optimizationkeywords/keypairsинтернет-рекламарекламная кампанияоптимизация по ключевым словамоптимизация медийной рекламыпара ключ/значениеключевые слова1.Plummer Joe, Rappaport Steve, Hall Taddy, Barocci Robert. The Online advertising playbook // Wiley 2007, John Wiley & Sons, Inc, 2007, p. 28-32.2.Минаков И.А., Елкин Д.А., Вольман С.И. Обзор подходов оптимизации интернет-рекламы // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Тр. ХI Междунар. конф., Самара, 22 июня — 24 июня 2009. — Самара: СНЦ РАН, 2009. — С. 634-643.3.Ёлкин Д.А., Минаков И.А., Вольман С.И. Использование методов статистической оптимизации для улучшения эффективности показа интернет-рекламы // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Тр. XII Междунар. конф. — Самара, 21 — 23 июня 2010. — Самара: СНЦ РАН, 2010. — С. 577-585.4.Ёлкин Д.А., Минаков И.А., Вольман С.И. Автоматическая оптимизация интернет-рекламы // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Технические науки. — 2011. — № 3(31). — С. 228-232.5.Минаков И.А. Алгоритм кластеризации семантических дескрипторов документов // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Технические науки. — 2009. № 1 (23). С. 34-46.

Модула-2

                                     

5. Использование

В СССР первые компиляторы для Модула-2 появились в 1982-83 годах для ЭВМ СМ-4 и Электроника-60. Транслятор для БЭСМ-6 был разработан в ВЦ АН СССР. Тогда же были выработаны технологии программирования и созданы первые пакеты прикладных программ на Модуле-2. Такие работы велись, в частности, на факультете Кибернетики МИФИ. ВНТК «СТАРТ» Вычислительного Центра Сибирского отделения Академии наук СССР разработал серию процессоров Кронос с аппаратной поддержкой языка программирования Модула-2.

В целом можно сказать, что Модула-2 не получила того распространения и признания, которого заслуживала по своим качествам. Язык завоевал определённую популярность в академической среде Европы, был довольно популярен среди программистов СССР, но не смог потеснить своего предшественника: новые реализации языка Паскаль, включившие в себя средства организации модулей, а позже — средства объектного программирования, всегда обходили Модулу-2 по популярности. Система Lilith, для которой создавалась Модула-2, не получила широкой известности и не смогла помочь Модуле-2 в продвижении.

Свою роль сыграло чрезвычайно широкое распространение дешёвых и быстрых Паскаль-компиляторов фирмы Borland International. Интересно, что компилятор Turbo Modula-2 для ОС CP/M был не только создан Borland, но даже поступил в продажу в Северной Америке и Западной Европе. Однако руководство компании, прежде всего Филипп Кан, приняло решение отказаться от развития этой системы, чтобы не создавать конкурента крайне успешному Turbo Pascal. Результатом этого решения стало то, что вице-президент Borland Нильс Йенсен, один из основателей компании, вместе со своей командой разработчиков в 1987 году покинул Borland, выкупив права на Turbo Modula-2. Созданная им компания JPI Jensen & Partners International выпустила под маркой TopSpeed линейку компиляторов для процессоров семейства x86: Assembler, Modula-2, Pascal, C/C++, Ada.

В настоящее время язык Модула-2 используется для программирования бортового программного обеспечения спутников, запускаемых в рамках проекта ГЛОНАСС. В конце 2010 г. компилятор GNU Modula-2 официально включён в коллекцию GCC.

Сводимая и неснижаемая ошибка. Предположим, мы хотим предсказать значение… | Вилли Уиллер | wwblog

Предположим, что мы хотим предсказать значение Y на основе набора X = ( X1 , X2 ,…, Xp ) переменных. Чтобы прогнозы имели шанс быть хорошими прогнозами , X должно содержать основной набор переменных, которые определяют поведение Y . Но почти всегда будут меньшие переменные, не включенные в X , которые, тем не менее, оказывают незначительное влияние на Y .Мы фиксируем ситуацию следующим образом:

Здесь f — это функция, описывающая взаимосвязь между X и Y , а ɛ — это член ошибки , который учитывает все неизмеряемые влияния на Y . . Мы предполагаем, что ɛ не зависит от X и имеет среднее значение 0.

Обычно мы не знаем точно f , поэтому мы используем статистические методы (например, линейную регрессию) для оценки f . Для обозначения этой оценки мы используем f deno .Это позволяет нам предсказать Y из X , используя следующее:

Наши прогнозы, как правило, будут несовершенными: будет некоторая отличная от нуля разница между предсказанными и наблюдаемыми значениями. Эта разница называется ошибкой предсказания .

Синяя линия — это прогноз, а красные точки — наблюдаемые значения. Серые сегменты представляют ошибку предсказания.

Чтобы свести к минимуму ошибку предсказания, нам нужно понять ее источник. Вообще говоря, их два: редуцируемая ошибка и неснижаемая ошибка.

Сводимая ошибка — это ошибка, возникающая из-за несоответствия между и f . f — истинное соотношение между X и Y , но мы не можем увидеть f напрямую — мы можем только оценить его. Мы можем уменьшить разрыв между нашей оценкой и истинной функцией, применив улучшенные методы.

Неприводимая ошибка возникает из-за того, что X не полностью определяет Y .То есть есть переменные за пределами X — и не зависящие от X , которые по-прежнему имеют небольшое влияние на Y . Единственный способ улучшить ошибку прогнозирования, связанную с неснижаемой ошибкой, — это выявить эти внешние влияния и включить их в качестве предикторов.

Чтобы узнать больше о том, как мы можем дополнительно разложить уменьшаемую ошибку, см. Мой пост Компромисс смещения и дисперсии.

Создание диаграммы

Чтобы создать диаграмму выше, сначала загрузите файл Advertising.csv с веб-сайта ISLR. Затем в R выполните следующие действия:

 # Получите наблюдения 
sales.data <- read.csv ("Advertising.csv", header = TRUE) # Сгенерируйте прогнозы
tv <- as.numeric (unlist (sales.data [" TV "]))
sales <- as.numeric (unlist (sales.data [" sales "]))
lm.fit <- lm (sales ~ tv)
pred <- прогноз (lm.fit) # Постройте их
сюжет (tv, sales, type = "n")
сегментов (tv, sales, tv, pred, col = "darkgray")
abline (lm.fit, col = "blue", lwd = 2)
точек ( tv, sales, col = "red", pch = 20, lwd = 2)

Вы начинающий специалист по данным, ищущий основы? Ознакомьтесь с LearnStats.io .

Аппаратные алгоритмы — Генератор арифметических модулей

Генератор арифметических модулей поля Галуа (GF-AMG) поддерживает два типа
аппаратные алгоритмы для параллельных умножителей. В дальнейшем мы
кратко опишите аппаратные алгоритмы, с которыми может работать GF-AMG.

Множители

Множитель Mastrovito

Множитель Мастровито — это класс параллельных умножителей над полями Галуа, основанный на
представления полиномиального базиса.Полиномиальный базис GF (p m ) задается как вектор
м-1 , β м-2 ,…, β 0 )
. В качестве примера рассмотрим поле Галуа GF (2 8 ), полученное
неприводимый многочлен
IP (x) = x 8 + x 4 + x 3 + x + 1. Когда IP (β) = 0,
вектор (β 7 , β 6 ,…,
β 0 ) — полиномиальный базис. На рисунке 1 показан
архитектура умножителей Mastrovito обрабатывается в GF-ACG, которая состоит из
матричного генератора и матричного оператора.Сначала матричный генератор
генерирует матрицу, определяемую напоминанием, которое задается
деление множимого на полиномиальный базис. Тогда оператор Matrix
выполняет умножение множителя (т. е. другой ввод) и
сгенерированная матрица и, наконец, производит продукт. Такой мастровито
multipiler известен как параллельный умножитель GF с минимальной стоимостью площади.

> сгенерировать множители мастровито

Рисунок 1. Архитектура умножителя Mastrovito

Параллельный умножитель Massey-Omura

Параллельный умножитель Месси-Омуры — это класс параллельных умножителей над
Поля Галуа на основе нормальных базисных представлений.Нормальная основа
GF (p m ) задается как вектор
п м-1 ,
α p м-2 ,
…, Α p 0 ), где
α — нормальный элемент GF (p m ). В качестве примера,
рассмотрим поле Галуа GF (2 8 ), полученное неприводимым
полином IP (x) = x 8 + x 4 + x 3 + x + 1. Когда
IP (β) = 0 и α = β 5 , вектор
2 7 , α 2 6 ,…, α 2 0 ) — нормальный базис.На рисунке 2 показан
архитектор параллельных умножителей Massey-Omura, обрабатываемых в GF-ACG,
которые состоят из генератора частичных продуктов (PPG) и аккумулятора (ACC).
Этап PPG сначала генерирует частичные произведения из множимого и
множитель параллельно. Затем на этапе ACC выполняется мульти-операнд
добавление для всех созданных частичных продуктов и производит окончательный
продукт. Такие множители GF, основанные на нормальных базисных представлениях:
полезно для построения схем, включая операторы возведения в квадрат, такие как
возведение в степень и обратные схемы.
> создать massey-omura
параллельные умножители

Рисунок 2. Архитектура параллельного умножителя Massey-Omura

Список литературы

  1. А. Халбутогуллари, С.К. Коч,
    «Множитель Мастровито для общих неприводимых многочленов»,
    IEEE Trans. Компьютеры, Vol. 49, No. 5, pp. 503—518, май 2000 г.
  2. А. Рейхани-Масоле и М.А. Хасан,
    «Новая конструкция параллельного умножителя Massey-Omura над GF (2 м )»,
    IEEE Trans.Компьютеры, т. 51, нет. 5. С. 511—520, май 2001 г.
  3. R.C. Муллин, И.М.Оныщук, С.А., Ванстон, Р.М. Уилсон,
    «Оптимальный нормальный базис в GF (p n )»,
    Дискретная прикладная математика, т. ~ 22, стр. ~ 149—161, 1988/1989.

Может ли кто-нибудь помочь объяснить процесс «однопроходной проверки», показанный в рациональном дизайне WebAssembly

Однопроходная проверка означает, что вам не нужно дважды проходить байт-код, чтобы собрать всю информацию, необходимую для проверки вашей программы.

Работает на двух механизмах:

Линейная память не пересекается с кодовым пространством; стек выполнения; и структуры управления движками, чтобы ваша программа не могла перейти в произвольные места или повредить среду выполнения. Таким образом, движку не придется выполнять утомительные проверки во время выполнения, чтобы гарантировать безопасность памяти. Если это полностью исключит риск ошибок безопасности памяти? На это я не могу ответить. Я считаю, что из-за ошибок Spectre / Meltdown некоторые механизмы ограничивали привилегии механизмов выполнения WebAssembly.

Структурированный поток управления означает, что программа по своей конструкции не может формировать неприводимые циклы или содержать переходы в блоки с несовпадающими высотами стека.

Структурированный поток управления — это то, что упрощает механизмы синтаксического анализа и проверки. Каждая инструкция потока управления содержится внутри блока, а это означает, что для переходов вперед мы уже знаем пункт назначения и нам не придется снова анализировать программу, чтобы выяснить это.

Процесс проверки происходит непосредственно перед компиляцией. В Firefox, например, он скрыт за итератором, который получает данные от читателя двоичного кода и передает каждую инструкцию компилятору. Вот функция, которая проверяет каждое тело функции: https://searchfox.org/mozilla-central/source/js/src/wasm/WasmValidate.cpp#903

Фактическая проверка выполняется путем помещения операндов в стек типов и проверки того, что типы в этом стеке соответствуют типу инструкций.Некоторые фрагменты кода из Firefox: DecodeFunctionBodyExpr имеет предложение case для множества функций i32, таких как i32.add, i32.sub, i32.mul, которые все принимают два операнда i32. Отсюда вызывается ReadBinary, который вызывает popWithType один раз для каждого операнда. А внутри popWithType есть доступ к стеку типов, который отслеживает операнды. Если типы не совпадают, то в цепочке вызовов выдается сообщение об ошибке.

Бен Смит написал сообщение в блоге о проверке типов WebAssembly, в котором объясняется, как проверка типов выполняется с помощью педагогических изображений.Проверка типа WebAssembly проста, за исключением недоступного кода в потоке управления. См. Последний раздел этого поста для объяснения того, как это решается с помощью «полиморфных стеков».

философий | Бесплатный полнотекстовый | Операторы в природе, науке, технике и обществе: математические, логические и философские вопросы

Самостоятельная работа — это явление, которое относится к способности людей-операторов и организаций людей действовать над собой, то есть рекурсивно.Термин самоуправление фактически включает в себя ряд процессов, которые также происходят на более низких уровнях реальности, и, таким образом, самоуправление широко распространено в природе, обществе и технологиях. Среди множества видов саморегуляции, изучаемых исследователями и используемых в практических целях, можно выделить самомодификацию, самоорганизацию, саморегуляцию, самоуправление, самовоспроизведение, самопроизводство, самоконтроль и самопрограммирование. Все эти процессы в самом широком смысле относятся к свойствам системы изменять как ее внутреннюю среду (структуру), так и внешнее поведение (функционирование).В общем, все естественные и социальные операторы, выполняющие эти операции, ipso facto являются самооператорами. В этой статье мы ограничимся обсуждением самоорганизации, самоконтроля и саморегулирования.

6.3.1. Самоорганизация

Мы начинаем наше обсуждение с концепции самоорганизации ввиду ее важности для понимания всех рефлексивных процессов и потому, что она иллюстрирует «действие» принципов логики в реальности [5]. Концепция самоорганизации родилась в 1960-х годах в попытке создать теорию, основанную на стандартной логике системы и управления ею.

Феномен самоорганизации включает две стороны (аспекты): атрибутивную, которая связана с внутренней структурой системы, и процессуальную, которая связана с внешним поведением (функционированием) системы.

Определение 21.

Самоорганизация в широком смысле — это свойство системы, результатом которого является деятельность, направленная на лучшую организацию внутренней среды (структуры) и внешнего поведения (функционирования) системы.

Таким образом, мы включаем в наше определение самоорганизации два вышеупомянутых аспекта: атрибутивный и процессуальный.В атрибутивной самоорганизации улучшаются некоторые системные свойства. При процессной самоорганизации функционирование (поведение) некоторых систем становится более организованным.

Существует два основных подхода к самоорганизации в социальных системах. Один из них основан на модели системы, состоящей из агрегированных индивидов, в которой самоорганизация порождается и приводит к сумме практик в системе, вызванных контролем, или, в частности, самоконтролем, и системной логикой. Второй подход фокусируется на практике людей, отклоняющихся от логики системы, заставляя существующую систему колебаться и трансформируя ее структуру.Вот почему, чтобы существовать, любая организация должна самоорганизоваться.

В результате самоорганизация связана с возникновением шаблонных или регулярных структур. Таким образом, очень часто используется следующее определение:

Определение 22.

Самоорганизация — это процесс, при котором структура или шаблон появляется или растет в системе.

Проблема во всех дискуссиях о самоорганизации как о разновидности самодеятельности состоит в том, чтобы установить, почему одни системы обладают способностью к самоорганизации или выражению самоорганизации, а другие — нет.Фактически, при внимательном рассмотрении все системы, которым приписывается самоорганизация, зависят по своей способности от некоторого набора либо начальных условий, либо непрерывного поступления энергии и информации, которые трансформируют термин «я» — правильно, в противоречие, «внутреннее противоречие». Это подводит нас к двум крайним типам самоорганизации: независимой и индуцированной.

Определение 23.

Независимая самоорганизация — это процесс, при котором организация (ограничение, избыточность) системы, по-видимому, спонтанно увеличивается, т.е.е., без того, чтобы это увеличение контролировалось окружающей средой, охватывающей или иным образом внешней системой.

100% независимая самоорганизация — это, по сути, идеальная операция, которая никогда не реализуется в процессе функционирования системы. Оно всегда должно диалектически и функционально сопровождаться несамоорганизацией или, точнее, гетероорганизацией [53]. Определение 24.

Индуцированная самоорганизация или гетероорганизация — это процесс, при котором организация (ограничение, избыточность) системы возрастает под влиянием, т.е.g. давление, убеждение или совет со стороны окружающей среды или со стороны охватывающей или иным образом внешней системы.

Проблема, которую необходимо решить, — это правильное определение взаимодействий и различий между самоорганизацией и гетероорганизацией. Действительно, упорядоченная структура, способная к самоорганизации, тем не менее, зависит от поступления внешней энергии и информации для ее формирования и сохранения [53]. Он не возникает «спонтанно» в системе, даже если он «спонтанно» формируется.После инициирования процесс самоорганизации действительно приводит к созданию новых сущностей. Однако для их дальнейшего развития требуется новая (извне) доступная информация. Таким образом, гетероорганизация относится к модели доставки или введения этой внешней информации в систему.

Строгий логический подход LIR может быть применен к концепции самоорганизации. Если принять стандартное определение системы, самоорганизующаяся система определяется как отличающаяся образованием некоторых состояний или сущностей, возникающих в результате взаимных или коллективных взаимодействий (встреч) между ее компонентами, совершенно независимо от внешних факторов.Теория LIR, однако, утверждает, что критические термины «я» и «независимый» включают в себя вызывающие вопросы предположения, учитывая критическую категориальную особенность LIR — неразрывность, о которой говорилось выше.

Бреннер [5] предположил, что критический шаг в процессе организации не является спонтанным, в том смысле, что он не вызван внешними агентами, что подразумевает использование частицы «само-» без оговорок. Новые организационные структуры — это эффективные следствия возможностей, заключенных в компонентах и ​​/ или введенных во время первоначального построения естественной системы или искусственного эксперимента.Этот взгляд дополняет обсуждение самоорганизации в обществе, предложенное Фуксом [54], в котором акцент делается на диалектическом, эмерджентном переходе от простых элементов, определяемых одним или двумя параметрами, к более сложным процессоподобным сущностям, воплощающим качество или значение. Фукс также предположил необходимость новой функциональной «логики самоорганизации» в другой недавней статье. Преимущество LIR для теории организованных систем состоит в том, что он дает, по крайней мере, частичный ответ на вопрос, почему одни системы самоорганизуются или демонстрируют автопоез, а другие — нет.LIR просто берет теорию самоорганизации и обосновывает ее (по крайней мере) на одном нижнем уровне реальности без необходимости задействовать какие-либо некаузальные спонтанные процессы. сам по себе, «самоочевидный» способ формирования и изменения системы. Все самоорганизующиеся системы также включают некоторую степень организации внешним агентом, что является случаем гетероорганизации, и эти две системы диалектически связаны. Варела описывает такую ​​ситуацию [55], когда заявляет, что связанные нелинейные осцилляторы могут вызывать виды самоорганизации, которые приводят к появлению нейронных структур на уровне компонентов.Чтобы понять возникновение, необходима локальная и глобальная взаимозависимость. Компоненты «достигают актуальности» благодаря их взаимосвязи с их глобальным аналогом.

Далее мы характеризуем самоорганизацию в рамках рассмотренных выше ограничений как постепенную или явно спонтанную. Постепенная самоорганизация — это, по сути, процесс эволюции, в котором влияние окружающей среды минимально, то есть когда развитие новых сложных структур происходит в основном внутри самой системы и через нее, при условии контроля начальных условий.Во многих случаях это можно понять на основе тех же процессов изменения и естественного отбора, что и другие эволюционные процессы, обусловленные окружающей средой.

В процессах очевидной спонтанной самоорганизации флуктуации часто действуют как организующие силы, когда на глобальном уровне системы закономерности возникают в основном в результате многочисленных взаимодействий между компонентами нижнего уровня системы, например, посредством «порядка через флуктуации». »Механизм, открытый Ильей Пригожиным [36] в системах, которые непрерывно экспортируют энтропию для поддержания своей организации диссипативных структур.В качестве окончательного типа очевидной самоорганизации мы можем обсуждать самоорганизацию в ограниченном системном смысле [40,56]. Определение 25.

Ограниченная самоорганизация — это процесс, при котором структура или шаблон появляется в системе без центрального органа или внешнего элемента, навязывающего их посредством планирования и давления, и зависит от предшествующих возможностей или первоначальных возможностей. условия в или относящиеся к компонентам системы.

Следовательно, многие процессы ограниченной самоорганизации частично индуцируются другими системами, включающими гетероорганизацию коллектива различных систем.

Самоорганизующиеся процессы в ограниченном смысле, такие как стадное поведение, групповое мышление и другие, изобилуют в социологии, экономике, поведенческих финансах и антропологии, а также в экономике, политике, промышленности, медицине и технологиях. Биологическая наука изучает создание структур социальными животными, такими как многие млекопитающие и социальные насекомые (пчелы, муравьи и термиты), поведение стай (например, формирование стай птицами, косяками рыб и т. Д.).

В экономике мы наблюдаем такие процессы самоорганизации, как: рост, конкуренция, вымирание компаний; функционирование финансовых рынков и фондовых рынков.В политике у нас есть революции, «самодинамика», формирование общественного мнения и развитие убеждений.

В социальной теории концепция самоорганизации была связана с самореферентностью и самопроизводством Луманом [57], который рассматривал элементы социальной системы как самопроизводительные коммуникации, когда коммуникация порождает дальнейшие коммуникации и, следовательно, социальную система может воспроизводить себя до тех пор, пока существует динамическое общение. В то же время люди являются сенсорами в окружающей среде социальной системы.На основе этих основ Луман разработал эволюционную теорию общества, используя функциональный анализ и теорию систем. Однако эти аспекты операторов не будут обсуждаться в этой статье.

Различные социальные структуры, такие как организации и учреждения, имеют форму сети. Самоорганизация в таких сетях запускается и подпитывается идеологией или социологической силой, которой придерживаются или разделяют все участники сети. Самоорганизация в человеческих (социальных) и компьютерных (технологических) сетях может привести к появлению децентрализованных, распределенных, самовосстанавливающихся систем, помогающих участникам сети защитить свою безопасность, ограничивая влияние всей системы на отдельных участников.Самоорганизация проявляется в сети как своеобразное синергетическое поведение за счет комбинации поведения отдельных участников сети.

Феномен самоорганизации в ограниченном смысле также существует во многих областях природы, таких как химия или биология. Примерами самоорганизации в ограниченном смысле в химии являются молекулярная самосборка, реакционно-диффузионные системы и колеблющиеся химические реакции, автокаталитические сети, жидкие кристаллы, коллоидные кристаллы, самоорганизующиеся монослои и микрофазовое разделение блок-сополимеров.Примерами самоорганизации в ограниченном смысле в биологии являются спонтанное сворачивание белков и других биомакромолекул, образование липидных двухслойных мембран, формирование паттернов и морфогенез, координация движений человека, создание структур социальными животными, о которых говорилось выше.

Стандартное теоретическое рассмотрение самоорганизации в узком смысле слова основано как на микроскопическом, так и на макроскопическом феноменологическом подходе. Хакен [56] сформулировал общие принципы самоорганизации в узком смысле или самоорганизации как уменьшения сложности.Они основаны на общих понятиях, таких как параметры порядка и принцип подчинения. Например, в больших классах систем их динамика может быть описана несколькими параметрами порядка.

Однако, на наш взгляд, феномен самоорганизации в ограниченном смысле, для которого можно было бы привести гораздо больше примеров в химии, биологии и социологии, все зависит от ранее существовавших остаточных потенциалов, присутствующих в компонентах системы в ее первоначальном виде. государственный. Поскольку системы, соответственно, не самоорганизуются «сами по себе», возможности для изменения эволюции систем ограничены.

Последствия, особенно в социальной сфере, значительны. Например, есть два основных подхода к самоорганизации в социальных системах. Один из них основан на модели системы, состоящей из агрегированных индивидов, в которой самоорганизация порождается и приводит к сумме практик в системе, индуцированных контролем или самоконтролем, в частности, и логике системная логика. Второй подход фокусируется на практике людей как агентов, отклоняющихся от логики системы, заставляя существующую систему колебаться и трансформируя ее структуру.Исходные способности таких людей вносить изменения, соответственно, не должны рассматриваться как часть предполагаемой самоорганизации.

6.3.3. Саморегулирование

Следующая наиболее общая категория в рамках саморегулирования — это саморегулирование.

Определение 27.

Саморегулирование в широком смысле — это свойство системы регулировать свою внутреннюю среду (государственное саморегулирование) и внешнее поведение или функционирование (фазовое саморегулирование) для поддержания стабильное, постоянное состояние.

Любая саморегулирующаяся система — это оператор, в частности, саморегулирующийся. Саморегулирующиеся системы существуют на всех уровнях: клетки в организме, человеческий организм и многие социальные организации являются саморегулирующимися системами.

Все механизмы саморегуляции имеют три взаимозависимых основных компонента для характеристики системы, например, регулируемый параметр системы, а именно: (1) рецепторная система — это чувствительный компонент, который отслеживает и отражает изменения в системе и ее окружении и отправляет информацию об этих изменениях в блок управления; (2) блок управления (или концептуальный в смысле Бургина и Гладана [60]) обрабатывает информацию, которая поступает от рецептора, форматируя инструкции (оперативную информацию) к эффектору; (3) эффекторная система — это действующий компонент, который изменяется в состояние системы, e.g., системный параметр и / или поведение (функционирование) системы.

Информация играет решающую роль в саморегулировании, которое основано на обратной связи системы. Можно понять саморегуляцию через взаимодействие циклов положительной и отрицательной обратной связи, когда одни вариации имеют тенденцию усиливаться, а другие — уменьшаться. Оба типа обратной связи важны для саморегулирования: положительная обратная связь, потому что она увеличивает параметры системы (до точки, когда ресурсы становятся недостаточными), и отрицательная обратная связь, потому что она стабилизирует эти параметры.

Возьмем человеческий организм в качестве примера саморегулирующейся системы. В нем большая часть гомеостатической регуляции контролируется высвобождением гормонов в кровоток, в то время как другие регуляторные процессы полагаются на простую диффузию для поддержания баланса. Процесс саморегулирования протекает следующим образом. Рецепторная система, которая может состоять из нескольких компонентов или даже из множества автономных единиц, воспринимает различные стимулы. Когда приходит соответствующий стимул, рецептор отправляет информацию в блок управления, находит состояние / фазу организма и определяет соответствующий ответ на стимул.В человеческом организме единицей управления (центром управления) является мозг. Затем центр управления отправляет сигналы в эффекторную систему или в часть этой системы, которая может быть мышцами, органами или другими структурами, принимающими сигналы из центра управления. После получения сигнала происходит изменение, чтобы исправить отклонение, либо усиливая его с помощью положительной обратной связи, либо подавляя с помощью отрицательной обратной связи

Нейронные сети, как естественные, так и искусственные, обычно работают одинаково, имея одни и те же компоненты: рецепторы, концептаторы и эффекторы. [60] организованы для поддержания государственного саморегулирования, направленного на гомеостаз.

% PDF-1.3
%
4513 0 объект
>
эндобдж
xref
4513 77
0000000016 00000 н.
0000001895 00000 н.
0000002118 00000 п.
0000002151 00000 п.
0000002208 00000 н.
0000003773 00000 н.
0000003937 00000 н.
0000004007 00000 н.
0000004112 00000 н.
0000004206 00000 н.
0000004367 00000 н.
0000004512 00000 н.
0000004671 00000 н.
0000004846 00000 н.
0000004947 00000 н.
0000005049 00000 н.
0000005234 00000 п.
0000005343 00000 п.
0000005459 00000 н.
0000005591 00000 н.
0000005716 00000 н.
0000005898 00000 н.
0000006017 00000 п.
0000006169 00000 н.
0000006308 00000 н.
0000006419 00000 н.
0000006534 00000 н.
0000006667 00000 н.
0000006819 00000 н.
0000006959 00000 п.
0000007099 00000 н.
0000007233 00000 н.
0000007402 00000 н.
0000007526 00000 н.
0000007648 00000 н.
0000007789 00000 н.
0000007928 00000 п.
0000008081 00000 н.
0000008234 00000 н.
0000008367 00000 н.
0000008518 00000 н.
0000008682 00000 н.
0000008839 00000 н.
0000008955 00000 н.
0000009069 00000 н.
0000009179 00000 н.
0000009302 00000 н.
0000009473 00000 н.
0000009583 00000 н.
0000009698 00000 п.
0000009856 00000 н.
0000009962 00000 н.
0000010076 00000 п.
0000010202 00000 п.
0000010335 00000 п.
0000010509 00000 п.
0000010649 00000 п.
0000010760 00000 п.
0000010873 00000 п.
0000011003 00000 п.
0000011104 00000 п.
0000011219 00000 п.
0000011343 00000 п.
0000011447 00000 п.
0000011594 00000 п.
0000011715 00000 п.
0000011816 00000 п.
0000011920 00000 п.
0000012036 00000 п.
0000012150 00000 п.
0000012278 00000 н.
0000012403 00000 п.
0000012525 00000 п.
0000012602 00000 п.
0000012769 00000 п.
0000002251 00000 н.
0000003749 00000 н.
трейлер
]
>>
startxref
0
%% EOF

4514 0 объект
>
эндобдж
4515 0 объект
[
4516 0 р
]
эндобдж
4516 0 объект
>
/ Ж 31 0 Р
>>
эндобдж
4517 0 объект
>
эндобдж
4588 0 объект
>
поток
HV [PW> gwZL-TA & laWbPD ﺠ B @ ԠxoxX | t-t: iNP’L9-; Kѫ’tz!} — 3uNeQ¼tӿT

Программирование с конечными полями — математика ∩ Программирование

Когда я впервые познакомился с дизайном языков программирования, я решил, что было бы действительно здорово, если бы существовал язык, который позволял бы вам определять свои собственные числовые типы, а затем выполнять все ваше программирование в рамках этих числовых типов.И поскольку я увлекаюсь математикой, я думаю о действительно экзотических типах чисел (булевы кольца, гауссовские целые числа, октонионы, о боже!). Я подумал, что это будет языковая функция, поэтому могу сделать что-то вроде этого:

использовать гауссовские целые числа как числа

х = 1 + я
у = 2 - 3i
печать (х * у)

z = 2 + 3.5i # ошибка
 

Не знаю, , почему Я подумал, что это будет так круто. Возможно, мне казалось, что я буду преподавать компьютерную математику. Или, может быть, следующий уровень абстракции в игре в бога путем написания программ — это игра в бога путем разработки языков (и я тайно удовлетворяю огромный комплекс бога, диктуя действия своему компьютеру).

Но, несмотря на то, что я не писал собственного языка, программирование со странными системами счисления по-прежнему занимает особое место в моем сердце. Так уж получилось, что мы находимся в середине длинной серии по эллиптическим кривым, и в следующем посте мы фактически реализуем арифметику эллиптических кривых над особым типом числового типа (конечным полем). В этом посте мы заложим основу, реализовав числовые типы в Python, которые позволят нам работать с любым конечным полем. На самом деле это довольно запутанный путь, и для того, чтобы быть полностью строгим, нам нужно доказать несколько лемм, разработать набор теории колец и доказать правильность нескольких алгоритмов, включающих многочлены.

Вместо того, чтобы идти длинным и извилистым путем, мы просто изложим важные факты со ссылками на доказательства, докажем простые вещи и сосредоточимся больше, чем обычно, на конкретных деталях реализации Python. Как обычно, весь код, использованный в этом сообщении, доступен на странице этого блога на Github.

Целые числа по модулю простых чисел

Простой вид конечного поля — это набор целых чисел по простому модулю. В этом блоге мы подробно рассмотрели это числовое поле (в группах, кольцах, полях, с помощью RSA и т. Д.)), но давайте вспомним, что это такое. Оператор по модулю (в программировании он часто обозначается%) представляет собой двоичную операцию с целыми числами, которая представляет собой уникальный положительный остаток от деления на.

Определение: Позвольте быть простым числом. Набор состоит из цифр. Если вы наделите его операциями сложения (mod) и умножения (mod), он образует поле.

Сказать, что это поле, значит просто сказать, что арифметика более или менее ведет себя так, как мы ожидаем, и, в частности, что каждый ненулевой элемент имеет (уникальный) мультипликативный обратный.Создать числовой тип для в Python довольно просто.

def IntegersModP (p):
   класс IntegerModP (FieldElement):
      def __init __ (self, n):
         self.n = n% p
         self.field = IntegerModP

      def __add __ (self, other): вернуть IntegerModP (self.n + other.n)
      def __sub __ (self, other): вернуть IntegerModP (self.n - other.n)
      def __mul __ (self, other): вернуть IntegerModP (self.n * other.n)
      def __truediv __ (self, other): вернуть self * other.обратный ()
      def __div __ (self, other): вернуть self * other.inverse ()
      def __neg __ (self): вернуть IntegerModP (-self.n)
      def __eq __ (self, other): вернуть isinstance (other, IntegerModP) и self.n == other.n
      def __abs __ (self): вернуть abs (self.n)
      def __str __ (self): вернуть str (self.n)
      def __repr __ (self): return '% d (mod% d)'% (self.n, self.p)

      def __divmod __ (себя, делитель):
         q, r = divmod (self.n, divisor.n)
         возврат (IntegerModP (q), IntegerModP (r))

      def inverse (self):
         ...?

   IntegerModP.p = p
   IntegerModP .__ name__ = 'Z /% d'% (p)
   вернуть IntegerModP
 

Мы сделали здесь пару вещей, на которые стоит обратить внимание. Во-первых, все методы с двойным подчеркиванием являются перегрузками операторов, поэтому они вызываются, когда кто-то пытается, например, добавить два экземпляра этого класса вместе. Мы также реализовали алгоритм деления через __divmod__, который вычисляет пару (частное, остаток) для соответствующего деления. Встроенная функция Python divmod выполняет это для целых чисел, и мы можем перегрузить ее для пользовательского типа.Позже в этом посте мы напишем более сложный алгоритм деления. Наконец, мы динамически создаем наш класс, чтобы разные простые числа соответствовали разным типам. Мы вернемся к тому, почему эта инкапсуляция — хорошая идея, позже, но очень важно сделать наши следующие несколько функций многоразовыми и элегантными.

Вот пример используемого класса:

>>> mod7 = IntegerModP (7)
>>> mod7 (3) + mod7 (6)
2 (мод 7)
 

Последняя (неопределенная) функция в классе IntegersModP, обратная функция, является нашим единственным математическим препятствием.К счастью, мы можем вычислить инверсии обычным способом, используя алгоритм, называемый расширенным алгоритмом Евклида . Вот математика.

Определение: Элемент называется наибольшим общим делителем (gcd), если он делит оба и, а для всех остальных делит и и, делит. Для gcd мы обозначаем его как. [1]

Обратите внимание, что мы назвали его «наибольшим общим делителем». В общем, gcd не обязательно должен быть уникальным, хотя для целых чисел часто выбирают положительный gcd.На самом деле мы увидим, что это вызывает крошечную программную ошибку позже в этом посте, но давайте продолжим.

Теорема: Для любых двух целых чисел существует такое уникальное, что.

Мы могли бы ходить вокруг да около и пытаться доказать эти вещи различными способами, но когда дело доходит до этого, есть один чрезвычайно важный алгоритм, который одновременно вычисляет gcd и производит необходимую линейную комбинацию. Алгоритм называется алгоритмом Евклида. Вот простая версия, которая просто дает gcd.

def gcd (a, b):
   если abs (a)  0:
      q, r = divmod (a, b)
      а, Ь = Ь, г

   вернуть
 

Это работает благодаря простому наблюдению (это легко доказать напрямую). Таким образом, алгоритм Евклида просто продолжает применять это правило снова и снова: возьмите остаток при делении большего аргумента на меньший аргумент, пока остаток не станет равным нулю. Тогда потому что все делит ноль.

Теперь так называемый «расширенный» алгоритм Евклида просто отслеживает некоторые дополнительные данные по мере их поступления (частные частные и остатки). Вот алгоритм.

def extendedEuclideanAlgorithm (a, b):
   если abs (b)> abs (a):
      (x, y, d) = расширенный евклидов алгоритм (b, a)
      return (y, x, d)

   если abs (b) == 0:
      возврат (1, 0, а)

   х1, х2, у1, у2 = 0, 1, 1, 0
   в то время как abs (b)> 0:
      q, r = divmod (a, b)
      х = х2 - д * х1
      у = у2 - д * у1
      a, b, x2, x1, y2, y1 = b, r, x1, x, y1, y

   возврат (x2, y2, a)
 

Действительно, читателю, который раньше не видел этого, рекомендуется проследить последовательность чисел 4864, 3458.Их НОД 38 и два целых числа 32 и -45 соответственно.

Как это помогает нам вычислять инверсии? Что ж, если мы хотим найти обратное по модулю, мы знаем, что их НОД равен 1. Итак, вычислите такое, что, а затем уменьшите обе стороны по модулю. Вы получаете, что означает обратное. Итак, если у нас есть расширенный алгоритм Евклида, написать обратную функцию будет просто!

def inverse (self):
   x, y, d = расширенный алгоритм Евклида (self.n, self.p)
   вернуть IntegerModP (x)
 

И действительно работает как положено:

>>> mod23 = IntegerModP (23)
>>> mod23 (7).обратный ()
10 (мод 23)
>>> mod23 (7) .inverse () * mod23 (7)
1 (мод 23)
 

Одна очень интересная вещь, которая делает некоторую основную теорию колец стоящей понимания, заключается в том, что мы можем вычислить НОД любого числового типа, используя точно такой же код для алгоритма Евклида, при условии, что мы реализуем функцию abs и деление алгоритм. Посредством цепочки относительно легко доказываемых лемм, если ваш числовой тип имеет достаточную структуру (в частности, если у него есть алгоритм деления, который удовлетворяет некоторым свойствам), тогда наибольшие общие делители хорошо определены, и алгоритм Евклида дает нам эта особая линейная комбинация.И, используя тот же трюк, описанный выше, в конечных полях, мы можем использовать алгоритм Евклида для вычисления обратных значений.

Но для того, чтобы все работало программно, нам нужно иметь дело с буквальными целыми числами 0 и 1 в алгоритме. То есть мы должны иметь возможность молча приводить целые числа к любому числовому типу, с которым мы работаем. Это имеет смысл, потому что все кольца имеют 0 и 1, но для реализации этого требуются некоторые строительные леса. В частности, разумное приведение типов вещей действительно сложно , если вы не будете осторожны.И проблемы усугубляются в таком языке, как Python, который явно игнорирует типы, когда это возможно. [2]

Итак, давайте сделаем небольшой перерыв, чтобы реализовать крошечную систему типов с неявным приведением типов.

[1] Читатель, знакомый с нашей серией по теории категорий, узнает в ней произведение двух целых чисел в категории, стрелки которой обозначают делимость. Таким образом, по абстрактной чепухе это доказывает, что gcd уникальны с точностью до умножения на единицу в любом кольце.↑
[2] В процессе написания кода для этого поста мне очень не хватало более сильных систем типов Java и Haskell. Никогда не думал, что скажу это, но это правда. ↑

Крошечная система универсального типа

Основной движущей силой нашей системы типов будет декоратор под названием @typecheck. Мы рассмотрели декораторы в конце нашего учебника по динамическому программированию, но вкратце декоратор — это ярлык синтаксиса Python, который позволяет выполнять некоторую предварительную или постобработку с функцией многократно.Все, что вам нужно сделать, чтобы применить предварительную / постобработку, — это префикс определения функции с именем декоратора.

Наш декоратор будет называться typecheck, и он будет украшать бинарные операции над нашими числовыми типами. В своей базовой форме наша проверка типов будет работать следующим образом: если типы двух операндов одинаковы, то декоратор просто передаст их оператору. В противном случае он попытается выполнить приведение типов, а если это не удастся, безрассудно вызовет исключения.

def typecheck (f):
   def newF (себя, другое):
      если тип (себя) не является типом (другим):
         пытаться:
            other = self .__ class __ (другое)
         кроме TypeError:
            message = 'Невозможно привести% s типа% s к типу% s в функции% s'
            поднять TypeError (message% (other, type (other) .__ name__, type (self) .__ name__, f .__ name__))
         кроме исключения как e:
            message = 'Введите ошибку в аргументах% r,% r для функции% s.Причина:% s '
            поднять TypeError (message% (self, other, f .__ name__, type (other) .__ name__, type (self) .__ name__, e))

      вернуть f (себя, другое)

   вернуть newF
 

Так что это здорово, но есть две проблемы. Во-первых, это будет молчаливое преобразование типа только в том случае, если объект, который мы преобразовываем, находится в правой части выражения. Другими словами, следующее вызовет исключение с жалобой на то, что вы не можете добавлять целые числа к целым числам Mod7.

>>> x = IntegerModP (7) (1)
>>> 1 + х
 

Нам нужны правые версии всех перегрузок операторов.Они такие же, как и обычные перегрузки операторов, но Python отдает предпочтение перегрузкам левых операторов. Предвидя, что нам нужно будет переписать эти глупые правые перегрузки для каждого числового типа, и все они будут одинаковыми, мы создаем два общих базовых класса.

класс DomainElement (объект):
   def __radd __ (self, other): вернуть self + other
   def __rsub __ (себя, другое): return -self + other
   def __rmul __ (self, other): вернуть self * other

класс FieldElement (DomainElement):
   def __truediv __ (self, other): вернуть self * other.обратный ()
   def __rtruediv __ (self, other): return self.inverse () * другое
   def __div __ (self, other): вернуть self .__ truediv __ (другой)
   def __rdiv __ (self, other): вернуть self .__ rtruediv __ (другой)
 

И мы можем пойти дальше и сделать наш IntegersModP подклассом FieldElement. [3]

Но теперь мы идем в очень глубокие воды. В частности, мы заранее знаем, что наш следующий тип чисел будет для многочленов (от целых чисел, дробей или чего-то еще).И мы захотим провести бесшумное приведение типов из целых чисел и IntegerModP в полиномы! Проницательный читатель заметит несоответствие. Что будет, если я попробую это сделать?

>>> MyInteger () + MyPolynomial ()
 

Давайте рассмотрим это медленно: по нашему предположению, и MyInteger, и MyPolynomial имеют определенные для них функции __add__ и __radd__, и каждая пытается привести другой тип к соответствующему типу. Но что называется? Согласно документации Python, если в левой части есть функция __add__, которая вызывается первой, а в правой части функция __radd__ ищется только в том случае, если для левого операнда не найдена функция __add__.

Что ж, это проблема, и мы решим ее наполовину неудобным, наполовину элегантным способом. Что мы сделаем, так это снабдим наши числовые типы константой operatorPrecedence. А затем внутри нашей функции проверки типов мы увидим, является ли правый операнд объектом с более высоким приоритетом. Если это так, мы возвращаем глобальную константу NotImplemented, которую Python считает, что функция __add__ не найдена, и переходит к поиску __radd__. Итак, с этой модификацией наша проверка типов готова.[4]

def typecheck (f):
   def newF (себя, другое):
      если (hasattr (другой .__ class__, 'operatorPrecedence') и
            другой .__ класс __. operatorPrecedence> self .__ class __. operatorPrecedence):
         return NotImplemented

      если тип (себя) не является типом (другим):
         пытаться:
            other = self .__ class __ (другое)
         кроме TypeError:
            message = 'Невозможно привести% s типа% s к типу% s в функции% s'
            поднять TypeError (message% (other, type (other).__name__, type (self) .__ name__, f .__ name__))
         кроме исключения как e:
            message = 'Введите ошибку в аргументах% r,% r для функции% s. Причина:% s '
            поднять TypeError (message% (self, other, f .__ name__, type (other) .__ name__, type (self) .__ name__, e))

      вернуть f (себя, другое)

   вернуть newF
 

Мы добавляем значение operatorPrecedence по умолчанию, равное 1, в базовый класс DomainElement. Теперь эта функция отвечает на наш предыдущий вопрос о том, почему мы хотим инкапсулировать простой модуль в класс IntegersModP.Если это средство проверки типов действительно будет универсальным, нам нужно иметь возможность приводить тип int, передавая единственный аргумент int конструктору типа без дополнительной информации! В самом деле, это будет тот же образец для нашего класса полиномов и класса конечных полей.

Теперь есть еще одна тонкая проблема. Если мы попытаемся сгенерировать двух копий одного и того же числового типа из нашего генератора числовых типов (другими словами, из следующего фрагмента кода), мы получим неприятное исключение.

>>> mod7 = IntegerModP (7)
>>> mod7Copy = IntegersModP (7)
>>> mod7 (1) + mod7Copy (2)
... жирная ошибка ...
 

Причина этого в том, что в средстве проверки типов мы используем встроенный Python «is», который проверяет идентичность , а — семантическое равенство. Чтобы исправить это, нам просто нужно запомнить функцию IntegersModP (и все другие функции, которые мы будем использовать для генерации числовых типов), чтобы одновременно существовала только одна копия числового типа.

Итак, хватит взлома Python: давайте продолжим реализацию конечных полей!

[3] Это также вынуждает нас внести некоторые небольшие изменения в конструктор IntegerModP, но они недостаточно значительны, чтобы отображать их здесь. Если хотите, посмотрите репозиторий Github. ↑
[4] Это действительно взлом, и мы рассмотрели возможность отправки запроса на добавление функции разработчикам Python. Возможно, это будет полезно для поклонников перегрузки операторов. Мне было бы интересно услышать в комментариях ваши мысли относительно целесообразности добавления этой функции в Python.↑

Полиномиальная арифметика

Напомним из нашего учебника по конечным полям, что каждое конечное поле может быть построено как фактор кольца многочленов с коэффициентами в некотором простом идеале. Мы подробно объяснили, что это означает, в учебнике, так что проверьте это, прежде чем читать дальше.

Действительно, чтобы построить конечное поле, нам нужно найти некоторый неприводимый монический многочлен с коэффициентами in, и тогда элементы нашего поля будут остатками произвольных многочленов при делении на.2
@memoize
def polynomialsOver (field = fractions.Fraction):

класс Polynomial (DomainElement):
operatorPrecedence = 2
factory = lambda L: Многочлен ([поле (x) для x в L])

def __init __ (self, c):
если тип (c) — полиномиальный:
self.coefficients = c.coefficients
elif isinstance (c, поле):
self.coefficients = [c]
elif not hasattr (c, ‘__iter__’) and not hasattr (c, ‘iter’):
себя.% d ‘% (a, i) если i> 0 иначе’% s ‘% a
для i, a in enumerate (self.coefficients)])

def __abs __ (self): вернуть len (self.coefficients)
def __len __ (self): вернуть len (self.coefficients)
def __sub __ (self, other): вернуть self + (-other)
def __iter __ (self): вернуть iter (self.coefficients)
def __neg __ (self): return Polynomial ([- a для in self])

def iter (self): вернуть self .__ iter __ ()
def LeadingCoefficient (self): вернуть self.коэффициенты [-1]
степень защиты (себя): вернуть абс (себя) — 1

Весь этот код просто устанавливает соглашения. Многочлен — это список коэффициентов (в порядке возрастания их степени монома), нулевой многочлен — это пустой список коэффициентов, а abs () многочлена равна единице плюс его степень. [5] Наконец, вместо закрытия по простому модулю, как в IntegerModP, мы закрываем поле коэффициентов. В общем, вам не обязательно иметь многочлены с коэффициентами в поле, но если они действительно получены из поля, вы гарантированно получите разумный алгоритм Евклида.На формальном языке, если это поле, то это евклидова область. И для нашей цели определения конечных полей у нас всегда будут коэффициенты из, так что проблем нет.

Теперь мы можем определять такие вещи, как сложение, умножение и равенство, используя нашу программу проверки типов, которая выполняет автоматическое приведение типов и отслеживает ошибки.

      @typecheck
      def __eq __ (себя, другое):
         return self.degree () == other.degree () и все ([x == y for (x, y) в zip (self, other)])

      @typecheck
      def __add __ (себя, другое):
         newCoefficients = [сумма (x) для x в itertools.zip_longest (self, other, fillvalue = self.field (0))]
         return Polynomial (newCoefficients)

      @typecheck
      def __mul __ (я, другой):
         если self.isZero () или other.isZero ():
            return Zero ()

         newCoeffs = [self.field (0) for _ in range (len (self) + len (other) - 1)]

         для i, a in enumerate (self):
            для j, b в перечислении (другое):
               newCoeffs [i + j] + = a * b

         return Polynomial (newCoeffs)
 

Обратите внимание, что если базовое поле коэффициентов правильно реализует перегрузки оператора, все это не зависит от коэффициентов.Возможность повторного использования, детка!

И мы можем закончить с алгоритмом деления многочленов.

      @typecheck
      def __divmod __ (себя, делитель):
         частное, остаток = ноль (), self
         divisorDeg = divisor.degree ()
         divisorLC = divisor.leadingCoefficient ()

         а restder.degree ()> = divisorDeg:
            monomialExponent = restder.degree () - divisorDeg
            monomialZeros = [self.field (0) для _ в диапазоне (monomialExponent)]
            monomialDivisor = Многочлен (monomialZeros + [остаток.leadCoefficient () / divisorLC])

            частное + = мономиальный делитель
            остаток - = monomialDivisor * divisor

         вернуть частное, остаток
 

Действительно, мы здесь не делаем ничего, кроме формализации школьного алгоритма полиномиального деления в длину [6]. И мы можем завершить функцию генерации этого класса, назначив переменную-член поля вместе с именем класса. И мы даем ему более высокий приоритет оператора, чем базовое поле коэффициентов, так что изолированный коэффициент преобразуется в постоянный полином.

@memoize
def polynomialsOver (field = fractions.Fraction):

   класс Polynomial (DomainElement):
      operatorPrecedence = 2

      [... методы, определенные выше ...]

   def Zero ():
      вернуть многочлен ([])

   Polynomial.field = поле
   Многочлен .__ name__ = '(% s) [x]'% field .__ name__
   вернуть многочлен
 

Для этого поста мы предоставляем скромный набор тестов в репозитории Github, но вот образец теста:

>>> Mod5 = IntegersModP (5)
>>> Mod11 = IntegersModP (11)
>>> polysOverQ = polynomialsOver (Дробь).2 + х + 1
>>> (x, y, theGcd) == extendedEuclideanAlgorithm (f, g)
Правда
 

[5] Математическое имя для функции abs (), которую мы используем, — оценка .
[6] Однажды в этом блоге мы еще больше поговорим о полиномиальном делении в столбик. С его помощью вы можете делать много классной алгебраической геометрии, и идеи, содержащиеся в нем, приводят вас к потрясающим приложениям, таким как планирование движения роботов и автоматическое доказательство геометрических теорем. ↑

Создание неприводимых многочленов

Теперь, когда мы избавились от полиномов, нам нужно иметь возможность генерировать неприводимые полиномы любой степени, какой захотим.Может показаться удивительным, что существуют неприводимые многочлены любой степени [7], но на самом деле мы знаем гораздо больше.

Теорема: Произведение всех неприводимых монических многочленов степени деления равно.

Это важная теорема, но она требует немного больше теории поля, чем мы имеем сейчас за плечами. Вы можете резюмировать доказательство, сказав, что существует взаимно однозначное соответствие между элементами поля и унитарными неприводимыми многочленами, а затем вы скажете кое-что о разделении полей.Здесь вы можете увидеть более подробный план доказательства, но предполагается, что вы знакомы с понятием минимального многочлена. Мы, вероятно, расскажем об этом в одном из будущих учебников.

Но просто используя теорему, мы можем получить действительно хороший алгоритм для определения, является ли многочлен степени неприводимым: мы просто смотрим на его НОД со всеми меньшими чем. Если все НОД являются константами, тогда мы знаем, что он неприводимый, а если хотя бы один — непостоянный многочлен, то он должен быть неприводимым. Почему это? Потому что, если у вас есть какой-то нетривиальный gcd ​​для, то это фактор по определению.И поскольку мы знаем , все неприводимых монических многочленов являются факторами этого набора многочленов, если НОД всегда равен 1, тогда нет других возможных множителей, которые могли бы быть делителями. (Если есть какой-либо делитель, то будет монический неприводимый!) Таким образом, кандидатный многочлен должен быть неприводимым. Фактически, если подумать, становится ясно, что мы можем остановиться на этом, поскольку любой фактор большой степени обязательно потребует соответствующих факторов малой степени. Таким образом, алгоритм проверки несводимости представляет собой простой цикл:

def isIrreducible (многочлен, p):
   ZmodP = IntegersModP (p)
   poly = многочленыOver (ZmodP).фабрика
   х = поли ([0,1])
   powerTerm = x
   isUnit = лямбда p: p.degree () == 0

   для _ в диапазоне (int (polynomial.degree () / 2)):
      powerTerm = powerTerm.powmod (p, полином)
      gcdOverZmodp = gcd (полином, powerTerm - x)
      если не isUnit (gcdOverZmodp):
         вернуть ложь

   вернуть True
 

Мы просто итеративно вычисляем мощности на каждом шаге цикла, вычитая и вычисляя соответствующий НОД.Функция powmod существует как раз для того, чтобы мы могли уменьшать степень модификатора нашего неприводимого многочлена после каждого умножения, сохраняя степень полинома небольшой и эффективной для работы.

Теперь , генерирующий неприводимый многочлен, немного сложнее, чем его проверка. Однако, приложив много усилий, теоретики поля обнаружили, что неприводимые многочлены довольно распространены. Фактически, если вы просто произвольно сгенерируете коэффициенты своего монического многочлена степени, вероятность того, что вы получите что-то неприводимое, будет как минимум.Итак, это предполагает очевидный случайный алгоритм: продолжайте гадать, пока не найдете его.

def generateIrreduciblePolynomial (модуль, степень):
   Zp = IntegersModP (модуль)
   Многочлен = многочлен больше (Zp)

   в то время как True:
      коэффициенты = [Zp (random.randint (0, модуль-1)) для _ в диапазоне (градус)]
      randomMonicPolynomial = Многочлен (коэффициенты + [Zp (1)])

      если isIrreducible (randomMonicPolynomial, модуль):
         вернуть randomMonicPolynomial
 

Поскольку вероятность получить неприводимый многочлен близка к, мы ожидаем, что потребуются испытания, прежде чем мы найдем его.3

Итак, теперь мы хорошо подготовлены для создания любого конечного поля, которое захотим! Это просто вопрос создания полинома и взятия модуля после каждой операции.

@memoize
def FiniteField (p, m, polynomialModulus = None):
   Zp = IntegersModP (p)
   если m == 1:
      вернуть Zp

   Многочлен = многочлен больше (Zp)
   если polynomialModulus равен None:
      polynomialModulus = generateIrreduciblePolynomial (модуль = p, степень = m)

   класс Fq (FieldElement):
      fieldSize = int (p ** м)
      primeSubfield = Zp
      idealGenerator = polynomialModulus
      operatorPrecedence = 3

      def __init __ (self, poly):
         если тип (поли) равен Fq:
            себя.poly = poly.poly
         elif type (poly) is int или type (poly) is Zp:
            self.poly = Многочлен ([Zp (poly)])
         elif isinstance (poly, Многочлен):
            self.poly = poly% polynomialModulus
         еще:
            self.poly = Многочлен ([Zp (x) для x в poly])% polynomialModulus

         self.field = Fq

      @typecheck
      def __add __ (self, other): вернуть Fq (self.poly + other.poly)
      @typecheck
      def __sub __ (self, other): вернуть Fq (self.поли - другой. поли)
      @typecheck
      def __mul __ (self, other): вернуть Fq (self.poly * other.poly)
      @typecheck
      def __eq __ (self, other): return isinstance (other, Fq) и self.poly == other.poly

      def __pow __ (self, n): вернуть Fq (pow (self.poly, n))
      def __neg __ (self): вернуть Fq (-self.poly)
      def __abs __ (self): вернуть abs (self.poly)
      def __repr __ (self): return repr (self.poly) + '\ u2208' + self .__ class __.__ name__

      @typecheck
      def __divmod __ (себя, делитель):
         q, r = divmod (self.4}
 

И все! Теперь мы можем производить арифметические действия над любым конечным полем, которое захотим.

[7] Особенно если учесть, что случаются и другие дурацкие вещи: сводится к на каждые конечных полей! ↑

Несколько слов об эффективности

Есть несколько вещей, которые об этой программе не упоминаются, но я все равно их изложу.

Во-первых, мы платим высокую цену за то, что мы настолько универсальны. Все операции по приведению типов, которые мы проводим, стоят недешево, и в целом криптография должна быть эффективной.Например, если я пытаюсь создать конечное поле порядка, это займет от десяти до пятнадцати секунд. Это может показаться не таким уж плохим для одноразовой инициализации, но ясно, что наше представление несколько раздуто. Мы бы отображали график ожидаемого времени для выполнения различных операций в различных конечных полях, но этот пост уже слишком длинный.

В общем, чем больше и сложнее многочлен, который вы используете для определения вашего конечного поля, тем дольше будут выполняться операции (поскольку деление на сложный многочлен дороже, чем деление на простой многочлен).По этой и нескольким другим причинам было проведено множество исследований по эффективному поиску неприводимых многочленов, скажем, только с тремя ненулевыми членами. Более того, если мы заранее знаем, что будем работать только с полями характеристики два, мы можем сделать множество дополнительных оптимизаций. По сути, вся арифметика сводится к действительно быстрым побитовым операциям, а такие вещи, как возведение в степень, можно легко реализовать на аппаратном уровне. Но также кажется, что расходы, связанные с большими характеристиками поля, соответствуют более высокой безопасности, поэтому некоторые исследователи пытались уложиться посередине, чтобы получить эффективные представления других характеристик поля.

В любом случае, настоящая цель нашей реализации в этом посте не для повышения эффективности. Мы заботимся в первую очередь о понимании математики и о том, чтобы иметь конкретный объект, с которым можно поиграть и использовать в будущем для других проектов. И мы этого добились.

До следующего раза!

Нравится:

Нравится Загрузка …

US 20040143725A1 — Основанные на знаниях методы анализа генетических сетей и основанная на них компьютерная система всей клетки

a) WCC работает на принципах вычисления стохастических потоков данных;

б) WCC классифицируется как мембранный компьютер;

c) ВСЦ в основном подчиняется следующим основным принципам;

и.в WCC есть по крайней мере одна связанная с мембраной инструкция;

ii. инструкции WCC преобразуют один или несколько операндов в один или несколько произведений операндов и могут необязательно требовать наличия дополнительных операндов, которые не претерпевают изменений, и инструкции выполняются по прибытии всех необходимых операндов на близком расстоянии от команды, которое составляет определяется правилом или инструкцией. iii. вектор состояния WCC предоставляет информацию о результатах или состоянии, которые определяются уровнем выражения статистической совокупности и вектором состояния в результате случайного движения и совокупного выполнения инструкций;

iv.программы хранятся в виде одной или нескольких строк встроенных операндов в скрытом состоянии, и программы выполняются по прибытии активирующих или регулирующих операндов;

v. WCC содержит «кэш

», память

, которая поддерживает единственную копию каждой отдельной инструкции, которая активна в данном WCC;

vi. WCC содержит по крайней мере один из следующих типов инструкций ввода-вывода;

1) инструкции, которые заставляют операнды пересекать границы мембраны, и / или

2) инструкции, которые реагируют на лиганды;

vii.WCC содержит операционную систему, которая обеспечивает механизм для копирования инструкций и операндов из программ, доставки их в нужное место и обеспечения возможности их выполнения по прибытии их операндов;

viii. Выполнение программы WCC является массово-параллельным, распределенным, многопоточным и в остальном не содержит центрального процессора;

ix. память и результаты вычислений сохраняются через состояние WCC распределенным образом, при этом краткосрочная память WCC является вектором текущего состояния, а долговременная память WCC является активными путями;

х.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.